Đề thi HSG Môn toán lớp 9 tỉnh thanh hoá

PHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO ẠHUY TRI THI CH SINH GI HUY NỀ ỆNĂM 2016 2017ỌMÔN: TOÁN Th gian: 150 phút (Không th gian phát )ờ ề(Đ 01 trang)ề ồBài 1: (4,0 đi m)ểa) So sánh: 12617 và 99 b) Ch ng minh: ứ1 1.... 101 99 100+ .c) Cho 11 ...2 2013 2014 2015S= và 1...1008 1009 1010 2014 2015P= Tính ()2016S P- .Bài 2: (4,0 đi m)ểa) nguyên chia cho 42 có là Tìm r.ộ ốb) Tìm nhiên ựab sao cho 23( )ab b= +Bài 3: (6,0 đi m)ểa) Cho x; y; và 0. Tính giá tr bi th ứ1 1z yBx zæ öæ ö= +ç ÷ç ÷è øè øb) Cho 34 2x z- -= Ch ng minh ng: ằ2 4x z= =c) Cho bi th ứ52xMx-=- Tìm nguyên có giá tr nh nh t.ể ấBài 4: (3,0 đi m)ể Cho ·060xAy= tia phân giác Az góc đó. đi trên tia Ax vẽ ẽđ ng th ng song song Ay Az C. BH ườ Ay H, CM Ay M, BK AC K.ạCh ng minh:ứa) KC KA b) BH 2ACc) ΔKMC u.ềBài 5: (3,0 đi m)ể Cho DABC có µµ2.B C= 90 0. AH vuông góc BC H. Trên tia AB yẽ ấđi sao cho AD HC. Ch ng minh ng ng th ng DH đi qua trung đi đo th ngể ườ ẳAC.Ghi chú: sinh không ng các lo máy tính.ọ ượ ạH và tên thí sinh:.............................................................SBD:............ọH tên và ch ký giám th 1:......................................................................ọ ịH tên và ch ký giám th 2:......................................................................ọ chính th cề ứH NG CH THI HSG HUY TOÁN NĂM 2015 2016ƯỚ ỌCâu dungộ ĐiểmBài1: (4,0 đim)ểa) So sánh: 12617 và 99 1,0đTa có: 17 16; 26 25> => 12617 >16 25 10+ 0,5đMà 10 100 99>V y: ậ12617 99 0,5đb) Ch ng minh: ứ1 1.... 101 99 100+ 1,0đTa có: 1; ;...;1 100 100 100 99 100> 0,5đSuy ra: 1.... 100. 101 100 100+ y: ậ101001....312111 0,5đc) Cho1 11 ...2 2013 2014 2015S= và1 1...1008 1009 1010 2014 2015P= +. Tính ()2016S P- 2,0đTa có: 1...1008 1009 1010 2014 2015P= +1 11 ... ...2 1006 1007 1008 2014 2015æ ö= +ç ÷è ø1 11 ...2 1006 1007æ ö- +ç ÷è ø0,5đ1 11 ... ...2 1006 1007 1008 2014 2015æ ö= +ç ÷è ø1 12 ...2 2012 2014æ ö- +ç ÷è ø1,0đ1 11 ......2 2013 2014 2015= += S.Do đó ()2016S P- 0,5đBài 2: (4,0 đim)ểa) nguyên chia cho 42 có là là Tìm r.ộ 2,0đVì chia cho 42 có là rố nên: 42k (0 42, k, nhiên)ựHay 2.3.7k r. 0,5đVì là nguyên nên không chia cho 2; 3; ế=> là không chia cho 2; 3; và 42ợ 1,0đH sinh ch ra 25ọ ượV 25ậ 0,5đb)Tìm nhiên ựab sao cho 23( )ab b= 2,0đTa có: (a b) 2ab là chính ph ng nên là chính ph ng.