Tuyển chọn các bài toán Phương trình - Hệ phương trình ôn thi vào chuyên Toán năm học 2021
Gửi bởi: HCEM - CNTT 5 tháng 4 2021 lúc 17:04:36 | Được cập nhật: hôm qua lúc 7:35:38 | IP: 10.1.29.62 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 344 | Lượt Download: 6 | File size: 0.386134 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Các đề luyện thi TNTHPT môn Toán
- Chuyên đề sự đồng biến và nghịch biến
- Chuyên đề cực trị của hàm số
- Test công thức
- 300 câu trắc nghiệm chương Đạo hàm theo chủ đề
- 520 bài tập trắc nghiệm đạo hàm
- Đề luyện tập Chuyên đề 1 - Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Đề luyện tập Chuyên đề 2 - Khối đa diện
- Đề luyện tập Chuyên đề 3 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm lôgarit
- ĐỀ 44-TỔNG HỢP (ĐẾN NGUYÊN HÀM-MẶT CẦU)
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
https://thuvientoan.net/
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ÔN THI VÀO CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC 2020 -2021
https://thuvientoan.net/
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
A. ĐỀ BÀI
Bài 1.
x 2 y 2 2
.
Giải hệ phương trình: 8
2
8
2
x 1 x y 1 y 4
Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN năm 2021 lần 1
Bài 2.
1. Giải phương trình: 8 x 9 x 3 3 x 2 4 x 2.
x y x 1 y 1 8
2. Giải hệ phương trình: 3
.
7 y 6 xy x 2 y 25
Trích đề thi thử trường THPT chuyên KHTN năm 2021 lần 1
Bài 3.
2 x 4 1 y 2 0
.
Giải hệ phương trình: 2
2 2
2
x y 1 x 2 y
Bài 4.
x 2 3 y 1 x 3 y 2 1
Giải hệ phương trình:
.
3
2 x x y y 2 x2 y 2 3 x2 y2
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán của thuvientoan.net năm 2021 lần 1
Bài 5.
Giải phương trình: x 2 x 8 4 x 3.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hà Nội năm 2021
Bài 6.
Giải phương trình sau:
x 2 4 x 2 x 2 5 x 3.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Thanh Oai năm 2021
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Bài 7.
Giải phương trình: x 2 3 x 4 x 2 10 0.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Quận Hoàn Kiếm năm 2021
Bài 8.
a) Giải phương trình: 15 x3 x 2 2 x 4 5 x 2 2 x 4 4.
x 2 xy y 2 4 y 1 0
.
b) Giải hệ phương trình: 2
x
1
x
y
2
y
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa năm 2021
Bài 9.
2019 x 2019 x x 2020 x 2020 13
Giải phương trình:
.
2
2
2019 x 2019 x x 2020 x 2020 37
2
2
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Thị xã Sơn Tây năm 2021
Bài 10.
Giải phương trình:
x 2 4 x 6 x 2 8 x 20
2.
x2
x4
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Diên Khánh năm 2021
Bài 11.
a) Giải phương trình: 3 x 3 2 x x 2 3x 9 6 x x3 27.
x2 y2 2
b) Giải hệ phương trinh:
.
x y x 4 y 4 6 x 2 y 2 8 xy 32
Trích đề thi thử trường THPT chuyên KHTN năm 2020 lần 2
Bài 12.
a) Giải phương trình: x 3x 1 2 x 1.
x y x 1 y 1 8
b) Giải hệ phương trinh:
.
3
y
y
16
6
x
x
2
Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN năm 2020 lần 2
Bài 13.
a) Giải phương trình:
2
x 1 x 3.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
2 xy
2
2
x y x y 1
.
b) Giải hệ phương trình:
2
2
x 2 y 8 y x
Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 lần 3
Bài 14.
x 2 3 x 2 x 1.
a) Giải phương trình
x y 2 xy
b) Giải hệ phương trình
.
2
2
2 x y x y
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2020
Bài 15.
a) Giải phương trình: x 1 x 1 5 x 13
x 3 xy 2 x 2 2 y 0
b) Giải hệ phương trình:
x y 2 x 1
y x 5 9 x 5
x2
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang năm 2020
Bài 16.
x 4 x 2 1
1
.
3
2
x 3x x 2
a) Giải phương trình:
x y 3 x 2 y 1
b) Giải phương trình:
.
x
y
y
x
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định năm 2020
Bài 17.
a) Giải phương trình
x 2020 x 2019 1 x 2 x 2019 2020 4039.
b) Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn
1 1 1
. Chứng minh rằng phương trình:
m n 2
x 2 mx n x 2 nx m 0
luôn có nghiệm.
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Dương năm 2020
Bài 18.
