Bài 3: Ôn tập chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Lý thuyết

Bài 5 (SGK trang 50)

Cho tứ diện ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD)

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH

Hướng dẫn giải

a,+) Từ A vẽ AH _|_ (BCD) (theo giả thiết AB = AC = AD)

Nên \(\Delta ABH=\Delta ACH=\Delta ADH\)

=> HB = HC = HD

Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

+) Ta có: \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}\) với \(BH=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{3a^2}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

b, Ta có: \(H=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};r=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Diện tích xung quanh hình trụ là:

\(S_{xq}=2\pi rh=2\pi.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\pi\pi^2\sqrt{2}}{3}\)

Thể tích khối trụ là:

\(V=\pi r^2h=\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{9}\)

Bài 7 (SGK trang 50)

Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'

a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ đó ?

b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho ?

Hướng dẫn giải

a, Diện tích của mặt cầu là: \(S_c=4\pi r^2\)

Diện tích xung quanh của mặt trụ là: \(S_t=2\pi rh=4\pi r^2\)

Vậy S_c = S_t

b, Thể tích của khối trụ là: \(V_t=\pi r^2h=2\pi r^2\)

Thể tích của khối cầu là: \(V_c=\dfrac{4}{3}\pi r^2\)

Vậy \(V_t=\dfrac{3}{2}V_c\)

Bài 2 (SGK trang 50)

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a, tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB ?

Hướng dẫn giải

Bài 1 (SGK trang 50)

Cho 3 điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và cho biết \(\widehat{ACB}=90^0\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào là đúng ?

a) Đường tròn qua 3 điểm A, B, C nằm trên mặt cầu

b) AB là một đường kính của mặt cầu đã cho

c) AB không phải là đường kính của mặt cầu

d) AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC)

Hướng dẫn giải

Bài 3 (SGK trang 50)

Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu ?

Hướng dẫn giải

Giải

Giả sử ta có hình chóp S.ABCD, có các cạnh bên SA = SB = SC = SD = ..., kẻ SH ⊥ (ABCD), ta chứng minh được △SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △... suy ra HA = HB = HC = HD = ... Đáy ABCD...., của hình chóp nội tiếp trong một đường tròn và chân H của đường cao SH là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dễ thấy, mọi điểm nằm trên đường cao SH đều cách đều các đỉnh A, B, C, D của đáy. Trong tam giác SAH chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh SA, đường này cắt SH ở điểm I. Dễ thấy: IS = IA = IB = IC = ID = ... hay điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó I là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.

Bài 4 (SGK trang 50)

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh ABm BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều ?

Hướng dẫn giải

Gọi M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA, các điểm D, E, F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB, BC, CA.

Ta có: AD = AF $=>\; AB\; =\; AC$

BD = BE$=>$ BC = AB

$=>$ AB = BC = CA

$=>$ \(\Delta ABC\) là tam giác đều (1)

Ta lại có AM = AD; BN = BD = AD

và SM = SN = SP

$=>$ SM + AM = SN + NB

$=>$ SA = SB

Chứng minh tương tự ta có: SA = SB = SC.

Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S, ta có:

\(\Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHC\) =>$\Rightarrow$ HA = HB = HC

$=>$ H là tâm của tam giác đều ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.

Bài 6 (SGK trang 50)

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên  \(\Delta\) lấy điểm S sao cho \(OS=\dfrac{a}{2}\). Xác định tâm và bán kính cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó ?

Hướng dẫn giải

Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABCD)

Khi đó d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi H là trung điểm của cạnh SA

Trong mặt phẳng (SAO) đường trung trực của đoạn SA cắt đường thẳng SO tại I , ta có: \(\Delta SAO\) đòng dạng \(\Delta SIH\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SO}=\dfrac{SI}{SH}\Leftrightarrow SI=\dfrac{SA.SH}{SO}=\dfrac{SA^2}{2SO}\)

Mà \(SA^2=SO^2+OA^2=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{3a^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Khi đó \(SI=\dfrac{3a^2}{\dfrac{4}{2.\dfrac{a}{2}}}=\dfrac{3a}{4}\)

Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}IS=IA\\IA=IB=IC=ID\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow IS=IA=IB=IC=ID=\dfrac{3a}{4}\)

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính \(R=SI=\dfrac{3a}{4}\)

Diện tích mặt cầu là: \(S=4\pi R^2=4\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{4}\)

Thể tích khối cầu là: \(V=\dfrac{4}{3}\pi R^2=\dfrac{4}{3}\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{16}\)