Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 71)

Trong mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C , D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên $\left(\alpha\right)$. Trên a, b, c lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' tùy ý

a) Hãy xác định giao điểm D' của đường thẳng d với mặt phẳng (A'B'C')

b) Chứng minh A'B'C'D' là hình bình hành

Hướng dẫn giải

a) Gọi O = AC ∩ BD; O' là trung điểm A'C' thì OO' // AA'

=> OO'// d // b mà O $\in$ BD $\subset$ mp (b;d)

=> OO' $\subset$ mp(b;d). Trong mp (b;d) ( mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song); d ∩ B'O' = D' là điểm cần tìm

b) Chứng minh mp(a;d) // mp( b;c) , mặt phẳng thứ 3 (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến song song : A'D' // B'C'. Chứng minh tương tự được A'B' // D'C'. Từ đó suy ra A'B'C'D' là hình bình hành

Bài 2 (SGK trang 71)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'

a) Chứng minh rằng AM song song với A'M'

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AB'C') với đường thẳng A'M

c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C') và (BA'C')

d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM'M)

Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB'C'

Hướng dẫn giải

a) Do MM' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' nên M'M//BB'//CC'. Vì vậy MM'//AA'.
Vì vậy tứ giác A'M'MA là hình bình hành. Suy ra: AM//A'M'.
b) Trong mp (AA'M'M), ta có: MA' ∩ AM' = K.
Do $K\in A'M$ và $A'M\in\left(AB'C'\right)$ nên K $\in$ (AB'C').

c) Có $O=AB'\cap A'B$ nên $O\in\left(AB'C'\right)\cap\left(BA'C'\right)$.
Suy ra: $d\equiv CO'$.

d) Trong (AB'C'): C'O ∩ AM' = G vì vậy G $\in$ ( AMM') . Mà O, M' lần lượt là trung điểm AB' và B'C' nên G là trọng tâm của tam giác AB'C'.

Bài 4 (SGK trang 71)

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi $A_1$ là trung điểm của cạnh SA và $A_2$ là trung điểm của đoạn $AA_1$. Gọi $\left(\alpha\right)$ và $\left(\beta\right)$ là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua $A_1,A_2$. Mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại $B_1;C_1;D_1$. Mặt phẳng $\left(\beta\right)$ cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại $B_2;C_2;D_2$. Chứng minh :

a) $B_1;C_1;D_1$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD

b) $B_1B_2=B_2B;C_1C_2=C_2C;D_1D_2=D_2D$

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD

Hướng dẫn giải

a) ( $\alpha$ ) // (ABCD) => ${A_{1}{B_{1}}^{}}^{}$ // AB => ${B_{1}}^{}$ là trung điểm của SB. Chứng minh tương tự với các điểm còn lại

b) Áp dụng định lí Ta-lét trong không gian:
$\dfrac{A_1A_2}{A_2A}=\dfrac{B_1B_2}{B_2B}=\dfrac{C_1C_2}{CC_2}=\dfrac{D_1D_2}{D_2D}$.
Do $A_1A_2=A_2A$ nên : $\dfrac{A_1A_2}{A_2A}=\dfrac{B_1B_2}{B_2B}=\dfrac{C_1C_2}{CC_2}=\dfrac{D_1D_2}{D_2D}=1$.
Nên $B_1B_2=B_2B;C_1C_2=CC_2=D_1D_2=D_2D$.

c) Có hai hình chóp cụt: $ABCD.{A_{1}{B_{1}{C_{1}{D_{1}; ABCD.{A_{2}{B_{2}{C_{2}{D_{2}}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}$

Bài 3 (SGK trang 71)

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau

b) Chứng minh rằng đường chéo AC' đi qua trọng tâm $G_1;G_2$ của hai tam giác BDA' và B'D'C

c) Chứng minh $G_1;G_2$ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau

d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA'C'C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A'IO) với hình hộp đã cho

Hướng dẫn giải

Lời giải:

a) Tứ giác DBB'D' là hình bình hành nên BD // B'D' . Vì vậy BD // (B'D'C) và BA' // CD' $\Rightarrow$ BA' // ( B'D'C).

Từ đó suy ra ( BDA') //B'D'C).

b) Gọi ${G_{1}}^{}$ , ${G_{2}}^{}$ là giao điểm của AC' với A'O và CO'.
Do $G_1=A'O\cap AI$ và A'O và AI là hai đường trung tuyến của tam giác nên $G_1$ là trọng tâm của tam giác A'AC.
Chứng minh tương tự $G_2$ là trọng tâm tam giác CAC'.
Suy ra $\dfrac{AG_1}{AO}=\dfrac{2}{3}$; $\dfrac{CG_2}{CO}=\dfrac{2}{3}$ nên đường chéo AC' đi qua trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C.

c) Do O và O' lần lượt là trung điểm của AC và A'C' nên $OC=A'O'$ và OC' // A'O'.
Vì vậy tứ giác OCO'A là hình bình hành và OA'//OC.
Từ đó ta chứng minh được $G_1$ lần lượt là trung điểm của $AG_1$ và $G_2$ là trung điểm của $G_1C'$.
Do đó: $AG_1=G_1G_2=G_2C$ (đpcm).
d) $\left(A'IO\right)=\left(AA'C'C\right)$. Nên thiết diện cần tìm là (AA'C'C).