Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1990 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: a 4  b 4  c 4  2 a 2 b 2  a 2 b 2 c 2  2c 2 a 2 Câu 2. a) Cho biết x 2 x2 P  .   . Hãy tính giá trị của biểu thức: x 4  x 2 1 x 2  x 1 3 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q  x2 . x 4  x 2 1 Giá trị lớn nhất đó đạt được tại giá trị nào của x. Câu 3. Cho biểu thức P(n)  a n  bn  c, trong đó a, b, c là những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu với mọi giá trị nguyên dương của n, P(n) luôn chia hết cho m ( m là số nguyên dương cố định), thì b 2 phải chia hết cho m. Với ví dụ sau đây hãy chứng tỏ rằng không thể suy ra b chia hết cho m : P(n)  3n  2n  3 (xét m  4 ) Câu 4. Cho đa giác lời sáu cạnh ABCDEF . Gọi M , I , L, K , N , H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , CD, DE , EF , FA. Chứng minh rằng các trọng tâm của hai tam giác MNL và HIK trùng nhau. Câu 5. Giả sử trong một trường hợp có n lớp ta ký hiệu am là số học sinh của thứ m, d k là số lớp trong đó mỗi lớp có ít nhất k học sinh, M là số học sinh của lớp đông nhất. Chứng minh rằng: a) a1  a2  ...  an  d1  d 2  ...  d M . b) a12  a22  ...  an2  d1  3d 2  5d3  ...  2k 1 d k  ...  2M 1 d M . https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1991 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Rút gọn biểu thức: A  3 2 3  4 2  6 44  16 6 . b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P   x  y    y  z    z  x  . 5 5 5 Câu 2.  x y z 0    x y z a) Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa mãn:      0.  a b x     a  b  c  0 Hãy tính giá trị của biểu thức: Q  xa 2  yb 2  zc 2 . b) Cho bốn số thực a, b, c, d đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 0  a  b  c  d  ab  bc  cd  da  2 Khi nào đẳng thức xảy ra? Câu 3. Cho trước a và d là những số nguyên dương. Xét tất cả các số có dạng như sau: a, a  d , a  2d ,..., a  nd ,... Chứng minh rằng trong các số đã cho có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991. Câu 4. Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham dự. Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người. Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người mà bất kỳ 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau. Câu 5. a) Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho MAB  MAB  150. Chứng minh rằng tam giác MCD là tam giác đều. b) Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8 điểm có tính chất: Đường trung trực của đoạn nối hai điểm bất kỳ luôn đi qua ít nhất hai điểm của tập hợp điểm đó. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1992 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Tìm tất cả các số nguyên n để n 4  2n3  2n 2  n  7 là số chính phương. b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng: 1 1 1  2  2 9 a  2bc b  2ca c  2ab 2 Câu 2. Cho a là tổng các chữ số của 29  1945 , b là tổng các chữ số của a. Tìm tổng các chữ số của b. Câu 3. Cho tam giác ABC. Giả sử đường phân giác trong và ngoài của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, L. Chứng minh rằng nếu AD  AK thì AB 2  AC 2  4 R 2 , trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 4. Trong mặt phẳng kẻ 1992 đường thẳng sao cho không có 2 đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là "tam giác xanh" nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. a) Chứng minh rằng số tam giác xanh không ít hơn 664. b) Chứng minh kết luận mạnh hơn: Số tam giác xanh không ít hơn 1328. Câu 5. Có 41 thành phố được nối với nhau bằng các đường chỉ đi được một chiều. Biết rằng từ mỗi thành phố có đúng 16 đường đến các thành phố khác và đúng 16 đường từ các thành phố khác đến nó. Giữa hai thành phố bất kỳ không có quá một con đường của mạng đường nói trên. Chứng minh rằng từ một thành phố bất kỳ A đều có thể đi đến một thành phố bất kỳ B mà chỉ đi qua nhiều nhất hai thành phố trung gian. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1994 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.    x  y  y  z   4 xy 2 z   2 Giải hệ phương trình:   y  z  z  x  4 yz x .   2   z  x x  y   4 zx y   Câu 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn phương trình: 12 x 2  6 xy  3 y 2  28 x  y  Câu 3. Xác định các giá trị nguyên dương n với n  3 sao cho n ! chia hết cho B  1  2  3  ...  