Tính các nguyên hàm sau : a) , đặt b) , đặt c) , đặt d) e) đặt g)

a) Đặt b) Đặt . Khi đó: c)

Bài 3.27 (Sách bài tập trang 185)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:14:16

Tính các nguyên hàm sau :

a) \(\int\left(2x-3\right)\sqrt{x-3}dx\), đặt \(u=\sqrt{x-3}\)

b) \(\int\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}dx\) , đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\)

c) \(\int\dfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx\), đặt \(u=e^{2x}+1\)

d) \(\int\dfrac{1}{\sin x-\sin a}dx\)

e) \(\int\sqrt{x}\sin\sqrt{x}dx,\) đặt \(t=\sqrt{x}\)

g) \(\int x\ln\dfrac{x}{1+x}dx\)

Đặt \(u=\sqrt{x-3}\Rightarrow x=u^2+3\)

\(I_1=\int (2x-3)\sqrt{x-3}dx=\int (2u^2+3)ud(u^2+3)=2\int (2u^2+3)u^2du\)

\(\Leftrightarrow I_1=4\int u^4du+6\int u^2du=\frac{4u^5}{5}+2u^3+c\)

\(I_2=\int \frac{xdx}{\sqrt{(x^2+1)^3}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{(x^2+1)^2}}\)

Đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\). Khi đó:

\(I_2=\frac{1}{2}\int \frac{d(u^2)}{u^3}=\int \frac{udu}{u^3}=\int \frac{du}{u^2}=\frac{-1}{u}+c\)

\(I_3=\int \frac{e^xdx}{e^x+e^{-x}}=\int \frac{e^{2x}dx}{e^{2x}+1}=\frac{1}{2}\int\frac{d(e^{2x}+1)}{e^{2x}+1}\)

\(\Leftrightarrow I_3=\frac{1}{3}\ln |e^{2x}+1|+c=\frac{1}{2}\ln|u|+c\)