Giải phương trình x 2 3 x 5 x 3 x 2 5.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP. Hà Nội năm 2020
Bài 19.
x4 2x2 y 1
a) Giải hệ phương trình: 2
.
2
2
x
y
2
y
2
b) Giải phương trình: 2 x 2 x 2 x 2 3x 3.
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh năm 2020
Bài 20.
a) Giải phương trình: 5 x 2 3x 6 7 x 1 x 2 3.
8 xy
x2 y 2
16
x y
.
b) Giải hệ phương trình:
5
x 2 12
x y 3x x 2 5
2
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương năm 2020
Bài 21.
a) Giải phương trình 5 x 2 2 x 3 (2 x 1) 5 x 2 2 x 1 0 .
x x 2 2 x 2 y 4 2 x 2 y
b) Giải hệ phương trình
.
2
x
y
2
0
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên năm 2020
Bài 22.
1
1
x
y
2
x 3 y
3x y
Giải hệ phương trình sau:
x, y .
2
2
x 2 x y 1 y 1 y x 2 2 y 1
Trích đề thi thử vào chuyên Toán của thuvientoan.net năm 2022 lần 6.
Bài 23.
a) Giải phương trình: x 2 x 4 2 x 1 1 x .
x3 y 3 65
b) Giải hệ phương trình: 2
.
2
x
y
xy
20
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên năm 2021
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Bài 24.
2
2
3x y 4 xy 8
.
Giải hệ phương trình:
x y x 2 xy 2 8
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Phước năm 2021
Bài 25.
a) Giải phương trình: 3x 3 x 2 2 x 28 x 3 4 x3 7 0.
3x 4 xy x 2 3 y y 3
b) Giải hệ phương trình: 2
8.
x 6 y 1 y 2 2 x 9
3
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP Đà Nẵng năm 2020
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
B. LỜI GIẢI
x 2 y 2 2
.
Bài 1. Giải hệ phương trình: 8
2
8
2
x
1
x
y
1
y
4
Lời giải
n
Với mọi x, y 0 và n * , ta có:
xn yn x y
.
2
2
Với n 1, bất đẳng thức đúng.
k
Giả sử bất đẳng thức đúng với n k , ta có:
xk y k x y
.
2
2
x k 1 y k 1 x y
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng n k 1, tức là:
2
2
k 1
.
Thật vậy, ta có:
x y
2
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k
k
k
x y x y x y x y x y xy x y
.
2
2
4
2 2
Mà
x k 1 y k 1 xy x k 1 y k 1
4
xy x
y k 1 x k 1 y k 1
k 1
4
x y
Từ đây suy ra:
2
x k 1 y k 1
2
k 1
x y
2
x
k 1
x k 2 y ... xy k 2 y k 1
4
0.
x k 1 y k 1
.
2
Áp dụng bất đẳng thức trên với n 4, n 5, ta có:
4
5
x2 y2
x2 y 2
x 1 x y 1 y x y x y 2
2
4.
2
2
8
2
8
2
8
8
10
10
x y 1
x y 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 y 2 1
.
x 1, y 1
x 1, y 1
Vậy hệ cho có bốn nghiệm: x; y 1;1 , 1; 1 , 1; 1 , 1;1 .
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Bài 2.
a) Giải phương trình: 8 x 9 x 3 3 x 2 4 x 2.
x y x 1 y 1 8
b) Giải hệ phương trình: 3
.
7 y 6 xy x 2 y 25
Lời giải
a) Ta có phương trình tương đương:
3 3
2 x 2 x x 3x 4 x 2
2 x 2 x x 1 x 1
2 x x 1 2 x x 1 0
3
3 3
3
2
3
3
3 3
3
3
2
2 x 3 x 1 4 x 6 2 x3 x 1 x 1 1 0
2 x 3 x 1 0 x 1 2 x 2 2 x 1 0
x 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1.
b) Ta có:
x3 8 y 3 6 xy x 2 y x 3 y 3 7 y 3 6 xy x 2 y
x3 8 y 3 6 xy x 2 y x3 y 3 25
x3 8 y 3 6 xy x 2 y x3 y 3 1 24
x3 8 y 3 6 xy x 2 y x3 y 3 1 3 x y x 1 y 1
3
x 2 y x y 1
3
x 2 y x y 1
y 1.
x 1
Với y 1, ta có: 7 6 x x 2 25 x 2 2 x 3 0
.
x 3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y 1;1 , 3;1 .
Bài 3.
2 x 4 1 y 2 0
Giải hệ phương trình: 2
2 2
2
x y 1 x 2 y
Lời giải
2
2
Ta có: x 2 y 2 1 x 2 2 y x 2 y 2 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 .
