Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

GIÁO VÀ ĐÀO OỞ ẠTHÀNH PH ĐÀ NGỐ ẴĐ CHÍNH TH CỀ THI CH SINH GI 9Ỳ ỚNĂM 2010­2011ỌMôn thi: TOÁNTh gian: 150 phút (không tính th gian giao đ)ờ ềBài 1. 2,0 đi mể )Cho bi th c: ứ2a 1Ma a   0, 1.a) Ch ng minh ng 4. b) nh ng giá tr nào thì bi th ứ6NM nh giá tr nguyên?ậ ịBài 2. 2,0 đi mể a) Cho các hàm nh t: ấy 0, 5x 3 x và mx có th nồ ầl là các đng th ng (dượ ườ ẳ1 ), (d2 và m ). nh ng giá tr nào tham thìớ ốđng th ng (ườ m hai đng th ng (dắ ườ ẳ1 và (d2 hai đi và Bầ ượ ểsao cho đi có hoành âm còn đi có hoành ng?ể ươb) Trên ph ng Oxy, cho và là hai đi phân bi t, di đngặ ộl trên tr hoành và trên tr tung sao cho đng th ng MN luôn đi quaầ ượ ườ ẳđi đnh ịI(1 2) Tìm th liên gi hoành và tung aệ ủN; đó, suy ra giá tr nh nh bi th ứ2 21 1.QOM ON Bài 3. 2,0 đi mể )a) Gi ph ng trình: ươ17 20112 .  x xyx xy b) Tìm các giá tr x, y, sao cho:ấ ủ1x 3).2 Bài 4. 3,0 đi mể Cho đng tròn (ườ tâm và đng kính AB đnh. là đi diớ ườ ểđng trên (ộ sao cho không trùng các đi và B. là đi điớ ốx ng qua A. Đng th ng vuông góc AB đng th ng AMứ ườ ườ ẳt N. Đng th ng BN đng tròn (ạ ườ ườ đi th hai là E. Các đngạ ườth ng BM và CN nhau F.ẳ ạa) Ch ng minh ng các đi A, E, th ng hàng.ứ ẳb) Ch ng minh ng tích AMứ AN không đi.ổc) Ch ng minh ng là tr ng tâm tam giác BNF khi và ch khi NF ỉng nh t.ắ ấBài 5. 1,0 đi mể Tìm ba ch cùng tích hai nguyên ng đu tiên.ữ ườ ươ ầ­­­H T­­­ẾH và tên thí sinh:ọ ................................................. báo danh: ố........................Ch ký giám th 1:ữ ............................. Ch ký giám th ị2: ...........................S GIÁO VÀ ĐÀO OỞ ẠTHÀNH PH ĐÀ NGỐ KÌ THI CH SINH SINH GI 9Ọ ỚNĂM 2010­2011ỌMôn thi: TOÁNH NG CH MÔN TOÁN 9ƯỚ ỚD đây là bi đi thi sinh gi 9. Các Giám kh th oướ ượ ảlu th ng nh thêm chi ti gi cũng nh thang đi bi đi đã trình bày. ch mậ ấcó th phân chia nh thang đi đn 0,25 đi cho ng thi. Tuy nhiên, đi ng bài,ể ừt ng câu không đc thay đi. dung th lu và đã th ng nh khi ch đc ghi vào biênừ ượ ượb th vi ch phúc kh sau này đc th ng nh và chính xác. ượ ấH sinh có gi khác đúng, chính xác nh ng ph trong ch ng trình đc cọ ươ ượ ọthì bài làm đúng đn nào giám kh cho đi đó.ế ểVi làm tròn đi bài ki tra đc th hi theo quy đnh Giáo vàệ ượ ụĐào Quy đnh 40/2006/BGD­ĐT.ạ BÀI­Ý ­ĐÁP ÁNỀ ĐI MỂBài Cho bi th c: 2a 1Ma a   0, 1.a) Ch ng minh ng ằM 4. b) nh ng giá tr nào thì bi th ứ6NM nh giá tr nguyên.