Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

thuvientoan.net  Sưu tầm và tổng hợp BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYÊN MÔN TOÁN LỚP 9 Thanh Hóa, ngày 8 tháng 3 năm 2020 1 50 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP QUẬN, HUYỆN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện t h i h ọc sinh giỏi môn toán lớp 9, website thuvvientoan.net giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 của các huyện trên cả nước có hướng dẫn giải cụ thể. Đây là bộ đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp 9 có một tài liệu bám sát đề thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề gồm nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp các em phát triển tư du y môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền tảng để có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn. Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi lớp 9 này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Bộ đề này được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi và hướng dẫn giải đề ngay dưới đề thi đó dựa trên các đề thi chính thức đã từng được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi toán lớp 9 ở các quận, huyện trên cả nước. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này! 2 MỤC LỤC Phần 1. Đề thi Phần 2. Đáp án • Đề 1:______________________________________________________Trang ….56 • Đề 2:______________________________________________________Trang ….59 • Đề 3:______________________________________________________Trang ….63 • Đề 4:______________________________________________________Trang ….65 • Đề 5:______________________________________________________Trang ….70 • Đề 6:______________________________________________________Trang ….73 • Đề 7:______________________________________________________Trang ….78 • Đề 8:______________________________________________________Trang ….82 • Đề 9:______________________________________________________Trang ….85 • Đề 10:_____________________________________________________Trang ….88 • Đề 11:_____________________________________________________Trang ….91 • Đề 12:_____________________________________________________Trang ….95 • Đề 13:_____________________________________________________Trang ….99 • Đề 14:_____________________________________________________Trang ….102 • Đề 15:_____________________________________________________Trang ….106 • Đề 16:_____________________________________________________Trang ….109 • Đề 17:_____________________________________________________Trang ….113 • Đề 18:_____________________________________________________Trang ….115 • Đề 19:_____________________________________________________Trang ….119 • Đề 20:_____________________________________________________Trang ….123 • Đề 21:_____________________________________________________Trang ….128 • Đề 22:_____________________________________________________Trang ….131 • Đề 23:_____________________________________________________Trang ….135 • Đề 24:_____________________________________________________Trang ….138 • Đề 25:_____________________________________________________Trang ….142 • Đề 26:_____________________________________________________Trang ….145 • Đề 27:_____________________________________________________Trang ….149 • Đề 28:_____________________________________________________Trang ….153 • Đề 29:_____________________________________________________Trang ….157 • Đề 30:_____________________________________________________Trang ….162 • Đề 31:_____________________________________________________Trang ….166 • Đề 32:_____________________________________________________Trang ….170 • Đề 33:_____________________________________________________Trang ….173 • Đề 34:_____________________________________________________Trang ….179 • Đề 35:_____________________________________________________Trang ….181 3 • Đề 36:_____________________________________________________Trang ….184 • Đề 37:_____________________________________________________Trang ….186 • Đề 38:_____________________________________________________Trang ….190 • Đề 39:_____________________________________________________Trang ….193 • Đề 40:_____________________________________________________Trang ….197 • Đề 41:_____________________________________________________Trang ….201 • Đề 42:_____________________________________________________Trang ….205 • Đề 43:_____________________________________________________Trang ….209 • Đề 44:_____________________________________________________Trang ….212 • Đề 45:_____________________________________________________Trang ….215 • Đề 46:_____________________________________________________Trang ….219 • Đề 47:_____________________________________________________Trang ….222 • Đề 48:_____________________________________________________Trang ….225 • Đề 49:_____________________________________________________Trang ….229 • Đề 50:_____________________________________________________Trang ….233 4 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/10/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 1 (Đề thi có một trang) Câu 1. Cho biểu thức: P= x2 − x x+ x +1 − 2x + x x + 2 ( x − 1) x −1 . a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. c. Xét biểu thức: Q = Câu 2. (4,5 điểm) 2 x , chứng tỏ 0 < Q < 2. P 2014 2015 và 2014 + 2015 2014 b. Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 ≤ 0 . a. Không dùng máy tính hãy so sánh : c. Giải phương trình: Câu 3. (4,0 điểm) a. ( Với x = 5+2 ) 3 + 2015 . 1 5 + = 4. x+3 x+4 17 5 − 38 ( . Tính giá trị của biểu thức: B = 3x 3 + 8x 2 − 2 ) 2015 5 + 14 − 6 5 b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x + 1)  y đồng thời (3y + 1)  x. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a. Chứng minh rằng: S Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; AEF = cos 2 A. S ABC b. Chứng minh rằng : S DEF = (1 − cos2 A − cos2 B − cos2 C ) .S ABC c. Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1. HA HB HC d. Chứng minh rằng: + + ≥ 3. BC AC AB Câu 5. (1,5 điểm) Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = A 36 x − 5 y . ___________________Hết_________________ . 5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH HÀ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 2 (Đề thi có một trang) Câu 1. 1 a) Tính giá trị của đa thức f(x) = (x 4 − 3x + 1)2016 tại x = + 9− 9 − 5 4 2.2016 b) So sánh 2017 2 − 1 − 2016 2 − 1 và 2 2017 − 1 + 2016 2 − 1 1 9 + 5 4 sin 2 x cos 2 x + với 00 < x < 900 1 + cot x 1 + tan x d) Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 2 3 − =−9 − 20 5 a+b 5 a−b 5 Câu 2. Giải các phương trình sau: c) Tính giá trị biểu thức: sin x.cos x + a) 3 2 x −1 x − 3 − = − x − 3 x −1 2 3 b) x 2 − 5x + 8= 2 x − 2 Câu 3. a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0 c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số. a 4 + b4 Câu 4. a) Chứng minh rằng ≥ ab 3 + a 3 b − a 2 b 2 2 1 1 1 b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện + + =2 a+b+1 b+c+1 c+a+1 Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a). Câu 5. Cho ∆ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC 1 b) Giả sử HD = AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3 c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng. ___________________Hết_________________ 6 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KINH MÔN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 3 (Đề thi có một trang) Câu 1. ( 2,5 điểm ) 1. So sánh : 2008 2009 + 2. Cho biểu thức B = 2009 2008 1 1 + và 1 2 + 2008 + 2009 1 3 + ... + 1 2010 . Chứng minh rằng B > 86 Câu 2. (1,0 điểm ) Chứng minh biểu thức : P = ( x 3 − 4 x − 1) 2010 có giá trị là một số tự nhiên với x= 3 10 + 6 3 .