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Mặt khác 1 x 2 y 2 2 x 4 1 2 x 4 x 2 0 x 0.
y 1
. Thử lại thấy thỏa mãn.
y 1
Với x 0
Vậy hệ cho có hai nghiệm x; y 0;1 , 0; 1 .
Bài 4.
x 2 3 y 1 x 3 y 2 1
Giải hệ phương trình:
.
3
2 x x y y 2 x 2 y 2 3 x 2 y 2
Lời giải
Điều kiện: x x y 0 .
2
Ta có
2x x y
y 2 x2 y2
Suy ra
3
2x x y x y
3x 2 4 xy y 2
.
2
2
2 y 2 x2 y 2 x2 3 y 2
.
2
2
3
2 x x y y 2 x 2 y 2 2 x 2 2 xy 2 y 2 3 x 2 y 2
2 x x y x y 2
Dấu bằng xảy ra khi y 2 x 2 y 2
x y 0.
x y
Thay x y vào phương trình ban đầu ta được:
x 2 3 x 1 x 3 x 2 1
x2 1 x
x2 1 x
x2 1 3
x2 1 x
x2 1 3 0
x2 2
x 2 1 3
Từ đây ta được x y 2 2.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là x; y 2 2; 2 2
Bài 5.
Giải phương trình: x 2 x 8 4 x 3.
Lời giải
Điều kiện xác định x 3.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
x2 1 x 0
x 0 .
https://thuvientoan.net/
4 x 3 2 2 x 3 4 x 3 x 7.
2
Suy ra: x 2 x 8 x 7 x 1 0 x 1.
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.
Bài 6.
Giải phương trình sau:
x 2 4 x 2 x 2 5 x 3.
Lời giải
Điều kiện: 2 x 4. Phương trình tương đương:
x 2 1 1 4 x 2 x 1 x 3
x3
x3
2 x 1 x 3
x 2 1 1 4 x
1
1
x 3
2 x 1 0
x 2 1 1 4 x
x 3
.
1
1
2 x 1 (1)
x 2 1 1 4 x
Ta xét phương trình (1). Với 2 x 4 2 x 1 5.
Mà
1
1
1
1
2.
x 2 1 1 4 x 0 1 0 1
Suy ra:
1
1
2 x 1, do đó phương trình vô nghiệm.
x 2 1 1 4 x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 3.
Bài 7.
Giải phương trình: x 2 3 x 4 x 2 10 0.
Lời giải
Điều kiện xác định: x 2. Phương trình đã cho tương đương:
x2 4 x 4 x 2 4
x 2
2
x2 4 0
2
x 2 2 0
x 2 0
x 2.
x 2 2 0
Thỏa điều kiện xác định. Vậy phương trình đã có nghiệm duy nhất x 2.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Bài 8.
a) Giải phương trình: 15 x3 x 2 2 x 4 5 x 2 2 x 4 4.
x 2 xy y 2 4 y 1 0
.
b) Giải hệ phương trình: 2
x
1
x
y
2
y
Lời giải
a) Ta có: 4 5 x 2 2 x 4 4 15 x x 2 x 2 x 0. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 , ta được:
2
4
2
4 5 x x 2 2 15 x 1
x
x
x
Đặt t x
2
2 2. Phương trình đã cho trở thành:
x
4t 5t 2 20 15 t 1 16t 2 5t 20 225 t 1
16t 4 109t 2 90t 45 0
t 3 16t 3 48t 2 35t 15 0
t 3.
Với t 3, ta có: x
x 1
2
3 x 2 3x 2 0
.
x
x 2
Thỏa điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x 2.
b) Nhận xét y 0 không thỏa mãn. Xét y 0, hệ phương trình tương đương:
x2 1
x y 2 2
y
.
2
x
1
y x y 2 1
x2 1
, b x y 2. Hệ cho trở thành:
Đặt a
y
a b 2
a b 1. Do đó:
ab 1
x2 1
2
1
x 1, y 2
y x 1
.
y
2
x
2,
y
5
x
x
2
0
x y 2 1
Vậy hệ cho có hai nghiệm x; y 1; 2 , 2;5 .
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
2
https://thuvientoan.net/
Bài 9.
2019 x 2019 x x 2020 x 2020 13
Giải phương trình:
.
2
2
2019 x 2019 x x 2020 x 2020 37
2
2
Lời giải
Điều kiện: x . Đặt a x 2019, phương trình đã cho trở thành:
a 2 a a 1 a 1
2
a 2 a a 1 a 1
2
13
37
a 2 a 1
13
133a 2 3a 1 37 a 2 a 1 0
2
3a 3a 1 37
a 4
a 2 a 12 0
.
a 3
Với a 4, ta có x 2023.
Với a 3, ta có x 2016.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 2023, x 2016.
