Tuyển tập đề vào lớp 10 chuyên Toán - Lam Sơn Thanh Hóa
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp
TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN
VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
Thanh Hóa, Tháng 11 năm 2019
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Môn: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 06 tháng 6 năm 2019
Đề số 1
Câu I: (2,0) điểm
1. Chứng minh rằng:
1
1
1
44
+
+ ... +
=
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
2025 2024 + 2024 2025 45
1
2. Cho x là số thực âm thỏa mãn x 2 + 2 =
23 . Tính giá trị của biểu thức:
x
1
A
= x3 + 3
x
Câu II: (2,0 điểm)
1
1
1. Giải phương trình: +
2
=
x
2 − x2
x 2 + y − 2xy + x =
0
2. Giải hệ phương trình: 2
2
2
2
0
( x + y ) − 6 x y + 3 x =
Câu III: (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x 2 − xy − 5 x + 5 y + 2 =
0
2. Cho biểu thức: A =
(a
2020
+ b 2020 + c 2020 ) − ( a 2016 + b 2016 + c 2016 ) với a,b,c là các số nguyên
dương. Chứng minh rằng A chia hết cho 30.
Câu IV: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) có tâm là O . Các đường cao
cắt các cạnh
BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đường phân giác ngoài của BHC
AB, AC lần lượt tại M , N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác của
tại điểm I khác A, IM cắt BE tại điểm P và IN cắt CF tại điểm Q .
BAC
1. Chứng minh tam giác AMN cân tại A .
2. Chứng minh HPIQ là hình bình hành.
3. Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng HI và AO thuộc đường tròn ( O ) .
Câu V: (1,0 điểm)
3 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =
S=
( a 2 + 2 )( b2 + 2 )( c 2 + 2 )
---------------- Hết--------------Họ và tên thí sinh: .............................................
Số báo danh: ……………………
Chữ khú giám thị 1: ...............................................
Chữ ký giám thị 2: ………………..
3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 2
Câu I: (2,0) điểm
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Môn: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 06 tháng 6 năm 2019
1. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng:
a
b
c
+
+
=
1
ab + a + 1 bc + b + 1 ca + c + 1
0 . Hãy tính giá trị của biểu
2. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 2ab + bc + 2ca =
bc ca ab
thức: A =
.
+ +
8a 2 b 2 c 2
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 x2 + x + 1 + x2 − x + 1 =
3x .
1 1 9
x
+
y
+
+ =
x y 2
2. Giải hệ phương trình
xy + 1 + x + y =
5
xy y x
Câu III: (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: y 2 + y = x 4 + x3 + x 2 + x .
2. Cho hai số nguyên dương x, y với x > 1 và thỏa mãn điều kiện: 2x 2 − 1 =y15 . Chứng
minh rằng x chia hết cho 15.
Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) với AB < AC . Gọi
M là trung điểm của BC , AM cắt ( O ) tại điểm D khác A . Đường tròn ngoại tiếp tam giác
MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt
đường thẳng AB tại F khác B .
1. Chứng minh rằng hai tam giác BDF , CDE đồng dạng.
2. Chứng minh rằng ba điểm E , M , F thẳng hàng và OA ⊥ EF .
cắt EF tại điểm N . Đường phân giác của CEN
cắt CN
3. Đường phân giác của BAC
cắt BN tại Q . Chứng minh rằng PQ song song
tại P , đường phân giác của BFN
với BC .
Câu V: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt sao cho không có hai
đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi
ba đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là tam giác đẹp nếu nó không bị
đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam giác đẹp
không ít hơn 674.
---------------- Hết--------------Họ và tên thí sinh: .............................................
Số báo danh: ...............................
Chữ khú giám thị 1: ...............................................
Chữ ký giám thị 2: ..........................
4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2018-2019
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 3
Câu 1
1
1
1
1) Tính giá trị biểu thức P =
1 −
1 −
........ 1 −
1+ 2 1+ 2 + 3
1 + 2 + 3 + .... + 2018
a 3 − 3a 2 + 5a − 17 =
0
2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn biểu thức 3
2
0
b − 3b + 5b + 11 =
2
Chứng minh rằng a + b =
Câu 2
1) Giải phương trình : x 2 − x − 4= 2 (1 − x ) x − 1
1
1
1
x2 + y 2 =
2) Giải hệ phương trình :
2
2
1
x − 1 + y −=
xy + 2
Câu 3
1) Tính tất cả các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: x 2019 = y 2019 − y1346 − y 673 + 2
2) Cho n số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên k ta đặt S k =1k + 2k + ...... + n k
Chứng minh rằng S 2019 S1
Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC . Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao
kẻ từ A, B, C của tam giác, P là giao điểm các đường BC và EF . Đường thẳng qua D song
song với EF lần lượt cắt các cạnh AB, AC , CF tại Q, R, S
1) CMR: tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
PB DB
2) Chứng minh
với D là trung điểm QS
=
PC DC
3) Khi B, C cố định và A thay đổi thù chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác
PQR luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 Trong một giải đấu thể thao có n độ tham dự n ≥ 2 , luật đấu như sau: Hai đội bất kỳ
luôn đấu với nhau đúng 1 trận. Sau một trận, đội thắng được 2 điểm, đội thua 0 điểm và
hòa nhau cả hai đội được 1 điểm. Sau giải đấu các đội xếp hạng théo thứ tự từ cao xuống
thấp (bằng điểm xếp cùng hạng). Hỏi điểm chênh lệch lớn nhất có thể giữa các đội xếp thứ
hạng liền nhau là bao nhiêu ?
_________________Hết_______________
5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2018-2019
Môn thi: CHUYÊN TIN
Thời gian: 150 phút
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 4
Câu 1: (2,0 điểm)
2x − y
, biết x 2 − 2 y 2 =
xy và y ≠ 0, x + y ≠ 0
x+ y
1 1
B
+ .
