Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 4: Ôn tập chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 3.31 (Sách bài tập trang 186)

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi :

a) \(y=x^{\dfrac{2}{3}};x=0\) và tiếp tuyến với đường \(y=x^{\dfrac{2}{3}}\) tại điểm có hoành độ \(x=1\), quanh trục Oy

b) \(y=\dfrac{1}{x}-1;y=0;y=2x\), quanh trục Ox

c) \(y=\left|2x-x^2\right|;y=0;x=3\) quanh : Trục Ox

                                                                   Trục Oy

Hướng dẫn giải

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 3.29 (Sách bài tập trang 186)

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\cos2x.\cos^2xdx\)

b) \(\int\limits^1_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{e^x}{e^{2x}-1}dx\)

c) \(\int\limits^1_0\dfrac{x+2}{x^2+2x+1}\ln\left(x+1\right)dx\)

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{x\sin x+\left(x+1\right)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx\)

Hướng dẫn giải

a)

Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)

b)

\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)

Bài 3.30 (Sách bài tập trang 186)

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

a) \(y=x-1+\dfrac{\ln x}{x};y=x-1;x=e\)

b) \(y=x^3-x^2;y=\dfrac{1}{9}\left(x-1\right)\)

c) \(y=1-\sqrt{1-x^2};y=x^2\)

Hướng dẫn giải

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 3.27 (Sách bài tập trang 185)

Tính các nguyên hàm sau :

a) \(\int\left(2x-3\right)\sqrt{x-3}dx\), đặt \(u=\sqrt{x-3}\)

b) \(\int\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}dx\) , đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\)

c) \(\int\dfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx\), đặt \(u=e^{2x}+1\)

d) \(\int\dfrac{1}{\sin x-\sin a}dx\)

e) \(\int\sqrt{x}\sin\sqrt{x}dx,\) đặt \(t=\sqrt{x}\)

g) \(\int x\ln\dfrac{x}{1+x}dx\)

Hướng dẫn giải

a)

Đặt \(u=\sqrt{x-3}\Rightarrow x=u^2+3\)

\(I_1=\int (2x-3)\sqrt{x-3}dx=\int (2u^2+3)ud(u^2+3)=2\int (2u^2+3)u^2du\)

\(\Leftrightarrow I_1=4\int u^4du+6\int u^2du=\frac{4u^5}{5}+2u^3+c\)

b)

\(I_2=\int \frac{xdx}{\sqrt{(x^2+1)^3}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{(x^2+1)^2}}\)

Đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\). Khi đó:

\(I_2=\frac{1}{2}\int \frac{d(u^2)}{u^3}=\int \frac{udu}{u^3}=\int \frac{du}{u^2}=\frac{-1}{u}+c\)

c)

\(I_3=\int \frac{e^xdx}{e^x+e^{-x}}=\int \frac{e^{2x}dx}{e^{2x}+1}=\frac{1}{2}\int\frac{d(e^{2x}+1)}{e^{2x}+1}\)

\(\Leftrightarrow I_3=\frac{1}{3}\ln |e^{2x}+1|+c=\frac{1}{2}\ln|u|+c\)

Bài 3.32 (Sách bài tập trang 187)

Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau :

a) \(\int\limits^1_0x^n\left(1-x\right)^mdx=\int\limits^1_0x^m\left(1-x\right)^ndx;m,n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

b) \(\int\limits^1_{-1}\dfrac{t^2}{e^t+1}dx=\int\limits^1_0t^2dt\)

c) \(\int\limits^1_0\sin^3x\cos xdx=\int\limits^1_0t^3dt\)

Hướng dẫn giải

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 3.28 (Sách bài tập trang 186)

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^1_0\left(y-1\right)^2\sqrt{y}dy\), đặt \(t=\sqrt{y}\)

b) \(\int\limits^2_1\left(x^2+1\right)\sqrt[3]{\left(z-1\right)^2}dz\), đặt \(u=\sqrt[3]{z-1}\)

c) \(\int\limits^e_1\dfrac{\sqrt{4+5\ln x}}{x}dx\)

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\cos^5\varphi-\sin^5\varphi\right)d\varphi\)

e) \(\int\limits^{\pi}_0\cos^3\alpha\cos3\alpha d\alpha\)

Hướng dẫn giải

Câu a)

Đặt \(y=\sqrt{t}\Rightarrow I_1=\int ^{1}_{0}(y-1)^2\sqrt{y}dy=\int ^{1}_{0}(t^2-1)^2td(t^2)\)

\(\Leftrightarrow I_1=2\int^{1}_{0}(t^2-1)^2t^2dt=2\int ^{1}_{0}(t^6-2t^4+t^2)dt\)

\(=2\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\left ( \frac{t^7}{7}-\frac{2t^5}{5}+\frac{t^3}{3} \right )=\frac{16}{105}\)

b) Đặt \(u=\sqrt[3]{z-1}\Rightarrow z=u^3+1\Rightarrow I_2=\int ^{1}_{0}[(u^3+1)^2+1]u^2d(u^3+1)\)

\(\Leftrightarrow I_2=3\int ^{1}_{0}[(u^3+1)^2+1]u^4du=3\int ^{1}_{0}(u^{10}+2u^7+2u^4)du\)

\(=3\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\left ( \frac{x^{11}}{11}+\frac{x^8}{4}+\frac{2x^5}{5} \right )=\frac{489}{220}\)

Có thể bạn quan tâm


Có thể bạn quan tâm