Tuyển tập 30 đề chuyên môn Toán lớp 10

 Sưu tầm không rõ tác giả TUYỂN TẬP 30 ĐỀ THI VÀO VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Sưu tầm không rõ tác giả 2 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 1 Câu 1 (3,0 điểm). 1). Giải hệ phương trình 2     x  1 y  x  y  3 .  2  ( y  2) x  y  x  1    2). Giải phương trình x x2  7 3 .  x 2  x  1 Câu 2. (3,0 điểm). 1). Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên  x; y; z thỏa mãn đẳng thức: x4  y 4  7 z4  5 . 2). Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y thỏa mãn đẳng thức 4 4  x  1   x  1   y 3 .   90 . Đường phân giác của góc Câu 3. (3,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD với BAD  BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C . Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO . Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB; CD tại E; F . 1). Chứng minh rằng OBE  ODC . 2). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3). Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng IB.BE.EI  ID.DF.FI . Câu 4. (1,0 điểm). Với x; y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4y3 x3  . 3 x3  8 y 3 y 3   x  y ______________________Hết____________________ Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 2 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải phương trình: x  9  2012 x  6  2012  x  9x  6 .  x 2  y 2  2 y  4 2). Giải hệ phương trình  .   2 x  y  xy  4 Câu 2. (3,0 điểm). 1). Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y thỏa mãn đẳng thức x  y  1xy  x  y  5  2 x  y . 2). Giả sử  x; y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện    y  1  4 . Tìm giá trị x 1 nhỏ nhất của biểu thức P x2 y 2 .  y x Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi M là một điểm  ( M khác B; C và AM không đi qua O ). Giả sử P là một điểm thuộc đoạn trên cung nhỏ BC  tại điểm N khác M . thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC 1). Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O . Chứng minh rằng ba điểm N ; P; D thẳng hàng. 2). Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M . Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN . Câu 4. (1,0 điểm). Giả sử a; b; c là các số thực dương thỏa mãn: a  b  3  c ; c  b  1 ; a  b  c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q 2 ab  a  b  c ab  1 a  1b  1c  1 . ______________________Hết____________________ Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 3 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải phương trình 3x  1  2  x  3 . 2). Giải hệ phương trình   1 1 9  xy     x y 2  .   1 3  1  1    x    xy    y  xy 4 2     Câu 2. (3,0 điểm). 1). Cho các số thực a; b; c  0 thỏa mãn a  bb  cc  a  8 abc . Chứng minh rằng 3 a b c ab bc ca       . a  b b  c c  a 4 a  bb  c b  cc  a c  aa  b 2). Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc  10d  e chia hết cho 101 ? Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB  AC. Đường  cắt (O) tại điểm D khác A. Gọi M là trung điểm của AD và E là phân giác của góc BAC điểm đối xứng với D qua tâm O . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. 1). Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng. 2). Chứng minh rằng EF vuông góc với AC. Câu 4. (1,0 điểm). Giả sử a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc  bcd  cda  dab  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4  a 3  b 3  c 3   9d 3 . ______________________Hết____________________ Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 4 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải phương trình    1  x  1  x 2  2 1  x 2   8 .    2). Giải hệ phương trình 2 2   x  xy  y  1 .  2 2     x xy y 2 4    Câu 2. (3,0 điểm). 1). Giả sử x; y; z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  xyz . Chứng minh rằng x 1  x2  2y 1  y2  3z 1  z2  xyz 5 x  4 y  3z  x  y y  z z  x . 2). Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 y 2  x  y   x  y  3  xy . Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn với AB  BC và D là điểm thuộc cạnh BC sao  . Đường thẳng qua C và song song với AD , cắt trung trực cho AD là phân giác của BAC của AC tại E . Đường thẳng qua B song song với AD , cắt trung trực của AB tại F . 1). Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE . 2). Chứng minh rằng các đường thẳng BE; CF ; AD đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G. 3). Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q . Đường thẳng QE , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E . Chứng minh rằng các điểm A; P; G; Q; F cùng thuộc một đường tròn. Câu 4. (1,0 điểm). Giả sử a; b; c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab  bc  ca  1 . 5 9 Chứng minh rằng : 2abc a  b  c    a4 b2  b4 c 2  c 4 a2 . ______________________Hết____________________ Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 5 (Đề dự bị ) Câu 1. (3,0 điểm). 1). Với a; b; c là những số thực thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  abc  a  b  c ; 3  ab  2 a  b ; 3  bc  2b  c ; 3  ca  2c  a . Chứng minh rằng 1 1 1    1. 3  ab  2 a  b 3  bc  2b  c 3  ac  2c  a 2). Giải hệ phương trình xy  x  y  2  .  3 x  y 3  6  8 x 2 y 2  Câu 2. (3,0 điểm). 1). Với mỗi số thực a ta ký hiệu  a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a giải phương trình  2  1 2  3x   x     x     x  1 .  3   3   2). Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100 . Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH , H thuộc BC . P thuộc AB  . Giao điểm của CP và AH là Q . Trung trực của PQ cắt sao cho CP là phân giác góc BCA AH và BC lần lượt tại E; F . 1). PE giao AC tại K . Chứng minh rằng PK vuông góc AC . 2). FQ giao CE , CA lần lượt tại M ; N . Chứng minh rằng bốn điểm E; K ; N ; M thuộc một đường tròn. 3). Chứng minh rằng bốn điểm P; E; C ; F thuộc một đường tròn. Câu 4. (1,0 điểm). Giả sử 0  a; b; c  1 . Chứng minh rằng a b  c  bc 1  a  b c  a ca 1  b  c a  b ab 1  c  6 1  3 abc . ______________________Hết____________________ Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 7 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 6 (Đề dự bị ) Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải phương trình x8 2 2x 1. 2). Giải hệ phương trình x  3 y  xy  3  .  2 x  y 2  xy  3  Câu 2. (3,0 điểm). 1). Với x; y là các số nguyên, chứng minh x 5 y  xy 5 chia hết cho 30. 2). Giả sử a; b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a3 2 b  1  b3 2 a  1 . Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi CT là đường phân giác trong của tam giác ( T thuộc cạnh AB ). 1). Chứng minh rằng đường tròn ( K ) đi qua C ; T và tiếp xúc với AB có tâm K thuộc BC . 2). Gọi giao điểm của AC và ( K ) là D khác C , giao điểm của DB và ( K ) là E khác D .   BCE . Chứng minh rằng ABD 3). Gọi giao điểm của CE và AB là M . Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BT . Câu 4. (1,0 điểm). Giả sử a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1  a2  1  b2  1  c 2  a  b  b  c  c  a . ______________________Hết____________________ Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 8 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 7 (Đề dự bị ) Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải phương trình x  2  x  2  2 x 2  4  2  3  x . 2). Giải hệ phương trình Câu 2. (3,0 điểm). x 2  xy  y 2  1   2 x  2 xy  y 2  3 x  y  2.  1). Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y thỏa mãn x 2  xy  y 2  x 2 y 2  5 . 2). Với x; y; z là các số thực thỏa mãn x  y  z  xy  yz  zx  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4  x4  4  y 4  4  z4 . Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) . M ; N là hai điểm thuộc  sao cho MN song song với AC và tia BM nằm giữa hai tia BA; BN . BM giao cung nhỏ AC  sao cho PQ vuông góc với BC . QN giao AC AC tại P . Gọi Q là một điểm thuộc cung nhỏ BC tại R. 1). Chứng minh rằng bốn điểm B; P; R; Q cùng thuộc một đường tròn. 2). Chứng minh rằng BR vuông góc với AQ.   BPQ   ABR . 3). Gọi F là giao của AQ và BN . Chứng minh rằng AFB Câu 4. (1,0 điểm). Cho a; b; c  0 . Chứng minh rằng 11a 3  b3 11b3  c 3 11c 3  a 3  2  2  2  a  b  c . 4 a 2  ab 4b  bc 4c  ca ……….HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 8 (Đề dự bị ) Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải hệ phương trình   x2  y 2  2   .  