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − x − 1, tính =
x15 x25
1. Tính giá trị biểu thức A =
Câu 2: (2,0 điểm)
2
2
−
(1 + x ) =
y
1. Giải hệ phương trình
2
(1 + y )2 =
−
x
0 có hai nghiệm
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình 2 x 2 − 2mx + m 2 − 2 =
x1 và x2 thỏa mãn 0 ≤ x1 ≤ x2 , khi đó xác định giá trị lớn nhất của x2.
Câu 3: (2,0 điểm)
35.
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9 x 2 + 6 x ( y − 1) + 3 y 2 + 2 y =
2. Tìm các số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn
9
a+b
= .
2
2
41
a +b
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên đường tròn (BC không đi qua O),
A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC là tam giác nhọn. Đường tròn tâm I nội
tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N. Gọi Q là điểm chính
giữa cung nhỏ BC của đường (O), P là giao điểm của AQ và BC, E là giao điểm của CI với
MN.
1. Chứng minh tam giác BIQ cân
2. Chứng minh bốn điểm B, I, M, E cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh AI. PQ = IP. IQ và tìm vị trí của A để tích AI. PQ đạt giá trị lớn nhất
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 2 z 2 + x 2 z + y =
3z 2 .
z4
M
=
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 + z 4 ( x4 + y 4 )
---------------- Hết--------------Họ và tên thí sinh: .............................................
Số báo danh: ...............................
Chữ ký giám thị 1: ...............................................
Chữ ký giám thị 2: ..........................
6
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Ngày thi :02 tháng 6 năm 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 5
Câu 1: ( 2 điểm )
x +2
x +2
x x +3
Với x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9
:
A = 1 −
−
+
x −2
x
x
x
3
5
6
−
−
+
x
+
1
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Câu 2 : ( 2 điểm )
a)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ; cho ba đường thẳng (d1) : y = -5(x + 1) ;
(d2) : y = 3x – 13 ; (d3) : y = mx + 3 ( Với m là tham số ) Tìm tọa độ giao điểm I của hai
đường (d1) và (d2) với giá trị nào của m thì đường thẳng (d3) đi qua điểm I ?
Cho biểu thức:
b) Giải hệ phương trình
x − 1 + 2 y + 2 = 5
3. y + 2 − x − 1 = 5
Câu 3 : ( 2 điểm )
a) Tìm m để phương trình (m – 1).x2 -2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và
x
x
5
x2 khác 0 thỏa mãn điều kiện 1 + 2 +
=0?
x 2 x1
2
b) Giải phương trình
x
x − 2 = 9 − 5x
Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) với tâm O có bán kính R đường kính AB cố định, M
là một điểm di động trên (O) .sao cho M không trùng với các điểm A và B .Lấy C là điểm
đối xứng với O qua A .Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N
đường thẳng BN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E .các đường thẳng BM và CN cắt
nhau tại F
a / Chứng minh ba điểm A; E ; F thẳng hàng và tứ giác MENF nội tiếp
b / Chứng minh : AM .AN = 2R2
c / Xác định vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để tam giác BNF có diện
tích nhỏ nhất
Câu 5 : ( 1 điểm ) Cho a; b ; c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh rằng
a2 + b2 − c2
b2 + c2 − a2
c2 + a2 − b2
+
+
>1
2ab
2bc
2ca
--------------------Hết-------------------Họ và tên thí sinh : ………………………………………..
SBD :……………………………
Giám thị coi thi thứ 1: ………………………….
Giám thị coi thi thứ 2 :…………….
7
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 6
Câu 1: (2,0 điểm)
1
1
1
+
+ ... +
.
1.2.3 2.3.4
2016.2017.2018
b/ Cho các số thức m, n, p, x, y, z thỏa mãn điều kiện:
x = ny + pz; y = mx + pz; z = mx + ny; x + y + z ≠ 0.
1
1
1
2.
+
+
=
Chứng minh rằng:
1+ m 1+ n 1+ p
A
a/ Tính tổng =
Câu 2: (2,0 điểm)
a/ Giải phương trình:
3
x3 + 5 x 2 − 1 =
5x2 − 2
.
6
x
2 y 2
1
+
=+
−3
b/ Giải hệ phương trình: y
x
x
y
3
0
x − xy − 9x + 12 =
Câu 3: (2,0 điểm)
a 5 a 4 7a 3 5a 2 a
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a thì biểu thức: A =
+ +
+
+
120 12 24 12 5
cũng là một số tự nhiên.
b) Tìm tất cả số nguyên (x, y) thỏa mãn: 5x 2 + 8y 2 =
20412.
Câu 4: (3, 0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính R cố định
và D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác. Gọi E và F lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp của tam giác ABD và ACD.
a) Chứng minh
AEO =
ADC và tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác OEF là tam giác cân.
c) Khi B, C cố định và A di động trên (O) (A ≡ B, A ≡ C), chứng minh tứ giác
AEOF có diện tích không đổi.
Câu 5: (1, 0 điểm)
Trong mặt phẳng có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường trong số các
đường thẳng đó cắt được đúng 2018 đường thẳng khác?
--------------------Hết--------------------
8
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 7
Câu I (2.0 điểm) Cho biểu thức A =
x + 1 3 − 11 x
2 x
(Với x ≥ 0; x ≠ 9 )
+
+
9− x
x +3
x −3
a/ Rút gọn A
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để A ≥ 0
Câu II (2.0 điểm)
a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): y = ( m 2 − 1) x + 2m (m là tham số) và
(d2): =
y 3 x + 4 . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau
0 (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để
b/ Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 =
phương trình đó có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn ( x12 − 2mx1 + 2m − 1) ( x2 − 2 ) ≤ 0
Câu III (2.0 điểm)
2 x + y 2 =
3
a/ Giải hệ phương trình
2
1
3 x − 2 y =
b/ Giải phương trình: x 2 + 4 x − 7 =
( x + 4)
x2 − 7
< 90o
< 90o , tia phân giác góc BCD
Câu IV (3.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD với BAD
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O (Khác C), kẻ đường thẳng (d) đi qua A và
vuông góc với CO. Đường thẳng (d) cắt đường thẳng CB, CD lần lượt tại M và N.
