Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 6 (trang 79 SGK Đại Số 10): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.

ΔOAB vuông tại O, có OM là đường cao nên MA.MB = MO2 = 1 (hằng số)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

MA + MB ≥ 2√MA.MB

Suy ra tổng MA + MB = AB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA = MB

Khi đó: AB = 2MA = 2MO = 2

=> OA = OB = 2√2 (áp dụng định lí Pi-ta-go)

Vậy tọa độ là A(2√2, 0) và B(0, 2√2).