ậ ị2,00 1.a(1,25đ) Do 0, nên: 1)(a 1) 1a 1) a   và0,252a (a 1)(a 1) (a 1) (a 1)(a 1) 1a (1 a) (1 a   0,25 1M 2a 0,25Do 0; 1 nên: 2( 1) a 0,25 aM 4a 0,251.b(0,75đ) Ta có 30 NM 2 do đó ch có th nh đc giá tr nguyên là 1ỉ ượ ị0,25Mà a1a a 0 2( 2) 3 hay 3 (phù p)ợ0,25V y, nguyên 2a (2 3) 0,25Bài 2a) Cho các hàm nh t: ấy 0, 5x 3 x và mx có th nồ ầl là các đng th ng (dượ ườ ẳ1 ), (d2 và m ). nh ng giá tr nào tham thìớ ốđng th ng (ườ m hai đng th ng (dắ ườ ẳ1 và (d2 hai đi và saoầ ượ ểcho đi có hoành âm còn đi có hoành ng?ể ươb) Trên ph ng Oxy, cho và là hai đi phân bi t, di đng nặ ầl trên tr hoành và trên tr tung sao cho đng th ng MN luôn đi qua đi cượ ườ 2,00đnh ịI(1 2) Tìm th liên gi hoành và tung N; đó, suyệ ừra giá tr nh nh bi th ứ2 21 1.QOM ON 2.a(0,75đ) Đi ki (ề m là th hàm nh là ấm 00,25Ph ng trình hoành giao đi (dươ ủ1 và m là:0, 5x mx (m 0, 5)x 3 Đi kiên ph ng trình này có nghi âm là ươ ệm 0, hay 0, 5 0,25Ph ng trình hoành giao đi (dươ ủ2 và m là:6 mx (m 1)x 6 Đi kiên ph ng trình này có nghi ng là ươ ươm hay 1 V đi ki tìm là: ầ1 0, 5; 0 0,252.b(1,25đ) Đt xặM và yN và (*)Nên đng th ng qua ba đi M, I, có ng: ax+bườ 0,25 am b2 bn b   th liên gi và là ữ2m mn 0,25Chia hai cho ta đc: ượ1 21m n (**) 22 21 11 5m mn n    0,25 21 1Q ;m 5 “=” ra khi ả2 1;m n (**): 5, 2,5 (th ỏ(*)) 0,25V giá tr nh nh là 15 0,25Bài a) Gi ph ng trình: ươ17 20112 .  x xyx xy (1) b) Tìm các giá tr x, y, sao cho:ấ 1x 3)2 (2)2,0 đ3.a(1,25đ) ế0xy thì 17 21 1007920119490(1)1 91 490310079xy xyyy xx        (phù p)ợ0,50N ế0xy thì 17 21 100420119(1) 01 21 1031318y xyxyy xx         (lo i)ạ0,25N ế0xy thì (1)0x y (nh n).ậ0,25KL: có đúng nghi là (0; 0) và 9;490 1007   0,253.b(0,75đ) Đi ki 0; 0; 00,25(2) 3 2( 1) 1) 1) 0 0,25 1y 1z 1   1y 3z 2 (th đi ki n)ỏ ệ0,25Bài Cho đng tròn (ườ tâm và đng kínhớ ườAB đnh. là đi di đng trên (ố )sao cho không trùng các đi và B.ớ ểL là đi đi ng qua A. Đngấ ườth ng vuông góc AB đngẳ ườth ng AM N. Đng th ng BN đngẳ ườ ườtròn đi th hai là E. Các đngạ ườth ng BM và CN nhau F.ẳ ạa) Ch ng minh ng các đi A, E, Fứ ểth ng hàng.ẳb) Ch ng minh ng tích AMứ AN không đi.ổc) Ch ng minh ng là tr ng tâm ủtam giác BNF khi và ch khi NF ng nh t.ỉ ấC( )FENCOABM 3,0 đ4.a(1,00đ)MN BF và BC NF 0,25 là tr tâm tam giác BNF ủ0,25 FA NBL có ạAE NB0,25Nên A, E, th ng hàng ẳ0,254.b(0,75đ)··CAN MAB nên hai tam giác ACN và AMB đng ng.