= ODC
a/ Chứng minh OBM
b/ Chứng minh ∆OBM = ∆ODC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN
c/ Gọi K là giao điểm của OC và BD, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng
minh rằng:
ND
IB2 – IK 2
=
MB
KD 2
Câu V (1.0 điểm): Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤
3
2
x ( yz + 1)
y ( zx + 1)
z ( xy + 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2
+ 2
+ 2
z ( zx + 1) x ( xy + 1) y ( yz + 1)
2
2
--------------------Hết--------------------
2
9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: TOÁN (CHUYÊN)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 8
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng:
1
2 1
+
1
3 2
b) Với a > 8/3, chứng minh rằng:
+ ... +
3
1
2016 2015
>
1931
1975
3a − 1 + a 8a − 3 + 3 3a − 1 − a 8a − 3 =
1
Câu 2: (2,0 điểm)
4x
5x
−3
+ 2
=
x + x + 3 x − 5x + 3 2
x8 y 8 + y 4 =
2x
(1)
b) Giải hệ phương trình
1 + x= x (1 + y ) xy ( 2 )
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình
2
a) Tìm nghiệm nguyên (x, y) của phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 8)(x + 9) = y2
b) Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn phương trình: 2016 x + 2017 x =
2018 x
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA = 2R, BC là đường kính quay
quanh O sao cho đường thẳng BC không đi qua A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
cắt OA tại I khác A. Các đường thẳng AB, AC cắt (O) lần lượt tại D và E. K là giao điểm
của DE và OA.
a/ Chứng minh bốn điểm K, E, C, I cùng thuộc một đường tròn
b) Tính độ dài AI theo R
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A
khi đường kính BC quay quanh (O)
Câu 5: (1, 0 điểm)
Một số tự nhiên được gọi là số thú vị nếu chữ số đó có 10 chữ số đôi một khác nhau
và là bội của 11111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị.
--------------------Hết--------------------
10
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 9
Câu 1: (2,0 điểm)
a
a
a +1
Cho biểu thức:=
+
M
(a > 0, a ≠ 4)
:
a −2 a−4 a +4
a−2 a
Rút gọn biểu thức M.
Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0.
Câu 2: (2,5 điểm)
3
3
2 x + y =
Giải hệ phương trình:
x − 2 =
5
y
Cho phương trình: x 2 + 2(m − 2) − m 2 =
0 , với m là tham số. Tìm m để phương trình có 2
nghiệm phân việt x1;x2 thỏa mãn x1 < x2 ;| x1 | − | x 2 |=
6
Câu 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình: 5 x3 +=
1 2( x 2 + 2)
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A và (C) là đường tròn tâm C bán kính CA. Lấy điểm D
thuộc đường tròn (C) và nằm trong tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho
1
BDM = ACD ; N là giao điểm của đường thẳng MD với đường cao AH của tam giác
2
ABC; E là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD với đường tròn (C). Chứng minh rằng:
MN song song với AE.
BD.BE = BA2 và tứ giác DHCE nội tiếp.
HA là đường phân giác của góc DHE và D là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
x
y
z
của biểu thức: S =
+
+
2
2
1 + y 1 + z 1 + x2
_______________Hết________________
11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 10
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Bài 1. a) Chứng minh 2 2 + 3 = 6 + 2
x 6 − 3 x5 + 3 x 4 − x3 + 2015
x 4 − x 3 − 3 x 2 − 3 x + 2015
Bài 2. a) Cho phương trình 2 x 2 + ( 2m − 1) x + m − 1 =0 , với m là tham số. Khi phương trình có
b) Cho x 2 − x − 1 =0 =. Tính P =
hai nghiệm x1 , x2 hãy viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào m.
x 2 + y 2 + x + y =
4
b) Giải hệ phương trình
2
x ( x + y ) + y ( y + 1) =
Bài 3. a) Tìm số nguyên dương bé nhất để F =n3 + 4n 2 − 20n − 48 chia hết cho 125
b) Cho dãy số tự nhiên 2; 6; 30; 210; ... được xác định như sau: số hạng thứ k bằng
tích của k số nguyên tố đầu tiên ( k = 1; 2;3;...) . Biết rằng có hai số hạng của dãy số đó có
hiệu bằng 30000. Tìm hai số hạng đó.
Bài 4. Cho nửa đường tròn có hai đường kính AB = 2R. Gọi C là một điểm trên nửa
đường tròn đó, D là hình chiếu của C trên AB. Tia phân giác của ACD cắt đường tròn
đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác của ABC tại H
a) Chứng minh AE song song với BH
b) Tia phân giác BAC cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai F, cắt CE tại I.
Tính diện tích tam giác FDI khi BAC = 600 .
c) Trên đoạn thẳng BH lấy điểm K sao cho HK = HD . Gọi J là giao điểm cuae AF và
BH. Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD và xác định vị trí của C để để
tổng khoảng cách tứ I, J, K đến đường thẳng AB lớn nhất.