n. Câu 4. Cho a, b, c là các số thực lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1      1  a 1  b 1  c 1  4 ab3 1  4 bc 3 1  4 ca 3 Câu 5. Cho tam giác ABC có AB  AC. a) Chứng minh rằng nếu BAC  200 thì luôn tìm được các điểm D và K trên các cạnh AB và AC sao cho AD  AK  KC  CB. b) Ngược lại, chứng minh rằng nếu tồn tại các điểm D và K trên các cạnh AB và AC sao cho AD  DK  KC  CB thì BAC  200. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1995 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.    Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  x 2  3 y  y 2  3  3. Tính giá trị của biểu thức E  x  y. Câu 2.  x  xy  y  1    Giải hệ phương trình:  y  yz  z  3.      z  zx  x  1 Câu 3. Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x 2  y 2  1. Chứng minh rằng: 1  x3  y 3  1. 2 Câu 4. Tìm số nguyên có chín chữ số A  a1a2 a3b1b2b3a1a2 a3 , trong đó a1  0 và b1b2b3  2a1a2 a3 đồng thời A có thể viết được dưới dạng A  p12 p22 p32 p42 với p1 , p2 , p3 , p4 là bốn số nguyên khác nhau. Câu 5. Cho đường tròn O  và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại I với I nằm trong đường tròn. Gọi M là trung điểm AN AI 2 của BD, MI kéo dài cắt AC tại N . Chứng minh rằng:  . NC CI 2 https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1996 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Giải phương trình:   3 x 1  1  2 x 1  2  x. Câu 2.   x y 1    Giải hệ phương trình:   y  z  1.    z  x 1    Câu 3. Cho x, y là hai số nguyên dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  201. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  x 2  y   y  y 2  x. Câu 4. Cho đoạn thẳng BC và đường thẳng d  song song với BC. Biết rằng khoảng cách giữa đường thẳng d  và đường thẳng đi qua BC nhỏ hơn BC . Giả sử A là một điểm thay đổi trên đường thẳng d . 2 a) Xác định vị trí của A để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nhỏ nhất. b) Gọi ha , hb , hc là độ dài các đường cao của tam giác ABC. Hãy xác định vị trí của điểm A để tích ha  hb  hc là lớn nhất. Câu 5. 3 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  . Chứng minh rằng: 2 x2  https://thuvientoan.net/ 1 1 1 3 17  y2  2  z2  2  2 x y z 2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1997 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.   y 3  y 2 x  3x  6 y  0  Giải hệ phương trình:  2 .    x  xy  3 Câu 2. Có tồn tại hay không các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: 1992 x1993  1993 x1994  1995 Câu 3. Số 1997 được viết dưới dạng tổng n hợp số, nhưng không viết được dưới dạng tổng n  1 hợp số. Hỏi n bằng bao nhiêu? Câu 4. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn có bán kính bằng 1. Gọi ha , hb , hc lần lượt là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới các cạnh đối diện. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M 1 1 1   ha  2hb hb  2hc hc  2ha Câu 5. Trên đường tròn cho 16 điểm và dùng 3 màu: xanh, đỏ, vàng để tô các điểm này (mỗi điểm tô bằng một màu). Giữa mỗi cặp điểm nối bằng một đoạn thẳng được tô bằng màu tím hoặc màu nâu. Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng 3 màu: xanh, đỏ, vàng) và mọi cách tô màu trên các đoạn thẳng nối giữa các cặp điểm (chỉ dùng hai màu: tím hoặc nâu) ta đều tìm được trên hình vẽ một tam giác có đỉnh là các điểm đã cho, mà các đỉnh được tô bằng cùng một màu và các cạnh cũng được tô bằng cùng một màu (dĩ nhiên khác màu tô trên đỉnh). https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1998 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.   x  x 2  x3  x 4  y  y 2  y 3  y 4  a) Giải hệ phương trình:  2 . 2   x  y  1 b) Với giá trị nào của a thì phương trình sau đây có nghiệm: 1 x  1  x  1  a  1  a Câu 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 19 x 3  98 y 2  1998. Câu 3. a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: (i) 0  a  b. (ii) Phương trình ax 2  bx  c  0 vô nghiệm. Chứng minh rằng: a bc  3. ba b) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 y2 z2 P 2   . x  2 yz y 2  2 zx z 2  2 xy Câu 4. Cho bảng ô vuông kích thước 1998 2000 (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột). Ký hiệu m, n là ô vuông nằm ở giao của hàng thứ m (tính từ trên xuống dưới) và cột thứ n (tính từ trái qua phải). Cho các số nguyên p, q với 1  p  1993 và 1  q  1995. Tô màu các ô vuông con của bảng theo quy tắc: Lần thứ nhất tô màu năm ô:  p; q  ,  p 1, q 1 ,  p  2, q  2 ,  p  3, q  3 ,  p  4, q  4. Lần thứ hai trở đi, mỗi lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp trong cùng một hàng hoặc cùng một cột. Hỏi bằng cách đó ta có thể tô màu hết tất cả các ô vuông con của bảng hay không? Vì sao? Câu 5. Trong tam giác đều ABC , vẽ ba đường tròn 1 , 2 , 3 có bán kính bằng nhau, tiếp xúc ngoài lẫn nhau và mỗi vòng tiếp xúc với hai cạnh của tam giác. Gọi  là dường tròn tiếp xúc ngoài với cả ba đường tròn 1 , 2 , 3 . Biết bán kính của vòng tròn  là r , hãy tính độ dài cạnh của tam giác ABC. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 1999 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Giải phương trình: x7  8  2 x 2  2 x 1. x 1 Câu 2. Các số a1 , a2 ,... được xác định bởi công thức: ak  3k 2  3k 1 k 2  k 3 với mọi k  * . Tính giá trị của tổng: 1  a1  a2  ....  a9 . Câu 3. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số đó bằng 1999. Câu 4. Cho đường tròn O; R . Giả sử A và B là hai điểm cố định trên đường tròn với AB  R 3. a) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn. Đường tròn nội tiếp MAB tiếp xúc với MA tại E và tiếp xúc với MB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M thay đổi. b) Tìm tập hợp tất cả các điểm P sao cho đường thẳng d  vuông góc với OP tại P cắt đoạn thẳng AB. Câu 5. Cho hình tròn C  bán kính bằng 1. Giả sử A1 , A2 ,..., A8 là 8 điểm bất kỳ nằm trong hình tròn (kể cả biên). Chứng minh rằng trong các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm ma khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2000 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Tìm tất cả các cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn đẳng thức y  x 1  x 2  2. b) Cho cặp số  x, y  thỏa mãn x  y  1 và xy  x  y  1. Chứng minh rằng x  2, y  2. Câu 2. a) Giải phương trình: 1 1 5  x   x  2x  . x x x b) Cho f ( x)  ax 2  bx  c có tính chất f 1 , f  4 và f 9 là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng khi đó a, b, c là các số hữu tỉ. Câu 3. a) Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng nếu các góc B và D của tứ giác là góc vuông hoặc góc từ thì AC  BD. b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động. Hãy tìm tập hợp các điểm B để tam giác ABC là tam giác không từ và BAC là góc bé nhất của tam giác. Câu 4. Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm là các số khác nhau. Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng. Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 6 điểm đã cho đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác cũng có 3 đỉnh là 3 trong 6 điểm đã cho. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2001 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Cho f ( x)  ax 2  bx  c có tính chất f ( x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên. Hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết phải là các số nguyên hay không? Tại sao? b) Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2  y 2  y  1. Câu 2. Giải phương trình: 4 x 1  x 2  5 x 14. Câu 3.  ax  by  3     ax 2  by 2  5   Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn hệ:  3 .  ax  by 3  9    4 4   ax  by  17 Tính giá trị của biểu thức: A  ax5  by 5 và B  ax 2001  ax 2001. Câu 4. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Gọi d1 , d 2 là các đường thẳng vuông góc với AB tương ứng tại A và B. Một góc vuông đỉnh O có một cạnh cắt d1 ở M , còn cạnh kia cắt d 2 ở N . Kẻ OH vuông góc xuống MN . Vòng tròn ngoại tiếp tam giác MHB cắt d1 ở điểm thứ hai E khác M , MB cắt NA ở I , đường thẳng HI cắt EB ở K . Chứng minh rằng K nằm trên một vòng tròn cố định khi góc vuông quay xung quanh đỉnh O. Câu 5. Cho 2001 đồng tiền, mỗi đồng tiền được sơn một mặt bằng màu đỏ và mặt kia bằng màu xanh. Xếp 2001 đồng tiền đó theo một vòng tròn sao cho tất cả các đồng tiền đều có mặt xanh ngửa lên phía trên. Cho phép mỗi lần đổi mặt đồng thời 5 đồng tiền liên tiếp cạnh nhau. Hỏi với cách làm như thế, sau một số hữu hạn lần ta có thể làm cho tất cả các đồng tiền đều có mặt đỏ ngửa lên phía trên được hay không? Tại sao? https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2002 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình: x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2 x  3. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x  xy  y  9. Câu 2.   x 2  y 2  xy  1 Giải hệ phương trình:  .  3 3  x  y  x  3 y   Câu 3. Cho mười số nguyên dương 1, 2,..., 10. Sắp xếp mười số đó một cách tuỳ ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng, ta được mười tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau. Câu 4. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 4a 9b 16c   . b  c  a a  c b a  b c Câu 5. Đường tròn C  tâm I có bán kính r , nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB tương ứng tại các điểm A, B , C . Gọi các giao điểm của đường tròn C  với các đoạn IA, IB, IC lần lượt là M , N , P. a) Chứng minh rằng các đường thẳng A M , B N , C P đồng quy. b) AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng https://thuvientoan.net/ IB  IC  2r . ID ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2003 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Cho phương trình x 4  2mx 2  4  0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn: x14  x24  x34  x44  32. Câu 2.   2 x 2  xy  y  2  y 2  5 x  Giải hệ phương trình:  2 . 2   x  y  x  y  4 Câu 3. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2  xy  y 2  x 2 y 2 . Câu 4. Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB tương ứng tại các điểm D, E , F . Đ đường tròn tâm O  bàng tiếp trong góc BAC tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài của các cạnh AB, AC tương ứng tại các điểm P, M , N . a) Chứng minh rằng BP  CD. b) Trên đường thẳng MN ta lấy các điểm I và K sao cho CK  AB, BI  AC. Chứng minh rằng các tứ giác BICE và BKCF là các hình bình hành. c) Gọi  S  là đường tròn đi qua ba điểm I , K , P. Chứng minh rằng  S  tiếp xúc với các đường thẳng BC , BI , CK . Câu 5. Cho số thực x thay đổi và thỏa mãn x 2  3  x  5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 P  x 4  3  x  6 x 2 3  x . 4 https://thuvientoan.net/ 2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2004 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Giải phương trình: x  3  x 1  2. Câu 2.    x  y  x 2  y 2   3   Giải hệ phương trình:  . 2 2  15 x  y x  y  3        Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x3  y 3  x 2  y 2 .  x 1 y 1 Câu 4. Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông. a) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho MAB  MBC  MCD  MDA. b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ điểm M xuống AB và O là OB trung điểm của AM . Chứng minh rằng tỷ số có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC. ON c) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC , xét các đường tròn  S1  và  S2  có đường kính tương ứng là AM và CN . Hai tiếp tuyến chung của  S1  và  S2  tiếp xúc với  S2  tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với  S1 . Câu 5. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là  a .  n  1  n   . Dãy số x0 , x1 ,..., xn ,... được xác định bởi công thức: xn    2   2  Hỏi trong 200 số  x0 , x1 ,..., x199  có bao nhiếu số khác 0?. Cho biết 1, 41  2  1, 42. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2005 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Giải phương trình: 2  x  2  x  4  x 2  2. Câu 2.   x3  y 3  xy 2  1  Giải hệ phương trình:  4 . 4   4 x  y  4 x  y Câu 3. Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  1. a) Chứng minh rằng: 1  x  y  2. b) Tìm giá lớn nhất và nhỏ nhất của biếu thức: P  1  2 x  1  2 y . Câu 4. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC. a) Giả sử BPC  1350. Chứng minh rằng: 2 PB 2  PC 2  PA2 . b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tương ứng tại các điểm M và N . Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN . Chứng minh rằng khi P thay đổi trong tam giác ABC , đường thẳng PQ luôn đi qua D. Bài 5. a) Cho đa giác đều  H  có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kỳ của  H  luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang. b) Có bao nhiêu phân số tối giản https://thuvientoan.net/ m  1 với m, n là các số nguyên dương thỏa mãn mn  13860. n ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2006 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Chứng minh rằng: A  3 1  84 3 84  1 là một số nguyên. 9 9 Câu 2.  x2  y 2  4x  2 y  3 Giải hệ phương trình:  .  2 2  x  y  5   Câu 3. a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 8 x 2 y 2  x 2  y 2  10 xy. b) Ký hiệu  x  là phần nguyên của số x (số nguyên lớn nhất không vượt quá x ). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có:  3 72n 1   3 9n  3 9n 1   3 72n  7  .       Câu 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O  và I là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AI , BI , CI cắt O  lần lượt tại A, B , C  (khác A, B, C ). Dây cung B C  cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại các điểm M , N . Dây cung C A cắt các cạnh AB, BC tương ứng tại các điểm Q, P. Dây cung A B  cắt các cạnh BC , CA tương ứng tại các điểm F , E. a) Giả sử AM  AN , BP  BQ, CE  CF xảy ra đồng thời. