Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.
Bước 1: Tính y'=f'(x).
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
(1).
Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 - 4x1.x2=l2 (2).
Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.
Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Kiến thức cần nhớ
Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c
Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.
Hướng dẫn
Ta có f'(x) = x2 - 4mx + 2m
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3
+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔
Theo Vi ét ta có
+ Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0
Vậy giá trị của m cần tìm là m=
.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1
Hướng dẫn
Ta có f'(x)= -3x2 + 6x + m - 1
Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1
+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2
Theo Vi ét ta có
+ Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4
Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4
Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch biến (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1.
Hướng dẫn
Ta có y' = -4x3 + 2(m - 2)x
Để hàm số có khoảng nghịch biến (x1;x2) thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞)
Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng 1 hay x1 = -1
Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn)
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4
Được cập nhật: hôm kia lúc 15:04:53 | Lượt xem: 6200