Bài 5. Cho ba số thực x, y, x thỏa mãn xyz = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xy
yz
zx
T= 2
+ 2
+ 2
2
2
z x + z y x y + x z y z + y2 z
____________Hết____________
12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 11
Bài 1. Cho biểu thức: M =
1− x + 2 − x − 2 1− x +1
x −1− 2
(
x −1
)
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 2. a) Giải phương trình:
x 4
5x 2
8
4
+ 2 = - x -
9
3
x
3 x
x 2 + x - 1 = y
b) Giải hệ phương trình: y 2 + y - 1 = z
z 2 + z - 1 = x
Bài 3. a) Tìm số nguyên dương n sao cho n 6 + n 4 − n 3 + 1 là số chính phương
b) Cho các số 1; 2; 3; ...; 100. Viết một cách tùy ý 100 số đó nối tiếp nhau theo hàng
ngang ta được một số tự nhiên. Hỏi số tự nhiên đó có chia hết cho 2016 hay không?
Bài 4. Gọi BC là dây cung cố định có độ dài bằng R 3 của đường tròn tâm I, bán
nhọn. Gọi M là điểm đối xứng
kính R và A là điểm thay đổi trên đường tròn sao cho BAC
của B qua AC; N là điểm đối xứng của C qua AB; H là giao điểm của BM với CN. Các
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và ACN cắt nhau tại P khác A
và chứng minh 5 điểm B, H, I, C, P cùng thuộc một đường tròn.
a) Tính BAC
b) Chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng và hai tam giác ABH, APC đồng dạng.
c) Xác định vị trí của A để diện tích tam giác BPC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn
nhất đó theo R.
Bài 5. Trên một đường thẳng cho n điểm liên tiếp M1, M2 , M3 , ..., Mn (n ∈ Z, n ≥ 3) thỏa
M2 M=
M3 M=
...
= Mn −1Mn ≠ 0 . Một đoạn thẳng được gọi là "đẹp" nếu hai
mãn M1M=
2
3
4
đầu mút cùng với trung điểm của nó là ba trong số các điểm đã cho. Tìm n biết rằng
đường thẳng đó có tất cả 2209 đoạn thẳng "đẹp".
__________________Hết_________________
13
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 12
Câu 1: ( 2.0 điểm)
=
P
Cho biểu thức:
3 x + 16 x − 7
x +1
x −3
−
−
( Với x > 0)
x+2 x −3
x +3
x −1
1. Rút gọn biểu thức P
=
x 2 2 + 3.
2. Tính giá trị của biểu thức P khi
Câu 2: (2.0 điểm)
1. Cho phương trình: 2013x2 – (m – 2014)x – 2015, với m là tham số. Tìm m để phương
trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
2.Giải phương trình:
x12 + 2014 − x1 = x2 2 + 2014 + x2
1
1
+
=
3
2
(2 x + 1) (2 x + 2) 2
Câu 3: (2.0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 –x2y – xy2 = 5
Câu 4: (3.0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm thuộc cung AB (M ≠
A, M ≠ B) và I là điểm thuộc đoạn OA( I ≠ O, I ≠ A). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa
điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Qua M kẻ đường thẳng vuông
góc với IM, đường thẳng này cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi E là giao điểm của AM với
IC, F là giao điểm của BM với ID. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác MEIF là tứ giác nội tiếp
2. EF//AB
3. OM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM và DFM.
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 2014
y2
x2
z2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
+
+
y+z z+x x+ y
____________________Hết__________________
Họ và tên thí sinh:……………………………………………….Số báo danh: …………………
Chữ ký của giám thị 1: ………………… Chữ ký của giám thị 2: ………………………………
14
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 13
Câu 1(2.0 điểm) Tính giá trị của biểu thức:
S = 1+
1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
2
2
1 2
2 3
2013 20142
Câu 2(2.0 điểm):
1. Giải phương trình: (x + 1) 2 x − 2 x = 2x2 – 3x – 2
2
( xy − 2 y 2 ) ( x + 2 ) =
−6
2. Giải hệ phương trình:
−1
x( y + 1) =
Câu 3(2.0 điểm)
1. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+1)(p-1) chia hết cho 24.
2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 – 3xy – 3 = 0.
Câu 4 (3.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC ngoại tiếp đường tròn (O).
gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; I là giao điểm của BO với
EF, M là điểm di động trên đoạn CE.
1. Tính số đo góc BIF
2. Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O); P, Q lần lượt là hình chiếu của
N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài PQ lớn nhất.
Câu 5 (1.0 điểm) Trên bảng cho 2014 số tự nhiên từ 1 đến 2014. Thực hiện liên tiếp phép
biến đổi sau: Mỗi lần xoá đi hai số bất kỳ a, b có trên bảng rồi viết thêm số a + b bảng. Khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số thì dừng lại. Tìm số còn lại đó.
_____________________Hết____________________
1
ab vào
2
15
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 14
a
2
2
Bài 1: (2,0 điểm): Cho biểu thức C =
−
−
a − 16
a −4
a +4
1. Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
2. Tính giá trị của biểu thức C khi a= 9 + 4 5 .
Bài 2: (2,0 điểm):
2
( m − 1) x + y =
Cho hệ phương trình
(với m là tham số)
mx + y = m + 1
1.Giải hệ phương trình khi m = 2.
2. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn :
x + 2y ≤ 3
Bài 3: (2,0 điểm):
1) Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 2 cắt Parabol (P): y =
2x2 tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.
A = x12 x2 2 + 3 ( x12 + x2 2 ) − 4
3 x + 2y = 4 − x − 2y (1)
2) Giải hệ phương trình
3
2
(2)
2x + 6 + 2y =
Bài 4: (3,0 điểm): Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm bất kì trên đường
tròn (A khác B và C). Gọi AH là đường cao của ∆ABC, đường tròn tâm I đường kính AH
cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E.
