Tuyển tập đề thi vào lớp 10

TUY N T P ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỜI NÓI ĐẦU Để góp phần định hướng cho việc dạy - học ở các trường nhất là việc ôn tập, rèn luyện kĩ năng cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục, nhằm nâng cao chất lượng các kì thi tuyển sinh, sachhoc.com gi i thi u b tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán thành phố Hà Nội qua các năm có đáp án chi tiết. Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu được biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ GDĐT, trong đó tập trung vào những kiến thức cơ bản, trọng tâm và kĩ năng vận dụng, được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi dựa trên các đề thi vào lớp 10 các năm của thành phố Hà Nội. Mỗi đề thi đều có hướng dẫn giải chi tiết! Hy vọng đây là Bộ tài liệu ôn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học ở các trường THCS và kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 20202021 và những năm tiếp theo. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ của đội ngũ những người biên soạn, song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự đóng góp của các thầy, cô giáo và các em học sinh trong toàn tỉnh để Bộ tài liệu được hoàn chỉnh hơn. Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất trong các kỳ thi sắp tới! Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Đề số 1 Ngày thi 02 tháng 6 năm 2019 Thời gian làm bài: 120 phút. Bài I. ( 2,0 điểm ) Cho hai biểu thức A = 4 ( ) x +1 25 − x  15 − x và B =   x − 25 2  x +1  +: x + 5  x − 5 với x ≥ 0; x ≠ 25 . 1) Tìm giá trị của biểu thức A khi x = 9 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât. Bài II. (2,5 điểm). 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên? 2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 0 ,32 m 2 . Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước). Bài III. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 4 − 7 x 2 − 18 = 0. 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y = 2mx −m 2 + 1 và parabol ( P) : y = x 2 a) Chứng minh (d ) luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt b) Tìm tất cả giá trị của m để (d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn 1 1 −2 + = 1+. x1 x2 x1 x2 Bài IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) . Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF . Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP . Bài V. ( 0,5 điểm) Cho biểu thức P = a 4 + b 4 − ab với a, b là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + ab = 3 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 2 Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A  x 4 3 x 1 2  và B  với x  0, x  1 . x 1 x 2 x 3 x 3 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 . b) Chứng minh B  1 . x 1 c) Tìm tất cả giá trị của x để A x  5. B 4 Bài 2. (2,0 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. Bài 3. (2,0 điểm)  4x  y  2  3 a) Giải hệ phương trình  . x 2 y 2  3   b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y  (m  2)x  3 và parabol (P ) : y  x 2 . i) Chứng minh (d ) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. ii) Tìm tất cả các giá trị của m để (d ) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB ( S khác A ). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC , SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C , D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB . a) Chứng minh năm điểm C , D, H ,O, S thuộc đường tròn đường kính SO . . b) Khi SO  2R , hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 c) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC , cắt đoạn thẳng CD tại điểm K . Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC . d) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD . Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  x  1  x  2 x . ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 3 Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A  x 2 x 5 và B  3 x 5  20  2 x , với x  0, x  25. x  25 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9. 2) Chứng minh B  1 x 5 . 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A  B. x  4 . Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình, hệ phương trình: Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quảng đường AB dài 120 km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy là 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài III (2,0 điểm)   x  2 y  1  5 . 