Chủ đề 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 12 tháng 3 2020 lúc 10:37:38

Mục lục

* * * * *

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0.

y' = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'_y' = b² - 3ac

 Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

 Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b² - 3ac ≤ 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

 Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b² - 3ac > 0

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax³ + 2bx; y' = 0 ⇔

 (C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

 (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn

y' = 3x² + m.

Hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x³ - mx - 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 3(m - 2)x² - m.

Cho y' = 0 ⇔ 3(m - 2)x² - m = 0 (1).

+ TH1: Xét m = 2 ⇒ y' = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị.

+ TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi Δ'> 0 ⇔ m(m - 2) > 0 ⇔

Vậy m > 2 ∨ m < 0.

Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx⁴ - m² x² + 2016 có 3 điểm cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4mx³ - 2xm².

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi