Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 7: Ôn tập chương Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 2.49 (Sách bài tập trang 133)

Tính đạo hàm của các hàm số sau : 

a) \(y=\dfrac{1}{\left(2+3x\right)^2}\)

b) \(y=\sqrt[3]{\left(3x-2\right)^2};\left(x\ne\dfrac{2}{3}\right)\)

c) \(y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3x-7}}\)

d) \(y=3x^{-3}-\log_3x\)

e) \(y=\left(3x^2-2\right)\log_2x\)

g) \(y=\ln\left(\cos x\right)\)

h) \(y=e^x\sin x\)

i) \(y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{x}\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.54 (Sách bài tập trang 134)

Giải các phương trình sau :

a) \(e^{2+\ln x}=x+3\)

b) \(e^{4-\ln x}=x\)

c) \(\left(5-x\right)\log\left(x-3\right)=0\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.44 (Sách bài tập trang 132)

Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a) \(y=\dfrac{2}{\sqrt{4^x-2}}\)

b) \(y=\log_6\dfrac{3x+2}{1-x}\)

c) \(y=\sqrt{\log x+\log\left(x+2\right)}\)

d) \(y=\sqrt{\log\left(x-1\right)+\log\left(x+1\right)}\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.53 (Sách bài tập trang 134)

Giải phương trình :

               \(2\log^2_2x-14\log_4x+3=0\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện để phương trình có nghĩa: x > 0.

Biến đổi phương trình như sau:

\(2\log_2^2x-14\log_{2^2}x+3=0\)

\(\Leftrightarrow2\log_2^2x-14.\dfrac{1}{2}\log_2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow2\log_2^2x-7\log_2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\log_2x=3\\\log_2x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2^3\\x=2^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

(Cả hai nghiệm đều thỏa mãn)

Bài 2.47 (Sách bài tập trang 133)

Vẽ đồ thị của các hàm số sau :

a) \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x+3\)

b) \(y=2^{x+1}\)

c) \(y=3^{x-2}\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.45 (Sách bài tập trang 133)

Cho hai hàm số :

                          \(f\left(x\right)=\dfrac{a^x+a^{-x}}{2};g\left(x\right)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{2}\)

a) Chứng minh rằng \(f\left(x\right)\) là hàm số chẵn, \(g\left(x\right)\) là hàm số lẻ

b) Tìm giá trị bé nhất của \(f\left(x\right)\) trên tập xác định

Hướng dẫn giải

a) Ta có tập xác định của cả hai hàm số \(f\left(x\right),g\left(x\right)\) đểu là \(\mathbb{R}\)

Mặt khác:

\(f\left(-x\right)=\dfrac{a^{-x}+a^{-x}}{2}=f\left(x\right);g\left(x\right)=\dfrac{a^{-x}-a^x}{2}=-g\left(x\right)\)

Vậy \(f\left(x\right)\) là hàm số chẵn, \(g\left(x\right)\) làm hàm số lẻ

b) Ta có :

\(f\left(x\right)=\dfrac{a^x+a^{-x}}{2}\ge\sqrt{a^xa^{-x}}=1,\forall x\in\mathbb{R}\)

và :

\(f\left(0\right)=\dfrac{a^0+a^0}{2}=1\)

Vậy :

\(minf\left(x\right)=f\left(0\right)=1\)

Bài 2.55 (Sách bài tập trang 134)

Giải các bất phương trình mũ sau :

a) \(\left(8,4\right)^{\dfrac{x-3}{x^2+1}}< 1\)

b) \(2^{\left|x-2\right|}\ge4^{\left|x+1\right|}\)

c) \(\dfrac{4^x-2^{x+1}+8}{2^{1-x}}< 8^x\)

d) \(\dfrac{1}{3^x+5}\le\dfrac{1}{3^{x+1}-1}\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.57 (Sách bài tập trang 134)

Giải các bất phương trình sau :

a) \(\left(2x-7\right)\ln\left(x+1\right)>0\)

b) \(\left(x-5\right)\left(\log x+1\right)< 0\)

c) \(2\log^3_2x+5\log^2_2x+\log_2x-2\ge0\)

d) \(\ln\left(3e^x-2\right)\le2x\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.43 (Sách bài tập trang 132)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :

a) \(y=x^{\sqrt{3}}\)

b) \(y=x^{\dfrac{1}{\pi}}\)

c) \(y=x^{-e}\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.52 (Sách bài tập trang 133)

Giải các phương trình sau :

a) \(\ln\left(4x+2\right)-\ln\left(x-1\right)=\ln x\)

b) \(\log_2\left(3x+1\right)\log_3x=2\log_2\left(3x+1\right)\)

c) \(2^{\log_3x^2}.5^{\log_3x}=400\)

d) \(\ln^3x-3\ln^2x-4\ln x+12=0\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+2>0\\x-1>0\\x>0\end{matrix}\right.\)

Hay là: \(x>1\)