3  2 x  x  y 2  xy       2). Với a; b; c là 3 số thực đôi một phân biệt, chứng minh rằng 3 2a  b2b  c 2b  c2c  a 2c  a2a  b 2a  b 2b  c 2c  a      ab bc ca a  bb  c b  cc  a c  aa  b Câu 2. (3,0 điểm). 1). Với mỗi số thực x ta định nghĩa  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x . Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta luôn có  n  1   n  2   2n  1      n.  3   3   6  2). Với a; b; c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab  bc  ca  abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M a2 b3  b2 c3  c2 a3 . Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O . H là trực tâm của tam giác ABC . AD là đường kính của O . E thuộc AC sao cho HE  BC . 1). Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên O. 2). Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF. 3). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF . Chứng minh rằng BE, CF và IH đồng quy. Câu 4. (1,0 điểm). Với a; b; c là các số thực dương, chứng minh rằng a 2  b2  3ab  b2  c 2  bc  a 2  c 2 . ……….HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 9 Câu 1 (3,0 điểm). 1). Giải hệ phương trình   x  y  xy  3 .  2 2  2 xy  1  2  x y  2    2). Giải phương trình 1 2x  1  4x  1  1 x2  5x . Câu 2 (3,0 điểm). 1). Một số có 10 chữ số được gọi là tốt nếu số đó chia hết cho 11111 và tất cả các chữ số đều khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tốt. 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f  x; y ; z  4 x 2  2 y 2  z 2  4 xy  2 yz  6 y  12 x .  Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . P di chuyển trên cung BC chứa A của (O) . I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC . 1). Chứng minh rằng B; I ; Q; C cùng nằm trên một đường tròn. 2). Trên tia BQ; CQ lần lượt lấy các điểm M ; N sao cho BM  BI ; CN  CI . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 4 (1,0 điểm). Với 0  a; b; c  1 . Chứng minh rằng 1 1 1 3 .    1  a  b 1  b  c 1  c  a 1  2 3 abc ……….HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 10 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải phương trình x2  8  3 x3  8 . 2). Giải hệ phương trình x 2  xy  y 2  1  .  2 x  2 xy  2 y 2  5x  y  3  Câu 2. (3,0 điểm). 1). Tìm các cặp số nguyên  x; y thỏa mãn 5x 2  13 y 2  6 xy  4 3x  y . 2). Giả sử a; b; c là 3 số dương có tổng là 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1 1 1    2 . ab bc ca a  b2  c 2   90 . Giả sử O là điểm nằm trong Câu 3. (3,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có BAD ABD sao cho OC không vuông góc với BD. Vẽ đường tròn tâm O đi qua C. BD cắt (O) tại hai điểm M , N sao cho B nằm giữa M và D. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD , AB lần lượt tại P , Q. 1). Chứng minh rằng bốn điểm M ; N ; P; Q cùng thuộc một đường tròn. 2). CM cắt QN tại K , CN cắt PM tại L. Chứng minh rằng KL  OC. Câu 4. (1,0 điểm). Tồn tại hay không 9 số nguyên a1 , a2 , , a9 sao cho tập các giá trị của tổng ai  a j ( 1  i  j  9 ) có chứa 36 số nguyên liên tiếp? Giải thích tại sao. ……….HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 11 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y sao cho x 3  y 3  6 xy  1  0. 2). Với x là số thực ta ký hiệu  x là các số nguyên lớn nhất không vượt quá x . Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương lớn hơn 1 thì  1    2    3      n2  1   1 nn  14n  1 .           6 Câu 2. (3,0 điểm). 1). Giải hệ phương trình 3 3 2   x  y  3 x  6 x  3 y  4 .  2 2  2 x  xy  y  11    2). Giả sử  x; y là các số thực thỏa mãn     x  3  x 2  y  3  y 2   9 .    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  xy  y 2 . Câu 3. (3,0 điểm). Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB song song CD và AB  CD . M là trung điểm CD . P là điểm di chuyển trên đoạn MD ( P khác M , D ). AP cắt (O) tại Q khác A , BP cắt (O) tại R khác B , QR cắt CD tại E . Gọi F là điểm đối xứng với P qua E. 1). Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQF luôn thuộc một đường thẳng cố định khi P di chuyển. 2). Giả sử EA tiếp xúc (O). Chứng minh rằng khi đó QM vuông góc với CD. Câu 4. (1,0 điểm). Cho một bảng ô vuông 2013  2014, mỗi ô vuông con có thể tô một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Biết rằng ban đầu tất cả các ô đều được tô màu xanh. Cho phép mỗi lần ta chọn một hàng hoặc một cột và thay đổi màu của tất cả các ô thuộc hàng hoặc cột đó. Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi màu ta có thể thu được bảng gồm đúng 1000 ô vuông con màu đỏ hay không? ……….HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 12 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải hệ phương trình 2 2   x  y  xy  3 .  2    2 x  3 xy  1  4 x 2). Giải phương trình x  3  3x  1  x  1 . Câu 2. (3,0 điểm). 1). Tìm các bộ ba số nguyên dương x; y; z thỏa mãn x 3  y 3  z 3  2001 . 2). Với a; b; c là các số thực không âm, chứng minh rằng a 2  2b 2 ab  b2  2c 2 bc  c 2  2 a 2 ca  2 a  b  c . Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) . D là điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C ). Trung trực của CA; AB lần lượt cắt đường thẳng AD tại E; F . Đường thẳng qua E song song với AC cắt tiếp tuyến qua C của (O) tại M. Đường thẳng qua qua F song song với AB cắt tiếp tuyến qua B của (O) tại N . 1). Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với (O) . 2). Giả sử FN BN . Chứng minh rằng AD là phân giác của tam giác ABC .  EM CM Câu 4. (1,0 điểm). Trên bảng ô vuông kích thước 100 100 ta viết vào mỗi ô một số nguyên dương một cách tùy ý sao cho hiệu 2 số ở hai ô kề nhau bất kỳ đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có một cạnh chung). Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương k nào đó được viết vào ít nhất 51 ô. ………HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH AN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 13 Câu 1. (1,0 điểm). Cho A  x  2 3 x  3  x  2 3 x  3 . Tính A khi x  5 .   1 5  2x     y 2 Câu 2. (1,5 điểm). Giải hệ phương trình  .  1   2y   5  x   Câu 3. (2,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n  1 ta luôn có Từ đó chứng minh 1 1  1 2  1 3  ...  1 n 1 n1 n 2 n .  2 n 2 . Câu IV (1,5 điểm). Tìm a; b; c biết rằng phương trình x 3  ax 2  bx  c  0 có tập nghiệm là S  1; 1 .  bằng 60 nội tiếp trong Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc A đường tròn tâm O , bán kính R . Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H . 1). Chứng minh rằng AD.AC  AE.AB . 2). Chứng minh rằng BC  2.DE . 3). Kéo dài BH cắt đường tròn tâm O tại H  . Chứng minh H và H  đối xứng qua AC và hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC ; ABC có cùng bán kính. Câu 5. (1,0 điểm). Cầu Vàm Cống bắc ngang qua Sông Hậu nối liền hai tỉnh Cần Thơ và Đồng Tháp thiết kế theo kiểu dây giăng như hình vẽ. Chiều cao từ sàn cầu đến đỉnh trụ đỡ AB  120 (m), dây giăng AC  258 (m), chiều dài sàn cầu từ B đến C là 218 (m). Hỏi góc nghiêng của sàn cầu BC so với mặt nằm ngang (giả thiết xem như trụ đỡ AB thẳng đứng). ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 14 Câu 1. (2,5 điểm). Cho biểu thức P  1). Chứng minh P  a b      1 1  1   a b   b a a 2 b2  a b      b2 a 2  b a  2 với a  0; b  0; a  b . 1 ab 2). Giả sử a; b thay đổi sao cho 4 a  b  ab  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P . Câu 2. (2,0 điểm). Cho hệ phương trình x  my  2  4 m  (với m là tham số). mx  y  3m  1 1). Giải phương trình khi m  2 . 2). Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. giả sử  x0 ; y0  là một nghiệm của hệ phương trình. Chứng minh đẳng thức x0 2  y0 2  5 x0  y0   10  0 . Câu 3. (1,5 điểm). Cho a; b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình 2 2 a  x  a  b  y  b  0 có nghiệm duy nhất. Chứng minh a  b .  và góc ACB  nhọn, góc BAC   60 0 . Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có các góc ABC Các đường phân giác trong BB1 ; CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I . 1). Chứng minh tứ giác AB1 IC1 nội tiếp. 2). Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1 I . Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp. 3). Chứng minh AK  B1C1 Câu 5. (1,0 điểm). Tìm số thực không âm a và b thỏa mãn  2      a  b  3 b2  a  3   2 a  1 2b  1  .   4  4   2  2  ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 15 Câu 1. (2,5 điểm). 