ố ươ ươĐ xặ (x *N 0,5đSuy ra: 23( )ab b= => ab 100 và ab => 100 => => 3; vì *N 1,0đ- => ế23( )ab b= 729 27 (2 7) => (nh n)ậ- => ế23( )ab b= 4096 64 (6 4) 1000=> (không th mãn)ỏV tìm là: ầab 27 0,5đBài 3: (6,0 đim)ểa) Cho x; y; và x–y–z 0. Tính giá tr bi th ứ1 1z yBx zæ öæ ö= +ç ÷ç ÷è øè 2,0đTa có: .z yBx zæ ö- +æ ö= =ç ÷ç ÷è øè 0,5đT => y; và 1,0đSuy ra: 1( 0)y xx zx z-=- 0,5đb) Cho 34 2x z- -= Ch ng minh ng: ằ2 4x z= 2,0đTa có: 4(3 3(2 2(4 )4 16 4x z- -= => 0,5đÁp ng tính ch dãy ng nhau ta có:ụ ằ4(3 3(2 2(4 4(3 3(2 2(4 )016 16 4x z- -= =+ 0,75đ=>4(3 )0 (1)16 3x yx y-= => => và 3(2 )0 49 4z zz x-= => => (2)T (1) và (2) suy ra: ừ2 4x z= 0,75đc) Cho bi th ứ52xMx-=- Tìm nguyên nh nh tể 2,0đTa có: 2) 31 2)2 2x xM xx x- -= ¹- 0,5đM nh nh 32x nh nh nh và ấ nh và (vì nguyên) 1,0đKhi đó GTNN là: ủ31 41 2- =-- khi 0,5đBài 4: (3,0 đim)ểa) Ch ng minh: KC KAứ 1,0đTa có ··yAz zAx= 30 (Az là tia phân giác ủ·xAy )Mà: ··yAz ACB= (Ay // BC, so le trong) ··zAx ACB ABC= ÞV cân Bạ 0,5đTrong tam giác cân ABC có BK là ng cao ng nh đáyườ ạ BK cũng là ng trung tuy ườ ABC KC KA 0,5đb) Ch ng minh: BH ứ2AC1,0đTa có: ··0 090 30ABH xAy= ABH vuông H).ạ 0,25đXét hai tam giác vuông ABH và BAK, có:AB: nh chung; ạ··0( 30 )zAx ABH= = ABH BAK BH AK 0,5đMà: AK =( )2 2AC ACcmt BHÞ 0,25đc) Ch ng minh: ứΔKMC uề 1,0đTa có: AMC vuông có MK là trung tuy ng nh huy ề KM AC/2 (1)Mà: AK KC AC/2 (2) (1) và (2) => KM KC => KMC cân (3)ạ 0,5đM khác: AMC có ···0 090 yAz=30 90 30 60AMC MCK= (4)T (3) và (4) AMC 0,5đBài 5: (3,0 đim)ể Ch ng minh ng ng th ng DH đi qua trung đi đo th ng ACứ ườ 3,0đTa có: µµµµ2.B C= => nên AC AB => HC HB 0,25đTrên đo th ng HC đi sao cho IH HB => AHI AHB=> AI AB và ···2.AIB ABC ACB= 0,5đM khác: ặ·····AIB ACB IAC IAC ACB= => =Do đó: IA IC HC hay AB HC AD 0,5đG là giao đi DH AC.ọ ớVì AD HC, AB IC nên BD HI HB => DBH cân BạDo đó: ····12BDH BHD ABC ACB= 1,0đSuy ra: ·····( )KHC ACB BHD KAH KHA= => (ph hai góc ng nhau)ụ ằSuy ra: KA KH KC hay là trung đi ACể ủV ng th ng DH đi qua trung đi đo th ng ACườ 0,75đGhi chú: cách gi khác đúng, lý lu phù ghi đi đa.ọ Đi bài thi làm tròn ch th phân th nh t.ể ượ