1. Chứng minh rằng : góc DHE bằng 900 và AB. AD = AC . AE
2. Các tiếp tuyến của đường tròn (I) tại D và E cắt BC tương ứng tại G và F. Tính số
đo góc GIF
3. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất
Bài 5: (1,0 điểm): Cho ba số thực x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức
S=
(
xyz x + y + z + x 2 + y 2 + z 2
(x
2
+ y 2 + z 2 ) ( xy + yz + zx )
)
________________Hết______________
16
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN (chuyên tiếng Nga và Pháp)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 15
Câu 1: (2 điểm) :
3
+ 1−a :
+ 1
1+ a
1 − a2
Cho biểu thức: P =
3
a) Rút gọn A;
b) Tìm a sao cho P =
1
1 − a2
Câu 2: (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol y=x2 và đường thẳng y = mx - (m - 2)2
Với m là tham số .
1) Xác định m để đường thẳng và parabol có điểm chung.
2) Gọi hoành độ các điểm chung của đường thẳng và parabol là x1; x2 tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của biểu thức : Q = x1x2 + 2x1 + 2x2
Câu 3:(2 điểm)
Giải phương trình : (x2 + 3x + 3)2 +( x2 + 3x + 5)4 = 82
Câu 4 :(3 điểm )
Cho Tam giác đều ABC , Trên các cạnh BC; CA; AB lần lượt lấy các điểm
M,N,P Sao cho BM=CN=AP
1) Chứng minh:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác MNP trùng nhau.
2) Gọi I;J;K lần lượt là trung điểm của MN; BC; CA Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng
hàng
3) Khi M di đông trên đoạn BC và N di động trên đoạn CA Hãy xác định vị trí các
điểm M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5: (1 điểm)
Cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện :
x2013 + y2013 = 2x1006y1006
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = 1- xy
_________Hết_________
17
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠ
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN (chuyên toán)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 16
Câu 1: (2,0 điểm)
0. Tính a + b.
Cho (a – 1) và (1 – b) thỏa mãn phương trình x 3 + 2x − 2013 =
Câu 2: (2,0 điểm)
(
) ( 5x
2
1. Giải phương trình ( x − 2 ) x 2 + 6x − 11 =
2
− 10x + 1
)
2
1 1 1
3
x + y + z =
2. Giải hệ phương trình:
2 − 1 =
9
xy z 2
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức=
A 36 x − 5 y .
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho ∆ABC cân tại C có CD là đường trung tuyến. Gọi ( O1 ; R 1 ) là đường tròn
đường kính AD và ( O 2 ; R 2 ) là đường tròn đi qua A, tiếp xúc với CD tại C. Gọi E là giao
điểm thứ hai (khác A) của ( O1 ; R 1 ) với ( O 2 ; R 2 ) .
1. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đước được.
2. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm A, E, I thẳng hàng. Tính số đo
biết CD = 2AD
góc BCE
3. Gọi H là giao điểm của O1O 2 và AE . Chứng minh rằng:
O1 O 2
suy ra: E là trọng tâm của ∆ACD khi và chỉ khi =
OO
ID
= 1 2 , từ đó
IH R1 + R 2
3
( R1 + R 2 ) .
2
Câu 5: (1.0 điểm)
Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm hữu hạn điểm bất kì không cùng nằm trên
một đường thẳng. Xét tất cả các đường thẳng đi qua hai điểm bất kì của P. Chứng minh
rằng luôn có ít nhất một đường thẳng chỉ đi qua đúng hai điểm của P.
____________Hết___________
18
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠ
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN (chuyên tin)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 17
Bài 1: (2,0 điêm)
=
Tính giá trị biểu
thức: P
1 + 2x
1 + 1 + 2x
+
1 − 2x
1 − 1 − 2x
với x =
3
.
4
Bài 2: (2,0 điểm)
0 với m là tham số.
1. Cho phương trình mx 2 − ( m + 3 ) x + 2m + 1 =
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:
0.
( 2 + x1 − x2 )( 2 − x1 + x2 ) =
2
2. Giải phương trình: x +
25x 2
( x + 5)
2
=
11.
Bài 3: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu m là số nguyên và a là nghiệm nguyên của phương trình
4
x − 4x 3 + ( 3 + m ) x 2 − x + m =
0 thì a là một số chẵn.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thức tự đó thỏa mãn điều kiện AB < AC.
Trong nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC dựng các nữa đường tròn đường kính AC,
AB, BC có tâm lần lượt O,O1 ,O 2 . Đường thẳng qua B vuông góc với AC cắt nữa đường
tròn đường kính AC ở D. Các điểm E,F phân biệt lần lượt nằm trên các nữa đường tròn
đường kính AB và BC sao cho đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai nữa đường tròn
đó. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác AEFC nội tiếp trong một đường tròn
2. OD ⊥ EF
Bài 5: (1,0 điểm)
60. Tìm giá trị lớn
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 5x 2 + 4y 2 + 3z 2 + 2xyz =
nhất của biểu thức: P = x + y + z.
_______________Hết_______________
19
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm có 01 trang)
Đề số 18
KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn thi : TOÁN
(Môn chung cho tất cảc thí sinh)
Thời gian làm bà :120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 17 tháng 6 năm 2012
a +1
1
a −1
Câu 1(2.0 điểm ) : Cho biểu thức P =
, (Với a > 0 , a ạ 1)
−
+
a
4
a −1
a +1
2a a
2
1. Chứng minh rằng : P =
a −1
2. Tìm giá trị của a để P = a
Câu 2(2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đờng thẳng (d) :
y = 2x + 3
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2.0 điểm) : Cho phơng trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0
1. Giải phương trình khi m = 4
2. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 4(3.0 điểm) : Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) (
M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đờng tròn (I) đi qua M
và tiếp xúc với đờng thẳng AC tại C. CD là đờng kính của (I). Chứng minh rằng
1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng
2. Tam giác COD là tam giác cân
3. Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động
trên đờng tròn (O)
Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dơng không âm thoả mãn : a 2 + b 2 + c 2 =
3
Chứng minh rằng :
a
b
c
1
+ 2
+ 2
≤
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
2
------------------------ Hết ------------------------
20
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm có 01 trang)
KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn thi : TOÁN
(Chuyên Tin)
Thời gian làm bà :120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 18 tháng 6 năm 2012
Đề số 19
Câu 1: (2,0 điểm)
1
1
1
, b=
y + , c =+
xy
, với các số thực x, y thỏa mãn xy ≠ 0.
x
y
xy
2
2
2
Chứng minh A = a + b + c − abc không phụ thuộc vào x, y.
x+
Cho a =
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho phương trình x − (2m + 1) x + m + m − 6 =
0. Tìm các giá trị của m để
2
2
35.
phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 − x2 =
3
x + y − 3 x + 2 y =
−1
b) Giải hệ phương trình:
0
x + y + x − y =
3
.