1). Cho a  0; a  1 . Rút gọn biểu thức  a 1  S  6  4 2 . 3 20  14 2  3 a  3 a  3a  1 :   1 .  2( a  1)  2). Cho x; y thỏa mãn 0  x  1; 0  y  1 và y x  1. 1 x 1 y Tính giá trị của biểu thức P  x  y  x 2  xy  y 2 . Câu 2. (2,0 điểm). Một xe tải có chiều rộng là 2,4m và chiều cao là 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng từ đỉnh cổng (đỉnh Parabol) tới chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dày của cổng). 1). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi Parabol  P : y  ax 2 với a  0 là hình chiếu biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a  1 2). Hỏi xe tải có thể đi qua cổng được không? Tại sao? Câu 3. (1,5 điểm). Cho hai số nguyên a; b thỏa mãn a 2  b2  1  2 ab  a  b . Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp. Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ), M là trung điểm của cạnh BC , O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD; BE; CF của tam giác ABC đồng quy tại H . Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại S . Gọi X , Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng BS; AO . Chứng minh rằng 1). MX  BF . 2). Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng. 3). EF BC .  FY CD Câu 5. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số nguyên). Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên. .....….....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 16 Câu 1. (2,0 điểm). 1). Giải phương trình x 2  3 x  2  0 . x  y  z  1  2). Tìm các số thực x; y; z thỏa mãn:  y  z  x  3 .  z  x  y  5 Câu 2. (2,0 điểm). 1 a 1). Phép toán T được định nghĩa như sau aTb   ý. 1 2 1 3 1 với a và b là các số thực khác 0 tùy b 1 6 Thí dụ: 2 T 3    . Tính giá trị biểu thức P  5 T 6T 7 T 8 . 2). Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện 6 a 2  20 a  15  0 ; 15b2  20b  6  0 ; ab  1 . Chứng minh rằng b3 3 ab2  9 ab  1  6 . 2015 Câu 3. (2,0 điểm). 1). Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n  2015 và n  2199 đều là các số chính phương. 2). Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau 12345678910111213141516...9989991000 . Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2. Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào? Câu 4. (3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD tâm O , M là điểm di động trên cạnh AB . Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AM  AE , trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM  BF .  , đường thẳng OB 1). Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc MOE  . Từ đó suy ra ba điểm O; E; F thẳng hàng. là phân giác trong của góc MOF 2). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF . Chứng minh bốn điểm A; B; H ; O cùng nằm trên một đường tròn. 3). Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (1,0 điểm). Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f  x  x  1  2 x  2  3 x  3  4 x  4 . ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 17 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải phương trình : 2). Giải hệ phương trình:  x3 x   1 x  1  1 . 2 2 2 2   x  y  2 x y .   x  y1  xy  4 x 2 y 2     Câu 2. (3,0 điểm). 1). Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là  a . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức 2  1 1 n   3 n    không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương. 27 3   2). Với x; y; z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy  yz  zx  5 , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  3x  3 y  2 z 6  x 2  5  6  y 2  5  6  z 2  5 .  và CDA  là Câu 3. (3,0 điểm). Cho hình thang ABCD với BC song song AD . Các góc BAD các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC ( P không trùng với B; C ). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA tại M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P 1). Chứng minh rằng năm điểm A; M ; I ; N ; D cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn này là ( K ) . 2). Giả sử các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại Q , chứng minh rằng Q cũng nằm trên đường tròn ( K ) . 3). Trong trường hợp P; I ; Q thẳng hàng, chứng minh rằng PB BD .  PC CA Câu 4. (1,0 điểm). Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên  . Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A ( x  1 ) luôn tồn tại a; b cũng thuộc A sao cho x  a  b ( a có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất. ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 18 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải hệ phương trình   xy  x  y  2 .   9 xy 3 x  y  6  26 x 3  2 y 3    2). Giải phương trình  x4 2   4  x  2  2x . Câu 2. (3,0 điểm). 1). Tìm hai chữ số cuối cùng của số A  41106  57 2012 . 2). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  3 2 x  1  x 5  4 x 2 , với 1 5 . x 2 2 Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O) . Giả sử  sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa M ; N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC hai tia AM ; AB . Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm C trên AN và Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB . 1). Giả sử CP cắt QM tại điểm T . Chứng minh T nằm trên đường tròn (O) . 2). Gọi giao điểm của NQ và (O) là R khác N . Giả sử AM cắt PQ tại S . Chứng minh rằng bốn điểm A; R; Q; S cùng thuộc một đường tròn. Câu 4. (1,0 điểm). Với mỗi số n nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cố định, xét các tập n số thực đôi một khác nhau X  x1 ; x2 ;...; xn  . Kí hiệu C X  là số các giá trị khác nhau của tổng xi  x j ( 1  i  j  n ). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của C X  . ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 19 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giải hệ phương trình x 3  y 3  1  y  x  xy  .  7 xy  y  x  7  2). Giải phương trình x  3  1  x2  3 x  1  1  x . Câu 2. (3,0 điểm). 1). Tìm các cặp số nguyên  x; y thỏa mãn 5 x 2  8 y 2  20412 . 2). Với  x; y là các số thực dương thỏa mãn x  y  1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 P     1  x 2 y 2 .  x y  Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H . Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B, C và H ) và nằm trong tam giác ABC . PB cắt (O) tại M khác B, PC cắt (O) tại N khác C . BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A. 1). Chứng minh rằng ba điểm M ; N ; Q thẳng hàng.  . Chứng minh rằng khi đó PQ đi qua trung điểm của 2). Giả sử AP là phân giác góc MAN BC. Câu 4. (1,0 điểm). Giả sử dãy số thực có thứ tự x1  x2    x192 thỏa mãn các điều kiện x1  x2    x192  0 và x1  x2    x192  2013. Chứng minh rằng x192  x1  2013 . 96 ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 20 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giả sử x; y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn y 2y2 4y4 8 y8    4. x  y x 2  y 2 x 4  y 4 x8  y 8 Chứng minh rằng 5 y  4 x . 2). Giải hệ phương trình  2 x 2  3 y 2  xy  12  .  2 2  6 12 6 x x y y y x        Câu 2. (3,0 điểm). 1) Cho x; y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 4 x 2 y 2  7 x  7 y là số chính phương. Chứng minh rằng x  y. 2) Giả sử x; y là những số thực không âm thỏa mãn x 3  y 3  xy  x 2  y 2 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 1 x 2 y  2 x 1 y . Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn PB = PC. D là điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C ) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC . Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C. 1). Chứng minh rằng bốn điểm A; E; P; F cùng thuộc một đường tròn. 2). Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại Q khác A , đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L. Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF . 3). Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB . Chứng minh rằng   PAC .   PAB   QLK QKL Câu 4. (1,0 điểm). Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i). Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử; ii). Nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của hai tập này khác nhau. Chứng minh rằng m  900. ….…..HẾT……… Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên toán) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 21 Câu 1. (1,5 điểm). 1). Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2  4 và n2  16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5. 2). Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2  2 y  x  y  2  x  1 . Câu 2. (2,0 điểm). 1). Rút gọn biểu thức A   2 3 5  2 2  3 5   2 3 5  2 2  3 5 . 2). Tìm m để phương trình  x  2 x  3 x  4 x  5  m có 4 nghiệm phân biệt. Câu 3. (2,0 điểm). 1). Giải phương trình x 2  x  4  2 x  1 1  x .  3 2 x  xy  10 y  0 2). Giải hệ phương trình  2 . 2 x  6 y  10  Câu 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn O; R và dây cung BC  R 3 cố định. Điểm A di động  sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và trên cung lớn BC F là điểm đối xứng với C qua AB . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K ( K  A ). Gọi H là giao điểm của BE và CF .  và tứ giác BHCK nội tiếp. 1). Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC 2). Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R . 3). Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (1,0 điểm). Cho 3 số thực dương x; y; z thỏa mãn 1 1 1  2  2  1 . Tìm giá trị nhỏ 2 x y z nhất của biểu thức P y2 z2 xy2  z2   z2 x2 y z2  x2   x2 y 2 z x2  y 2  . ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC KHTN HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 22 Câu 1. (3,0 điểm). 1). Giả sử a; b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a 2  3a  b2  3b  2 . a). Chứng minh rằng a  b  3 . b). Chứng minh rằng a 3  b3  45 .  2 x  3 y  5 xy 2). Giải hệ phương trình  2 . 2 2   4 x  y  5 xy Câu 2. (3,0 điểm). 1). Tìm các số nguyên  x; y không nhỏ hơn 2 sao cho xy  1 chia hết cho  x  1 y  1 . 2). Với x; y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x 2 y 2  2 y  1  0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  xy . 3y  1 Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I . Đường thẳng AI cắt BC tại D . Gọi E; F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC ; IB . 1). Chứng minh rằng EF song song với BC . 2). Gọi M ; N ; J lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng DE; DF ; EF . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A . Chứng minh rằng bốn điểm M ; N ; P; J cùng nằm trên một đường tròn. 3). Chứng minh rằng ba điểm A; J ; P thẳng hàng. Câu 4. (1,0 điểm). 1). Cho bảng ô vuông 2015 x2015. Kí hiệu ô (i ; j ) là ô ở hang thứ i , cột thứ j . Ta viết các số nguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau: i). Số 1 được viết vào ô (1,1) ii). Nếu số k được viết vào ô (i ; j ) ( i  1 ) thì số k  1 được viết vào ô (i  1; j  1) . iii). Nếu số k được viết vào ô (1; j ) thì số k  1 được viết vào ô ( j  1; 1) (xem hình 1). Khi đó số 2015 được viết vào ô m; n . Hãy xác định m và n. 2). Giả sử a; b; c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ac  abc  4. Chứng minh rằng a 2  b2  c 2  a  b  c  2 ab  bc  ac . ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC KHTN HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 23 Câu 1. (3,0 điểm). 1) Với a; b; c là các số thỏa mãn 3 3a  3b  3c 3 3 3  24  3a  b  c  3b  c  a  3c  a  b . Chứng minh rằng a  2bb  2cc  2 a  1 .  2 x  2 y  xy  5 2) Giải hệ phương trình  3 27  x  y  y  7  26 x 3  27 x 2  9 x  . Câu 2. (3,0 điểm). 1) Tìm số tự nhiên n để n  5 và n  30 là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên) 2) Tìm  x; y nguyên thỏa mãn đẳng thức 1  x  y  3  x  y . 3) Giả sử x; y; z là các số thực lớn hơn 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y  z4  y z x4  z x y4 . Câu 3. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn không cân với AB  AC . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM . Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN  2 MH . 1) Chứng minh rằng BN  AC . 2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N . Đường thẳng AC cắt BQ tại D .Chunwgs minh rằng bốn điểm B; D; N ; C cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là (O) . 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt (O) tại G và D . Chứng minh rằng NG song song với BC . Câu 4. (1,0 điểm). Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 diểm phân biệt trên một mặt phẳng. Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S . ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 Website:tailieumontoan.com KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (ĐỀ CHUNG) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 24 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (2,0 điểm). 1). Với giá trị nào của x thì biểu thức x  1  x  3 xác định . 2). Tính giá trị của biểu thức A  x  3  3  x khi x  2 2 . 3). Tìm tọa độ của các điểm có tung độ bằng 8 và nằm trên đồ thị hàm số y  2 x 2 . . 4). Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3; BC  5 . Tính cos ACB  1 2  x  x 1  x  .  (với x  0; x  1 ).   Câu 2. (1,5 điểm). Cho biểu thức Q    x  1 x  1  x  1 x  x  1). Rút gọn biểu thức Q . 2). Tìm các giá trị của x để Q  1 . Câu 3. (2,5 điểm). 1). Cho phương trình x 2  2 m  1 x  m2  6  0 (1) (với m là tham số). a). Giải phương trình với m  3 . b). Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có các nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12  x2 2  16 .  x  2  x  y  3  y  2). Giải hệ phương trình  2 . x   x  32 x  y  5  x  16  Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB  AC ), đường cao AH . Đường tròn tâm I đường kính AH cắt các cạnh AB; AC lần lượt tại M ; N . Gọi O là trung điểm của đoạn BC ; D là gia điểm của MN và OA . 1). Chứng minh rằng: a). AM.AB  AN .AC . b). Tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp. 2). Chứng minh rằng: a). ADI ∽AHO . b). 1 1 1 .   AD HB HC 3). Gọi P là giao điểm của BC và MN ; K là giao điểm thứ hai của AP và đường tròn đường   90 0 . kính AH . Chứng ming rằng BKC Câu 5. (1,0 điểm). 1). Giải phương trình 3x2  6 x  6  3 5  2  x  7 x  19 2  x . 2). Xét các số thực dương a; b; c thỏa mãn abc  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T a b c  4  4 . 4 4 b  c  a a  c  b a  b4  c 4 ___________________Hết_________________ Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 Website:tailieumontoan.com KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 25 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (2,0 điểm). 1). Rút gọn biểu thức P  2  3   6 2 . 2 x  y  3 2). Giải hệ phương trình  . x  y  6 Câu 2. (2,0 điểm). Cho phương trình mx 2  2 m  1 x  1  3m  0 (1) ( m là tham số). 1). Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m . 2). Trong trường hợp m  0 . Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x12  x2 2 . Câu 3. (2,0 điểm). Trong một phòng có 80 người họp, được sắp ngồi trên các dãy ghế có chỗ ngồi bằng nhau. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người ngồi thì vừa đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu chỗ ngồi. Câu 4. (3,0 điểm). Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ các tiếp tuyến MA; MB ( A; B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua O ( C nằm giữa M và D ) với đường tròn (O) . Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I . Chứng minh rằng 1). Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 2). MC.MD  MA 2 . 3). OH .OM  MC.MD  MO 2 . Câu 5. (1,0 điểm). Cho x; y; z là các số thực thỏa mãn điều kiện: 3x2  y 2  z 2  yz  1 . Tìm 2 giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức B  x  y  z . -------------- HẾT-------------- Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 Website:tailieumontoan.com KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 26 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). 1). Cho a  b  29  12 5  2 5 . Tính giá trị của biểu thức A  a 2 a  1  b2 b  1  11ab  2015 . 2). Cho x; y là hai số thực thỏa mãn xy  (1  x 2 )(1  y 2 )  1 . Chứng minh rằng x 1  y 2  y 1  x2  0 . Câu 2. (2,0 điểm). 1). Giải phương trình 2 x  3  4 x 2  9 x  2  2 x  2  4 x  1 . 2 2   2 x  y  xy  5 x  y  2  y  2 x  1  3  3 x 2). Giải hệ phương trình :  . 2    x  y  1  4 x  y  5  x  2 y  2 Câu 3. (2,0 điểm). 1). Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn x 4  x 2  y 2  y  20  0 . 2). Tìm các số nguyên k để k 4  8 k 3  23k 2  26 k  10 là số chính phương. Câu 4. (3,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A ( A khác B ). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) ( M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC . 1). Chứng minh A; O; M ; N ; I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc . MIN 2). Gọi K là giao điểm của MN và BC . Chứng minh 2 1 1 .   AK AB AC 3). Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P . Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành. 3 Câu 5. (1,0 điểm) Cho a; b là các số dương thỏa mãn điều kiện a  b  4 ab  12 . Chứng minh bất đẳng thức : 1 1   2015ab  2016 . 1 a 1 b ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website:tailieumontoan.com KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 27 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (7,0 điểm). 1) Giải phương trình x2  5x  4  2 x  5  2 x  4  x2  4 x  5 .    1  1  x   y    2   2) Giải hệ phương trình  . y  x   2 2   2 x y  xy  4 xy  2 x  y Câu 2. (2,0 điểm). Cho a; b là các số nguyên dương thỏa mãn a 2  b2  ab . Tính giá trị biểu thức A  a2  b2 . 2 ab Câu 3. (2,0 điểm). Cho a; b; c là các số thực. Chứng minh 2 a 2  1b  1c  1  2 2 3  a  b  c 4 . Câu 4. (7,0 điểm). Cho đường tròn ( O; R ) có BC là dây cố định ( BC < 2 R ); E là điểm chính giữa cung nhỏ BC . Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB < AC ( A khác B ). Trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho ED  EC . Tia BD cắt đường tròn ( O; R ) tại điểm thứ hai là F . 1). Chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF . 2). Gọi H là trực tâm của tam giác DEC ; DH cắt BC tại N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn ( O; R ) tại điểm thứ hai là M . Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (2,0 điểm). Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên kahsc nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc A . Tìm tất cả các phần tử của A . ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 29 Website:tailieumontoan.com KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chung) Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 28 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (3,0 điểm). Cho biểu thức P  2x  2 x  x x 1 x x  x2  x x x x với ( 0  x  1 ). 1). Rút gọn biểu thức P . 2). Tính giá trị của thức P khi x  3  2 x . 3). Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức 7 chỉ P nhận một giá trị nguyên. 3 Câu 2. (2,0 điểm). Cho phương trình x 2 – 2 mx  m – 1  0 ( m là tham số). 1). Giải phương trình khi m  1 . 2). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại. Câu 3. (1,0 điểm). Giải phương trình 9 2x  1  0 . 2 x 2x2  9 Câu 4. (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Đường tròn đường kính AH , tâm O , cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F . Gọi M là trung điểm của cạnh HC . 1). Chứng minh AE.AB  AF.AC . 2). Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH .   HBO . 3). Chứng minh HAM 4). Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM . Câu 5. (0,5 điểm). Cho các số dương a; b; c thỏa mãn ab  bc  ca  3 . Chứng minh rằng 1 1 1 3  2  2  . a 1 b 1 c 1 2 2 ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 Website:tailieumontoan.com KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 29 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (1,5 điểm). Cho phương trình 2 x 2  mx  1  0 (với m là tham số). 1). Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12  4 x22  0 . 2). Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn x  1 . Câu 2. (2,0 điểm). 1). Giải phương trình sau 18 x 2  2 x  17 1 9 x  0 . 3 3 2). Tìm các số nguyên  x; y với x  0; y  0 thỏa mãn x 2  3 y 2  4 xy  4 x  10 y  12  0 . Câu 3. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau 2   x  y  1  1  4  x  y   3 x  y .  4 x 2  2 xy  1  Câu 4. (1,0 điểm). Cho x; y thỏa mãn x 2  y 2  4 x  2  0 . Chứng minh rằng 10  4 6  x 2  y 2  10  4 6 . Câu 5. (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) . Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M ( M  A ). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại N ( N  C ). Gọi K là giao điểm MN với BC . 1). Chứng minh tam giác KCN cân. 2). Chứng minh OK vuông góc với BM . 3). Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P . Chứng minh ba điểm P ; B; O thẳng hàng.   60 0 . Câu 6. (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB  3a; AC  4 a và góc BAC Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H . Tính độ dài đoạn AH theo a . Câu 7. (1,0 điểm). Cho ba số dương a; b; c thỏa mãn abc  1 . Chứng minh rằng b2 c 2 a2 9 9     . a b c 2 ab  bc  ca 2 -------------- HẾT-------------- Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 31 Website:tailieumontoan.com KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 30 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (1,5 điểm). Không dùng máy tính, chứng minh 1 1 3  1 3 5  1 5 7  ...  1 2013  2015  21,5 . Có thể thay giá trị 21,5 bằng một giá trị khác lơn hơn được không? Vì sao? Câu 2 (1,0 điểm). Rút gọn biểu thức A  x  2  2 x  3  x  1  4 x  3 với x  4 . Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình  x 2  3x  2 x 2  7 x  12  35 . Câu 4 (1,5 điểm). Cho ba số a; b; c khác không, đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện ab bc ca . Tính giá trị của biểu thức   c a b  a  b  c B  1  1  1   .  b  c  a Câu 5 (2,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên n sao cho a  n4  2n3  2n2  n  7 là số chính phương.  và ABC  cắt Câu 6 (3,0 điểm). Cho tứ giác ABCD . Các đường phân giác của hai góc BAD  cắt nhau tại N . Giả sử đường  và ADC nhau tại M . Các đường phân giác của hai góc BCD thẳng BM cắt đường thẳng CN tại P , đường thẳng AM cắt đường thẳng DN tại Q . 1). Chứng minh rằng bốn điểm M ; N ; P; Q cùng nằm trên một đường tròn. 2). Ký hiệu I ; K ; J ; H lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác MAB ; NCD ; PBC ; QAD . Các đường thẳng MI ; NK ; PJ ; QH cắt đường tròn đi qua bốn điểm M ; N ; P ; Q lần lượt tại các điểm I1 ; K1 ; J1 ; H1 . Chứng minh rằng I1 K1  J1 H1 . ……....HẾT………. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 32 Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI – NHẬN XÉT – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ĐỀ SỐ 1. Câu 1. 1). Hệ phương trình tương đương với  2     x  1 y 2  1  2  y (1)   x  1 y   x  1  2  y  .    y  2 x 2   y  2)  x  1  y  2 x 2  1  x  1 (2)        +) Nếu x  1 , suy ra  x  1 y 2  1  0 nên từ (1)  2  y  0  y  2   y  2 x 2  1  0 ; Do đó từ (2)  x  1  0  x  1 (mâu thuẫn). +) Nếu x  1 , tuơng tự suy ra x  1 (mâu thuẫn). +) Nếu x  1  y  2 (thỏa mãn). Đáp số: x  1; y  2 Nhận xét: Bài toán sử dụng kỹ thuật đánh giá theo miền nghiệm khi đoán trước được nghiệm của hệ phương trình. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: • Cho hai biểu thức f  x; y và g  x; y , trong đó g  x; y  0 . Xét biểu thức: P  f  x; y.g  x; y . Có hai trường hợp sau xảy ra đó là P  0  f  x; y  0 và P  0  f  x; y  0 . • Kỹ thuật nhẩm nghiệm. Ý tưởng: Bài toán này không phải là một hệ phương trình đồng bậc, nếu là đồng bậc hai thì ta có thể giải quyết bằng cách đưa về hệ số bất định. Nhưng một điều đáng lưu ý ở bài toán này đó chính là các biểu thức x  1; y  2 được gắn với hai đại lượng không âm. Nên nhiều khả năng sẽ xảy ra  x  1 y 2   y  2 x 2  0 . Xét các trường hợp thì thấy  x; y  1; 2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hoặc ta có thể sử dụng kỹ thuật nhẩm nghiệm như sau, đó là giả sử x  k , bây giờ ta sẽ thay thử các giá trị của k , tất nhiên sẽ lấy các giá trị k nguyên và đẹp. Và cũng cho ta được nghiệm  x; y  1; 2 . Với cặp nghiệm này, thực x  y  3 x  1  y  2  0 chất bài toán quy về giải hệ phương trình  .    y  x  1  y  2  x  1 Vì thế ta tách hệ phương trình ban đầu, và nhóm nhân tử như sau: • Hệ phương trình đã cho  x  1 y 2  x  1  y  2  0  x  1 y 2  1  2  y      y  2 x 2  y  2  x  1  y  2 x 2  1  x  1   1  2 • Đến đây, ta sẽ đánh giá miền nghiệm: 1   x  1 y 2  1  0  2  y  0  y  2  TH1. Nếu x  1   . 2   y  2 x 2  1  0  y  2  Hệ bất phương trình này vô nghiệm. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 33 Website:tailieumontoan.com 1   x  1 y 2  1  0  2  y  0  y  2  TH2. Nếu x  1   . 2   y  2 x 2  1  0  y  2  Hệ bất phương trình vô nghiệm • Vậy x  1; y  2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:  2  x  1 y 2  x  y  4 1. Giải hệ phương trình  . 2  y  3 x  y  x  2    Đáp số:  x; y  1; 3 . 