1) Giải hệ phương trình  4 x  y  1  2  2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5. a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m. b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x 1, x 2 (với x 1  x 2 ) sao cho x 1  x 2 . Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K. 1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh NB2 = NK.NM. 3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 7 4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 và ab + bc + ca = 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 4 Bài I (2,0 điểm) Cho biểu thức A  7 và B  x x 3 x 8 1) Tính giá trị của biểu thức 𝐴 khi x = 25. 2) Chứng minh B  x 8 x 3  2 x  24 với x ≥ 0; x ≠ 9. x 9 . 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên. Bài II ( 2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720𝑚2 . Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Bài III ( 2,0 điểm)  3x 2   4  x  1 y  2 1) Giải hệ phương trình   2x 1  5   x  1 y  2 2) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 cho đường thẳng (d): y = 3x + m2 - 1 và parabol (P): y = x2. a) Chứng minh (𝑑) luôn cắt (𝑃) tại hai điểm phân biệt với mọi 𝑚. b) Gọi 𝑥1 ; x2 là hoành độ giao điểm của (𝑑) và (𝑃).Tìm 𝑚 để (𝑥1 + 1)(x2 + 1) = 1. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (𝑂) và một điểm 𝐴 nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến 𝐴𝐵 với đường tròn (𝑂) (𝐵 là tiếp điểm) và đường kính 𝐵𝐶. Trên đoạn 𝐶𝑂 lấy điểm 𝐼 ( 𝐼 khác 𝐶, 𝐼 khác 𝑂). Đường thẳng 𝐴𝐼 cắt (𝑂) tại hai điểm 𝐷 và 𝐸 (𝐷 nằm giữa 𝐴 và 𝐸). Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐷𝐸. 1) Chứng minh bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝑂, 𝐻 cùng nằm trên một đường tròn. AB BD  AE BE 3) Đường thẳng 𝑑 đi qua 𝐸 song song với 𝐴𝑂, 𝑑 cắt 𝐵𝐶 tại 𝐾. Chứng minh 𝐻𝐾// 𝐷𝐶. 2) Chứng minh 4) Tia 𝐶𝐷 cắt 𝐴𝑂 tại điểm 𝑃, tia 𝐸𝑂 cắt 𝐵𝑃 tại điểm 𝐹. Chứng minh tứ giác 𝐵𝐸𝐶𝐹 là hình chữ nhật. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9 Bài V ( 0,5 điểm) Với các số thực 𝑥; 𝑦 thỏa mãn x  x  6  y  6  y tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y . ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 5 Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức P = x+3 và Q = x −2 x −1 x +2 5 x −2 + với x > 0, x ≠ 4 x−4 1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9. 2) Rút gọn biểu thức Q. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. Q Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Bài III (2,0 điểm) 2( x + y ) + x + 1 = 4 1) Giải hệ phương trình  ( x + y ) − 3 x + 1 =− 5 2) Cho phương trình : x2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0 (x là ẩn số). a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m. b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N. 1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh CA.CB = CH.CD. 3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH. 4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2 + b2 = 4. ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = a+b+2 ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 6 Bài I (2,0 điểm) 1) Tính giá trị của biểu thức A = x +1 khi x = 9 x −1  x−2 2) Cho biểu thức P =  x+2 x 1  x +1 với x > 0 và x ≠ 1  .+ x + 2  x −1 a)Chứng minh rằng P = x +1 x b)Tìm các giá trị của x để 2P = 2 x 5 + Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Bài III (2,0 điểm) 1  4  x + y + y −1 = 5  1) Giải hệ phương trình:   1 − 2− = 1  x + y y − 1 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y = x2. a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P). b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P. 1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật. 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF. 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất. Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = 2a + bc + 2b ca + + 2c ab + ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 7 Bài I: (2,0 điểm) Với x > 0, cho hai biểu thức A = 2+ x x −1 2 x +1 + . và B = x x+ x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm x để A 3 > . B 2 Bài II: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Bài III: (2,0 điểm) 3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4 1) Giải hệ phương trình:  4(x + 1) − (x + 2y) = 9 2) Cho parabol (P) : y = 1 2 1 x và đường thẳng (d) : y = mx − m2 + m +1. 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P). b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 − x 2 = 2 . Bài IV: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O). 