Bài 10.
x 2 4 x 6 x 2 8 x 20
Giải phương trình:
2.
x2
x4
Lời giải
Điều kiện xác định: x 2; x 4. Phương trình đã cho tương đương:
x 2 2
2
x 4 4
2
2
4
x4
2
x2
x4
x2
x4
2 x 4
4 x 2
2
4
x2 x4
x 2 x 4 x 4 x 2
2 x 2
Phương trình tương đương: 2 x 4 4 x 2 x 0 (thỏa điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S {0}.
Bài 11.
a) Giải phương trình: 3 x 3 2 x x 2 3x 9 6 x x3 27.
x2 y2 2
b) Giải hệ phương trinh:
.
x y x 4 y 4 6 x 2 y 2 8 xy 32
Lời giải
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
a) Điều kiện: x 3. Phương trình tương đương:
x3 27 3 x 3 6 x 2 x x 2 3x 9 0
x 3
2x
x 3x 9 3 0
x 3 x 3x 9 3 0
x 2 3x 9 3 2 x
2
2
x 1
2 x x 3 0
x 0.
x 2 3x 9 3 0 x 3
Thỏa điều kiện ban đầu nên phương trình đã cho có ba nghiệm: S 0;1;3.
b) Kết hợp với x 2 y 2 2, phương trình thứ hai của hệ tương đương:
x y x 2 y 2 4 x 2 y 2 8 xy 32
2
2 2
x y 4 4 x y 8 xy 32
x y 1 xy 8.
2
2
x y 2 1 xy
Vậy hệ cho tương đương:
.
2
x
y
1
xy
8
x y
5
Do đó: 8 x y 1 xy
2
4
x y 2. Khi đó xy 1.
Từ đây tìm được x y 1.
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất x; y 1;1.
Bài 12.
a) Giải phương trình: x 3x 1 2 x 1.
x y x 1 y 1 8
b) Giải hệ phương trinh:
.
3
y
y
16
6
x
x
2
Lời giải
a) Điều kiện: x 0. Phương trình tương đương:
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
2 x 2 3x 1 4 x 2
3x 1 2 3x 1 1 x 4 x 4
2
2
3x 1 1
x 2 3x 1 1 x 2
3x 1 x 1
3
1
0
3x 1 2 x 1 x 1
3x 1 2
x 1
x 1 3 x 1 3x 1 0
3x 1 x 1
x 0
2 x x 1 0
.
x 1
Thỏa điều kiện ban đầu nên phương trình đã cho có ba nghiệm: S 0;1.
b) Ta có:
x3 y 3 1 3 x y x 1 y 1 x 3 y 3 y 24 y 1
x3 6 x x 2 16 24 y 1 x3 6 x x 2 8 y 1
x 2 y 1
3
Suy ra:
x y 1 x 2 y 1 0
3
3
2
2
y 1 x y 1 x y 1 x 2 x 2 1 0
y 1.
x 1
2
Với y 1, ta được x 1 4
.
x 2
Vậy hệ cho có nghiệm hai nghiệm x; y 1;1 , 2;1.
Bài 13.
a) Giải phương trình:
2
x 1 x 3.
2 xy
2
2
x y x y 1
.
b) Giải hệ phương trình:
2
2
x 2 y 8 y x
Lời giải
a) Điều kiện: x 3. Phương trình tương đương:
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
x 2 x 1 x 3 x 2 x x 3 1
x x 4
x4
x 3 1
x 2
x
1
0
x 4
x 2
x 3 1
x 4
x
1
x 2 x 3 1 0 *
Ta có phương trình * tương đường:
x
x 3 1 x 2 0
x x 3 2 x 2 3x 4 0
x 1
x 4
Do x 3 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: S 4.
b) Điều kiện: x y. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
x 2 y 2 x y 2 xy x y
x y 2 xy x y 2 xy x y
3
x y x y 2 xy x y 1 0
3
x y x y 1 x y 1 2 xy x y 1 0
x y 1 x y x y 1 2 xy 0
x y 1 0
y x 1
x y x y 1 2 xy 0 x y x y 1 2 xy 0 *
Với y x 1 thay vào phương trình thứ hai ta tìm được x 2 y 1 , x
5
2
y .
3
3
Ta lai có phương trình * tương đương:
x2 x y 2 y 0 8 y 2 y 2 y 2 y 0
y 0
y2 7 y 0
y 7
Với y 0, ta tìm được x 1.
Với y 7, phương trình vô nghiệm.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
2 5
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: S
; , 2;1 , 1;0
.
3 3
Bài 14.
a) Giải phương trình
x 2 3 x 2 x 1.
x y 2 xy
b) Giải hệ phương trình
.