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Giả sử AM  AN  BP  BQ  CE  CF . Chứng minh rằng sáu điểm M , N , P, Q, E , F cùng thuộc một đường tròn. Câu 5. Chứng minh rằng đa giác lồi 2n cạnh n  , n  2 luôn có ít nhất n đường chéo không không song song với bất kỳ cạnh nào của đa giác đó. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2007 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.   x2  4 y 2  5  . a) Giải hệ phương trình:     x  2 y  4 xy  7 b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1  b2  c 2 P  a 2  2  2   .  b c  a2 Câu 2. a) Tìm cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn 5 x 2  y 2  17  2 xy. b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p 4  2 là số nguyên tố. Câu 3. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 vuông góc tại O. Đường tròn O1  tiếp xúc với d1 , d 2 lần lượt tại A, B. Đường tròn O2  tiếp xúc với d1 , d 2 lần lượt tại C , D. a) Chứng minh rằng B là trực tâm tam giác ACD. b) Giả sử CB cắt O1  tại E , AD cắt O2  tại F . Chứng minh rằng ACEF là hình thang cân. Câu 4. Trong các tứ giác có ba cạnh đều bằng a cho trước. Tìm tứ giác diện tích lớn nhất. Câu 5. Cho dãy số a0 , a1 ,..., an ,... được xác định bởi như sau: a0  0 và Chứng minh rằng: an  https://thuvientoan.net/ 2 n 1   2  3  2 3  .  4      an1  2 an  31  an  n  . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2008 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.   2 x2 y  y2 x  1  a) Giải hệ phương trình:  3 . 3   8 x  y  7 b) Cho 0  x  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y  x  2 1 x . Câu 2. a) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 x 2  y 2  3xy  3x  2 y  2  0. b) Tìm số nguyên dương a, b, c sao cho ab 1bc 1ca 1 abc là một số nguyên. Câu 3. a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 8 x 2 y 2  x 2  y 2  10 xy. b) Ký hiệu  x  là phần nguyên của số x (số nguyên lớn nhất không vượt quá x ). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có:  3 72n 1   3 9n  3 9n 1   3 72n  7  .       Câu 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Giả sử các tiếp tuyến với đường tròn O  tại B và C cắt nhau tại P nằm khác phía với A so với BC. Trên cung BC không chứa A lấy điểm K  K  B, C . Đường thẳng PK cắt O  tại điểm thứ hai Q khác A. a) Chứng minh rằng các đường phân giác của các góc KBQ, KCQ đi qua cùng một điểm trên đường thẳng PQ. b) Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ  BC. Câu 5. Cho phương trình: a0 x n  a1 x n1  a2 x n2  ...  an1 x  an  0 thỏa mãn các hệ số a0 , a1 , a2 ,..., an chỉ nhận một trong ba giá trị: 0, hoặc 1, hoặc 1 và a0  0. Chứng minh rằng nếu x0 là nghiệm của phương trình thì x0  2. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2009 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình: 14 x  35  6 x  1  84  x 2  36 x  35. 1 3 2n 1 n2 b) Chứng minh rằng:   ...   2 với n  * . 4 4 4 4 1 43 4n  1 4  2n 1 Câu 2. Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số n  1, n  5, n  7, n  13, n  17, n  25, n  37 đều là số nguyên tố. Câu 3. Hai đường tròn O  và O  cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao A nằm trong đoạn BM  M  A. Từ điểm M kẻ tới đường tròn O  các tiếp tuyến MC , MD với C , D là các tiếp điểm và C nằm ngoài O . Đường thẳng AC cắt lần thứ hai O  tại điểm P và đường thẳng AD cắt lần thứ hai O  tại Q. CD cắt PQ tại K . a) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng. b) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua một điểm cố định. Câu 4. Cho x, y, z là các số thực thuộc 0; 2 và x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức M  x 4  y 4  z 4  12 1 x1 y 1 z . https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình: x  3  3x 1  4.   5 x 2  2 y 2  2 xy  26  b) Giải hệ phương trình:  .   3x  2 x  y  x  y   11 Câu 2. a) Tìm tất cả các sô nguyên dương n để n 2  391 là số chính phương. b) Giả sử x, y, z là những số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  1. Chứng minh rằng: xy  z  2 x 2  2 y 2 1  xy  1. Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Gọi H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E , F lần lượt là hình chiếu của H lên các đường thẳng MB, MC , AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E , F thẳng hàng. a) Chứng minh rằng: M là trực tâm của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Câu 4. Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 , a2 ,..., a2010 , ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó một số số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. Ví dụ với dãy số 8,  4, 4, 1, 2, 1,  2,  3,  4,...,  2005 thì các số được đánh dấu là a2  4, a3  4, a4  1, a5  2. Chứng minh rằng nếu trong dãy đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình:  x 3 x   1 x 1  1.  x2  y 2  2 x2 y2 b) Giải hệ phương trình:  .  2 2  x  y 1  xy  4 x y      Câu 2. a) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a, kí hiệu là  a . Chứng  1 1 minh rằng với mọi số nguyên dương n, biểu thức A  n   3 n    không thể biểu diễn được dưới dạng 27 3   lập phương của một số nguyên dương. 2 b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3x  3 y  2 z 6  x 2  5  6  y 2  5  z 2  5 . Câu 3. Cho hình thang ABCD với BC  AD. Các góc BAD, CDA là các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC ( P không trùng với B, C ). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt PA tại M khác P và đường tròn ngại tiếp tam giác CIP cắt PD tại N khác P. a) Chứng minh rằng năm điểm A, M , I , N , D cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn đó là  K . b) Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng Q cũng năm trên  K . c) Giả sử P, I , Q thẳng hàng. Chứng minh rằng: PB BD  . PC CA Câu 4. Cho A là một tập con của tập hợp các số tự nhiên . Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x  A x  1 , luôn tồn tại a, b cũng thuộc A sao x  a  b ( a có thể bằng b ). Hãy tìm một tập a có phần tử nhỏ nhất. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình:   x 4 2  4  x  2  2 x.   xy  x  y   2 b) Giải hệ phương trình:  .  3 3  9 xy 3 x  y  6  26 x  2 y     Câu 2. a) Tìm hai chữ số cuối cùng của số A  41106  57 2012. b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y  3 2 x 1  x 5  4 x 2 với 1 5 x . 2 2 Câu 3. Cho tam giác ABC có AB  AC , nội tiếp đường tròn O . Giả sử M , N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM , AB. Gọi P là hình chiếu vuông góc của C trên AN và Q là hình chiếu vuông góc của M trên AB. a) Giả sử CP cắt QM tại T . Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn O . b) Gọi giao điểm của NQ và O  là R khác N . Giả sử AM cắt PQ tại S . Chứng minh rằng bốn điểm A, R, Q, S cùng thuộc một đường tròn. Câu 4. Với mỗi số nguyên n  2 cố định, xét các tập n số thực đôi một khác nhau X   x1 , x2 ,..., xn . Kí hiệu C  X  là số các giá trị khác nhau của tổng x j  xi với 1  i  j  n. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của C  X . https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình: x  3  1 x 2  3 x 1  1 x .   x3  y 3  1  y  x  xy  . b) Giải hệ phương trình:    7 xy  y  x  7 Câu 2. a) Tìm các cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn: 5 x 2  8 y 2  20412. b) Giả sử x, y là hai số thực dương thỏa mãn x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1  P     1  x 2 y 2 .  x y  Câu 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O  có trực tâm H . Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC  P  B, C , H  và nằm trong tam giác ABC. PB cắt O  tại M khác B, PC cắt O  tại N khác C. BM cắt AC tại E , CN cắt AB tại F . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhạu tại Q khác A. a) Chứng minh rằng ba điểm M , N , Q thẳng hàng. b) Giả sử AP là phân giác trong MAN . Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của BC. Câu 4. Cho dãy số thực có thứ tự x1  x2  x3  ...  x192 thỏa mãn các điều kiện: i) x1  x2  ...  x192  0. ii) x1  x2  ...  x192  2013. Chứng minh rằng: x192  x1  https://thuvientoan.net/ 2013 . 96 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2014 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giả sử x, y là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn: y 2 y2 4 y4 8 y8  2    4. x  y x  y 2 x 4  y 4 x8  y 8 Chứng minh rằng: 5 y  4 x.  2 x 2  3 y 2  xy  12 b) Giải hệ phương trình:  .  2 2  6 x  x y  12  6 y  y x   Câu 2. a) Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 4 x 2 y 2  7  x  y  là số chính phương. Chứng minh rằng: x  y. b) Giả sử x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x3  y 3  xy  x 2  y 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P  1 x 2  x  . 