( 3 − 1) 6+2 5 − 5 Câu 3. ( 2,5 điểm ) 1. Giải phương trình sau: 2 x − 1 + 2 = x 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn y = x 2 + 4 x + 5 Câu 4. (3,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I 1. Chứng minh : 1 1 1 + = 2 2 AM AK AB 2 2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN. 3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P ∈ IK, Q ∈ AK, R ∈ AI). Xác định vị trí của O để OP 2 + OQ 2 + OR 2 nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 5. ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≤ 9 . ___________________Hết_________________ 7 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 4 (Đề thi có một trang) 1 Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức : B = x −1 − x + 1 x −1 + x + x x −x x −1 a. Rút gọn biểu thức B. b. Tìm x để B > 0. c. Tính giá trị của B khi : x = 53 9−2 7 Câu 2. (4,0 điểm) a. Giải phương trình : b. Chứng minh rằng: x − 1 + 4 x − 5 + −1 + x − 4 x − 5 =4 10 là số vô tỉ. Câu 3. (3,0điểm) a. Vẽ đồ thị hàm số: = y 2x + 1 . b. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số ở câu a với đồ thị hàm số y = 3x – 5. Câu 4. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON. Qua M và N vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C, E cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB). a. Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật. 2 R , góc nhọn giữa CD và OA bằng 600. 3 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE. b. Cho OM = Câu 5. (2,0 điểm) Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích ngũ giác đó. Câu 6. (3,0 điểm) 4 4 4 a. Cho a, b, c là các số thực, chứng minh rằng: a + b + c ≥ abc(a + b+ c) abc = n2 − 1 b. Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho  = (n − 2)2 cba Với n là số nguyên lớn hơn 2. ___________________Hết_________________ 8 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 5 (Đề thi có một trang) Câu 1. (6 điểm)  x−3 x   9−x x −3 x −2 Cho P = − −  1 −  :   x−9   x+ x −6 2− x x + 3   1. Rút gọn P. 2. Tìm x để P > 0 3. Với x > 4, x ≠ 9. Tìm giá trị lớn nhất của P.(x + 1) Câu 2. (4 điểm) 1. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là 1 số chính phương. 2. Cho: a > 0, b > 0 và ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 A = ( a + b + 1) a 2 + b 2 + a+b Câu 3. (2 điểm)  x + 2012 − y =2012 Cho hệ phương trình:   2012 − x + y =2012 1. Chứng minh rằng: x = y 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình. Câu 4. (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A(R > R’). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN của đường tròn (O’) sao cho AM ⊥ AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) với B ∈ (O) và C ∈ (O’) 1. Chứng minh OM // O’N. 2. Chứng minh: Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui. 3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Câu 5. (3 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma, mb, mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng: ma mb mc R + r + + ≤ ha hb hc r 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho: a + b2 chia hết cho a2b – 1. ( ) ___________________Hết_________________ 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THANH HÓA LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 6 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm) Cho P = x x − 2x − x + 2 x x −3 x −2 + x x + 2x − x − 2 x x −3 x +2 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình 5 − 3x − x − 1 x − 3 + 3 + 2x =4 2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Câu 3. (4,0 điểm) 1. Cho a = x + 1 x b=y+ 1 y c = xy + 1 xy Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc 2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 - 1 1 ) < 2(x3 - 3 ) 2 x x Câu 4. (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD 1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau. 2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng. Câu 5. (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC. Câu 6. (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = Hãy tìm GTNN của P = 1 + a 4 + 1 + b 4 ___________________Hết_________________ 9 . 4 10 GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 7 (Đề thi có một trang) Câu 1.(5 điểm) a 6 − 2a 5 + a − 2 a5 + 1 a 5 25 16 = = Biết và 2 x+y x+z (z − y)(2x + y + z) (x + z) a) Tính giá trị biểu thức Q = b) Cho các số nguyên a, b, c ≠ 0 thoả mãn: ( )( )( ) 1 1 1 1 + + = a b c abc Chứng minh rằng: 1 + a 2 1 + b 2 1 + c 2 là số chính phương Câu 2. (4 điểm) x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1) a) Giải phương trình: Câu 3. (4 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a ≥ c, b ≥ c. Chứng minh rằng c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab b) Giả sử f(x) là đa thức bậc 4 với hệ số nguyên. Chứng minh rằng: Nếu f(x)  7 với ∀x ∈ Ζ thì từng hệ số của f(x) cũng  7 Câu 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm a) Tính tổng HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM (AB + BC + CA)2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức (AA')2 + (BB')2 + (CC')2 đạt giá trị nhỏ nhất? Câu 5. (2 điểm) Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho: ME = PF. Các đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ lần lượt tại C và B. Kéo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giác vuông. ___________________Hết_________________ 11 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HUYỆN HOẰNG HÓA LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 12/10/2015 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 8 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm) Cho = A 2 x −9 x−5 x +6 + 2 x +1 x −3 + x +3 2− x (x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9) a) Rút gọn biểu thức A. 1 b) Tìm giá trị của x để A = − . 2 Câu 2. (4,5 điểm) a) Tính 8 − 2 15 − 8 + 2 15 b) Cho x2 – x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức: P = c) Giải phương trình: x + 3x x2 − 9 x 6 − 3x 5 + 3x 4 − x 3 + 2015 . x 6 − x 3 − 3x 2 − 3x + 2015 = 6 2. Câu 3. (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125. b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 không thể là số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 1 AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC. 2 AD b) tanB.tanC = . HD a) SABC = c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF. HB.HC HC.HA HA.HB 1. + + = AB.AC BC.BA CA.CB Câu 5. (1,5 điểm) d) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x2 + y2 + y2 + z2 + z2 + x2 = 2015 . y2 x2 z2 . + + y+z z+x x+y ___________________Hết_________________ 12 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN TRIỆU PHONG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 16/10/2018 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 9 (Đề thi có một trang) Câu 1. (5 điểm) 1. Cho n ∈ N* . Chứng minh rằng: 1 = n + n n +1 ( n + 1) 1 n − 1 n +1 2. Áp dụng tính tổng: = S 2018 1 2 1 +1 2 + 1 3 2 +2 3 + ... + 1 2018 2017 + 2017 2018 3. Viết công thức tổng quát tính S n ? cho biết với những giá trị nào của n thì ta được kết quả S n là số hữu tỉ? Câu 2. (5 điểm) 1. Giải phương trình: x 2 − 7x= 6 x + 5 − 30 2. Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 10x 2 + y 2 + z 2 < 2x + 4y + 6xz − 4 Câu 3. (4 điểm) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh: a b c + + ≥3 b+c −a a +c − b a + b−c Câu 4. (4 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD. 1. Chứng minh: DE = CF. 2. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. 3. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 5. (2 điểm) Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn hai điều kiện: 1. Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 1 . 