Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12
Gửi bởi: Nguyễn Thị Ngọc Vào 15 tháng 5 2019 lúc 15:09:43
Câu hỏi
Cho hàm số : \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + 1.\)
a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = 0, \, x = 0, \, x = 1 \) và đồ thị (C) quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B (-2; -1)\) khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
2 = 1 + a + b + 1 \hfill \cr
- 1 = - 8 + 4a - 2b + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = - 1 \hfill \cr} \right.\)
b) Khi \(a = 1, \, b = -1\) ta có hàm số: \(y = {x^3} + {x^2} - x + 1.\)
- Tập xác định: \( (-∞; + ∞).\)
- Sự biến thiên: \(y' = 3{x^2} + 2x - 1.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = - 1
\end{array} \right..
\end{array}\)
Trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \(\displaystyle ({1 \over 3}; + \infty ) , \, \, y’>0 \) nên hàm số đồng biến
Trên khoảng \(\displaystyle ( - 1; \, {1 \over 3}), \, y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1;\;{y_{CD}} = 2.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(\displaystyle x = {1 \over 3},{y_{CT}} = {{22} \over {27}}\)
- Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 1\), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \( x ≈ -1, 84.\)
c) Trong khoảng \((0; 1)\) ta có \(y > 0.\)
Vì vậy, thể tích cần tìm là:
\(\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3} + {x^2} - x + 1} \right)}^2}dx} \\
= \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^6} + 2{x^5} - {x^4} + 3{x^2} - 2x + 1} \right)dx} \\
= \left. {\pi \left( {\dfrac{{{x^7}}}{7} + \dfrac{{{x^6}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} - {x^2} + x} \right)} \right|_0^1 \\ = \dfrac{{134\pi }}{{105}}.
\end{array}\)
Update: 15 tháng 5 2019 lúc 15:09:43
Các câu hỏi cùng bài học
- Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12
- Bài 2 trang 145 SGK Giải tích 12
- Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 4 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 5 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 6 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 7 trang 146 SGK Giải tích 12
- Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 9 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 10 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12
- Bài 13 trang 148 SGK Giải tích 12
- Bài 14 trang 148 SGK Giải tích 12
- Bài 15 trang 148 SGK Giải tích 12
- Bài 16 trang 148 SGK Giải tích 12