ồ ạ0,25Suy ra: AN ACAB AM0,25Hay 2AM AN AB AC 2R không đi (v là bán kính đng tròn (ổ ườ ))0,254.c(1,25đ) Ta có 2BA BC3 nên là trong tâm tam giác BNF là trung đi NF (3)ể0,25M khác: ặ··CAN CFM nên hai tam giác CNA và CBF đng ngồ 2CN ACCN CF BC AC 3RBC CF 0,25Áp ng đng th Cô­si, ta có: ứNF CN CF CN CF 2R 3 không điổ0,25Nên: NF ng nh CN =CF là trung đi NF (4)ể0,25(3) và (4) cho ta: là trong tâm tam giác BNF NF ng nh tắ ấ0,25Bài 5Tìm ba ch cùng tích hai nguyên ng đu tiên.ữ ườ ươ 0,75 (1,00đ) Đt: 1ặ 10 11 12 100S 11 12 (1) là nguyên ố hai ch cùng là 00ữ ủ0,50M khác, trong su quá trình nhân liên ti các th ph (1), chặ ỉđ đn ch cùng, ta th ấ100 có ch cùng là (vì 3ữ 4=12; 6=12;2 7=14; 8=32; 9=18; 11=88; 12=96)0,25V ba ch cùng là 600ậ 0,25­­­ ­­­ế3.b(0,75đ) Đi ki 0; 0; 00,25Theo BĐT Cauchy: 1x x2 2  1VP 3) VT2 0,25 Do đó 1y 1z 1   1y 3z 2 th đi ki nỏ ệ0,25 PHÒNG GD­ĐT TH THI CH SINH GI TOÁN (Đ Ố3) năm 2011 2012ọ Môn TOÁN (Th gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)Bài 3,0 đi m)ểCho các ng: a; và =ố ươ122bab Xét bi th ứbxaxaxaxa311. Ch ng minh xác đnh. Rút P.ứ ọ2. Khi và thay đi, hãy tìm giá tr nh nh P.ổ ủBài (3,0 đi m)ểTìm x; y; tho mãn sau:ả ệxzzzyyyxx36232423223333Bài 3,0 đi m)ểV nguyên ng 2008, đt Sớ ươ ặn +b =ớ253 =253.1. Ch ng minh ng 1, ta có Sứ ớn (a b)( 1) ab(a n)2. Ch ng minh ng tho mãn đi ki bài, Sứ ền là nguyên.ố3. Ch ng minh Sứn 2215215nn Tìm các Sấ ển– là chính ph ng.ố ươBài (5,0 đi m)ểCho đo th ng AB và đi gi đi và đi sao cho AE <ạ ểBE. đng tròn (Oẽ ườ1 đng kính AE và đng tròn (Oườ ườ2 đng kính BE. Vườ ẽti tuy chung ngoài MN hai đng tròn trên, là ti đi thu cế ườ ộ(O1 và là ti đi thu (Oế ộ2 ).1. là giao đi các đng th ng AM và BN. Ch ng minh ngọ ườ ằđng th ng EF vuông góc đng th ng AB.ườ ườ ẳ2. AB 18 cm và AE cm, đng tròn (O) đng kính AB. Đngớ ườ ườ ườth ng MN đng tròn (O) và D, sao cho đi thu cung nh AD.ẳ ườ ỏTính dài đo th ng CD.ộ ẳBài (4đ): Cho ABC đng th ng AB và AC và trung tuy AM theo th .ườ ựLà a) Ch ng minh ứANAMAFACAEAB2b) Gi đng th ng // BC. Trên tia đi tia FB đi K, đng th ng KN ườ ườ ẳc AB đng th ng KM AC Q.ắ ườ Ch ng minh PQ//BC.