Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) Hệ số góc của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(k=y'\left(x_0\right)\)
• Phương trình tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\)
a. Tiếp tuyến tại điểm M(\(x_0;y_0\)).
• Tính \(y_0\Rightarrow y'\left(x_0\right)\) ⇒ PTTT.
Lưu ý.
∗ Nếu đề bài chỉ cho \(x_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và tính \(y_0=y'\left(x_0\right)\).
∗ Nếu đề chỉ cho \(y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và giải phương trình \(y_0=y'\left(x_0\right)\Rightarrow x_0\)
∗ Nếu đề chưa cho \(x_0;y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và lập phương trình tiếp tuyến theo x0.
b. Tiếp tuyến biết hệ số góc k.
• Gọi điểm tiếp xúc M(\(x_0;y_0\)); Tính \(y'\) ; Giải phương trình \(y'\left(x_0\right)=k\Rightarrow x_0;y_0\)⇒ Phương trình tiếp tuyến.
Lưu ý.
∗ Tiếp tuyến song song ∆ ⇒ kT T = k∆.
∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆ ⇒ kT T = − 1 k∆
2) Các dạng bài tập
Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1 :
Cho hàm số \(y=x^4-8x^2+m+1\) \(\left(C_m\right)\). Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) luôn cắt đồ thị \(\left(C_m\right)\) tại 3 điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.
Bài giải :
Ta có : \(y'=4x^3-16x\)
Vì \(x_0=1\Rightarrow y_0=m-6\)
\(y'\left(x_0\right)=-12\)
Phương trình tiếp tuyến d của \(\left(C_m\right)\)tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là :
\(y=-12\left(x-1\right)+m-6=-12x+m+6\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_m\right)\) với d là :
\(x^4-8x^2+m+1=-12x+m+6\Leftrightarrow x^4-8x^2+12x-5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1;x=-1\pm\sqrt{6}\)
Vậy d và \(\left(C_m\right)\) luôn cắt nhau tại 3 điểm phân biệt :
\(A\left(1;m-6\right);B\left(-1\pm\sqrt{6};m+18\right)\) (vì \(m-6\ne m+18\))
Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=-x^4-\frac{1}{2}x^2+6\left(C\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) biết :
a. \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{5}x-1\)
b.\(\Delta\) tạo với hai đường thẳng \(d_1:2x-y+2=0\)
\(d_2:x-2y+3=0\) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \(d_1,d_2\)
Bài giải
giải :Tập xác định : D = R
Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x\)
Hệ số góc của \(\Delta\) là \(k=y'\left(x_0\right)\)
a. Vì \(\Delta\perp d\) nên \(\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1\)
(Chú ý: \(-4x_0^3-x_0=-5\Leftrightarrow\left(-4x_0^3+4x\right)-\left(5x_0-5\right)=0\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)\left(4x_0^2+4x+5\right)=0\Leftrightarrow x_0=1\))
\(x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=-1-\frac{1}{2}+6=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)
Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là \(\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)
b. Phân giác của hai đường thẳng \(d_1;d_2\) là :
\(\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.\)
Từ giả thiết suy ra \(\Delta\) vuông góc với các đường phân giác của \(d_1;d_2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(\pm1\) ( \(\Delta\) không đi qua giao điểm của \(d_1;d_2\)
* Trường hợp 1 : Với k = 1 ta có \(-4x^3_0-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}\)
Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{101}{16}\)
* Trường hợp 2 : Với k = -1 ta có \(-4x^3_0-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}\)
Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{85}{16}\)
Dạng 2 : Tìm tọa độ điểm thỏa mãn tính chất của tiếp tuyến và số tiếp tuyến
Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=\frac{2x}{x-1}\) có đồ thị (C). Tìm 2 điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời 3 điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O (O là gốc tọa độ)
Bài giải :
Gọi \(A\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);B\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\) (với \(a,b\ne0;a,b\ne1;a\ne b\))
Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyến tại A và B lần lượt là :
\(k_1=-\frac{2}{\left(a-1\right)^2};k_2=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\)
Do các đường tiếp tuyến song song nên :
\(-\frac{2}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\Leftrightarrow a+b=2\)
Mặt khác, ta có : \(\overrightarrow{OA}=\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);\overrightarrow{OB}=\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\)
Do OAB là tam giác vuông tại O nên \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\)
Ta có hệ \(\begin{cases}a+b=2\\ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(\begin{cases}a=-1\\b=3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=3\\b=-1\end{cases}\)
Vậy 2 điểm cần tìm có tọa độ là : (-1;1) và (3;3)
Ví dụ 2 : Tìm tất cả những điểm nằm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ tới đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2-1\) đúng 3 tiếp tuyến
Bài giải
Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\)
Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)
d là tiếp tuyến suy ra hệ : \(\begin{cases}x^4-2x^2-1=kx+m\\4x^3-4x=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(-x^4-2x^2-1=4x^4-4x^2+m\Leftrightarrow5x^4-2x^2+1+m=0\) (*)
Để từ M ta có thể kẻ đến đồ thị đúng 3 tiếp tuyến suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)
Khi đó (*) có 3 nghiệm \(x=0;x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\)
Vậy 3 tiếp tuyến đó là :
\(y=-1;y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}x-1\)
TÀI LIỆU ĐỌC THÊM
Các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài tập
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
