Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12
Gửi bởi: Nguyễn Thị Ngọc Vào 15 tháng 5 2019 lúc 15:14:40
Câu hỏi
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\) trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 2 ; \, {5 \over 2}} \right].\)
b) \( f(x) = x^2\ln x\) trên đoạn \(\left[ {1; \, e} \right].\)
c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0; \, +∞).\)
d) \(f(x) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\displaystyle\left[ {0; \,{{3\pi } \over 2}} \right].\)
Hướng dẫn giải
a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 \) \(⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12\)
\(f’(x) = 0 ⇔ x =-1\) hoặc \(x=2\)
So sánh các giá trị:
\(f(-2) = -3\); \( f(-1) = 8\);
\(f(2) = -19\), \(\displaystyle f({5 \over 2}) = {{ - 33} \over 2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f( - 1) = 8 \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f(2) = - 19 \cr} \)
b) \(f(x) = x^2 \ln x \) \(⇒ f’(x)= 2x\ln x + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\) nên \(f(x)\) đồng biến.
Do đó:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(e) = {e^2} \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(1) = 0 \cr} \)
c) \(f(x)= xe^{-x}\) \(⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}\) nên:
\(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)\) và \(f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)\)
nên: \(\displaystyle \mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}.\)
Ngoài ra \(f(x)= xe^{-x} \ge 0, ∀ x ∈ [0, +∞)\) và \(f(0) = 0\) suy ra
\(\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)
d) \(f(x) = 2\sin x + \sin2 x \) \(⇒ f’(x)= 2\cos x + 2\cos 2x\)
\(f’(x) = 0 ⇔ \cos 2x = -\cos x \) \( ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π\)
\( \displaystyle ⇔ x \in \left\{ { - \pi + k2\pi ;{\pi \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\)
Trong khoảng \(\displaystyle\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\) , phương trình \(f’(x) = 0\) chỉ có hai nghiệm là \(\displaystyle {x_1} = {\pi \over 3};{x_2} = \pi \)
So sánh bốn giá trị: \(f(0) = 0\); \(\displaystyle f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) = - 2\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = - 2 \cr} \)
Update: 15 tháng 5 2019 lúc 15:14:40
Các câu hỏi cùng bài học
- Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12
- Bài 2 trang 145 SGK Giải tích 12
- Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 4 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 5 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 6 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 7 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 9 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 10 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 13 trang 148 SGK Giải tích 12
- Bài 14 trang 148 SGK Giải tích 12
- Bài 15 trang 148 SGK Giải tích 12
- Bài 16 trang 148 SGK Giải tích 12