Khi đó biến đổi pương trình như sau:

\(\ln\dfrac{4x+2}{x-1}=\ln x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x+2}{x-1}=x\)

\(\Leftrightarrow4x+2=x\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\\x_2=\dfrac{5-\sqrt{33}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\)

Bài 2.51 (Sách bài tập trang 133)

a) Giải phương trình :

                              \(7^{2x+1}-8.7^x+1=0\)

b) Giải phương trình :

                              \(3^{2x+1}-9.3^x+6=0\)

 

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(7^x=t\left(t>0\right)\)
Phương trình trở thành: \(7t^2-8t+1=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\).
Với \(t=1\)\(\Rightarrow7^x=1\)\(\Leftrightarrow x=0\).
Với \(t=\dfrac{1}{7}\Leftrightarrow7^x=7^{-1}\)\(\Leftrightarrow x=-1\).
b) Đặt \(3^x=t\left(t>0\right)\)
Phương trình trở thành: \(3t^2-9t+6=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=1\end{matrix}\right.\)
- Với \(t=2\) thì \(3^x=2\Leftrightarrow x=log^2_3\).
Với \(t=1\) thì \(3^x=1\Leftrightarrow x=0\).

Bài 2.56 (Sách bài tập trang 134)

Giải các bất phương trình lôgarit sau :

a) \(\dfrac{\ln x+2}{\ln x-1}< 0\)

b) \(\log^2_{0,2}x-\log_{0,2}x-6\le0\)

c) \(\log\left(x^2-x-2\right)< 2\log\left(3-x\right)\)

d) \(\ln\left|x-2\right|+\ln\left|x+4\right|\le3\ln2\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.46 (Sách bài tập trang 133)

Cho \(a+b=c\), với \(a>0,b>0\)

a) Chứng minh rằng \(a^m+b^m< c^m\), nếu \(m>1\)

b) Chứng minh rằng \(a^m+b^m>c^m\), nếu \(0< m< 1\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.50 (Sách bài tập trang 133)

Giải các phương trình sau :

a) \(9^x-3^x-6=0\)

b) \(e^{2x}-3e^x-4+12e^{-x}=0\)

c) \(3.4^x+\dfrac{1}{3}.9^{x+2}=6.4^{x+1}-\dfrac{1}{2}.9^{x+1}\)

d) \(2^{x^{ }-1}-3^{x^2}=3^{x^2-1}-2^{x^2+2}\)

Hướng dẫn giải

Hàm lũy thừa, mũ và loagrit

Bài 2.48 (Sách bài tập trang 133)

Vẽ đồ thị của các hàm số sau :

a) \(y=\log_3\left(x-1\right)\)

b) \(y=\log_{\dfrac{1}{3}}\left(x+1\right)\)

c) \(y=1+\log_3x\)

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị của hàm số \(y=\log_3\left(x-1\right)\) nhận được từ đồ thị của hàm số \(y=\log_3x\) bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 1 đơn vị

b) Đồ thị của hàm số \(y=\log_{\dfrac{1}{3}}\left(x+1\right)\) nhận được từ đồ thị của hàm số \(y=\log_{\dfrac{1}{3}}x\) bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên trái 1 đơn vị

c) Đồ thị của hàm số \(y=1+\log_3x\) nhận được từ đồ thị của hàm số \(y=\log_3x\) bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên trên 1 đơn vị

Bài 2.58 (Sách bài tập trang 134)

Tìm số tự nhiên n bé nhất sau cho :

a) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\le10^{-9}\)

b) \(3-\left(\dfrac{7}{5}\right)^n\le0\)

c) \(1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\ge0,97\)

d) \(\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^n\ge2\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\le10^{-9}\)\(\Leftrightarrow2^{-n}\le10^{-9}\)\(\Leftrightarrow-n\le log^{10^{-9}}_2\)\(\Leftrightarrow-n\le-9log^{10}_2\)\(\Leftrightarrow n\ge9log^{10}_2\)\(\Leftrightarrow n\ge30\).
Vậy \(n=30\).

 

b) \(3-\left(\dfrac{7}{5}\right)^n\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(\dfrac{7}{5}\right)^n\le-3\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{7}{5}\right)^n\ge3\)\(\Leftrightarrow n\ge log^3_{\dfrac{7}{5}}\)

\(\Rightarrow\)\(n\in\left\{4;5;6;7;...\right\}\Rightarrow n=4\)

c) \(1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\ge0,97\)

\(\Leftrightarrow-\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\ge-0,3\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\le0,3\)\(\Leftrightarrow n\ge log^{0,3}_{\dfrac{4}{5}}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{6;7;8;9...\right\}\Rightarrow n=6\)

d)\(\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^n\ge2\)

\(\Leftrightarrow1,05^n\ge2\)

\(\Rightarrow n\in\left\{15;16;17;18;...\right\}\Rightarrow n=15\)

Có thể bạn quan tâm