Bài 2: Tích phân

Lý thuyết

Bài 2.14 (Sách bài tập trang 178)

Chứng minh rằng :

               \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\int\limits^1_0x^n\sin\pi xdx=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.19 (Sách bài tập trang 179)

Đặt \(I_{m,n}=\int\limits^1_0x^m\left(1-x\right)^ndx;m,n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

Chứng minh rằng :

                       \(I_{m,n}=\dfrac{n}{m+1}I_{m+1,n-1};m>0,n>1\)

Từ đó tính \(I_{1,2}\) và \(I_{1,3}\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.17 (Sách bài tập trang 179)

Giả sử hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\). Chứng minh rằng :

                         \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0f\left(\sin x\right)dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0f\left(\cos x\right)dx\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.13 (Sách bài tập trang 178)

Tính các tích phân sau đây :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(x+1\right)\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)dx\)

b) \(\int\limits^1_0\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\log_2\left(x+1\right)dx\)

c) \(\int\limits^1_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{x^2-1}{x^4+1}dx\) (đặt \(t=x+\dfrac{1}{x}\) )

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{\sin3xdx}{3+4\sin x-\cos2x}dx\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.12 (Sách bài tập trang 178)

Áp dụng phương pháp tính tích phân, hãy tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos2xdx\)

b) \(\int\limits^{\ln2}_0xe^{-2x}dx\)

c) \(\int\limits^1_0\ln\left(2x+1\right)dx\)

d) \(\int\limits^3_2\left|\ln\left(x-1\right)-\ln\left(x+1\right)\right|dx\)

e) \(\int\limits^2_{\dfrac{1}{2}}\left(1+x-\dfrac{1}{x}\right)e^{x+\dfrac{1}{x}}dx\)

g) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos x\sin^2xdx\)

h) \(\int\limits^1_0\dfrac{xe^x}{\left(1+x\right)^2}dx\)

i) \(\int\limits^e_1\dfrac{1+x\ln x}{x}e^xdx\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.20 (Sách bài tập trang 179)

Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin xdx+\int\limits^{\dfrac{3\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{2}}\sin xdx+\int\limits^{2\pi}_{\dfrac{3\pi}{2}}\sin xdx=0\)

b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt[3]{\sin x}-\sqrt[3]{\cos x}\right)dx=0\)

c) \(\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_{-\dfrac{1}{2}}\ln\dfrac{1-x}{1+x}dx=0\)

d) \(\int\limits^2_0\left(\dfrac{1}{1+x+x^2+x^3}+1\right)dx=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.18 (Sách bài tập trang 179)

Đặt \(I_n=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^nxdx;n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

a) Chứng minh rằng : \(I_n=\dfrac{n+1}{n}I_{n-2};n>2\)

b) Tính \(I_3\) và \(I_5\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(n>2\), ta có \(I_n=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^{n-1}x.\sin xdx\)

Bài 2.11 (Sách bài tập trang 177)

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :

a) \(\int\limits^2_1x\left(1-x\right)^5dx\) (đặt \(t=1-x\))

b) \(\int\limits^{\ln2}_0\sqrt{e^x-1}dx\) (đặt \(t=\sqrt{e^x-1}\))

c) \(\int\limits^9_1x\sqrt[3]{1-x}dx\) (đặt \(t=\sqrt[3]{1-x}\) )

d) \(\int\limits^1_{-1}\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx\) (đặt \(u=\sqrt{x^2+x+1}\))

e) \(\int\limits^2_1\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx\) (đặt \(t=\dfrac{1}{x}\) )

Hướng dẫn giải

Bài 2.15 (Sách bài tập trang 179)

Chứng minh rằng hàm số \(f\left(x\right)\) cho bởi :

                      \(f\left(x\right)=\int\limits^x_0\dfrac{t}{\sqrt{1+t^4}}dt;x\in\mathbb{R}\) là hàm số chẵn

Hướng dẫn giải

Bài 2.16 (Sách bài tập trang 179)

Giả sử hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[-a;a\right]\)

Chứng minh rằng :

                            \(\int\limits^a_{-a}f\left(x\right)dx=\left\{{}\begin{matrix}2\int\limits^a_0f\left(x\right)dx;nếuflàhàmchẵn\\0;nếuflàhàmlẻ\end{matrix}\right.\)

Áp dụng để tính \(\int\limits^2_{-2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.10 (Sách bài tập trang 177)

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^1_0\left(y^3+3y^2-2\right)dy\)

b) \(\int\limits^4_1\left(t+\dfrac{1}{\sqrt{t}}-\dfrac{1}{t^2}\right)dt\)

c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(2\cos x-\sin2x\right)dx\)

d) \(\int\limits^1_0\left(3^s-2^s\right)^2ds\)

e) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\cos3xdx+\int\limits^{\dfrac{3\pi}{2}}_0\cos3xdx+\int\limits^{\dfrac{5\pi}{2}}_{\dfrac{3\pi}{2}}\cos3xdx\)

g) \(\int\limits^3_0\left|x^2-x-2\right|dx\)

h) \(\int\limits^{\dfrac{5\pi}{4}}_{\pi}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1+\sin2x}}dx\)

i) \(\int\limits^4_0\dfrac{4x-1}{\sqrt{2x+1}+2}dx\)

Hướng dẫn giải