2). Điều kiện x  0 . Phương trình tương đương 2  x  1 x  3  x2  7 . x Chia hai vế cho x  0 , ta được     3 3 2  3 1 3 4 1 3 7  2 1   x   x    x    2 1   x    0   x   2 x     0 .     x x x  x  x  x x x  x x   x  1 3 3 + Giải x   2  x   4  x 2  4 x  3  0   . x x x  3 3 2 3 4 + Giải x    x   2  x 3  3x  4  0 x x x x   x  1 x 2  x  4  0  x  1 . Đáp số x  1; x  3 . Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn, sau đó nâng lũy thừa tìm nghiệm của phương trình ban đầu. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: • Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: xét một phương trình bậc hai có dạng mf  x.t 2  ng  x.t  k  0 (*), trong đó t là ẩn phụ được biểu diễn dưới dạng t  h  x . Khi đó, ta có 2 t  ng  x  4 kmf  x , với t bắt buộc là một số chính phương. Nên ta tìm được   nghiệm của (*) đó là t ng  x  t • Cách giải phương trình mf  x  h  x ; t  ng  x  t mf  x  h  x .    f  x ; g  x  0 . f  x  g  x   2  f x g x         Ý tưởng: Trước hết, ta cần quy đồng mẫu số bài toán, như vậy ta sẽ được phương trình có dạng f  x. g  x  h  x và nếu nâng lũy thừa hai vế, ta sẽ thu được một phương trình bậc 5. Và phương trình bậc 5 nếu không có nghiệm nguyên thì sẽ rất khó để giải quyết. Vậy nên ta cần nghĩ đến hướng tư duy khác, đó là bài toán xuất hiện căn thức Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả x 3 nên ta x TÀI LIỆU TOÁN HỌC 34 Website:tailieumontoan.com 2  3 mong muốn sẽ tạo được lượng k  x   để có thể đưa về phương trình bậc hai, sau đó  x  đặt t  x  3 để sử dụng phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn. Tức là sẽ chia cả hai vế x của phương trình, ta được: x2  7 3 3 • Ta có x    2  x  1 x   x 2  7 x x 2( x  1)   1 3 7 3 1 3 4  2 1   x   x   x   2 1   x    0 (*). x x x x x x x    3 1 4 • Đặt t  x   0 , khi đó ta có (*)  t 2  2 1  t   0 .  x  2 x  x 2  1 4  1 Có 't  1     1   nên suy ra được    • • x  x  x    1 1  x 3 2 t  2 t  1   1     x x x    2  1 1  t  x 3  2  t  1   1  x   x x x x  x  1 3 Giải ( i ), ta có ( i )  x   4  x 2  4 x  3  0   . x  3 x  3 4 Giải ( ii ), ta có ( ii )  x   2  x 3  3x  4  0  x  1 . x x i  . ii Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: 1. Giải phương trình:  x  3 4  x12  x  28  x . Đáp số: x  4  2. Giải phương trình: Đáp số: x   2  1 ; x  31  3 . x3  x  2x2  x  2 . 1 5 1  65 ; x . 2 8 Câu 2. 1). Giả sử tồn tại các số nguyên x , y , z thỏa mãn x 4  y 4  7 z 4  5  x 4  y 4  z 4  8 z 4  5 (1) . Ta có a 4  0,1 (mod 8) với mọi số nguyên a x 4  y 4  z 4  0,1,2,3 (mod 8)   4 . 8 z  5  5(mod 8)  Mâu thuẫn với (1). Vậy không tồn tại  x; y; z thỏa mãn đẳng thức. Nhận xét. Để giải bài toán trên cần sử dụng phương pháp phản chứng: “Giả sử xảy rồi biến đổi thấy điều mâu thuẫn với giả sử”. Nhắc lại kiến thức và phương pháp. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 Website:tailieumontoan.com • Thêm cùng một lượng vào hai vế của đẳng thức ta được một đẳng thức mới tương đương với đẳng thức ban đầu x4  y 4  7 z4  5  x4  y 4  z4  8z4  5 . • Lũy thừa bậc bốn của một số nguyên khi chia cho 8 dư 0 hoặc 1 tức là a 4  0, 1 mod 8 với mọi số nguyên a x 4  0, 1 mod 8  x 4  y 4  z 4  0, 1, 2, 3 mod 8  4 .  y  0, 1 mod 8   4  8 z  5  5 mod 8 4 z  0, 1 mod 8   • Hai vế của một đẳng thức có số dư khi chia cho cùng một số nhận được số dư khác nhau thì đẳng thức này không thể tồn tại. Ta thấy VT  x 4  y 4  z 4 chia 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 2 hoặc 3 . Mà VP  8 z 4  5 chia 8 dư 5 do đó không thể tồn tại đẳng thức x 4  y 4  z 4  8 z 4  5 hay x4  y 4  z4  8z4  5 . Vậy không tồn tại các bộ ba số nguyên  x; y; z thỏa mãn đẳng thức x4  y 4  7 z4  5 . 2). Phương trình tương đương với 2 2  2 2  3 2 3 3 3  x  1   x  1   x  1   x  1   y  2 x  24 x  y  8 x  8 x  y .    3 3 3 +) Nếu x  1  8 x 3  8 x 3  8 x  2 x  1  2 x  y 3  2 x  1 (mâu thuẫn vì y nguyên). +) Nếu x  1 và  x; y là nghiệm, ta suy ra x;  y cũng là nghiệm, mà x  1  mâu thuẫn. +) Nếu x  0  y  0 (thỏa mãn). Vậy x  y  0 là nghiệm duy nhất. Nhận xét. Để giải bài toán trên cần sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đưa về xét khoảng giá trị của nghiệm. Nhắc lại kiến thức và phương pháp. • Hằng đẳng thức A 2  B2   A  B A  B 4 4 2 2  2 2  VT   x  1   x  1   x  1   x  1   x  1   x  1     2 • Hằng đẳng thức  A  B  A 2  2 AB  B2 VT   x 2  2 x  1  x 2  2 x  1 x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  2 x 2  24 x  8 x 3  8 x . Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình 8 x 3  8 x  y 3 Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách xét khoảng giá trị của nghiệm • Không tồn tại lũy thừa bậc ba nào giữa hai lập phương (lũy thừa bậc ba) liên tiếp. 3 3 3 +) Nếu x  1  8 x 3  8 x 3  8 x  2 x  1  2 x  y 3  2 x  1 3 3 (mâu thuẫn vì y nguyên và 2x và 2 x  1 là hai lập phương liên tiếp). 3 3 3 +) Nếu x  1  8 x 3  8 x 3  8 x  2 x  1  2 x  y 3  2 x  1 Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 Website:tailieumontoan.com 3 3 (mâu thuẫn vì y nguyên và 2x và 2 x  1 là hai lập phương liên tiếp). +) Nếu x  0  y  0 (thỏa mãn). Vậy x  y  0 là nghiệm duy nhất. Câu 3.  , suy ra OBD   OCD   OCB   ODB , 1). Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD nên tam giác OBD cân tại O , do đó OB  OD (1).   OBE  (cùng bù với góc OBC  ) (2). Tứ giác OBCD nội tiếp ODC Trong tam giác CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác CEF cân tại C .   AFC   EAB  , suy ra tam giác ABE cân tại B , nên BE  BA  CD (3). Do AB  CF  AEB Từ (1), (2) và (3), suy ra OBE  ODC (c – g – c). Nhận xét. Có ba trường hợp bằng nhau cơ bản của hai tam giác. Ở bài này, chúng ta sử dụng trường hợp bằng nhau “cạnh-góc-cạnh” từ đó ta sẽ đi tìm ra các cạnh và góc bằng nhau. Nhắc lại kiến thức và phương pháp. • Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung của một đường tròn thì bằng nhau.   ODB  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB  của đường tròn ngoại tiếp tam giác + BCO BCD ).   CBD  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DO  của đường tròn ngoại tiếp tam giác + OCD BCD ).   OCD  (vì CO là tia phân giác của BCD  ), suy ra OBD   ODB . Mà BCO • Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.   ODB  (chứng minh trên) nên OBD cân tại O . Tam giác OBD có OBD • Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau. Tam giác OBD cân tại O suy ra OB  OD . • Tứ giác nội tiếp có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh không kề với nó. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 Website:tailieumontoan.com  là góc ngoài tại đỉnh B Tứ giác BCDO nội tiếp đường tròn ngoại tiếp BCD có EBD  là góc trong tại đỉnh D không kề B suy ra EBD   CDO . và CDO • Tam giác có đường cao cũng là đường phân giác thì tam giác đó cân. Tam giác CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác CEF cân tại C . • Tam giác cân có hai góc kề cạnh đáy bằng nhau.   CFE  hay AEB   AFC . Tam giác CFE cân tại C , suy ra CEF • Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau.   EAB  , nên EBA cân tại   EAB  (hai góc ở vị trí đồng vị của AB  FC ), suy ra AEB AFC B (tam giác có hai góc bằng nhau), do đó BE  BA mà ABCD là hình bình hành nên AB  CD suy ra BE  CD .   CDO  ; BE  CD suy ra OBE  ODC (c – g Xét OBE và ODC có: OB  OD ; EBD – c). 2). Từ OBE  ODC  OE  OC . Mà CO là đường cao tam giác cân CEF , suy ra OE  OF . Từ đó OE  OC  OF , vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . Nhận xét. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác do đó ta chứng minh điểm O cách đều các điểm E ; C ; F hay OE  OC  OF . Nhắc lại kiến thức và phương pháp. • Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh và cặp góc tương ứng bằng nhau. OBE  ODC  OE  OC . • Tam giác cân có đường cao cũng là đường trung trực của cạnh tương ứng CO là đường cao của tam giác cân CFE nên CO là đường trung trực của FE . • Một điểm thuộc trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng. Điểm O thuộc đường trung trực CO của đoạn thẳng FE nên OE  OF , suy ra OE  OC  OF . • Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Ta có OE  OC  OF suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp CEF . 3). Theo trên, ta có BE  CD mà CE  CF  BC  DF .  , nên Ta có CI là đường phân giác góc BCD IB CB DF    IB.BE  ID.DF . ID CD BE Mà CO là trung trực EF và I  CO , suy ra IE  IF . Từ hai đẳng thức trên, suy ra IB.BE.EI  ID.DF.FI . Nhận xét. Chứng minh một đẳng thức ta kết hợp các đẳng thức đã cho, đã chứng minh được để ghép vào đẳng thức cần chứng minh. Nhắc lại kiến thức và phương pháp. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38 Website:tailieumontoan.com Ta có BE  CD (chứng minh trên) và CE  CF ( ECF cân tại C ) suy ra CE  BE  CF  CD  BC  DF suy ra CB DF .  CD BE • Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh dối diện thành hai đoạn thẳng có tỷ số bằng với tỷ số hai cạnh tương ứng của tam giác.  của tam giác CBD nên IB  CB , suy ra ta Ta có CI là phân giác của góc trong BCD được ID IB DE   BE.BI  DE.DI . ID BE CD • Nhắc lại kiến thức. Ta có I nằm trên trung trực CO của đoạn thẳng FE nên suy ra IE  IF nhân vế theo vế với đẳng thức BE.BI  DE.DI ta được BE.BI .IE  DE.DI .IF x3 x2 (1) .  x3  8 y 3 x2  2 y 2 Câu 4. Ta chứng minh  2 x3 x4   x 2  2 y 2   x  x 3  8 y 3   4 x 2 y 2  4 y 4  8 xy 3  3 3 2 x  8y x2  2 y 2   x 2  y 2  2 xy (đúng). y3 Ta chứng minh   3 y 3   x  y y3 3 y 3   x  y  y4 x 2 2  2y2  y2 (2). x2  2 y 2 2 3 3    x 2  2 y 2   y  y 3   x  y    x 2  2 y 2   y 4  y  x  y     x 2  y 2  x 2  3 y 2   y  x  y 3 Ta có x 2  y 2  2 1  x  y 2 x 2  3 y 2  x 2  y 2  2 y 2  2 xy  2 y 2  2 y  x  y   x 2  y 2  x 2  3 y 2   2 3 1  x  y .2 y x  y  y  x  y  (2) (đúng). 2 Từ (1) và (2), suy ra P  1 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y . Vậy Pmin  1 . Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp dự đoán điểm rơi, từ đó phát hiện tư duy bất đẳng thức phụ cần thiết để tìm giá trị nhỏ nhất của bài toán. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: • Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương x  y  2 xy . • Hệ quả của bất đẳng thức Cosi, đó là: x 2  y 2  2 1  x  y . 2 Ý tưởng: Đây là một bài toán chứa các biểu thức đồng bậc, nên điểm rơi của bài toán sẽ có dạng x  ky . Từ đó thay ngược lại biểu thức P , ta có: Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 Website:tailieumontoan.com P k3 3 k 8 4  3 1   k  1 k k 4 .  3 k 8 1   k  1 3 3 Các biểu thức k 3  8; 1   k  1 đều xuất hiện trong căn, nên ta mong muốn nó là một số  m  3 3 phương trình và bằng nhau, do đó k 3  8  1   k  1 và k 3  8  m2 nên dễ thấy  .   k  1 Tức là điểm rơi của bài toán tại x  y và giá trị nhỏ nhất của P là 1 . Việc dự đoán điểm rơi này là cần thiết, nó giúp ta có nhiều sự lựa chọn hơn trong các việc đánh giá như x  y  2 xy hay x 2  y 2  2 1 x  y . Với điểm rơi đó, hai mẫu số trong đã bằng nhau P 2 nên nếu có đánh giá P , ta cần đánh giá hai căn về hai biểu thức cùng mẫu, ví dụ như cùng mẫu số x  2 y; 2 x  y; x 2  2 y 2 ; 2 x 2  y 2 . Bây giờ, quan sát từng căn thức một: • Với f  x; y  x3 x x 3 , trong căn thức mẫu số có bậc ba, trên tử là bậc 3 3 x  8y x  8y3 nhất, vậy để đồng hóa bậc thì ta cần đánh giá căn thức về một biểu thức dạng bậc không trên bậc nhất . Hơn nữa lại xuất hiện 8y 3 nên ta sẽ chọn đánh giá x  2 y để tối thiểu hóa ẩn y , tức là ta sẽ cần chứng minh: 2 x 1   x  x  2 y  x 3  8 y 3  y  y  x x  2 y  0 . 3 x  2y x  8y 3 Nhưng điều này chưa hoàn toàn đúng, vì cần phải có điều kiện y  x , vậy nên hướng tư duy như trên chưa đúng. Tức là ta sẽ lựa chọn biểu thức x 2  2 y 2 thay vì x  2 y như ta đã chọn, vì thế: 2 x x  2  xx2  2 y 2   x2 x3  8 y 3  3 2 x  8y x  2y 3 2  xy 2  x  y  0 . • Với g  x; y  4y3 3 y   x  y 3 y 4y 3 y   x  y 3 , với hướng tư duy tương tự, chúng ta sẽ có: 4y3 3 y 3   x  y  3 2y2   x 2  y 2  x 2  3 y 2   y  x  y . 2 2 x  2y Điều này luôn đúng do theo bất đẳng thức Cosi, ta có:  2  1 2 2  3 x  y   x  y   x 2  y 2  x 2  3 y 2   y  x  y . 2   2 2 2 2 2 2    x  3 y  x  y  2 y  2 xy  2 y Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: 1. Cho a; b là hai số thực dương thỏa mãn a  b  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 a 2  3b 2 2 b 2  3 a 2  . 2 a 3  3b3 2b3  3a 3 2. Cho a; b là hai số thực dương. Chứng minh rằng: Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 Website:tailieumontoan.com  2      a  b  3 b2  a  3   2 a  1 2b  1  .   4  4   2  2  ĐỀ SỐ 2. Câu 1. 1). Điều kiện x  6. Phương trình đã cho tương đương với  x  9  2012   x  6 1  0 . 2 + Giải x  9  2012  0  x  2012  9  4048135 . + Giải x  6  1  0  x  5 . Vậy phương trình có hai nghiệm: x  4048135; x  5 . Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp nhóm nhân tử chung và nâng lũy thừa tìm nghiệm của phương trình. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: • Cách giải phương trình dạng   f x m  f  x  m 2    g  x  n  0     .  g  x  n g  x  n 2      f  x  m . Ý tưởng: Bài toán cho hết sức đơn giản, với sự xuất hiện của hai căn thức x  9; x  6; x  9x  6 x  9  2012 x  6  2012  nên không khó để nhóm được nhân tử chung như sau: x  9x  6 x  9x  6  2012 x  6  2012  0  x9       x  9 1  x  6  2012 1  x  6  0   1 x  6   x  9  2012  0 . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: 1. Giải phương trình 2 x  6  x  7  2  x 2  13x  42 . Đáp số: x  3; x  5 . 2. Giải phương trình x  4  2 x  3  2  x 2  7 x  12 . Đáp số: x  0; x  2 . 2  2 x   y  1  5 2). Cách 1: Hệ đã cho tương đương với  . x  y  1  x   y  1  5   u  x   y  1 2 2 Đặt   x 2   y  1   x  y  1  2 x  y  1  u2  2 v .  v  x  y  1    Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 Website:tailieumontoan.com  u2  2 v  5 Thu được    u  v  5 u  3  v  2 .  u2  2 5  u  5  u2  2u  15  0   u  5  v  10   x   y  1  3  x  y  1 + Giải     x y  1  2      x  2, y  0 .  x   y  1  5 + Giải  (vô nghiệm).  x y  1  10     Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1; 1 và 2; 0 .  x 2  y 2  2 y  4 .  4 x  2 y  2 xy  8   Cách 2: Hệ tương đương với  Cộng vế với vế hai phương trình ta thu được 2  x  y x  y  2 .  4  x  y  12  0    x  y  6  x  1  y  1 x  y  2    .  2 x  y  xy  4 x  x 2  x  2  x  2  y  0 x  y  2 + Giải  x  y  6   (vô nghiệm). 2 x  y  xy  4 x  x 6  x  10  x  y  6 + Giải  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  1; 1 , 2; 0 . Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp ẩn phụ sau đó từ ẩn phụ tìm ngược lại nghiệm của hệ phương trình. Ý tưởng: Sự xuất hiện của y 2  2 y ở phương trình một của hệ, làm ta nghĩ đến hằng đẳng 2 2 thức y 2  2 y  1   y  1 hay nói cách khác, từ phương trình một ta có: x 2   y  1  5 . Đây là phương trình có dạng là tổng các bình phương, dễ làm ta suy đoán đến hệ phương trình đối xứng loại I, tức là đặt ẩn phụ theo định lý Vi-et ( đặt tổng và tích ) như sau: u  x  y  1 và v  x  y  1 . Nhưng đây cũng chỉ là suy đoán ban đầu, bây giờ ta sẽ đi xét phương trình hai để xuất hiện u, v . Thật vậy, ta có phương trình hai trong hệ tương đương với: 2 x  y  xy  4  x  y  1  x  y  1  5 .  u2  2 v  5 u  3  v  2 Do đó hệ phương trình đã cho trở thành      u  v  5 Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả u  5  v  10 . TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 Website:tailieumontoan.com Thế ngược lại tìm hệ của phương trình ban đầu. Hoặc, ta có thể suy luận như sau: ta đi kết hợp cả hai phương trình trong hệ, vẫn với sự xuất hiện x 2  y 2 ở phương trình một, đồng thởi có tích ở phương trình xy ta sẽ liên tưởng 2 đến hằng đẳng thức  x  y . Vì thế lấy phương trình hai nhân 2 rồi cộng với phương trình một ta được: 2  x  y x  y  2 .  4  x  y  12  0    x  y  6  Thế ngược lại một trong hai phương trình trong hệ ban đầu để tìm nghiệm của hệ ban đầu. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:  x 2  y 2  4 y  1 1. Giải hệ phương trình  .   3 x  xy  y  3 Đáp số:  x; y  1; 0 , 2;  1 .  x 2  2 x  y 2  4 y  0 2. Giải hệ phương trình  .   3 x  xy  2 y  0 Đáp số:  x; y  0; 0 , 1;  1 . Câu 2. 1). Phương trình tương đương với x  y  1xy  x  y  2  x  y  1  3   x  y  1 xy  x  y  2  3 .  x  y  1 là ước của 3. x  y  1  1 + Giải  x  y  0 (vô nghiệm).   xy  x  y  2  3 xy  5 x  y  1  1 + Giải  x  y  2 x  1 .    xy  x  y  2  3 xy  1  y  1 x  y  1  3 + Giải  x  y  2 x  1 .    xy  x  y  2  1 xy  1  y  1 x  y  1  3 + Giải  x  y  4 (vô nghiệm).   xy  x  y  2  1 xy  5 Vậy  x; y  1;  1 , 1; 1 . Nhận xét. Bài toán nghiệm nguyên giải bằng phương pháp đưa về phương trình ước số Nhắc lại kiến thức và phương pháp. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 Website:tailieumontoan.com • Phân tích đưa về phương trình ước số x  y  1xy  x  y  5  2  x  y   x  y  1 xy  x  y  3  2  2  x  y   x  y  1 xy  x  y  3  2  x  y  1   x  y  1 xy  x  y  2  x  y  1  3   x  y  1 xy  x  y  2  3 • Phân tích số thành tích của 2 ước số 3  1.3  3.1 . • Cho mỗi thừa số chứa biến ở vế này đồng nhất với thừa số ở vế kia 2). Ta có   x 1  y  1  4  xy  x  y  3. Theo bất đẳng thức Cô si 3  xy  x  y  x  y x 1 y 1  xy2.   2 2 2   x2  y  2 x 2 2 y  P  x  y  x y 2 . Theo bất đẳng thức Cô si 2   y x y   x  2 y  x  Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x  y  1 . Nhận xét: bài toán sử dụng bất đẳng thức Cosi dựa trên điểm rơi đã được suy đoán cũng như kết hợp với điều kiện bài toán để tìm giá trị nhỏ nhất. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: • Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương x  y  2 xy . 2 a 2 b2 a  b   , a ; b; x ; y  0 . • Mở rộng ra một đánh giá x y xy Ý tưởng: Đây là một bài toán có sự đối xứng rõ ràng giữa x , y nên ta mạnh dạn dự đoán điểm rơi tại x  y  k . Thay ngược lại giả thiết bài toán, ta có  2  k  1  4  k  1 . Với điểm rơi x  y  1 , ta sẽ dễ dàng đánh giá hơn khi vận dụng bất đẳng thức Cosi, chính vì vậy, khi đi khai khác giả thiết, ta suy ra:   x 1  y  1  4  xy  x  y  1  4 x  y x 1 y 1    xy2. 2 2 2 x2 y 2 Vậy nên, bây giờ ta sẽ đánh giá biểu thức P theo   f  x  y  2 . Hiển nhiên có con y x  xy  x  y  3  3  số 2 vì điểm rơi x  y  1 . Vậy nên ta cần tìm f  x  y thỏa mãn f  x  y  2 . Mà như bên Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 Website:tailieumontoan.com trên, ta đã tìm được x  y  2 do đó, ta cần chứng minh rằng x2 y 2   x  y . Đánh giá này y x ta có các cách như sau: • Biến đổi tương đương, ta có: x  x  y y  x  y 2 y2 x2 x y0    0   x  y  0 . y x y x • Sử dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:  x 2 x2   y  2 .y  2 x  y y x2 y 2    xy.  2 2 y x  y  x  2 y .x  2 y  x x • Sử dụng đánh giá mở rộng như đã nêu, ta có: 2 x 2 y 2  x  y   xy. y x xy Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: 1. Cho a; b là hai số thực dương thỏa mãn ab  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2   2 a 2  b2  . b a 2. Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu P thức P  Câu 3. a b c   . 2 2 1 b 1 c 1  a2 1). Vì MP là đường kính suy ra PN  MN (1). Vì MD là đường kính suy ra DN  MN (2). Từ (1) và (2), suy ra N ; P; D thẳng hàng. Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 Website:tailieumontoan.com Nhận xét. Chứng minh ba điểm thẳng hàng ta quy về chứng minh chúng cùng thuộc một đường thẳng. Nhắc lại kiến thức và phương pháp. • Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn được chia đôi bởi đường kính PM + Góc PNM   90 hay PN  NM . của đường tròn đường kính PM nên PNM  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn được chia đôi bởi đường kính DM + Góc DNM   90 hay DN  NM của đường tròn (O) nên DNM • Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đã kẻ được một và chỉ có một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó. Ta có từ N ta kẻ được PN và DN vuông góc với MN , suy ra PN  DN hay ba điểm P ; N ; D thẳng hàng.   MAD   90 0 ), 2). Tứ giác APQD nội tiếp ( PQD   PDQ   NDM  suy ra PAQ   NAM  Xét (O) , ta có NDM (3). (4).  (*).   NAP  , suy ra AP là phân giác của góc NAQ Từ (3) và (4) PAQ   AMD . Xét (O) , ta có AND   QNP   ANP   QNP  , nên NP là phân giác của Xét đường tròn đường kính MP có QMP  (**). góc ANQ Từ (*) và (**), suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ANQ. Nhận xét. Chứng minh một điểm là tâm đường tròn nội tiếp một tam giác ta chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác đó. Nhắc lại kiến thức và phương pháp. • Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 là tứ giác nội tiếp.   90   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ) và DQP Tứ giác APQD có DAP (góc ngoài tại đỉnh đối diện bằng góc trong không kề với nó của tứ giác nội tiếp) suy   DQP   90  90  180 do đó tứ giác APQD là tứ giác nội tiếp. ra DAP • Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung của một đường tròn thì bằng nhau.   QAP  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QP  Tứ giác APQD là tứ giác nội tiếp nên QDP   NDM  . của đường tròn (O) ) hay PAQ   NAM  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN  của đường tròn (O) ). + NDM   AMD  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD  của đường tròn (O) ). + AND Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 Website:tailieumontoan.com  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QP   QNP  của đường tròn đường kính PM ) , + QMP   NAP  hay AP là phân giác của NAP   QNP  hay ND là phân  và AND suy ra PAQ . giác của QNA • Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó.  , ta có AP  và ND là phân giác của QNA Tam giác ANQ có AP là phân giác của NAP và ND cắt nhau tại P nên suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp của ANQ . Câu 4. Ta có Q abc  ab  ac  a  abc  bc  ba  b abc  ca  cb  c a  1b  1c  1 Q a b  1c  1  bc  1a  1  c a  1b  1 a  1b  1c  1 Q a b c .   a 1 b 1 c 1 Ta chứng minh rằng a b c 1 2 3 5       . 1  a 1  b 1  c 1  1 1  2 1  3 12 Bất đẳng thức trên tương đương với  3 c   b 2   a 1              1  3 1  c   1  b 1  2   1  a 1  1 0  3c 4 1  c  b2 3b  1  a 1 2 1  a 0     1 1   1 1      3  c       3  c  b  2    4 c  1 3b  1   3b  1 2 1  a     1 0  2 1  a  3  c  b  2  a  1   3  c  2a  3b  1 3b  4c  1 1  b  1  c   a  b  c  0. 12 b  1c  1 6 b  1a  1 2 a  1 Vì c  3; 0  b  c  3  c  3b  4c  1 0 12 b  1c  1 Vì b  1  c; 0  a  b  b  1  c  (1). 2a  3b  1  0 (2). 6 b  1a  1 Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Website:tailieumontoan.com Vì a  b  c; 0  a  a  b  c  1  0 (3). 2 a  1 Từ (1), (2) và (3), suy ra điều phải chứng minh. Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5 khi a  1; b  2; c  3 . 12 ĐỀ SỐ 3. Câu 1. 1 3 1). Điều kiện:   x  2 . Phương trình đã cho tương đương với 2 x  3  2 3x  12  x  9   3  x  0  3 x 2  5 x  2  3  x   2 2   3 x  5 x  2  x  6 x  9 x  1  2 .  4 x  11x  7  0   x  7  4 7 4 Đối chiếu với điều kiện ta được được nghiệm: x  1; x  . Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp nâng lũy thừa (bình phương) hai vế tìm nghiệm của phương trình. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: • Phương trình dạng f  x  g  x  m  0    2 f  x  g  x  m 2  f  x   g  x  2 f  x g  x  m 2  2 f  x g  x  m 2  f  x  g  x   m 2  f  x  g  x  x  x1    .  2   x  x2 4 f  x g  x   m2  f  x  g  x       • Phương trình trên có cách giải khác như sau: f  x  g  x  m  f  x  m  g  x m  f  x m  f  x      f x  m2  2 m g x  g x       2m g  x  g  x  m2  f  x    m  f  x ; g  x  m 2  f  x  x  x1    .   2   2 2 4 m g  x   g  x  m  f  x  x  x2   Ý tưởng: Đây là một bài phương trình cơ bản, dạng toán một vế chứa hai căn thức vế còn lại là một hằng số thì phương pháp nâng lũy thừa hai vế là một phương pháp tối ưu nhất. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Website:tailieumontoan.com 1. Giải phương trình Đáp số: x  8 . 2. Giải phương trình Đáp số: x  3 . 3x  1  x  1  8 . 7x  4  x  1  3 .  1   1 9    y     x   y   x 2 2). Hệ phương trình tương đương với  .  1 3  1   1  1      x     x   y    2  4 2  y   y  x    1  u x   y Đặt  .  1   vy  x      9  9   v  u uv     2  2 Hệ phương trình trở thành  .   9    9 3u 1 3     u  u  u  uv  2     2    2  4 2  4 9 3u 9u 9 Suy ra    u2  u2  3u   0 4 2 2 4   1 3   x  2 3      u 3 y 2  u    0    2      2 1 v  3   y 3   x      3y 1  y  1  x  y 3y xy  1  2  2          x x y      y y 3 3 3 2 0 2. 2   y 2 2 xy  1  3 x  y  2  x  1   1  Hệ phương trình có nghiệm  x; y   ; 1 , 1; 2 .  2  Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp đặt hai ẩn phụ, đưa về hệ phương trình bậc hai cơ bản giải bằng phương pháp thế. Sau đó từ nghiệm ẩn phụ suy ngược lại nghiệm của hệ phương trình. Ý tưởng: Hình thức bài toán khá phực tạp vì sự xuất hiện của phân thức, quan sát ta thấy ở cả hai phương trình của hệ đều xuất hiện biểu thức x  x 1 . Ta sẽ nghĩ đến chuyện thế y 1 1 9  1 chưa biết xử lý    y   xuống phương trình hai nhưng còn đại lượng xy    xy y 2  x như thế nào. Có lẽ tác giá đã gợi mở theo con đường đặt ẩn phụ, nếu đặt 1 1 1 qua u; v thì hệ phương trình đã u  x  ; v  y  thì bây giờ ta chỉ cần biểu diễn xy  y x xy   1  u  x   uy  xy  1   y cho sẽ được giải quyết. Ta có   1   v  y   vx  xy  1  x   Sưu tầm và tổng hợp từ tập đề lẻ hay không rõ tác giả TÀI LIỆU TOÁN HỌC