2
2
2 x y x y
Lời giải
1
a) Điều kiện: x . Ta có:
2
x 2 3 x 2 x 1 x 2 3 x 2 2 x 1 2 x 2 x 1
1
x2
x 2 x 1 2 x 2
2
2
x 2 x 1 2 x
1
x2
2
x 1
3
2
x x 2x 2 0
Vậy x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Cộng vế theo với của phương trình ta được:
x y 2 2 x y xy x 2 y 2
x y x y 2 0
2
x y 1
.
x y 2
Với x y 1, thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 2 3x 3 0, vô nghiệm.
Với x y 2, thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 2 0 x 0 y 2,
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất x; y 0; 2.
Bài 15.
a) Giải phương trình: x 1 x 1 5 x 13
x 3 xy 2 x 2 2 y 0
b) Giải hệ phương trình:
x y 2 x 1
y x 5 9 x 5
x2
Lời giải
a) Điều kiện : x 1 0 x 1 . Phương trình đã cho tương đương:
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
x 1 x 1 1 6 x 12 0
x 1 x 2
x 1 1
6 x 2 0
x 2
x 1
x 2
6 0 x 1
x 1 1
6 0
x 1 1
x 1
Ta thấy x 2 thỏa mãn. Còn
6 0 với mọi x 1.
x 1 1
Vậy x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
b) Điều kiện: x 1, x 2, y . Ta có:
x 2
x3 xy 2 x 2 2 y 0 x 2 x 2 y 0
y x2
Do x 1 nên y x 2 .
Thay y x 2 vào phương trình
x y 2 x 1
x2
x x 2 2
y x 5 9 x 5, ta được phương trình:
x 1
x 2 x 5 9 x 5
x2
x 2 x 2 x 1 3 2
x 5 x 9 x 5 1
x2
Với điều kiện bài toán
1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 4 x 5
x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 4 x 5 0
x 1 y 1
2
(2)
x 2 x 1 x 2 x 4 x 5 0
Ta có:
2 x 1 x 1 x 2 x 2
3
3
x 1 x 2
2
2
x 1 x 2 x 1 x 2 1 0
x 1 x 2
(3)
2
x 1 x 2 x 1 x 22 1 0 4
Vì
3 x 2
1
x 1 x 2 x 1 x 2 1 x 1 x 2
1 0 nên (4) vô nghiệm.
2
4
2
2
2
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
2
https://thuvientoan.net/
x2
x 2
x
2
x 5 13
5 13
x
. Giá trị này thỏa mãn.
3
2
2 2
2
x 1 x 2
x 5x 3 0
x 5 13
2
5 13
19 5 13
.
Với x
ta có y
2
2
5 13 19 5 13
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm
;
1;1;
.
2
2
Bài 16.
x 4 x 2 1
1
.
a) Giải phương trình: 3
2
x 3x x 2
x y 3 x 2 y 1
b) Giải phương trình:
.
x
y
y
x
Lời giải
x 0
a) Điều kiện: x3 3 x 2 x 0 2
. Phương trình đã cho tương đương:
2
x 3 x 1 0
2 x 4 x3 5 x 2 x 2 0
1
1
1
1
2 x 2 2 x 5 0 2 x x 1 0
x
x
x
x
1
1
x 1 2 x 1 0 x 2 x 12 x 2 x 2 0
x
x
2
x 1 5
2
x 1 5
x 2 x 1 0
2
2
.
1 17
2 x x 2 0
x 4
x 1 17
4
So với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
1 5 1 5 1 17 1 17
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: S
;
;
;
.
2
2
4
4
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
x y 0
. Hệ phương trình tương đương:
b) Điều kiện:
3x 2 y 0
2 x y 2 5 x y x y
.
x
y
x
y
0
2a 2 5a 2 b
Đặt a x y và b x y với a 0, b 0. Hệ đã cho trở thành:
.
a b 0
Suy ra
2 a 1 5a 2 a 2 a 1 5a 2 a 3a 2 5a 2 0 a 2 do a 0. Suy ra b 2.
2
1 5
x y
x y 4
x 1
2
Khi đó ta có:
.
yx 2
y3
1 5
yx
2
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất x; y 1;3.
Bài 17.
a) Giải phương trình
x 2020 x 2019 1 x 2 x 2019 2020 4039.
b) Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn
1 1 1
. Chứng minh rằng phương trình:
m n 2
x 2 mx n x 2 nx m 0
luôn có nghiệm.
