Bài 1: . Nguyên hàm

Lý thuyết

Bài 3.8 (Sách bài tập trang 172)

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số : \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{1+\sin x}?\)

a) \(F\left(x\right)=1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

b) \(G\left(x\right)=2\tan\dfrac{x}{2}\)

c) \(H\left(x\right)=\ln\left(1+\sin x\right)\)

d) \(K\left(x\right)=2\left(1-\dfrac{1}{1+\tan\dfrac{x}{2}}\right)\)

Hướng dẫn giải

Để kiểm tra một hàm F(x) có phải là một nguyên hàm của f(x) không thì ta chỉ cần kiểm tra F'(x) có bằng f(x) không?

a) \(F\left(x\right)\) là hằng số nên \(F'\left(x\right)=0\ne f\left(x\right)\)

b) \(G'\left(x\right)=2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\)

c) \(H'\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\)

d) \(K'\left(x\right)=-2.\dfrac{-\left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}\right)}{\left(1+\tan\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}}{\left(\dfrac{\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{1+2\cos\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{x}{2}}\)

\(=\dfrac{1}{1+\sin x}\)

Vậy hàm số K(x) là một nguyên hàm của f(x).

Bài 3.1 (Sách bài tập trang 170)

Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp số sau :

a) \(f\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\) và \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

b) \(f\left(x\right)=e^{\sin x}\cos x\) và \(g\left(x\right)=e^{\sin x}\)

c) \(f\left(x\right)=\sin^2\dfrac{1}{x}\) và \(g\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}\sin\dfrac{2}{x}\)

d) \(f\left(x\right)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\) và \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+2}\)

e) \(f\left(x\right)=x^2e^{\dfrac{1}{x}}\) và \(g\left(x\right)=\left(2x-2\right)e^{\dfrac{1}{x}}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.6 (Sách bài tập trang 172)

Tính các  nguyên hàm sau :

a) \(\int x\left(3-x\right)^5dx\)

b) \(\int\left(2^x-3^x\right)^2dx\)

c) \(\int x\sqrt{2-5x}dx\)

d) \(\int\dfrac{\ln\left(\cos x\right)}{\cos^2x}dx\)

e) \(\int\dfrac{x}{\sin^2x}dx\)

\(\int\dfrac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx\)

h) \(\int\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx\)

i) \(\int\sin3x\cos2xdx\)

k) \(\int\dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}dx\)

l) \(\int\dfrac{\sin x\cos x}{\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}}dx\) (\(a^2\ne b^2\))

Hướng dẫn giải

Bài 3.4 (Sách bài tập trang 171)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số :

a) \(\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}dx\) với \(x>-1\) (đặt \(t=1+x^3\))

b) \(\int xe^{-x^2}dx\) (đặt \(t=x^2\))

c) \(\int\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^2}dx\) (đặt \(t=1+x^2\))

d) \(\int\dfrac{1}{\left(1-x\right)\sqrt{x}}dx\) (đặt \(t=\sqrt{x}\))

e) \(\int\sin\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x^2}dx\) (đặt \(t=\dfrac{1}{x}\))

g) \(\int\dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}dx\) (đặt \(t=\ln x\))

h) \(\int\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^2x}}dx\) (đặt \(t=\cos x\) )

i) \(\int\cos x\sin^3xdx\) (đặt \(t=\sin x\))

k) \(\int\dfrac{1}{e^x-e^{-x}}dx\) (đặt \(t=e^x\) )

l) \(\int\dfrac{\cos x+\sin x}{\sqrt{\sin x-\cos x}}dx\) (đặt \(t=\sin x-\cos x\))

Hướng dẫn giải

Bài 3.5 (Sách bài tập trang 171)

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính :

a) \(\int\left(1-2x\right)e^xdx\)

b) \(\int xe^{-x}dx\)

c) \(\int x\ln\left(1-x\right)dx\)

d) \(\int x\sin^2xdx\)

e) \(\int\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx\)

g) \(\int\sqrt{x}\ln^2xdx\)

h) \(\int x\ln\dfrac{1+x}{1-x}dx\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.2 (Sách bài tập trang 170)

Chứng minh rằng các hàm số \(F\left(x\right)\) và \(G\left(x\right)\) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số :

a) \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+6x+1}{2x-3}\) và \(G\left(x\right)=\dfrac{x^2+10}{2x-3}\)

b) \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin^2x}\) và \(G\left(x\right)=10+\cot^2x\)

c) \(F\left(x\right)=5+2\sin^2x\) và \(G\left(x\right)=1-\cos2x\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.7 (Sách bài tập trang 172)

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính :

a) \(\int\sin^4xdx\)

b) \(\int\dfrac{1}{\sin^3x}dx\)

c) \(\int\sin^3x\cos^4xdx\)

d) \(\int\sin^4x\cos^4xdx\)

e) \(\int\dfrac{1}{\cos x\sin^2x}dx\)

g) \(\int\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}dx\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sin^4x=\left(\sin^2x\right)^2=\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos2x+\cos^22x\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2.\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}\right)\)

\(=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\)

Vậy:

\(\int\sin^4x\text{dx}=\int\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\right)\text{dx}\)

\(=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{32}\sin4x+C\)

Bài 3.3 (Sách bài tập trang 171)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=\left(x-9\right)^4\)

b) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(2-x\right)^2}\)

c) \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

d) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\)

e) \(f\left(x\right)=\dfrac{1-\cos2x}{\cos^2x}\)

g) \(f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\)

Hướng dẫn giải