Câu 3: (2,0 điểm)
3
2
3
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y =1 + x + x + x .
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AK là đường cao và H là trực tâm của tam giác.
Gọi I là trung điểm cạnh BC . Đường tròn đường kính BC và đường tròn đường
kính AI cắt nhau tại hai điểm phân biệt E và F . Chứng minh rằng:
.
a) KA là phân giác của EKF
b) Đường tròn đi qua ba điểm E , K , H tiếp xúc với đường tròn đường kính BC .
c) Ba điểm E , H , F thẳng hàng.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x + y =
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
=
P
x
y
.
+
1− x
1− y
--------- Hết---------
Họ và tên thí sinh: ..............................
Họ tên và chữ ký của giám thị 1
............................................................
Số báo danh: ............................
Họ tên và chữ ký của giám thị 2
...................................................
21
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 20
Câu 1: (2.0 điểm )
2
x 2 x
Cho biểu thức=
:P
(Với x > 0 )
+
x
: x + 2 x
2
+
x
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị của x để P = 3
Câu 2: (2.0 điểm )
3m
x + my =
2
mx − y = m − 2
Cho hệ phương trình:
1. Giải hệ phương trình với m = 3
2. Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất thỏa mãn x2 – x – y > 0
Câu 3: (2.0 điểm )
x2 −1 x + 1
x −1
Giải phương trình:
−
4
0
x 2 − 2 + 3 x − 2 =
x+2
2
2
Câu 4: . (3.0 điểm ) Cho ba điểm A; B; C phân biệt, thẳng hàng và theo thứ tự đó, sao cho: AB
≠ BC. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC dựng các hình vuông ABDE
và BCFK. Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng đi qua I và vuông góc với EF cắt đường
thẳng BD và AB lần lượt tại M và n. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác AEIN và EMDI là các tứ giác nội tiếp trong đường tròn.
2. ba điểm A; I; D thẳng hàngvà năm điểm B; N; E; N; F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Các đường thẳng AK, EF, CD đồng quy.
Câu 5: (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 9
x3
y3
z3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 2
+
+
x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2
__________________Hết_________________
22
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN (Chuyên Nga Pháp)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 21
Câu 1: (2.0 điểm )
x +2
x +3
x +2
x
Cho biểu thức=
:A
:
2
−
−
−
x −5 x +6 2− x
x − 3
x + 1
1/ Rút gọn biểu thức A.
1
5
2/ Tìm các giá trị của x để ≤ −
A
2
Câu 2 (2,0 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2
( a ≠ 0 ) và đường thẳng (d): y
= bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N
khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2.0 điểm)
0 (m là tham số). Tìm m để
1/ Cho phương trình: x − (2m + 1) x + m + m − 6 =
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
x − 1 + y − 1 =2
2/ Giải hệ phương trình: 1 1
1
x + y =
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến
AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc
với OP cắt đường thẳng OQ tại M.
1/ Chứng minh rằng: MO = MA
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N
cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
2
2
a) AB + AC − BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC
Câu 5 (1.0 điểm)
Cho x, y là các số thực dương thoả mãn :
1 2
+ =
2 . Chứng minh rằng :
x y
5 x 2 + y − 4 xy + y 2 ≥ 3
---------- Hết ----------
23
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 22
Câu 1: (2.0 điểm)
1
1
Cho 𝑎 = 𝑥 + , 𝑏 = 𝑦 + , 𝑐 = 𝑥𝑦 +
𝑥
𝑦
1
𝑥𝑦
, với các số thực x,y thỏa mãn xy ≠ 0.
Tính giá trị biểu thức A = a2 +b2 +c2 – abc.
Câu 2: (2.0 điểm)
Cho phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) = mx2 (m là tham số).
Giả sử m nhận các giá trị sao cho phương trình có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 đều khác 0.
Chứng minh rằng biểu thức
Câu 3: (2.0 điểm)
1
𝑥1
1
1
1
+𝑥 +𝑥 +𝑥
Tìm số nguyên dương n sao cho
2
𝑛(2𝑛−1)
26
3
4
không phụ thuộc m.
là số chính phương.
Câu 4: (3.0 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (I), (K) lần lượt là các đường
tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH. Đường thẳng KI cắt cạnh AB tại M và cạnh AC tại
N.
𝐼𝐻
𝐵𝐻
a) Chứng minh
=
.
𝐾𝐻
𝐴𝐻
b) Chứng minh rằng AM = AN.
2) Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trên cạnh AB (D ≠ A,B), trung tuyến AM cắt CD
� + 𝐷𝐸𝑀
� = 1800 thì BC < AC√2.
tại E. Chứng minh rằn nếu 𝐷𝐵𝑀
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho x,y là các số thực thay đổi thỏa mãn: �
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
𝑥 > 1, 𝑦 > 1
𝑥 + 𝑦 ≤ 4.
𝑥4
(𝑦−1)3
𝑦4
+ (x−1)3 .
...........................Hết...........................
Họ và tên thí sinh: .............................................
Họ tên và chữ ký của giám thị 1
Số báo danh:............................