Lời giải
a) Điều kiện: x 2019. Nhân cả hai vế của phương trình cho
4039 1 x 2 x 2019 2020 4039
x 2020 x 2019, ta được:
x 2020 x 2019
x 2020 x 2019 1 x 2020 x 2019
x 2020 x 2019 x 2020
x 2019 1
x 2020 1 0
x 2019 1
x 2020.
x 2020 1
So với điều kiện ban đầu ta thấy x 2020 là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Ta có
1 1 1
2 m n mn.
m n 2
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
x 2019 1 0
https://thuvientoan.net/
Phương trình tương đương: x 2 mx n 0 1 hoặc x 2 nx m 0 2.
Phương trình 1 và 2 lần lượt có 1 m 2 4n và 2 n 2 4m.
Ta có: 1 2 m 2 n 2 4m 4n m 2 n 2 2mn m n 0.
2
Suy ra một trong hai số 1 hoặc 2 lớn hơn hoặc bằng 0.
Do đó một trong hai phương trình 1 hoặc 2 luôn có nghiệm.
Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Bài 18.
Giải phương trình x 2 3 x 5 x 3 x 2 5.
Lời giải
Phương trình đã cho luôn xác định với mọi x . Đặt a x 2 5 ( a 0), khi đó phương trình có thể viết lại
thành a 2 3x ( x 3)a, hay ( a x )( a 3) 0.
Do a x 2 5 x 2 x x nên từ đây, ta có a 3 hay
x 2 5 3.
Từ đó, ta có x 2 (thỏa mãn) hoặc x 2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 2 và x 2.
Bài 19.
x4 2x2 y 1
a) Giải hệ phương trình:
.
2
2
2
x
y
2
y
2
b) Giải phương trình: 2 x 2 x 2 x 2 3x 3.
Lời giải
a) Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được:
x 4 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2 y 3
x 4 2 x 2 y y 2 2 x 2 y 3 0
2
x 2 y 2 x 2 y 3 0
x2 y 1
x 2 y 1
2
2
.
x
y
3
x y 3
Với x 2 y 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 0 x 1 hoặc x 1.
Với x 2 y 3, Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 2 8 y 2 2 hoặc y 2 2.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Khi đó x 2 2 2 3 hoặc x 2 2 2 3, phương trình vô nghiệm do x 2 0.
Tóm lại hệ cho có hai nghiệm x; y 1; 0 , 1;0.
b) Điều kiện: x 2. Phương trình tương đương:
x 2 3 x 3 2 x 2 x 2 0
x 2 4 x 4 2 x 2 x 2 x 2 9
x2 x 2
2
9
x2 x 2 3
x 2 x 2 3
x 2 5 x 1
.
x 2 1 x 2
x 5
5 x 0
11 29
Trường hợp 1: 1
x
.
2 2
2
x
11
x
23
0
x
2
5
x
x 1
1 x 0
1 5
Trường hợp 2: 2
x
.
2 2
2
x
x
1
0
x
2
1
x
11 29 1 5
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
;
.
2
2
Bài 20.
a) Giải phương trình: 5 x 2 3x 6 7 x 1 x 2 3.
8 xy
x2 y 2
16
x y
.
b) Giải hệ phương trình:
5
x 2 12
x y 3x x 2 5
2
Lời giải
a) Đặt a x 2 3 3, khi đó phương trình trở thành: 2a 2 7 x 1 a 3 x 2 3x 0
Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn a, dựa vào công thức nghiệm ta tìm được:
2a x 1 hoặc a 3x.
x 1
x 1
Với 2a x 1, ta có 2 x 2 3 x 1
. Hệ này vô nghiệm.
2
2
2
3
x
2
x
11
0
4
x
12
x
1
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ÔN THI VÀO CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC 2020 -2021
https://thuvientoan.net/
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
A. ĐỀ BÀI
Bài 1.
x 2 y 2 2
.
Giải hệ phương trình: 8
2
8
2
x 1 x y 1 y 4
Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN năm 2021 lần 1
Bài 2.
1. Giải phương trình: 8 x 9 x 3 3 x 2 4 x 2.
x y x 1 y 1 8
2. Giải hệ phương trình: 3
.
7 y 6 xy x 2 y 25
Trích đề thi thử trường THPT chuyên KHTN năm 2021 lần 1
Bài 3.
2 x 4 1 y 2 0
.
Giải hệ phương trình: 2
2 2
2
x y 1 x 2 y
Bài 4.
x 2 3 y 1 x 3 y 2 1
Giải hệ phương trình:
.
3
2 x x y y 2 x2 y 2 3 x2 y2
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán của thuvientoan.net năm 2021 lần 1
Bài 5.
Giải phương trình: x 2 x 8 4 x 3.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hà Nội năm 2021
Bài 6.
Giải phương trình sau:
x 2 4 x 2 x 2 5 x 3.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Thanh Oai năm 2021
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Bài 7.
Giải phương trình: x 2 3 x 4 x 2 10 0.