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp. 2) Chứng minh AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC. 4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài V: (0,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh: 1 1 1 + + ≥3 a 2 b2 c2 ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 8 Bài I (2,5 điểm) x +4 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. x +2  x 4  x + 16 2) Rút gọn biểu thức B =  (với x ≥ 0, x ≠ 16). +: x − 4  x + 2  x +4 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 12 Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người 5 làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 1 x + y = 2  1) Giải hệ phương trình  6 − 2 =1  x y 1) Cho biểu thức A = 2) Cho phương trình : x 2 − (4m − 1) x + 3m 2 − 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = 7 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh  ACM =  ACK 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C. 4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB = R . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng MA HK. Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y. Tìm giá trị nhỏ nhất x2 + y 2 của biểu thức M = . xy ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 9 Bài I (2,5 điểm) Cho A = x 10 x 5 − − x − 5 x − 25 x +5 Với x ≥ 0, x ≠ 25 . 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A khi x = 9. 3) Tìm x để A < 1 . 3 Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Bài III (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x và đường thẳng (d): y = 2x − m + 9 . 2 2 1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh ∠ENI ∠= EBI và ∠MIN = 900 . 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI . Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 4x 2 1 −3x + +2011. 4x ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 10 Bài I (2,5 điểm) x 2 x 3x + 9 + − , với x ≥ 0 và x ≠ 9 x +3 x −3 x −9 1) Rút gọn biểu thức A. 1 2) Tìm giá trị của x để A = . 3 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y = − x2 và đường thẳng (d) : y = mx − 1 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để : x12 x 2 + x 22 x1 − x1x 2 = 3 Cho biểu thức A = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC  = OCB  . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, 3) Chứng minh CFD chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) .  =2. 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB Bài V (0,5 điểm) Giải phương trình : x 2 + 4x + 7 = (x +4) x 2 +7 ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2009 – 2010 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 11 Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức: A = x + x−4 1 1 + x −2 x +2 với x ≥ 0 và x ≠ 4 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị của A khi x = 25 1 3 3) Tìm x để A = − Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 áo.Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo? Bài III (1,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 1) Giải phương trình đã cho khi m = 1 2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 Bài IV (3,5 điểm) Cho (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2 3) Trên cung nhỏ BC của (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN Bài V (0,5 điểm) Giải phương trình x2 − ( 1 1 1 + x 2 + x + = 2x 3 4 4 2 ) x 2 +2x +1 + ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2008 – 2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 12  1 x   x  Bài I: Cho biểu thức P =  + :   x x − 1   x + x   1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 13 3) Tìm x để P = 3 Bài II : Giải bài toán bằng cách lập phương trình Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy . Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% và tổ hai vượt mức 10 % so với tháng thứ nhất , vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Bài III : Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho Parapol (P) có ptrình là : y = 1 2 x và đường thẳng (d) 2 có phương trình y = mx + 1 a) CMR: với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt . b) Gọi A ,B là hai giao điểm của (d) và (P) .Tính diện tích ∆AOB theo m ( O là gốc toạ độ) Bài IV: Cho đtròn (O), đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì nằm trên đường tròn đó ( E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. a) Chứng minh ∆KAF đồng dạng ∆KEA . b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F. c) Chứng minh MN // AB , trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE , BE với đường tròn (I). d) Tính giá trị nhỏ nhất chu vi của ∆KPQ theo R khi E di chuyển trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NE và AK, Q là giao điểm của MF và BK. Bài V: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết A = ( x −1) + ( x − 3) + 6 ( x −1) ( x − 3) 4 4 2 2 ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2007 – 2008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 13 Bài 1 ( 2,5 điểm) x + x −1 Cho biểu thức: P = 3 6 x −4 − x −1 x +1 1/ Rút gọn biểu thức P 2/ Tìm x để P < 1 2 Bài 2 ( 2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc lên 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Bài 3 ( 1 điểm) Cho phương trình x + bx + c = 0 1/ Giải phương trình khi b = −3 và c = 2 . 2/ Tìm b, c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1. Bài 4 ( 3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tai hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H ).  và ∆ABH  ∆EAH 1/ Chứng minh  ABE = EAH 2 2/ Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3/ Xác định vị trí điểm H để AB = R 3 . Bài 5 ( 0,5 điểm) Cho đường thẳng y = ( m − 1) x + 2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2006 – 2007 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 14 Bài 1: (2,5 điểm)  a+3 a +2 a+ a  1 1  − +  :  a −1   a +1 a −1  ( a + 2)( a − 1) Cho biểu thức P =  1/Rút gọn biểu thức P. 2/Tìm a để 1 a +1 − ≥1 P 8 Bài 2: (2,5 điểm) Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách bến B 72 km. Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Bài 3: (1 điểm) Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và y = x2. Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính SABCD Bài 4: (3 điểm) Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM . a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Tính AH.AK theo R. c) Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó . Bài 5: (1 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện: x + y = 2. Chứng minh: x2y2(x2+ y2) ≤ 2 ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2004 – 2005 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 14 A/ Lý thuyết (2đ): Học sinh chọn 1 trong 2 đề Đề 1: Nêu điều kiện để A có nghĩa. Áp dụng : Với giá trị nào của x thì 2 x − 1 có nghĩa. Đề 2:Phát biểu và chứng minh định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. B. Bài tập bắt buộc (8đ)  1 5 x −4   2+ x x  + − Bài 1 (2,5đ) Cho biểu thức P =   :   x x − 2   x −2 2 x −x  a/ Rút gon P. b/ Tính giá trị của P khi x = 3− 5 2 c/ Tìm m để có x thỏa mãn P = mx x - 2mx + 1 Bài 2 (2đ) giải bài toán bằng cách lập phương trình Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong một thời gian nhất đinh. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm 2 sản phẩm . Vì vậy , chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm.Hỏi theo kế hoạch , mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu snr phẩm? Bài 3 (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M tùy ý giữa A và B. Đường tròn đường kính BM cắt đường thẳng BC tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng CM, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điêmt thứ 2 là H và K. a/ Cm tứ giác AMEC là tứ giác nội tiếp. b/ cm góc ACM bằng góc KHM. c/ cm các đường thẳng BH, EM và AC đồng quy. d/Giả sử AC9 ta có: m( x -3)P > x + 1 Bài 2 (2đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18%, tổ II vượt mức 21% , vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch? Bài 3 (3,5đ). Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giã A và O 2 sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn 3 MN, sao cho C không trùng với M,N và B. Nối AC cắt MN tại E. a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn. b/ Chứng minh  AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC c/ Chứng minh AE.AC – AI.IB = AI2 d/ Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Áp dụng tính: P = ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2001 – 2002 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 17 A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau: Đề 1: Phát biểu định nghĩa và nêu tính chất của hàm số bậc nhất. Ap dụng: Cho hai hàm số bậc nhất y = 0,2x-7 và y = 5-6x Hỏi hàm số nào đồng biến , hàm số nào nghịch biến ,vì sao? Đề 2: Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn. B.Bài tập bắt buộc(8 điểm):  x+2   x x −4  Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P =  x −  :  − x + 1   x + 1 1 − x   a) Rút gọn P b) Tìm các GT của x để P<0 c) Tìm GTNN của P Bai2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định.Sau khi làm được 2h với năng xuất dự kiến ,người đó đã cảI tiến cácthao tác nên đã tăng năng xuất được 2 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút. Hãy tính năng xuất dự kiến ban đầu. Bài3(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và một đường kính EF bất kì (E khác A,B). Tiếp tuyến tại B với đường tròn cắt các tia AE,AF lần lượt tại H,K . Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt HK tại M. a) Chứng minh tứ giác AEBF là hình chữ nhât b) Chứng minh tứ giác EFKH nội tiếp đường tròn c) Chứng minh AM là trung tuyến của tam giác AHK d) Gọi P,Q là trung điểm tương ứng của HB,BK,xác định vị trí của đường kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ nhất. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 29 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2000 – 2001 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 18 A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau: Đề 1: Thế nào là phép khử mẫu của biểu thức lấy căn. Viết công thức tổng quát. Ap dụng tính : 2 − 3 1− 3 . + 2 2 Đề 2: Phát biểu và chứng minh định lí góc có đỉnh bên trong đường tròn. B.Bài toán bắt buộc ( 8điểm):  x −4 Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức: P =  +  x x −2 ( )   x +2 : − x − 2   x 3 x  . x − 2  a) Rút gọn P b) Tính GT của P biết x= 6-2 5 c) Tìm các GT của n để có x thoả mãn P.( x + 1) > x + n . Bài 2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một ca nô chạy trên sông trong 8h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ,ca nô này chay trong 4h, xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vân tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Bai3(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA< IB. Trên đoạn MI lấy điểm E( E khác M và I).Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai K. a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp. b) C/m tam giác AME,AKM đồng dạng và AM2 =AE.AK c) C/m: AE.AK+BI.BA=4R2 d) Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 1: Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi số 2: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1999 – 2000 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 19 A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau: Đề1: Phát biểu hai quy tắc đổi dấu của phân thức. Viết công thức minh hoạ cho tong quy tắc. áp dụng: Thực hiện phép tính : 2a 2 a 2 + b 2 + . a−b b−a Đề 2: Phát biểu định lí về góc nội tiếp của đường tròn . Chứng minh định lí trong trưòng hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc. B.Bài toán bắt buộc(8 điểm):  1   1 2  x  :  Bài1(2,5 điểm): Cho biểu thức P =  − +    x −1 x − x   x +1 x −1 a) Rút gọn P b) Tìm các GT của x để P>0 c) Tìm các số m để có các GT của x thoả mãn P. x = m − x . Bài 2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đi đến B.Xe tải đi với vận tốc 40km/h, xe con đi với vận tốc 60km/h. Saukhi mỗi xe đi được nửa đường thì xe con nghỉ 40 phút rồi chạy tếp đến B; xe tải trên quãng đường còn lại đã tăng vân tốc thêm 10km/h nhưng vẫn đến B chậm hơn xe con nửa giờ. Hãy tính quãng đường AB. Bài 3(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AMN với đường tròn( B,C,M,N thuộc đường tròn; AM 1 6 2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 48km/h. Sau khi đi một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hỏa 10 phút. Do đó , để đến tỉnh B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quãng đường AB. 3/. Cho đường tròn (O;R ), một dây CD có trung điểm là H. Trên tia đối của tia DC lấy một điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO; OH lần lượt tại E và F. a/ Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp. b/Chứng minh OE.OS = R2 c/ OH.OF = OE.OS. d/ Khi S di động trên tia đối của tia DC hãy chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 34 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1995 – 1996 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 23 Bài 1: Cho biểu thức  1   1 2 x −2 2   :  A =  − −    x +1 x x − x + x −1  x −1 x −1 1) Rút gọn A 2) Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước .Sau khi đi được 1/3 quáng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường,biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24phút. Bài3: Cho đường tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Lấy điểm M trên cung nhỏ AC,kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D. 1) Chứng minh gúc AMD= gúc ABC và MA là tia phân giac của góc BMD. 2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 3) Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F, chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoai tiếp tam giác BEF. 4) Chứng minh tích P=AE.AF không đổi khi M di động. Tính P theo bán kính R và ABC = α Bài4: Cho hai bất phương trình : 3mx -2m>x+1 (1) m - 2x < 0 (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng tập hợp nghiệm ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1994 – 1995 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 24 A/ lý thuyết : Học sinh chọn 1 trong 2 đề Đề 1: Phát biểu định nghĩa và nêu các tính chất của hàm số bậc nhất. Trong 2 hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số bậ nhất ? Vì sao? y = 1 – 2x ; y = x + 1 x Đề 2 : Phát biểu dấu hiệu nhận biết hình bình hành. B/ Bài tập 1/ Xét biểu thức: B =( a +1 a −1 1 a −1 8 a a −a −3 ):( ) a −1 a −1 a +1 a −1 a) Rút gọn B. b) So sánh B với 1. 2/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể , thì sau 6 giờ đầy. Nếu vòi 1 chảy 20 phút và vòi 2 chảy 30 phút thì được 1 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể 6 Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB và 2 điểm C,D thuộc nửa dường tròn sao cho cung AC < 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn, sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM và BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F. a/ Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao? b/ Chứng minh D là điểm chính giữa cung MB. c/ Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I và K. Chứng minh rằng tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1993 – 1994 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 25   2a + 1   1 + a3 a Bài 1: Cho biểu thức P =  − . − a     3   a − 1 a + a + 1   1 + a  a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P. 1 − a Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 1h20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược là bằng nhau. Bài 3: Cho tam gíac ABC cân tại A,  A < 900, một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB,AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI,MH,MK xuống các cạnh tương ứng BC ,CA, BA. Gọi P là giao điểm của MB,IK và Q là giao điểm của MC,IH. a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp được b) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ//BC d) Gọi (O1) là đường tròn đi qua M,P,K,(O2) là đường tròn đi qua M,Q,H; N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC. Chứng minh M,N,D thẳng hàng. Bài 4: Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn phương trình sau: 5x- 2 x (2 + y ) + y 2 + 1 = 0 ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1992 – 1993 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 26 Bài 1:  x +1 2x + x   x +1 2x + x  + − 1 : 1 + − Cho biểu thức M =   2x −1 2x +1 2 x − 1   2x +1   a/ Rút gọn M b/ Tính M khi x = 1 (3+2 2 ) 2 Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 4 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 1 giờ.Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu? Bài 3: Cho 2 đường tròn (O 1 ) và ( O 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại A và tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O 1 ) , ( O 2 ) lần lượt tại các điểm B,C và cắt Ax tại M.Kẻ các đường kính B O 1 D, C O 2 E. a/ Cmr M là trung điểm của BC. b/ Cmr tam giác O1MO2 vuông. c/ Cmr B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng. d/ Gọi I là trung điểm của DE. Cmr đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng BC. Bài 4:Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm x2- (2m-3)x + 6 = 0 2 x2 +x + (m-5) =0 ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1991 – 1992 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 26 Bài 1: Cho biểu thức B=( 2 x+x 1 x +2 − ) : (1) x + x +1 x x −1 x −1 a/ Rút gọn B. b/ Tìm B khi x = 5+ 2 3 Bài 2: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được ¾ công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó thì mấy giờ xong. Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung KB lấy M (M ≠ K,B ). Trên tia AM lấy N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP//KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. a/ So sánh các tam giác AKN và BKM. b/ Cm tam giác KMN vuông cân. c/ Tứ giác ANKP là hình gì? Tại sao? d/ Gọi R,S lần lượt là giao điểm thứ 2 của QA và QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP, chứng minh khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên đường tròn cố định. Bài 4 Giải phương trình 1 2 2+ x + = 1+ x 1+ x 2x ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1990 – 1992 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 27 Bài 1 Cho biểu thức Q=( 9− x x −3 x +2 x −3 x ) + − − 1) : ( x −9 ( x + 3)( x − 2) x −2 x +3 a/ Rút gọn Q. b/ Tìm giá trị của x để Q < 1 Bài 2 Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại đi vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành , đoàn xe được giao thêm 14 tấn nữa. Do đó , phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn. Tính số lượng xe phải điều theo dự định. Biết rằng mỗi xe chở số hàng như nhau. Bài 3 Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A,B. Người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. a/ Cm tứ giác CPKB nội tiếp được . b/ Cm AI.BK= AC.CB c/ Cm tam giác APB vuông d/ Giả sửA,B,I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài 4 Chứng minh rằng các đường thẳng có phương trình y = (m-1)x + 6m - 1991 (m tùy ý)luôn đi qua một điểm duy nhất mà ta có thể xác định được tọa độ của nó. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1990 – 1991 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 28 Bài 1: Xét biểu thức  x −1 1 5 x   3 x −2 − + P =    : 1 −  3 x −1 3 x +1 9x −1   3 x +1  a/ Rút gọn P. b/ Tìm các giá trị của x để P = 6 5 Bài 2 Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được ¾ quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB, biết rằng xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút. Bài 3: Cho đường tròn (O), một dây AB và một điểm C ở ngoài tròn nằm trên tia AB. Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn , cắt dây AB tại D.Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I.Các dây AB và QI cắt nhau tại K. a/ Cm tứ giác PDKI nội tiếp được. b/ Cm CI.CP = CK.CD c/ Cm IC là tia phân giác của góc ở ngoài đỉnh I của tam giác AIB d/ Giả sử A,B,C cố định. Cmr khi đường tròn (O)thay đổi nhưng vẫn đi qua B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4 Tìm giá trị của x để biểu thức y=x- x − 1991 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN đó. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1989 – 1990 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 29 Bài 1 Cho biểu thức x −1 5x 1   2 − 2 − A = 1-   : 2  1+ 2x 4x −1 1− 2x  4x + 4x +1 a/ Rút gọn A và nêu các điều kiện phải có của x. 1 b/ Tìm giá trị của x để A = − 2 Bài 2 Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được 2/3 quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B chậm hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 3 Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K.Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G. a/ Chứng minh AE = AF. b/Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi. c/ Chứng minh tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF d/Giả sử E chuyển động trên cạnh BC, chứng minh rằng FK = BE + DK và chu vi tam giác ECK không đổi. Bài 4 x 2 − 2 x + 1989 Tìm giá trị của x để biểu thức y = (Đk x ≠ 0) đạt giá trị nhỏ nhất và x2 tìm GTNN đó. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 1989 – 1989 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút. Đề số 30 Bài 1  2 + x 2 − x 4 x2  x − 3 − − 2 Cho A=  : 2  2 − x 2 + x x − 4  2x − x a/ Rút gọn A. b/ Tính giá trị của A khi |x | = 1 Bài 2 Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h.. Sau đó 1giờ 30 phút, một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A để đi đến tỉnh B với vận tốc 60km/h. Hai xe gặp nhau khi chúng đã đi được một nửa quãng đường AB Tính quãng đường AB. Bài 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I: các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a/ Góc CID bằng góc CKD. b/ Tứ giác CDFE nội tiếp được. c/ IK // AB. d/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A. Bài 4: Tìm giá trị của x để biểu thức : M = ( 2x - 1)2 – 3 |2x-1| + 2 Đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN đó. ________________Hết________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh:…………………………. Tác giả: Nguyễn Công Lợi Số báo danh:…………………………….. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 1 Bài I. ( 2,0 điểm ) 1) Với x = 9 4 Thay vào A ta có : A = ( ) 4( x +1 ) 4. ( 3 + 1) 1. 16 9 +1 = 25 − 9 25 − x = = 2) Rút gọn biểu thức B .  