Họ tên và chữ kí của giám thị 2
24
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn: TOÁN (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 23
Câu I (2,5 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Chứng minh rằng:
2 − x = 4 17 − 4 2 x 3 − 8 2 x
4
17 + 12 2 + 4 17 − 12 2
= 2
2
Câu II: (2 điểm) Giải phương trình:
(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) = 12x 2
Câu III (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: x 2 + x + 2 y 2 + y = 2 xy 2 + xy + 3
Câu IV : (3 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao
cho DE = BD + CE. Tia phân giác góc BDE cắt cạnh BC tại I. CMR :
a) Tam giác DIE vuông
b) Đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a + b = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =
19
6
+ 2
+ 2011(a 4 + b 4 )
2
ab a + b
____________Hết___________
25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 24
Câu 1: (2.0đ)
Cho biểu thức: A =
15 x − 11
+
3 x −2
−
2 x +3
x + 2 x − 3 1− x
x +3
1/ Rút gọn biểu thức (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1)
2
2/ Chứng minh A ≤
3
Câu 2: (2.0đ)
1
Cho parabol (P) y = x 2 và đường thẳng y = mx –m + 2 (m là tham số)
2
1/ Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4.
2, Chứng minh với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm.
Câu 3: (2.0đ)
2 3
12
x + y =
1, Giải hệ phương trình
5 + 2 =
19
x y
3x
=
6 2
2, Giải phương trình : x +
x2 − 9
Câu 4: (3.0đ)
Gọi C là điểm nằm trên đoạn thẳng AB. ( C ≠ A, C ≠ B). Trên nữa mặt phẳng bờ chứa
đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I ≠ A. Đường
thẳng vuộng góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đương kính CI cắt IK tại P.
1, CM:
a, Tg CPKB nội tiếp được trong một đường tròn.
b, ∆ APB vuông tại P.
2, A, I, B cố định . XĐ vị trí của C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) sao cho tg ABKI có
diện tích lớn nhất?
Câu 5: (1.0đ)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
ab
bc
ca
biết P =
+
+
ab + 2c
bc + 2a
ac + 2b
____________Hết___________
26
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 25
Câu 1: (2,0 điểm)
0.
1. Giải phơng trình: x + 3 x − 140 =
3
2. Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: P =
3
70 + 4901 + 3 70 − 4901 .
Câu 2: (2,5 điểm)
1. Cho parabol (P): y =
1 2
x và đờng thẳng (d): y = -1. Gọi M là một điểm bất kỳ
4
thuộc (P). Tìm trên trục tung tất cả các điểm sao cho khoảng cách từ M đến điểm đó bằng
khoảng cách từ M đến đờng thẳng (d).
2. Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b + c ≥ 16abc. Chỉ rõ
dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 3: (1,5 điểm)
1 10
10
1
−x+ y =
+ y+
x+ +
y
y
3
3
Giải hệ phơng trình sau (với x > 0, y < 0):
82
x2 + y 2 =
9
Câu4: (3,0 điểm)
Tam giác ABC có BAC = 105 , đờng trung tuyến BM và đờng phân giác trong CD
cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Gọi H là chân đờng cao hạ từ A của tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng: HA = HB.
0
2. Tính số đo các góc ABC và ACB .
Câu 5: (1,0 điểm)
Ký hiệu [x] là phần nguyên của số thực x. Tìm các số thực x thoả mãn:
8 x + 1 4 x − 1 16 x − 7
6 + 3 =
9 .
------------------------------- Hết -------------------------------
27
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN (Tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 26
Câu I: ( 2 điểm )
Cho biểu thức:
x
6
−
+
x x −4 x 3 x −6
A=
1
10 − x
x
−
+
:
2
x +2
x +2
1) Rút gọn biểu thức A
2). Tìm x sao cho A < 2
Câu II : ( 2 điểm ) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – 7x + 3 = 0
1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 -x2 và 2x2 -x1
2) Tính giá trị của biểu thức : B = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1
1
4
−
1
x + 2 y x − 2 y =
Câu III : ( 1,5 điểm ) Giải hệ phương trình:
20 + 3 =
1
x + 2 y x − 2 y
Câu IV : ( 3,5 điểm )
Cho hình vuông ABCD trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA . Đường thẳng đi
qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H
1) Chứng minh rằng : AE = ID
2) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F ( F ≠ A)
Chứng minh : DF.DA = EH . EB
Câu V : ( 1 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là : BC = a ; CA= b ; BA= c
Và chu vi bằng 2p . Chứng minh rằng :
p
p
p
+
+
≥9
p−a p−b p−c
.....Hết ....
Họ và tên thí sinh ....................................................................số báo danh: .......
chữ ký giám thị 1:
chữ ký giám thị 1
28
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 27
Câu 1: (2,0 điểm)
1
1. Cho số x ( x ∈ R; x > 0 ) thoả mãn điều kiện: x2 + 2 = 7
x
Tính giá trị các biểu thức: A = x3 +
2. Giải hệ phương trình:
1
1
và B = x5 + 5
3
x
x
1
1
+ 2− =
2
y
x
1
1
+ 2− =
2
x
y
2
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax + bx + c =
0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1 , x2 thoả
2a 2 − 3ab + b 2
mãn điều kiện: 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q =
2a 2 − ab + ac
Câu 3: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
x − 2 + y + 2009 + z − 2010=
1
( x + y + z)
2
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng qua
A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường
thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK ⊥ BN .
2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2 .Vẽ các tiếp tuyến
0
AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng 45 có cạnh
Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng:
2 2 − 2 ≤ DE < 1 .
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức ad − bc =
1 ,trong đó P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd .
Chứng minh rằng: P ≥ 3 .
.....Hết ....
29
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN (Chuyên tin)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 28
Câu 1: (2,0 điểm) Cho T =
2x 2 + 4
1
1
.
2
1-x
1+ x 1- x
1. Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T.