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Quận Hoàn Kiếm năm 2021
Bài 8.
a) Giải phương trình: 15 x3 x 2 2 x 4 5 x 2 2 x 4 4.
x 2 xy y 2 4 y 1 0
.
b) Giải hệ phương trình: 2
x
1
x
y
2
y
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa năm 2021
Bài 9.
2019 x 2019 x x 2020 x 2020 13
Giải phương trình:
.
2
2
2019 x 2019 x x 2020 x 2020 37
2
2
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Thị xã Sơn Tây năm 2021
Bài 10.
Giải phương trình:
x 2 4 x 6 x 2 8 x 20
2.
x2
x4
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Phòng Giáo dục và Đào tạo Diên Khánh năm 2021
Bài 11.
a) Giải phương trình: 3 x 3 2 x x 2 3x 9 6 x x3 27.
x2 y2 2
b) Giải hệ phương trinh:
.
x y x 4 y 4 6 x 2 y 2 8 xy 32
Trích đề thi thử trường THPT chuyên KHTN năm 2020 lần 2
Bài 12.
a) Giải phương trình: x 3x 1 2 x 1.
x y x 1 y 1 8
b) Giải hệ phương trinh:
.
3
y
y
16
6
x
x
2
Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN năm 2020 lần 2
Bài 13.
a) Giải phương trình:
2
x 1 x 3.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
2 xy
2
2
x y x y 1
.
b) Giải hệ phương trình:
2
2
x 2 y 8 y x
Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 lần 3
Bài 14.
x 2 3 x 2 x 1.
a) Giải phương trình
x y 2 xy
b) Giải hệ phương trình
.
2
2
2 x y x y
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2020
Bài 15.
a) Giải phương trình: x 1 x 1 5 x 13
x 3 xy 2 x 2 2 y 0
b) Giải hệ phương trình:
x y 2 x 1
y x 5 9 x 5
x2
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang năm 2020
Bài 16.
x 4 x 2 1
1
.
3
2
x 3x x 2
a) Giải phương trình:
x y 3 x 2 y 1
b) Giải phương trình:
.
x
y
y
x
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định năm 2020
Bài 17.
a) Giải phương trình
x 2020 x 2019 1 x 2 x 2019 2020 4039.
b) Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn
1 1 1
. Chứng minh rằng phương trình:
m n 2
x 2 mx n x 2 nx m 0
luôn có nghiệm.
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Dương năm 2020
Bài 18.
Giải phương trình x 2 3 x 5 x 3 x 2 5.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP. Hà Nội năm 2020
Bài 19.
x4 2x2 y 1
a) Giải hệ phương trình: 2
.
2
2
x
y
2
y
2
b) Giải phương trình: 2 x 2 x 2 x 2 3x 3.
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh năm 2020
Bài 20.
a) Giải phương trình: 5 x 2 3x 6 7 x 1 x 2 3.
8 xy
x2 y 2
16
x y
.
b) Giải hệ phương trình:
5
x 2 12
x y 3x x 2 5
2
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương năm 2020
Bài 21.
a) Giải phương trình 5 x 2 2 x 3 (2 x 1) 5 x 2 2 x 1 0 .
x x 2 2 x 2 y 4 2 x 2 y
b) Giải hệ phương trình
.
2
x
y
2
0
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên năm 2020
Bài 22.
1
1
x
y
2
x 3 y
3x y
Giải hệ phương trình sau:
x, y .
2
2
x 2 x y 1 y 1 y x 2 2 y 1
Trích đề thi thử vào chuyên Toán của thuvientoan.net năm 2022 lần 6.
Bài 23.
a) Giải phương trình: x 2 x 4 2 x 1 1 x .
x3 y 3 65
b) Giải hệ phương trình: 2
.
2
x
y
xy
20
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên năm 2021
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Bài 24.
2
2
3x y 4 xy 8
.
Giải hệ phương trình:
x y x 2 xy 2 8
Trích đề thi Học sinh giỏi Toán Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Phước năm 2021
Bài 25.
a) Giải phương trình: 3x 3 x 2 2 x 28 x 3 4 x3 7 0.
3x 4 xy x 2 3 y y 3
b) Giải hệ phương trình: 2
8.
x 6 y 1 y 2 2 x 9
3
Trích đề thi vào chuyên Toán Sở Giáo dục và Đào tạo TP Đà Nẵng năm 2020
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
B. LỜI GIẢI
x 2 y 2 2
.
Bài 1. Giải hệ phương trình: 8
2
8
2
x
1
x
y
1
y
4
Lời giải
n
Với mọi x, y 0 và n * , ta có:
xn yn x y
.
2
2
Với n 1, bất đẳng thức đúng.
k
Giả sử bất đẳng thức đúng với n k , ta có:
xk y k x y
.
