Chương 2 : Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu Ôn tập chương 2 Hình học 12

Bài 4 (trang 50 SGK Hình học 12): Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Lời giải:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA; I, J, K là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu.

a có: AM = AI và BM = BJ

Mà AM = BM nên AI = BJ

Mặt khác SI = SJ

Nên SI + AI = SJ + BJ

Vậy SA = SB (1)

Tương tự, ta có: SB = SC (2)

Từ (1) và (2) => SA = SB = SC (3)

Mặt khác BM = BN và CN = CP

Suy ra AB = 2BM = BC = 2CN = 2CP = CA

Khi đó ABC là tam giác đều (4)

Từ (3) và (4) suy ra S.ABC là hình chóp tam giác đều.