2. Tìm giá trị lớn nhất của T.
2x 2 - xy = 1
Câu 2: (2,0 điểm)1. Giải hệ phương trình: 2
.
2
4x + 4xy - y = 7
1
2. Giải phương trình: x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = ( x + y + z )
2
Câu 3: (2,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên a để phương trình: x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên. Hãy
tìm các nghiệm nguyên đó.
a ≤ 0
2. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện: b ≥ 0
. Chứng minh rằng có ít
19a + 6b + 9c = 12
nhất một trong hai phưông trình sau có nghiệm
x2 – 2(a + 1)x + a2 + 6abc + 1 = 0
x2 – 2(b + 1)x + b2 + 19abc + 1 = 0
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam gi ác ABC c ó ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tòn tâm O đường kính AD.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình chứ nhật.
2. Gọi P và Q lần lượt là các diểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và AC.
Chứng minh rằng ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
3. Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với
mọi số thực x, y, z ta luôn có :
x2
y2
z2
2x 2 + 2y 2 + 2z 2
.
+
+
>
a2
b2
c2
a 2 + b2 + c2
--------------------------- Hết -------------------------------
30
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn: TOÁN (Chuyên tin)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
Đề số 29
Câu 1: (1,5 điểm)
Cho phương trình : 4x2 + 2 x - 2 = 0
(1)
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái dấu.
2. Gọi x1 là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh rằng:
x1 + 1
x14 + x1 + 1 - x12
= 2
(
)
a x 2 + y 2 + x + y = b
Câu 2: (2,0 điểm) Cho hệ phương trình:
y - x = b
1. Giải hệ khi a = 1, b=2.
2. Tìm a sao cho hệ có nghiệm với mọi giá trị của b.
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m. (2)
Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn:
1
1
1
1
+
+
+
= - 4.
x1
x2
x3
x4
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân đường cao hạ từ A của
tam giác ABC. Hai trung tuyến AM và HN của tam giác AHC cắt nhau tại I. Hai đường
trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt nhau tại J.
1. Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng
2. Chứng minmh rằng: KH.KA ≤
3. Tính tỉ số
BC2
4
IM 2 + IJ 2 + IN 2
.
IA 2 + IB2 + IH 2
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x4 + y4 – 7 = xy(3 - 2xy). Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của tích xy.
-------------------------------- Hết -------------------------------
31
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn: TOÁN (Chuyên toán)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 30
Câu 1: (2,0 điểm)
1
1
,
+
1 + 2a + 1 1 - 2a + 1
49
13
a
7
biết rằng:
và
=
2 =
x+y
x+z
( x + z ) ( z - y )( 2x + y + z )
Tính giá trị của biểu thức M =
Câu 2: (2,0 điểm)
a + b + c > 0
Cho các số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca > 0 .
abc > 0
Chứng minh rằng cả ba số đều dương.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh
AB và AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Tính góc MCN.
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm D di động trên cạnh AC, điểm E di động trên tia
đối của tia CB sao cho AD.BE = a2 . Các đường thẳng AE và BD cắt nhau tại M. Chứng
minh: MA + MC = MB.
Câu 5: (2,0 điểm)
Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x2 + y2 + 6 chia hết cho xy. Tìm thương của
phép chia x2 + y2 + 6 cho xy.
-------------------------------- Hết -------------------------------
32
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2007 - 2008
Môn: TOÁN (Chuyên toán)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 31
Bài 1: (1,5 điểm)
3xy = 2 ( x+y )
Giải hệ phương trình: 5xy = 6 ( y+z ) .
4xz = 3 ( x+z )
Bài 2: (2,0 điểm)
Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi đấu thủ của
trường A thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận.
Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tính số
cầu thủ của mỗi đội.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O. C là điểm chính
giữa cung AB, M là một điểm trên đoạn AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh
rằng:
a. AC2 = CM.CD
b. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc đường tròn côc định.
c. Gọi R1 , R2 theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ADM và
BDM. Chứng minh R1 + R2 không đổi.
Bài 4: (2 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho : A(0; 3), B(4; 0), C(5; 3/4) cùng với O(0; 0) tạo thành tứ
giác AOBC. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, chia tứ giác AOBC thành hai
phần có diện tích bằng nhau.
Bài 5: ( 1,5 điểm)
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn
abc là lập phương của một số nguyên.
a
b
c
+ + = 3 . Chứng minh rằng tích
b
c
a
-------------------------------- Hết -------------------------------
33
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2006 - 2007
Môn: TOÁN (Chuyên toán)
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề )
Đề số 31
Bài 1 (2đ): Cho biểu thức:
4a 2
10a + 2
2a + 20
A=
+
+
(a + 1)(a + 2) (a + 1)(a + 3) (a + 2)(a + 3)
1.Tìm điều kiện của a để B có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A.
Bài 2 (2đ):Cho phương trình bậc hai: x2 -4x + m = 0
1. Giải phương trình khi m =-60.
2. Xác định các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 (x1
{
"@context" : "http://schema.org",
"@type": "DigitalDocument",
"review": {
"@type": "Review",
"@name": "[thuvientoan.net] Tuyển tập đề vào lớp 10 chuyên Toán - Lam Sơn Thanh Hóa.pdf"
},
"name": "Tuyển tập đề vào lớp 10 chuyên Toán - Lam Sơn Thanh Hóa",
"author" : {
"@type" : "Person",
"name" : "Khoa CNTT - HCEM"
},
"datePublished": "2025-04-17 07:08:06",
"description" : "Tuyển tập đề vào lớp 10 chuyên Toán - Lam Sơn Thanh Hóa (file PDF)",
"dateCreated": "2020-12-17 10:08:25",
"url": "https://lib24.vn/tuyen-tap-de-vao-lop-10-chuyen-toan-lam-son-thanh-hoa.tlx"
}