ứBài (2 đi m)ể Cho a, b,c <1 .Ch ng minh ng :ứ accbbacba2223333222­­­­­­­­­­­­­ T­­­­­­­­­­­­­ẾH NG CH M: 3ƯỚ ỐCâu 1. (3,0 đi m)ểTóm gi iắ Điểm1. (2.0 đi m)ểTa có: a; b; (1)Xét =01)1(22bba (2)Ta có 0xaxa (3)T (1); (2); (3) xác đnhịRút n:ọTa có: =1)1(12222bbababa 1)1(2babxa =1)1(12222bbababa 112babxa bbbbbbbabbabbabbab31111131111)1(111)1(2222• N? =bbb343122• N? b1 bbbb3133122. (1.0 đi m)ểXét tr? ng h? p: 0,250,250,250,250,250,250,250,25• N? 1, d? ng tu? thì b3 43>• N? b1 d? ng tu? thì 3231331bbbbb Ta có: 32313bb d? b? ng x? ra khi và ch? khi 1M? khác: 3232b d? b? ng x? ra khi và ch? khi 1V? 343232, d? b? ng x? ra khi và ch? khi 1KL: Giá tr? nh? nh? c? =34 0,250,250,250,25Câu (3,0 đi m)ểTóm gi iắ ĐiểmBi? đ? t? ng đ? ng h? ta có)2(3)1)(2()2(2)1)(2(2)1)(2(222xzzzyyyxxNhân các v? c? ph? ng trình v? nhau ta đ? ?c:(x 2)(y 2) (z 2)(x+1) 2(y+1) 2(z+1) 2= 6(x 2)(y 2) (z 2)(x 2)(y 2) (z 2)6)1()1()1(222zyx 0(x 2)(y 2) (z 2) 0x ho?c ho?c 2V? ho? ho? thay vào h? ta đ? có 2V tho mãn đã choậ 1,000,500,250,250,250,500,25Câu (3,0 đi m)ểTóm gi iắ Điểm1. (1,0 đi m)ểV? thì Sn n+2 n+2 (1)M? khác: (a b)( +b 1) ab(a +b n) n+2 n+2 (2)T (1); (2) ta có đi ph ch ng minhừ ứ2. (1.0 đi m)ểTa có: S1 3; S2 7Do =3; ab =1 nên theo ta có: thì Sn+2 3Sn+1 SnDo S1 S2 nên S3 do S2 S3 nên S4 ZTi quá trình trên ta đc Sế ượ5 S6 ;...; S2008 Z3. (1.0 đi m)ể 0,250,500,250,250,250,250,25Ta có Sn 22125212522nn nnn215215221521522 =2215215nn đpcmĐt aặ1 =215 b1 215 a1 b1 a1 b1 1Xét Un 1n na bV thì Un+2 (a1 b1 )(a1 n+1 b1 1) a1 b1 (a1 b1 n) Un+2 Un+1 UnTa có U1 U2 U3 U4 35 ;...Ti quá trình trên ta đc Uế ượn nguyên n lẻV Sn là chính ph ng ươ n 2k+1 và 0 1003 0,250,250,250,25Câu (5,0 đi m)ểTóm gi iắ Điểm1. (2,5 đi m)ể O1 M; O2 MN O1 M/ O2 Do O1 E; O2 th ng hàng nên MO1 NO2 BCác tam giác O1 ME; O2 NB cân Oầ ượ ạ1 và O2 nên ta có: MEO1 NBO2 (1)M khác ta có: AME 90 MAE MEO1 90 (2) MAE NBO2 90 AFB 90 0,250.250,250,250,500,250,250,250,25FO1 O2OEA BC DS giác FMEN có góc vuông giác FMEN là hình ch nh tứ ậ NME FEM (3)Do MN MO1 MNE EMO1 90 (4) Do tam giác O1 ME cân Oạ1 MEO1 EMO1 (5)T (3); (4); (5) ta có: FEM MEO1 90 hay FEO1 90 (đpcm)2. (2,5 đi m)ểTa có EB 12 cm O1 cm O2 cm MN AB gi và B.ắ ữG là trung đi CD CD OI OI// O1 //O2 2121SOSONOMOSO2 2SO1 SO1 +O1 O2 2SO1 SO1 O1 O2Do O1 O2 cm SO1 O1 O2 cm SO =SO1 O1 15cmM khác:ặ11SOSOMOOI OI cmXét tam giác COI vuông ta có: CIạ OI 2= CO CI 25 CO 2Ta có: CO cm CI 25 81 CI 56 CD 414 cm 0,250,250,50,250,250,50,250,25Câu (2,0 đi m)ểĐiểma) ẻEFCSBI//, ),(AMSITa có: ANASAFACANAIAEAB,)(ANASANAIAFACAEAB Ta có: CSMBIM (cgc) MSIM y: ậAMMSIMAIAIASAI2 Thay vào (*) ta đc (đpcm) ượ 1,0EEISMNCB