Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. Hệ tọa độ, tọa độ của một điểm, tọa độ của một vec tơ

1. Hệ tọa độ:

Ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các trục đó lần lượt lấy các vec tơ đơn vị \(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\) . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Oxyz.

Ta có: \(\begin{cases}\overrightarrow{i}^2=\overrightarrow{j}^2=\overrightarrow{k}^2=1\\\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=0\end{cases}\)

2. Tọa độ của một điểm:

Với một điểm M bất kì, nối OM ta được vec tơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{OM}\) có thể biểu diễn bởi:

\(\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\)

Khi đó bộ ba số (x ; y ; z) được gọi là tọa độ của điểm M trong không gian.

3. Tọa độ của vec tơ

Một vec tơ \(\overrightarrow{v}\) trong không gian luôn biểu diễn được thành tổng của ba thành phần \(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\) như sau:

\(\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}\)

Khi đó bộ ba (a ; b ; c) được gọi là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{v}\).

Chú ý:

- Ta có thể dời vec tơ \(\overrightarrow{v}\) sao cho điểm đầu trùng với gốc O của hệ tọa độ (\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{v}\), khi đó tọa độ của điểm cuối M chính là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{v}\) (xem hình vẽ dưới)

- Tọa độ của điểm N bất kì cũng chính là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{ON}\)

II. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vec tơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)\), khi đó:

• Hai vectơ bằng nhau :

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=b_1\\a_2=b_2\\a_3=b_3\end{cases}\)

• Các phép toán vectơ :

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\right)\)

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3\right)\)

\(k\overrightarrow{a}=\left(ka_1;ka_2;ka_3\right)\)

• Vec tơ \(\overrightarrow{0}\) có tọa độ là (0 ; 0 ; 0).

• Với \(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\) thì nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\) , hay là:

\(\begin{cases}a_1=k.b_1\\a_2=k.b_2\\a_3=k.b_3\end{cases}\)

• Với 2 điểm bất kỳ \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) thì vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BA}\) sẽ có tọa độ như sau:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)\)

\(\overrightarrow{BA}=\left(x_A-x_B;y_A-y_B;z_A-z_B\right)\)

• Với 2 điểm bất kỳ \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) thì tọa độ trung điểm M của AB là:

\(\begin{cases}x_M=\frac{1}{2}\left(x_A+x_B\right)\\y_M=\frac{1}{2}\left(y_A+y_B\right)\\z_M=\frac{1}{2}\left(z_A+z_B\right)\end{cases}\)

• Với 3 điểm bất kỳ \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\), \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) và \(C\left(x_C;y_C;z_C\right)\) thì tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

\(\begin{cases}x_G=\frac{1}{3}\left(x_A+x_B+x_C\right)\\y_G=\frac{1}{3}\left(y_A+y_B+y_C\right)\\z_G=\frac{1}{3}\left(z_A+z_B+z_C\right)\end{cases}\)

III. Tích vô hướng của hai vec tơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)\), khi đó:

• Tích vô hướng của hai vectơ là một số xác định bởi công thức sau:

\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

Ứng dụng:

• Hai vectơ vuông góc :\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\)

• Độ dài vectơ : \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a^2_2+a^3_3}\)

• Góc giữa hai vectơ : \(\cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\)

• Khoảng cách giữa hai điểm \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) là:

AB = \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}\)

IV. Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính r là tập các điểm M(x; y; z) cách I một khoảng r, khi đó x, y, z thỏa mãn:

\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=r^2\)

Chứng minh:

Vì \(IM=\left|\overrightarrow{IM}\right|=r\) nên:

\(\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2}=r\)

Bình phương hai vế ta được phương trình mặt cầu ở trên.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Hệ tọa độ trong không gian