Bước 1: Tìm y'
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≥ 0 ∀ x ∈ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≤ 0 ∀x ∈ K
Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)
Bước 4: Kết luận
m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥
m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤
Một số hàm số thường gặp
Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
⇒ f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
Với a > 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2
Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2
Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2
Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2
Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x1 hoặc α ≥ x2
Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y'= (ad - bc)/(cx + d)2
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad-bc>0 và -d/c ∉ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad - bc < 0 và -d/c ∉ K
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2+(1 - 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y' = x2 - 2mx + 1 - 2m
Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y' ≥ 0
⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x2 -2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)
⇔ ∀ x ∈(1; +∞),2m ≤ (x2 + 1)/(x + 1) (do x + 1 > 0 khi x > 1)
Xét hàm số f(x) = (x2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)
f'(x) = (x2 + 2x - 1)/(x + 1)2 >0 với mọi x
(1;+∞)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x - 1)/(x - m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)
Hướng dẫn
TXĐ: D=R\{m}.
Ta có y'= (-2m + 1)/(x - m)2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y' < 0 ∀ x ∈ (2; 3).
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là
Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3 ; 0)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y'= 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:
y' ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu '' = '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))
⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)
⇔ m ≥(2x-3)/(3x2 ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)
Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x3 ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3
Bảng biến thiên
Vậy m ≥
= -1/3.
Được cập nhật: hôm qua lúc 15:04:54 | Lượt xem: 11117