2  y 1 y Câu 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O  và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn PB  PC. Gọi D là diểm thuộc cạnh BC  D  B, D  C  sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC. Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C. a) Chứng minh rằng bốn điểm A, E , P, F cùng thuộc một đường tròn. b) Đường thẳng AD cắt đường tròn O  tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L. Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF . c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB. Chứng minh rẳng: QKL PAB  QLK  PAC Câu 4. Cho tập hợp A có 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn: i) Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử. ii) Nếu tập thuộc dãy có chung ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của hai tập này phải khác nhau. Chứng minh rằng: m  900. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 27  a  b  c  24  3a  b  c  3b  c  a   3c  a  b 3 3 3 3 Chứng minh rằng: a  2bb  2a c  2a   1.  2 x  2 y  xy  5 b) Giải hệ phương trình:  .  3 3 2  27 x  y  y  7  26 x  27 x  9 x     Câu 2. a) Tìm số tự nhiên n để n  5 và n  30 đều là số chính phương. b) Tìm hai số nguyên x, y thỏa mãn 1  x  y  3  x  y . c) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y z   . y  z4 z  x4 x  y4 Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC không cân với AB  AC. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của B trên AM . Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN  2 MH . a) Chứng minh rằng: BN  AC. b) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N . Đường thẳng AC cắt BQ tại D. Chứng minh rằng bốn điểm B, D, N , C cùng thuộc một đường tròn, gọi đường tròn này là O . c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt O  tại G khác D. Chứng minh rằng: NG  BC. Câu 4. Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên mặt phẳng. Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S . https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2016 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình: 5x 2  6 x  5  64 x3  4 x . 5x2  6 x  6   x2  4 y 2  5  b) Giải hệ phương trình:  2 . 2   4 x y  8 xy  5 x  10 y  1 Câu 2. a) Với x, y là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức: x 2  1 y 2 1  . Chứng minh rằng: x 2  y 2 chia hết cho 40. 2 3 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn x 4  2 x 2  y 3 . Câu 3. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O . P là điểm thuộc cung nhỏ AD của đường tròn O  và P  A, D. Các đường thẳng PB, PC lần lượt cắt AD tại M , N . Đường trung trực của AM cắt AC , PB lần lượt tại E , K . Đường trung trực cảu DN cắt BD, PC lần lượt tại F , L. a) Chứng minh rằng ba điểm K , O, L thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường thẳng PO đi qua trung điểm của EF . c) Giả sử đường thẳng EK cắt đường thẳng BD tại S , các đường thẳng FL và AC cắt nhau tại T . Đường thẳng ST cắt các đường thẳng PC , PB tại U , V . Chứng minh rằng bốn điểm K , L, U , V cùng thuộc một đường tròn. Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  3 luôn tồn tại một cách sắp xếp bộn n số 1, 2, 3,..., n thành x  xk x1 ; x2 ; x3 ;...; xn sao cho x j  i với mọi bộ chỉ số i, j , k  mà 1  i  j  k  n. 2 https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.  x  y  x  3 y a) Giải hệ phương trình:  .  2 2  x  y  xy  3   b) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn ab  a  b  1. Chứng minh rằng: a b 1  ab   . 2 2 1 a 1 b 2 1  a 2 1  b 2  Câu 2. a) Cho p, q là hai số nguyên tố thỏa mãn p  p 1  q q 2 1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho p 1  kq, q 2 1  kp. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thỏa mãn đẳng thức. b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M a 1 b 1 c 1  2  2 . a  2a  2 b  2b  2 c  2c  2 2 Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn với AB  AC. Gọi E , F lần lượt là trung diểm của CA, AB. Trung trực của đoạn thẳng EF cắt BC tại D. Giả sử có điểm P nằm trong EAF và nằm ngoài tam giác EAF sao cho PEC  DEF và PFB  DFE. PA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF tại Q khác P. a) Chứng minh rằng: EQF  BAC EDF . b) Tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF cắt CA, AB lần lượt tại M , N . Chứng minh rằng bốn điểm C , M , B, N cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn là  K . c) Chứng minh rằng đường tròn  K  tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . Câu 4. Cho n là số nguyên dương, n  5. Xét một đa giác lồi n cạnh. Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác mà các đường chéo này chia đa giác đã cho thành đúng k miền, mỗi miền là một ngũ giác lồi (hai miền bất kì không có điểm trong chung). a) Chứng minh rằng ta có thể thực hiện được với n  2018, k  672. b) Với n  2017, k  672 ta có thể thực hiện được không? Vì sao? https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2018 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình: 9  3 x 3  2 x   7 x  5 3  2 x .   xy  x  y   2 b) Giải hệ phương trình:  .  3 3 3 3  x  y  x y  7 x  1 y  1  31      Câu 2. a) Cho x, y là các số nguyên sao cho x 2  2 xy  y và xy  2 y 2  x đều chia hết cho 5. Chứng minh rằng 2 x 2  y 2  2 x  y cũng chia hết cho 5. b) Cho a1 , a2 , a3 ,..., a50 là các số nguyên thỏa mãn: 1  a1  a2  ...  a50  50 và a1  a2  ...  a50  100. Chứng minh rằng từ các số đã cho ta có thể chọn được một vài số có tổng bằng 50. Câu 3. Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn O  có CD  BE. Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại P. Điểm M thuộc đoạn BE sao cho MAB  PAE. Điểm K thuộc đường thẳng AC sao cho MK  AD, điểm L thuộc đường thẳng AD sao cho ML  AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC lần lượt cắt BD, CE tại Q, S Q khác B, S khác C . a) Chứng minh rằng ba điểm K , M , Q thẳng hàng. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE lần lượt cắt BD, CE tại T , R T khác D, R khác E . Chứng minh rằng năm điểm M , S , Q, R, T cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với đường tròn O . Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:  ab bc  1 1      2    a  b  a  b b  c  b  c   https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2019 MÔN THI: TOÁN (thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. a) Giải phương trình: 27  x 2  x 2  5   x 2  x  27  2 x . 2  5  2x   3x 2  y 2  4 xy  8  b) Giải hệ phương trình:  .  x  y  x 2  xy  2  8     Câu 2. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: 27n  5 10  10n  27  5  5n 10  27 7 7 7 7 7 7 chia hết cho 42. b) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 4 x 2  4 y 2 17 xy  5 x  5 y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của thức: P  17 x 2 17 y 2 16 xy. Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A, có đường tròn nội tiếp  I . Các điểm E , F theo thứ tự thuộc các cạnh CA, AB  E khác C và A, F khác B và A sao cho EF tiếp xúc với đường tròn  I  tại điểm P. Gọi K , L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E , F lên BC. Giả sử FK cắt EL tại điểm J . Gọi H là hình chiếu vuông góc của J lên BC. a) Chứng minh rằng HJ là phân giác của EHF . b) Ký hiệu S1 và S2 lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJL và CEJK . Chứng minh rằng: S1 BF 2  . S2 CE 2 c) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm P, J , D thẳng hàng. Câu 4. Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019 đến 2019. Chứng minh rằng trong 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ tập M luôn tồn tại 3 số đôi một phân biệt có tổng bằng 0. https://thuvientoan.net/ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020 MÔN THI: TOÁN (VÒNG 2) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.  x  y  x 1  4  . a) Giải hệ phương trình:   2 3 3  y  xy  x  y  5 x  y  12 y  13  243       b) Giải phương trình:  x 12   2 x 12  24  3 x  0. 7 7 7 Câu 2. a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho cả ba số 4a 2  5b, 4b2  5c, 4c 2  5a đều là bình phương của một số nguyên dương. b) Từ một bộ bốn số thực  a, b, c, d  ta xây dựng bộ số mới a  b, b  c, c  d , d  a và liên tiếp xây dựng các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu được cùng một bộ số (có thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng a,  a, a,  a. Câu 3.   900. Điểm E thuộc cạnh AC sao cho  AEB  900. Gọi P là giao điểm Cho tam giác ABC cân tại có BAC của BE với trung trực BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Gọi Q là hình chiếu vuông góc của E lên AP. Gọi giao điểm của EQ và PK là F . a) Chứng minh rằng bốn điểm A, E , P, F cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi giao điểm của KQ và PE là L. Chứng minh rằng LA vuông góc với LE. c) Gọi giao điểm của FL và AB là S . Gọi giao điểm của KE và AL là T . Lấy R là điểm đối xứng của A qua L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc nhau. Câu 4. Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng: 1 1 1  a 4 b c 3   1  1   3   .  a b c   bc ca ab  abc 2 https://thuvientoan.net/