15 − x B =   x − 25 Với x ≥ 0 , x ≠ 25 , ta có  B=   B= B= B= B=  2  x +1 . + : x + 5 x − 5 x −5  15 − x ( x +5 )( 15 − x + 2 ( x +5 )( ( ) x −5 x −5 ) 15 − x + 2 x − 10 ( x +5 )( x −5 x +5 ( x +5 )( 2  x +1 .  +: x + 5  x − 5 x −5 ) ) ): x +1 . x −5 : ⋅ x +1 . x −5 x −5 . x +1 1 . x +1 3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B đạt giá giá trị nguyên lớn nhất. Ta có P = A.=B 4 ( ) x +1 ⋅ 25 − x 1 = x +1 4 . 25 − x Để P nhận giá trị nguyên khi x ∈  thì 4 ( 25 − x ) hay 25 − x ∈ U ( 4) = {− 4; − 2; − 1;1; 2; 4} . Khi đó, ta có bảng giá trị sau: 25 − x −4 −2 −1 1 2 4 x 29 27 26 24 23 21 P = A.B −1 −2 −4 4 2 1 Đánh Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa giá mãn mãn mãn mãn mãn mãn Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có P = 4 . Khi đó giá trị cần tìm của x là x = 24 . Bài II. (2,5 điểm). 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 - Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là x và y ( x > 15, y > 15 ) , đơn vị (ngày). Một ngày đội thứ nhất làm được Một ngày đội thứ hai làm được 1 (công việc). x 1 (công việc). y - Vì hai đội cùng làm trong 15 ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày cả hai đội làm được 1 1 1 1 (công việc). Suy ra, ta có phương trình : + = x y 15 15 - Ba ngày đội đội thứ nhất làm được - Năm ngày đội thứ hai làm được (1). 3 (công việc). x 5 (công việc). y - Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành xong 25% = Suy ra, ta có phương trình : 1 (công việc). 4 3 5 1 + = x y 4 (2). - 1 x +  Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :  3 +  x - Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 24 1 1 1 1 =  x = 24 y 15  x = 24 ⇔ ⇔ . (TMĐK). 1 1 y = 40 5 1   = =  y 40 y 4 (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 40 (ngày). 2) Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. Như vậy số mét khối đựng được của bồn sẽ là : V = 0,32.1,75 0,56 ( m3=) . Bài III. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 4 − 7 x 2 − 18 = 0 (1)  Cách 1 : Đặt t = x 2 ( t 0 )(*≥) *Phương trình (1) trở thành : t 2 − 7t − 18 = 0 ( 2 ) Ta có : ∆ = ( −7 ) −4.1. ( −18 ) =121 11 =2 2 ⇒ ∆11 = Suy ra :Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt là: t1 = 7 + 11 7 − 11 9 (t / m = ) và t2 = = −2 ( ktm ) 2 2 Thay t = 9 vào (*) ta có : x 2 = ⇔ 9 = ±x 3 Vậy nghiệm của phương trình là : x = ±3 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45  Cách 2 : Ta có : x 4 − 7 x 2 − 18 = 0 ⇔ x 4 + 2 x 2 − 9 x 2 − 18 = 0 ( ) ( ) ⇔ x2 x2 + 2 − 9 x2 + 2 = 0 ( )( ) ⇔ x2 + 2 x2 − 9 = 0  x 2 + 2 = 0 ( vôli ) ⇔ 2  x − 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔x= ± 3 Vậy nghiệm của phương trình là : x = ±3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y = 2mx −m 2 + 1 và parabol ( P) : y = x 2 a) Xét phương trình hoành độ giao điểm x 2 − 2mx + m 2 − 1 (1) Để (d ) luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với ∀m 0 a = 1 ≠ Ta có :  ' ' 2 ∆ = ( b ) ac − 0 > m ∀ Xét ∆ ' = m 2 ( −m 2 1− ) m=2 m2 −1 1+ 0,= m > ∀ Vậy (d ) luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt b) Tìm tất cả giá trị của m để (d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn 1 1 −2 + = 1+ x1 x2 x1 x2 ( 2) Ta có x1 x2 ≠ 0 ⇒ m 2 − 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ ±1 Hai nghiệm của phương trình : x1 = m − 1; x=2 + m 1 Biến đổi biểu thức ( 2 ) ta có : 1 1 −2 x +x −2 + x1 x2 + = + 1⇒ 1 2= ⇒ x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x+1 x=− + 2 x1 x2 2 Thay x1 = m − 1; x=2 + m 1 vào biểu thức x1 + x2 =− 2+ x1 x2 ta có : m -1 + m + 1 = -2 +( m -1)( m +1) ⇒m 2 -1- 2 =2m ⇔ m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔ ( m −3)( m +1) = 0 m = 3 m − 3 = 0 ⇔ ⇔ m + 1 = 0  m = −1( L ) Kết Luận : Với m = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài IV. (3,0 điểm) Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 A E x P F B M H D O K C I S 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn. Xét tứ giác BCEF ta có :  = 90 ( BE BEC ° là đường cao)  = 90 ( °CF là đường cao) BFC ⇒ BCEF là tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông). 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF . = Vẽ tiếp tuyến Ax như hình vẽ ⇒ BAF ACB (tính chất giữa đường tiếp tuyến và dây cung). Do tứ giác BCEF nội tiếp ⇒  AFE =  ACB. = Ta suy ra BAF AFE EF⇒ //Ax (do hai góc so le trong) Lại có Ax ⊥ OA ⇒ OA ⊥ EF (đpcm). 3) Chứng minh ∆APE ∽ ∆ABI = = °180 ) Ta có :  AEB + EFC ABI+ EFC AEB =  ABI ( Vì   = 90 Mặt khác  APE + PAI ° (vì AI ⊥ PE ) Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC