Chủ đề 1: Tìm cực trị của hàm số

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 12 tháng 3 2020 lúc 10:33:39

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x₀∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x₀ ) với mọi x ∈ (x₀ - h;x₀ + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f_(x) đạt cực đại tại x₀.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x₀ ) với mọi x ∈ (x₀ - h;x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f_(x) đạt cực tiểu tại x₀.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x₀ - h;x₀ + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x₀}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x₀ - h;x₀) và f'(x) <0 trên (x₀;x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h;x₀) và f'(x) >0 trên (x₀;x₀+ h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_CÑ (f_CT), còn điểm M(x₀;f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệux_i (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f''(x) và f''(x_i ) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(x_i )suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.