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. 2. Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng ___________________Hết_________________ 13 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN QUẬN HẢI AN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 10 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm) a) Cho biểu thức A= (x 2 − x −1 Tính giá trị biểu thức A khi x = ( )( ) 2018 + 2019. 3 3 +1 −1 3 − 3 +1 +1 . ) 0 b) Cho x + x 2 + 2019 y + y 2 + 2019 = 2019. Chứng minh: x 2019 + y 2019 = Câu 2. (2,0 điểm) ( ) 1 2 x 2 + 1 + 2x − 1. a) Giải phương trình: ( 4x − 1) x 2 += b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x+ y= 2019. Câu 3. (1,5 điểm) a) Tìm ba chữ số tận cùng của tích mười hai số nguyên dương đầu tiên. b) Cho a, b,c ∈ −1; 2  thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 6. Chứng minh rằng a + b + c ≥ 0. Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) , vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn CA lấy G sao cho GC = 1 AC. Tia OG cắt BC tại M , vẽ ON 3 vuông góc với BG ( N ∈ BG ). a) Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ) ; b) Tia CN cắt đường tròn tại K . Tính KA4 + KB 4 + KC 4 + KD 4 theo R; c) Chứng minh MN = 2 R. Câu 5. (1,0 điểm) Trong một cuộc họp có 6 người. Người ta nhận thấy cứ ba người bất kỳ thì có hai người quen nhau. Chứng minh rằng thế nào cũng có ba người đôi một quen nhau. ___________________Hết_________________ 14 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/10/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 11 (Đề thi có một trang) Câu 1. x 2 Cho biểu thức: P = + + x− x x+2 x ( x+2 )( x −1 x + 2 x ) . d. Rút gọn P. e. Tính P khi x= 3 + 2 2 f. Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên. Câu 2. Giải phương trình: a) x 2 − 10x + 27 = 6−x + x−4 b) x 2 − 2x − x x − 2 x + 4 = 0 Câu 3. a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y 2 + 2xy − 3x − 2 = 0 b) Cho x > 1 và y > 0. Chứng minh: 3 1 ( x − 1) 3  x −1  3 − 2x x  1 + +   + 3 ≥ 3  y  y  x −1 y  c) Tìm số tự nhiên n để A = n 2012 + n 2002 + 1 là số nguyên tố Câu 4. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD (E khác C và D). Đường thẳng AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K. 1 1 a) Chứng minh không đổi + 2 AE AF 2  sin EKF.cosEFK   + sin EFK.cosEKF   b) Chứng = minh cos AKE c) Lấy M là trung điểm của AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD. Câu 5. Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cách hình bình hành, ba điểm H, I, K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên d. Xác định vị trí của d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất. _________________________Hết_______________________ 15 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 28/11/2012 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRIỆU SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 12 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm) 1. Cho biểu thức: = P 15 x − 11 x+2 x −3 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm m để có x thỏa mãn P ( ( + 3 x −2 1− x − 2 x +3 x +3 . ) x +3 = m. 2. Cho hàm số: f ( x ) = x 3 + 6x − 7 ) 2012 Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: x 2 + 5x + 9 = . Tìm f (a ) với a = 3 3 + 17 + 3 3 − 17 . ( x + 5) x 2 + 9. 2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: 2xy 2 + x + y + 1 = x 2 + 2y 2 + xy. Câu 3. (4,0 điểm) 13 − 2012 đều là số nguyên. x 2. Cho ba số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng: 1. Tìm các số thực x sao cho x + 2012 và Nếu x + y + z > 1 1 1 + + thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1. x y z Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.  = 135o . Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2. a) Giả sử BPC b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và AB tương ứng tại các điểm M và N. Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D. 2. Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh AC. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1. 1 Chứng minh rằng SABC ≤ (SABC là diện tích tam giác ABC). 3 Câu 5. (2,0 điểm) Với x, y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = Q 4y 3 x3 + 3 x 3 + 8y 3 y3 + ( x + y ) _________________________Hết_______________________ 16 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỦY NGUYÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 13 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,5 điểm) x+3 x +2 x+ x   1 1  Cho biểu thức P = − +   :   . (với x − 1 x + x − 2 x + 1 x − 1     x > 0; x ≠ 1 ) a) Rút gọn biểu thức P; b) Với giá trị của x ta có Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 1 x +1 − ≥ 1. P 8 x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x 2 + 4x + 3. b) Cho các số thực x, y, z ≠ 0 thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + 1 1 1 + 2+ 2 = 6. Tính giá trị 2 x y z biểu thức P = x 2017 + y 2018 + z 2019 . Câu 3. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng A = n 2 + n + 2 không chia hết cho 15 với mọi số nguyên n. b) Có tồn tại hay không các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện 2016x 2017 + 2017y 2018 = 2019. Câu 4. (3,0 điểm) Từ điểm P nằm ngoài đường tròn ( O; R ) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC của đường tròn ( O; R ) . a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH ; b) Cho OP = m. Tính độ dài AH theo R và m; c) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng R 2, đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M . Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng d để diện tích tam giác POM đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R ? 1 1 1 Câu 5. (1,25 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn + + ≤ 3. Chứng minh a b c a b c 1 rằng + + + ( ab + bc + ca ) ≥ 3. 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a b) Cho các số 1; 2; 3; 4;….; 2018 được viết trên một cái bảng. Bạn được phép thay thế bất cứ hai trong các số này bởi một số mà hoặc tổng hoặc hiệu bằng hiệu của các số đó. Chỉ ra rằng sau 2017 lần thực hiện phép toán này, số duy nhất còn lại trên bảng không thể là số 0. _________________________Hết_______________________ 17 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN NGÔ QUYỀN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 14 (Đề thi có một trang)  x+ y x− y  x + y + 2xy    : 1+ Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức P = + .  1 − xy 1 − xy  1 + xy    a) Rút gọn biểu thức P; b) Tính giá trị của P với x = 2 2+ 3 . Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 2 − 10x + 27 = 6 − x + x − 4. 0. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y 2 + 2xy − 3x − 2 = Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phương, chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố. b) Cho ba số nguyên dương a, b, c. Chứng minh rằng ab + bc + ca ( a + b + c ) + ≥ 28. abc a 2 + b2 + c 2 3 Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AH < R. Qua H vẽ đường thẳng d tiếp xúc với ( O; R ) . Vẽ đường tròn ( A; R ) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho H nằm giữa B và C. Vẽ HM vuông góc với OB ( M ∈ OB ) , vẽ HN vuông góc với OC ( N ∈ OC ) . a) Chứng minh MN ⊥ OA; b) OB.OC = 2 R 2 ; c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi. Câu 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng bất kỳ một tam giác nhọn nào có diện tích bằng 1 cũng có thể đặt được trong một tam giác vuông có diện tích không quá 3 (Ta nói: Tam giác ABC đặt trong tam giác MNP nếu mọi điểm thuộc tam giác ABC đều không nằm ngoài tam giác MNP ). _________________________Hết_______________________ 18 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HỒNG BÀNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 15 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức P= ( x )( x + y 1− y − ) ( y x+ y )( x +1 − ) ( xy )( x +1 1− y ) . a) Tìm điều kiện của x, y để biểu thức P xác định và rút gọn P; b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2. Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 4 2x 2 + x + 6 + x 2 + x + 2 = x + . x 0. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 + 2y 2 + 2xy + 3y − 4 = Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45. b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ 1. x+ y+1 y+ z+1 z+ x+1 Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) và một điểm A nằm ngoài đường tròn ( O; R ) . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của ( O; R ) ( B, C là tiếp điểm). Từ B vẽ đường kính BD của ( O; R ) , đường thẳng AD cắt ( O; R ) tại E (khác D ). a) Chứng minh AE. AD = AH . AO; b) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường thẳng BC tại F . Chứng minh rằng FD là tiếp tuyến của ( O; R ) ; c) Gọi I là trung điểm của cạnh AB, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AO tại M và đường thẳng này cắt đường thẳng DF tại N . Chứng minh NA = ND. Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình H gồm ngũ giác lồi có tất cả các góc là góc tù và tất cả các điểm nằm trong ngũ giác đó.Chứng minh rằng tồn tại hai đường chéo của ngũ giác sao cho hai hình tròn có đường kính là các đường chéo đố phủ kín hình H (Ta nói: Hai hình tròn phủ kín hình H nếu mọi điểm thuộc hình H đều thuộc ít nhất một trong hai hình tròn nói trên) _________________________Hết_______________________ 19 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH HÀ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 16 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2 điểm)  x +3 x +2 x +2   x  1) Rút gọn biểu thức A =  : 1− + +   với  x −2 3− x x−5 x +6  x + 1     x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 2) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 6 và a2 + b2 + c2 = 21. Tính giá trị biểu thức: P = (a 2 + 6)(b 2 + 6) (b 2 + 6)(c 2 + 6) (c 2 + 6)(a 2 + 6) + + c2 + 6 a2 + 6 b2 + 6 Câu 2. ( 2điểm) 1) Giải phương trình: x 2 + 2015x − 2014 = 2 2017x − 2016 2) Cho hàm số y = (m-1)x +2m -3 ( m là tham số ) có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn tâm O (O là gốc tọa độ Oxy) bán kính 2cm ( đơn vị trên 2 trục tọa độ là cm). Câu 3. (2 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 30n − 24 chia hết cho 24. 2) Tìm số hữu tỉ a, b biết phuơng trình : x3 + ax2 + bx+2 = 0 có một nghiệm là x=1+ 2 Câu 4. ( 3 điểm) Cho nửa (O) đường kính BC=2R, A là điểm bất kì trên nửa đường tròn (A không trùng với B, C). Kẻ AH ⊥ BC, gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. a) Chứng minh AE.AB = AF.AC và EF3 = BE.CF.BC b) Gọi I là điểm đối xứng với H qua AB. Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O). c) Tìm vị trí điểm A trên nửa đường tròn sao cho diện tích tam giác AHB đạt giá trị lớn nhất ? Câu 5. (1 điểm) Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a+b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 = P + 2 2 a + b + 1 2ab _________________________Hết_______________________ 20 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HẬU LỘC ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 03/12/2012 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 17 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức x+2 x +1 1 M= + + x x −1 x + x +1 1− x a) Rút gọn biểu thức M. b) Tính giá trị của M với x= 9 − 4 2 . 1 . 3 Câu 2. (4,0 điểm) Cho đường thẳng: c) Chứng minh M < y = (m - 2)x + 3 ( m là tham số) (d). a) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng : y = 2x - 1 b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1. Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) b) x+2 3 3 + = 2 +1 x+1 x−2 x −x−2 x2 − 1 = x + 1 + x + 1 Câu 4. (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2 y + xy − x = 4. Câu 5. (5,0điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 2cm, HC = 4,5cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm, khác điểm H). a) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng. b) Tính diện tích tứ giác BMNC. c) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính các độ dài AK, KN. Câu 6. (1,0điểm) 3. Cho x 2 + y 2 + z 2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y + 2z . _________________________Hết_______________________ 21 PHÒNG GD&ĐT KINH MÔN TRƯỜNG THCS LÊ NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 18 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm) 1) Tính giá trị của biểu thức sau: A= x 2 ( x + 1) − y 2 ( y − 1) + xy − 3xy ( x − y + 1) + 1974 Biết x – y = 29 + 12 5 − 2 5 2) Chứng minh rằng: Nếu a , b , c là các số không âm thoả mãn điều kiện: b = 1 thì ta có: 2 = a+ b b+ c c+ a Câu 2. (2,0 điểm) x − ab x − ac x − bc 1) Giải phương trình (ẩn x): + + =a+b+c a+b a+c b+c (x + y)(x + 2y)(x + 3y) = 60 2) Giải hệ phương trình:  105 (y + x)(y + 2x)(y + 3x) = + 1 a+c 2 Câu 3. ( 2,0 điểm) 14 1) Tìm các số nguyên a, b thoả mãn: (a − 2011)(b + 2011) = 2) Cho N = k4 + 2 k3 – 16 k2 – 2k +15, k là số nguyên Tìm điều kiện của k để số N chia hết cho 16. Câu 4. (3,0 điểm ) Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai đường kính AB và MN bất kì. Đoạn BM và BN kéo dài cắt tiếp tuyến ở A của đường tròn tại hai điểm tương ứng là C và D, gọi P, Q là trung điểm của CA và DA. a) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp. b) Đường cao BI của tam giác BPQ cắt OA tại E.Chứng minh E là trung điểm của OA. c) Đường kính AB cố định, đường kính MN thay đổi. Hãy tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác BPQ theo R. Câu 5. ( 1,0 điểm ) Cho 3 số a,b,c thoả mãn : a + b + c = 0 và −1 < a ≤ b ≤ c < 1 Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 < 2 _________________________Hết_______________________ 22 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO HUYỆN VĨNH LỘC ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 19 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức P = 3x + 9x − 3 x+ x −2 − x +1 x +2 − x −2 x −1 a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b. Tìm x để P < 0 Câu 2. (4,0 điểm) a. Giải phương trình: x 2 − 7x= 6 x + 5 − 30 . 1 1 b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng ( a + b ) .  +  ≥ 4 a b Câu 3. (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương z2 b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 = Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'. a. Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho  AMC =  ANB = 900 . Chứng minh rằng AM = AN. c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'. S' 1− Chứng minh rằng cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = S Câu 5. (2,0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y ≥ 34 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 35 A = 3x + 4y + 2 8 + 5x 7y _________________________Hết_______________________ 23 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO HUYỆN CẨM GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 20 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm)  1 2  6 x − 9x − 1 1 1 + a) Cho biểu thức: P=  với x ≥ 0; x ≠ ; x ≠ Tìm các ⋅ 4 9  2 x − 1 1 − 4x  1 − 3 x giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. b) Cho x = 3 5 + 2 13 + 3 5 − 2 13 Tính giá trị của biểu thức A = x2015 – x2016 + 2017. Câu 2. (2,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: x + 3x + 1 = ( x + 3) x2 + 1 b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: 5x − 3y = 2xy − 11 . Câu 3. (2,0 điểm) 4 n a) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n + 4 là hợp số. b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= y x z + + x+1 y+1 z+1 Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của  = 450 (M thuộc cạnh AD, DC. Gọi I, H thứ thự là giao điểm của AF với BE, BD. Vẽ BIM BC), O là giao điểm của IM và BD. a) Tính độ dài của AI, BI. b) Chứng minh 4 điểm B, I, H, M cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh DH.BO = OH.BD. Câu 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 3  1  1  1   10  a + b ⋅ b + c ⋅c + a  ≥  3  .         _________________________Hết_______________________ 24 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM GIÀNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 21 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm)   2 a  1 2 a  , với a ≥ 0 : a) Cho biểu thức: A = 1 − −     a +1 1+ a a a + a + a +1 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức A khi a = 2016 - 2 2015 . b) Chứng minh rằng: 3 1+ 56 3 56 + 1− là một số nguyên. 54 54 Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình: a) ( ) 2 b) x 2 + 2x − 2x 2 − 4x = 3 x+4 x−4 + x−4 x−4 = 4. Câu 3. (2,0 điểm) a) Cho S = 4 + 22 + 23 + ... + 298. Chứng tỏ S không phải là số chính phương. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: 2x 2 + y 2 + 4x =4 + 2xy . Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G thuộc  = 450 . Gọi M là trung điểm của AB. cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho GOH = a) Chứng minh: DOH BGO và HD.BG = OB.OD. b) Chứng minh: HD.BG = MB.AD và MG // AH. c) Đường thẳng qua D cắt AB, BC lần lượt tại E và F (E và A nằm cùng phía đối với B, F và C nằm cùng phía đối với B). Chứng minh: 2 1 1 = + ⋅ BD BE BF Câu 5. (1,0 điểm) a) Cho x, y, z dương thoả mãn: x + y + z = 1. CMR: = S b) So sánh tổng 1 1.2015 + 1 2.2014 + 1 3.2013 x+y + y+z + z+x ≤ 6 . + ... + 1 2015.1 với số _____________________Hết______________________ 2015 ⋅ 1008 25 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LÊ CHÂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 22 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm)   a 2 + b2 a−b a−b +  ⋅ a) Cho= biểu thức P   a+b + a−b 2 2 2 2 a − b − a + b   a −b (a > b > 0 ) 1 thì P ≥ 2 2 + 2. Chứng minh rằng khi a − b = b) Cho x0 = 2 + 2 + 3 − 6 − 3 2 + 3 . Chứng ming rằng x0 là một nghiệm của 4 2 0. phương trình x − 16x + 32 = Câu 2. (3,0 điểm) ( ) 1 2 2x + 1 a) Giải phương trình x 2 + 8x −= x2 − 1 2 ( 2 ) ( b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 1 + x + x= 4y y + 1 ) Câu 3. (3,0 điểm)  = 600 . Đặt BC = a ; CA = 1. Cho ∆ABC có A Chứng minh rằng b ; AB = c 1 1 3 + = ⋅ a+b a+c a+b+c 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Kẻ tiếp tuyến chung MN, M  (O), N  (O’). Qua A kẻ đường thẳng song song với MN cắt (O) và (O’) lần lượt tại C, D. Hai đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BM và BN cắt CD lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng EP = EQ. Câu 4. (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn: ( x − 1)( y − 1) ≥ 1 . Tìm giá trị lớn = nhất của biểu thức A ( x 2 y + xy 2 ) 2 x2 + y2 + 8 . 1 + x2 y2 ⋅ Câu 5. (1,0 điểm) Xét tập X = {1; 2; 3;...;19791126} , tô màu các phần tử của X bằng một trong 7 màu: đỏ, cam, vàng, lục, lam, tràm, tím. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt a, b, c của X cùng màu sao cho a, b, c lớn hơn 1 và 2019a + 1 là bội của 2019 b + 1; 2019 b + 1 là bội của 2019c + 1 . _____________________Hết______________________ 26 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KINH MÔN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 23 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2.0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: = 1) M 2) Q 3+ 5 10 + 3 + 5 − 3− 5 10 + 3 − 5 . x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)  1  . 1 − 2 x − 1   x − 4(x − 1) với x > 1; x ≠ 2 Câu 2. (2.0 điểm) 1) Giải phương trình: ( x + 4 ) x 2 + 7 = x 2 + 4x + 7 2) Cho M = 2 a +2 a +5 tìm số hữu tỉ a để M nguyên Câu 3. (2.0 điểm) 1) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn:= x 2x(x − y) + 2y − x + 2 2) Cho a, b là số nguyên thỏa mãn: 2a 2 + 3ab + 2b 2 chia hết cho 7. Chứng minh rằng a 2 − b 2 chia hết cho 7. Câu 4. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB) đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn thẳng BE theo m =AB. 2) Gọi M là trung điểm của của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM. GB HD = 3) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: BC AH + HC Câu 5. (1.0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M= a b c . + + b + c + 2a c + a + 2b a + b + 2c _____________________Hết______________________ 27 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 24 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức:  1 1  A= −   x  1− x  2x + x − 1 2x x + x − x  : +   1 − x 1+ x x   Với x > 0; x ≠ 1 ; x≠1 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi = x 17 − 12 2 A. Câu 2. (3,5 điểm) Chứng minh rằng: c) So sánh A với a) 2 ( ) a− b < 1 b <2 ( ) b − c Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 ; c >0. b) Biểu thức B =1 + 2008 2 + 2008 2 2008 có giá trị là một số tự nhiên. + 2009 2 2009 Câu 3. (3,0 điểm) Giải phương trình a) x 2 − 3x + 2 + x + 3 = b) x − 2 + x 2 + 2x − 3 x+3 . 4x + 1 − 3x − 2 = 5 Câu 4.(8,0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). c) Chứng minh K là trung điểm của CH. d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Câu 5. (1,5 điểm) Cho M = ( 3+ 2 ) 2008 + ( 3− 2 a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. ) 2008 b) Tìm chữ số tận cùng của M. _____________________Hết______________________ 28 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 25 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm)  1 1  1 = + A  1. Cho biểu thức . : x −1 x − 2 x +1 x− x a) Rút gọn A. 3 b) Tìm x để A = . 2 2. Chứng minh rằng: Nếu x2 + 3 x4 y2 + y2 + 3 x2 y4 = a thì 3 3 2 x2 + 3 y2 = a Câu 2. (4,0 điểm)  x + ( m − 1) y = 2 1. Cho hệ phương trình  ( m + 1) x − y = m + 1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn x + 5y = 0. 2. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a−b 2 b−c 2 là số hữu tỉ và a 2 + b 2 + c 2 là số nguyên tố Câu 3. (4,0 điểm) 1. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 (m là tham số) a) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. b) Trên parabol (P) lấy 3 điểm phân biệt: A(a, a2), B(b, b2), C(c, c2). Biết rằng a2 – b = b2 – c = c2 – a. Tính giá trị của biểu thức: M = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1). 2. Giải phương trình: x 2 − x −= 1 8x + 1 Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm M khác C và D. Đường tròn đường kính AM cắt cạnh AB tại điểm N khác A. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AM tại E khác D. a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, N thẳng hàng. b) Gọi giao điểm của đoạn thẳng MN với DE là H, đoạn thẳng NM cắt đường tròn đường kính CD tại K. Chứng minh rằng MK2 = MH.MN. c) Gọi F là giao điểm của DE với cạnh BC. Chứng minh rằng MF ⊥ AC. Câu 5. (2,0 điểm)  a≠0  Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện:  2b c . ≥ + 4 a a  0 có nghiệm. Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 29 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 26 (Đề thi có một trang) Câu 1. (5 điểm)  x + 2 x + 4 x + 2 x +1  3 x −5 2 x + 10  a/ Cho biểu thức M = + +   :   x − 1   x − 2 x + 6 x + 5   x x −8 Rút gọn M và tìm x để M > 1 b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Tính H= a− b b− c c− a + + 1+ c 1+ a 1+ b Câu 2. (4 điểm) a/ Giải phương trình 30 − 5 5 + 6x 2 − 2 = 6x 2 2 x x b/ Tìm số thực x để 3 số x − 3; x 2 + 2 3; x − 2 là số nguyên x Câu 3. (4 điểm) a/ Tìm x nguyên dương để 4x 3 + 14x 2 + 9x − 6 là số chính phương b/ Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . 2 1 + 1 + y2 1 + 1 + z2 Chứng minh rằng: 1 + 1 + x + + ≤ xyz x y z Câu 4. (6 điểm) Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn (O;R) lấy H bấy kỳ sao cho AH < R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R). Trên đường thăng a lấy B và C sao cho H nằm giữa B và C và AB = AC=R. Vẽ HM vuông góc với OB ( M ∈ OB), vẽ HN vuông góc với OC ( N ∈ OC) a/ Chứng minh OM ⋅ OB=ON ⋅ OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định b/ Chứng minh OB ⋅ OC=2R2 c/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi _____________________Hết______________________ 30 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH VĂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 27 (Đề thi có một trang) Câu 1. (6 điểm)  x   x +3 x +2 x +2  + + a. Cho biểu thức M =  1 −  :   x + 1 x − 2 3 − x x − 5 x + 6     1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên b. Tính giá trị của biểu thức P P = 3x 2013 + 5x 2011 + 2006 với x = 6 + 2 2. 3 − 2 + 2 3 + 18 − 8 2 − 3 Câu 2. (4 điểm) a - Giải phương trình: (1 + x ) 2 3 − 4x 3 = 1 − 3x 4 b - Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n 2 + 2014 là một số chính phương Câu 3. (4 điểm) 1 (m là tham số) (1) a) Cho đường thẳng: (m − 2)x + (m − 1)y = Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m b) Chứng minh rằng: nếu a, b ,c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013 và 1 1 1 + + = a b c 1 thì một trong ba số phải có một số bằng 2013 2013 Câu 4. (5 điểm) Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.  + sin 2 MAB  + sin 2 MCD  + sin 2 MDC  a) Tính sin 2 MBA OK 2 AH (2 R − AH ) b) Chứng minh:= c) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. Câu 5. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4a 9b 16c + + b+c−a a+c−b a+b−c _____________________Hết______________________ 31 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA LỘC ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 28 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức: 1) x+2 x +1 1 với x ≥ 0, x ≠ 1 A= + − x x −1 x + x +1 x −1 2) B= 2 3 + 5 − 13 + 48 6+ 2 Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình: 1) 2x 4 − 7x 3 + 9x 2 − 7x + 2 = 0 2) 2 3x + 10 = x 2 + 9x + 20 Câu 3. (2,0 điểm) 0 1) Giải phương trình nghiệm nguyên : x 2 + xy − 2014x − 2015y − 2016 = 2) Tìm số nguyên tố k để k 2 + 4 và k 2 + 16 đồng thời là các số nguyên tố. Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Goïi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. 1) Chứng minh tam giác OME vuông cân. 2) Chứng minh ME // BN. 3) Gọi H là giao điểm của OM và BN. Chứng minh CH ⊥ BN. Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: 1 1 1 4. + + = x y z 1 1 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z _____________________Hết______________________ 32 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VŨ QUANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 29 Câu 1. (Đề thi có một trang) ( ) a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 3 + y 3 − 6 x 2 + y 2 + 13 ( x + y ) − 20 = 0. Tính giá trị của A = x 3 + y 3 + 12xy . x 6 − 3x 5 + 3x 4 − x 3 + 2017 . x 6 − x 3 − 3x 2 − 3x + 2017 2 (x − y) y x c) Cho x + y = 1 và xy ≠ 0 . Chứng minh rằng 3 − 3 + 2 2 = 0. y −1 x −1 x y + 3 b) Cho biểu thức x 2 − x − 1 = 0 . Tính giá trị của Q = Câu 2. 2  a2 a 2 − b2 b 2  a 2 − ab + b 2 − + − 2 a) Cho biểu thức B = . : a  a 2 − ab ab a−b b − ab  1 Rút gọn và tính giá trị của B với 2a − 1 = 1 và b + 1 = . 2 b) Cho P ( x ) là đa thức bậc 4 với hệ số cao nhất bằng 1. Biết P ( 2015 ) = 2016 ; P ( 2016 ) = 2017 ; P ( 2017 ) = 2018 . Tính P ( 2014 ) + P ( 2018 ) . Câu 3. 1 1 1 3 . + 2 + 2 = x + 5x + 4 x + 11x + 28 x + 17x + 70 4x − 2 3. b) Giải phương trình nghiệm nguyên x 2 − xy + y 2 = a) Giải phương trình 2 Câu 4. a) Tìm x, y để biểu thức F = 5x 2 + 2y 2 − 2xy − 4x + 2y + 3 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5. a) b) Tìm các số nguyên dương n sao cho 2 n + 3n + 4 n là số chính phương. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho 1 AB , N là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác BMN , I là giao 3 IB AG điểm của AG và BC . Tính và . IC GI b) Cho tam giác ABC , phân giác trong góc A cắt BC tại D , trên các đoạn thẳng DB , BE.BF AB 2   = . DC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho EAD = FAD . Chứng minh rằng CE.CF AC 2 c) Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đường chéo AC , trên tia đối của tia AD lấy điểm E. Đường thẳng EB cắt đường thẳng DC tại F , CE cắt AF tại O . Chứng . minh rằng ∆AEC  ∆CAF , tính số đo EOF AM = 33 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BẮC TỪ LIÊM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 30 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm) 1. Cho biểu thức: 1 1 1 A= +  + .  x y  x + y + 2 xy (  1 1  x− y  : . + 3  x  xy xy y x+ y   2 ) a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 + 5 ; y = 3 − 5 2. Cho 2 biểu thức: P = a − b b−c c −a c a b + + ;Q = + + với a, b,c ≠ 0 c a b a − b b−c c−a 3abc . Chứng minh rằng: P.Q = 9 thỏa mãn: a ≠ b ≠ c và a 3 + b 3 + c 3 = Câu 2. (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: a)  5 − x  5−x x x+ = 6   x + 1   x + 1  b) ( 4x − 1) ( ) x 2 += 1 2 x 2 + 1 + 2x − 1 Câu 2. (4,0 điểm) 0 a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y 2 + 2xy − 7x − 12 = b) Tìm số tự nhiên n để: A = n 2012 + n 2002 + 1 là số nguyên tố. Câu 3. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC > AB , đường cao AH ( H thuộc BC ). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E . a) Chứng minh: ∆ADC ∽ ∆BEC . Cho AB = m , tính BE theo m . b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng: ∆BHM ∽ ∆BEC . Tính góc  AHM . c) Tia AM cắt BC tại G.Chứng minh rằng: GB HD = BC AH + HC Câu 4. (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: Chứng minh rằng 1 1 1 + + = 6. x+y y+z z+x 1 1 1 3 + + ≤ . 3x + 3y + 2z 3x + 2y + 3z 2x + 3y + 3z 2 34 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 31 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm)  x +1   xy + x xy + x x +1   , với + + 1 :  1 − − 1. Rút gọn biểu thức:   xy + 1 1 − xy    − + xy 1 xy 1     x > 0; y > 0; xy ≠ 1 . ( 2. Cho x = ) 3 − 1 . 3 10 + 6 3 21 + 4 5 + 3 ( , tính giá trị biểu thức P = x 2 + 4x − 2 ) 2017 . Câu 2. (2,0 điểm) 1. Cho x = 2 +1 2 −1 0 . Với a, b là các là một nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + 1 = số hữu tỉ. Tìm a và b . 2. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p20 − 1 chia hết cho 100. 3. Cho a, b, c là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 < 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 Câu 3. (2,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên x sao cho x 3 − 3x 2 + x + 2 là số chính phương. 2. Giải phương trình: x 2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x + 6 +5 . x Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a . Trên tia đối của tia AB lấy điểm N , trên 2a . Gọi giao điểm của CN với tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = BD và AD thứ tự là I và M . Tia BM cắt ND tại P . 1. Chứng minh IC.CN = IN .CM . . 2. Chứng minh DM .BN = a 2 . Từ đó tính số đo góc BPD 3. Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất. Câu 5. (1,0 điểm) 3 . Chứng minh rằng: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 1 1 a 5 + b5 + c 5 + + + ≥ 6 a b c _________________Hết_________________ 35 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 32 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2,0 điểm)  x+2 x 1  x −1 1. Cho biểu thức: A = . + + :  x x − 1 x + x + 1 1 − x  2   a, Rút gọn biểu thức A . b, Chứng minh rằng: 0 < A ≤ 2 . 2. Cho biểu thức: 2+x + 2−x 2+x − 2−x x+2 Tính giá trị của biểu thức: . x−2 Câu 2. (2,0 điểm) = 2 với −2 < x < 2 và x ≠ 0 . 2 1. Giải phương trình: x − 7x= 6 x + 5 − 30 . 2. Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = ( m − 1) x − m 2 − 2m ; (d ) : y = ( m − 2) x − m 2 2 − m + 1 cắt nhau tại G . (Với m là tham số) a, Xác định tọa độ điểm G . b, Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi. Câu 3. (2,0 điểm) a, Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 − 1 24 . b, Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương. 0. c, Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y 2 + 2xy − 3x − 2 = Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O , đường thẳng ( d ) cố định nằm ngoài đường tròn. M di động trên đường thẳng ( d ) , kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn ( O; R ) , OM cắt AB tại I . a, Chứng minh tích OI .OM không đổi. b, Tìm vị trí của M để ∆MAB đều. c, Chứng minh rằng khi M di động trên ( d ) thì AB luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1 . Chứng minh rằng: y x z 9 + + ≤ x + yz y + zx z + xy 4 36 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 33 (Đề thi có 2 trang) Câu 1. (4,0 điểm) 2 + 3+ 6 + 8 +4 a) Thu gọn biểu thức: A = b) Cho x= 2+ 3+ 4 2 1 2 + 1 − 11 ( B = 1 − 2x + x 2 + x 3 − x 4 ) 2018 − 1 . . Tính giá trị của biểu thức 2 +1 +1 . c) Cho x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 và y = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 2 2 . Tính giá trị của biểu thức: C = x 3 + y 3 − 3 ( x + y ) + 2018 . Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó. b) Chứng minh rằng số tự nhiên  1 1 1 1  chia hết cho 2019. = A 1.2.3....2017.2018.  1 + + + ... + + 2 3 2017 2018   Câu 3. (5,0 điểm) 3.1. Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a 2 + b2 + c 2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) . 2 2 2 a) Tính a + b + c , biết rằng ab + bc + ca = 9. b) Chứng minh rằng: Nếu c ≥ a , c ≥ b thì c ≥ a + b . 3 . Tìm giá trị lớn 3.2. Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x 2019 + y 2019 + z 2019 = nhất của biểu thức: E = x 2 + y 2 + z 2 . 37 Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng AB , AC sao cho AM AN + = 1 . Đặt AM = x và AN = y . Chứng MB NC minh rằng: a) MN 2 = x 2 + y 2 − xy . b) MN = a − x − y . c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) , gọi M là trung điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông = OK = góc của A trên cạnh BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM và AM = 30 cm. _________________Hết_________________ KM 4 38 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HẠ HÒA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 34 (Đề thi có 1 trang) Câu 1. (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x 2 + 8x = 38 − 6y 2 . b) Tìm số tự nhiên n để n 4 + 4 là số nguyên tố. Câu 2. (4,0 điểm) )( ( ) a) Cho x + x 2 + 2015 y + y 2 + 2015 = 2015 . Hãy tính giá trị của biểu thức A = x + y + 2016 . b) Chứng minh rằng: 1 1 1 + + = 1 thì x y z 3 3 Nếu ax = by = cz 3 và Câu 3. (4,0 điểm) ( 3 ax 2 + by 2 + cz 2 = 3 a + 3 b + 3 c . ) a) Giải phương trình 4 x 2 + 4x + 2= 11 x 4 + 4 . x ( x + y ) + y 2 − 4y + 1 = 0 b) Giải hệ phương trình  . 2 2 + − − = y x y 2x 7y 2 )  ( Câu 4. (7,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung BC cố định ( BC < 2 R ) . Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại H . a) Chứng minh ∆AEF ∽ ∆ABC và ( S AEF = cos 2 A . S ABC ) 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C .S ABC . b) Chứng minh rằng: S DEF = c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi ∆DEF đạt giá trị lớn nhất. Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = P a 3 + b3 + c 3 a 2 + b2 b2 + c 2 c 2 + a 2 + 2 + + . 2abc c + ab a 2 + bc b 2 + ca _________________Hết_________________ 39 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐAN PHƯỢNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 23/10/2018 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 35 (Đề thi có 1 trang) Câu 1. (5,0 điểm) 1. Cho biểu= thức: p x x + 26 x − 19 x+2 x −3 − 2 x x −1 + x −3 x +3 . a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. 2. Cho a = 3 2 − 3 + 3 2 + 3 . Chứng minh rằng: ( 64 a2 − 3 ) 3 − 3a là số nguyên Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình : x 2 − x − 4= 2 x − 1 ( 1 − x ) . 2. Nhà toán học De Morgan (1806 – 1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: Tôi x tuổi vào năm x 2 . Hỏi năm x 2 đó ông bao nhiêu tuổi. 3. Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai: a) A + 51 là số chính phương. b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1. c) A − 38 là số chính phương. Câu 3. (4,0 điểm) a) Tìm x và y biết 2x 2 + 4x − 3y 3 + 5 = 0 và x 2 y 2 + 2xy + y 2 = 0. b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x 2 y + xy − 2x 2 − 3x + 4 = 0. Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BI, CK a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB; b) Biết S= S= S CHI . Chứng minh rằng: ABC là tam giác đều. AKI BKH 2. Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và đường cao AH bằng R 2 . Gọi M và N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng ba điểm M, N, O thẳng hàng. Câu 5. (1,0 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 , chứng minh: 1 − x2 1 − y2 1 − z2 + + ≥6. x + yz y + zx z + xy 40 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BỈM SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 36 (Đề thi có 1 trang) Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức:  a +1  a −1 1  P= − + 4 a  a − .  a −1  a +1 a   a) Rút gọn P. ( b) Tính giá trị của P tại a = 2+ 3 )( 3 −1 ) 2− 3 Câu 2. (1,5 điểm) Giải phương trình: x − 2 x −1 − x −1 = 1. Câu 3. (2,5 điểm) Cho x, y là các số dương. a) Chứng minh: x y + ≥ 2. y x b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x y xy + + 2 . y x x + y2 Câu 4. (3,0 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R ( M không trùng với A và B ). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I ; tia phân giác của  cắt nửa đường tròn O tại E , cắt IB tại F ; đường thẳng BE cắt AI tại H , IAM cắt AM tại K . a) Chứng minh 4 điểm F , E , K , M cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh HF ⊥ BI . c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi ∆AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R ? Câu 5. (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: ( 2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2 x + 3)( 2 x + 4 ) − 5 y = 11879 . _________________Hết_________________ 41 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG ĐIỀN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 37 (Đề thi có 1 trang) Câu 1: (4,0 điểm)  3x + 9x − 3 = A  Cho biểu thức   x+ x −2 + 1 x −1 +  1 − 2 :  x −1 x +2  1 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để 2 là số tự nhiên. A Câu 2: (6,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x - 2 + 6 - x= x - 8x + 24 . 2 2 2 2  2 185 (x + xy + y ) x + y = b)  2 65 (x − xy + y 2 ) x 2 + y 2 = Câu 3: (4,0 điểm) Cho đường thẳng (d) có phương trình là: y = 2x + 3. a) Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức x 2 + y 2 – 2xy – 4 = 0. b) Từ điểm A(–1; 1) vẽ đường thẳng (d’) vuông góc với (d) và từ điểm B(–3;–3) vẽ đường thẳng (d’’) đi qua điểm C(1; 0). Viết phương trình của các đường thẳng (d’) và (d’’). c) Tính diện tích của tam giác tạo bởi các đường thẳng (d), (d’), (d’’). Câu 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M. a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC. Chứng minh rằng HM MK CD . = . HK MC 4R c) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B). _________________Hết_________________ 42 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VŨ QUANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 38 (Đề thi có 1 trang) Câu 1. a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2 + 6 xy + 5 y 2 − 5 y − x . b) Cho a 3 − 3ab 2 = 10 . Tính 5 và b3 − 3a 2b = = S 2018a 2 + 2018b 2 .  x2 6 1   10 − x 2  c) Cho biểu thức: = A  3 + + : x − 2 +    . Tìm giá trị của x để x+2   x − 4 x 6 − 3x x + 2   A>0. Câu 2. a) Cho n là số nguyên không chia hết cho 3. Chứng minh rằng P = 32 n + 3n + 1 chia hết cho 13. b) Tìm các số hữu tỉ n thỏa mãn tổng sau là số chính phương: n 2 + n + 503 . Câu 3. a) Tìm các số nguyên x thỏa mãn phương trình: ( 3 x − 1)( 4 x − 1)( 6 x − 1)(12 x − 1) = 330 b) Giải phương trình: x − 2 ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = 4 0 c) Tìm các cặp ( x ; y ) nguyên thỏa mãn: y 2 + 2 xy − 3 x − 2 = Câu 4. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD). a) Chứng minh rằng: OA2 = AC.BD . b) Chứng minh rằng tam giác AMB vuông. c) Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng MN//AC. Câu 5. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + 2 + 2 ≥ . a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b) 2 2 _________________Hết_________________ 43 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THĂNG BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 39 (Đề thi có 1 trang) Câu 1. (3,0 điểm)  1 1  P  = + Cho biểu thức : x −1 x− x ( x +1 x −1 ) (với 0 < x ≠ 1 ) 2 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =− P 9 x + 2019 . Câu 2. (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x − 1 + 4 7 − = x 4 x − 1 + (7 − x)(x − 1) . b) Cho các số thực dương a , b với a ≠ b . Chứng minh bất đẳng thức ( (a − b) 3 a− b ) 3 − b b + 2a a a a −b b + 3a + 3 ab 1 . ≤ b−a 3abc Câu 3. (3,0 điểm) Cho a , b , c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 + + ≤ . 2 2 2 a(a + 8bc) b(b + 8ac) c(c + 8ab) 3abc Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 4. (4,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên n sao cho n − 50 và n + 50 đều là số chính phương. 2 b) Tìm các số nguyên tố p , q sao cho p= 8q + 1 . Câu 5. (2,5 điểm) Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho  ABO =  ACO . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của O lên AB và AC .  = OC.sin OAB . a) Chứng minh rằng OB.sin OAC b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và HK . Chứng minh rằng MN vuông góc với HK . Câu 6. (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Đường thẳng d là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi D là hình chiếu của C trên AB . Từ A và B kẻ AH và BK vuông góc với đường thẳng d . Chứng minh rằng: a) AH + BK không đổi khi tiếp tuyến d thay đổi trên đường tròn ( O ) . b) Đường tròn đường kính HK luôn tiếp xúc với AK , BK và AB . Xác định vị trí C để tứ giác AHKB có diện tích lớn nhất. 44 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 40 (Đề thi có 1 trang) Câu 1. (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương b. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19. Câu 2. (4,0 điểm): a. Cho A = x xy + x + 2 + y yz + y + 1 + 2 z zx + 2 z + 2 .. Biết xyz = 4, tính A . x2 y 2 z 2 a b c x y z 1. b. Cho + + = 0 . Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 = + + = 1 . và a b c a b c x y z Câu 3. (3,0 điểm): Giải phương trình: x 2 + x2 ( x + 1) 2 = 3 Câu 4. (7,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng + + AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB + BC + CA)2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 + BB'2 + CC'2 2. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: BC 2 a) BD.CE = 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5. (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: a b c 3 T= + + ≤ 3a + b + c 3b + a + c 3c + b + a 5 _________________Hết_________________ 45 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 02/12/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 41 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4,0 điểm) 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: A= 6x − (x + 6) x − 3 2(x − 4 x + 3)(2 − x) − 3 −2x + 10 x − 12 − 1 3 x −x−2 . Điều kiện x ≥ 0 , x ≠ 4; x ≠ 9 ; x ≠ 1 2) Rút gọn biểu thức: B = 2+ 3 2 + 2+ 3 + 2− 3 2 − 2− 3 Câu 2. (6,0 điểm) 3a + 1 a − 1 2a(a 2 − 1) ( a là tham số) − = a+x a−x x2 − a 2 a) Giải phương trình trên. 1) Cho phương trình : b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố. x 3 − y 3 − z 3 = 3xyz 2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau:  2 x 2(y + z) = Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho :  abc = n 2 -1 Với n ∈  ; n >2  2 cba= (n − 2) 2) Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 . Chứng minh : 52 ≤ 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54 Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại E. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DE. Gọi M là trung điểm của EF. 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM. 2) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD. Câu 5. (2,0 điểm)  +C   và C  Cho tam giác ABC có = B 1050 và AB += AC 2 2BC. Tính B ________________Hết_______________ 46 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TÂN KÌ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 02/12/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 42 (Đề thi có một trang) Câu 1. (5,0 điểm)  3x + 16x − 7 x +1 x +7   x  Cho biểu thức: A  :2− = − −  .  x +3 x − 1   x − 1   x+2 x −3 a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A. . b) Tính giá trị của A khi c) Cho P = x −2 x +2 x 2 27 + 7 5 . = 9 10 + 7 2 .A. . Tìm x để P < 0. Câu 2. (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số lẻ không là số chính phương. b) Giải phương trình: x + 17= 2 4 − x + 6 2x + 3 c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x 2 + 19y 2 + 24x − 2y + 12xy − 725 = 0. Câu 3. (3,0 điểm) 3. Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = y x z + 2 + 2 x +1 y +1 z +1 2 Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC ) , đường cao AH . Gọi M là trung  , ( D ∈ BH ) , MD cắt AH tại E. điểm của AB, AD là phân giác của góc BAH AB 2 AC 2 = . BH CH b) Tính độ dài AH biết diện tích các tam giác ∆AHC ; ∆AHB và lần lượt là a) Chứng minh rằng 8, 64cm 2 ;15,36cm 2 . c) Chứng minh: CE  AD. Câu 5. (2,0 điểm) Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong các điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc phần chung của ba hình tròn có tâm cũng chính là ba điểm đó. ________________Hết_______________ 47 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 13/12/2012 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỒNG XUÂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 43 (Đề thi có một trang) Câu 1. (4điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2 − 9x + 20 b/ Rút gọn A = 2 x −9 x−5 x +6 − x + 3 2 x +1 − x −2 3− x Câu 2. (4 điểm) a/ Giải phương trình: 3x 2 − 20x + 6 = x − 4 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A = 8x 2 + 6xy x2 + y2 Câu 3. (4 điểm) a/ Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n+1)(n+2) Chứng minh 4S + 1 là một số chính phương với mọi số nguyên dương n b/ Cho a,b,c,d > 0 và S = a b c d + + + a+ b+d a+ b+c b+c+d a+c+d Chứng minh 1< S < 2 Câu 4. (4 điểm) Cho điểm D nằm trong tam giác đều ABC. Vẽ các tam giác đều BDE và CDF (E, F, D nằm cùng phía đối với BC). Chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành. Câu 5. (4điểm) Cho nửa đường tròn tâm O; bán kính R, đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm H thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở M và N, các đường thẳng AN và BM cắt nhau tại P. a/ Chứng minh HP // AM b/ Gọi K là giao điểm của HI và AB. Tính độ dài của HK theo R biết AK = ________________Hết_______________ 1 AB 5