2
2
x k 1 y k 1 x y
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng n k 1, tức là:
2
2
k 1
.
Thật vậy, ta có:
x y
2
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k
k
k
x y x y x y x y x y xy x y
.
2
2
4
2 2
Mà
x k 1 y k 1 xy x k 1 y k 1
4
xy x
y k 1 x k 1 y k 1
k 1
4
x y
Từ đây suy ra:
2
x k 1 y k 1
2
k 1
x y
2
x
k 1
x k 2 y ... xy k 2 y k 1
4
0.
x k 1 y k 1
.
2
Áp dụng bất đẳng thức trên với n 4, n 5, ta có:
4
5
x2 y2
x2 y 2
x 1 x y 1 y x y x y 2
2
4.
2
2
8
2
8
2
8
8
10
10
x y 1
x y 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 y 2 1
.
x 1, y 1
x 1, y 1
Vậy hệ cho có bốn nghiệm: x; y 1;1 , 1; 1 , 1; 1 , 1;1 .
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Bài 2.
a) Giải phương trình: 8 x 9 x 3 3 x 2 4 x 2.
x y x 1 y 1 8
b) Giải hệ phương trình: 3
.
7 y 6 xy x 2 y 25
Lời giải
a) Ta có phương trình tương đương:
3 3
2 x 2 x x 3x 4 x 2
2 x 2 x x 1 x 1
2 x x 1 2 x x 1 0
3
3 3
3
2
3
3
3 3
3
3
2
2 x 3 x 1 4 x 6 2 x3 x 1 x 1 1 0
2 x 3 x 1 0 x 1 2 x 2 2 x 1 0
x 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1.
b) Ta có:
x3 8 y 3 6 xy x 2 y x 3 y 3 7 y 3 6 xy x 2 y
x3 8 y 3 6 xy x 2 y x3 y 3 25
x3 8 y 3 6 xy x 2 y x3 y 3 1 24
x3 8 y 3 6 xy x 2 y x3 y 3 1 3 x y x 1 y 1
3
x 2 y x y 1
3
x 2 y x y 1
y 1.
x 1
Với y 1, ta có: 7 6 x x 2 25 x 2 2 x 3 0
.
x 3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y 1;1 , 3;1 .
Bài 3.
2 x 4 1 y 2 0
Giải hệ phương trình: 2
2 2
2
x y 1 x 2 y
Lời giải
2
2
Ta có: x 2 y 2 1 x 2 2 y x 2 y 2 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 .
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Mặt khác 1 x 2 y 2 2 x 4 1 2 x 4 x 2 0 x 0.
y 1
. Thử lại thấy thỏa mãn.
y 1
Với x 0
Vậy hệ cho có hai nghiệm x; y 0;1 , 0; 1 .
Bài 4.
x 2 3 y 1 x 3 y 2 1
Giải hệ phương trình:
.
3
2 x x y y 2 x 2 y 2 3 x 2 y 2
Lời giải
Điều kiện: x x y 0 .
2
Ta có
2x x y
y 2 x2 y2
Suy ra
3
2x x y x y
3x 2 4 xy y 2
.
2
2
2 y 2 x2 y 2 x2 3 y 2
.
2
2
3
2 x x y y 2 x 2 y 2 2 x 2 2 xy 2 y 2 3 x 2 y 2
2 x x y x y 2
Dấu bằng xảy ra khi y 2 x 2 y 2
x y 0.
x y
Thay x y vào phương trình ban đầu ta được:
x 2 3 x 1 x 3 x 2 1
x2 1 x
x2 1 x
x2 1 3
x2 1 x
x2 1 3 0
x2 2
x 2 1 3
Từ đây ta được x y 2 2.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là x; y 2 2; 2 2
Bài 5.
Giải phương trình: x 2 x 8 4 x 3.
Lời giải
Điều kiện xác định x 3.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
x2 1 x 0
x 0 .
https://thuvientoan.net/
4 x 3 2 2 x 3 4 x 3 x 7.
2
Suy ra: x 2 x 8 x 7 x 1 0 x 1.
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.
Bài 6.
Giải phương trình sau:
x 2 4 x 2 x 2 5 x 3.
Lời giải
Điều kiện: 2 x 4. Phương trình tương đương:
x 2 1 1 4 x 2 x 1 x 3
x3
x3
2 x 1 x 3
x 2 1 1 4 x
1
1
x 3
2 x 1 0
x 2 1 1 4 x
x 3
.
1
1
2 x 1 (1)
x 2 1 1 4 x
Ta xét phương trình (1). Với 2 x 4 2 x 1 5.
Mà
1
1
1
1
2.
x 2 1 1 4 x 0 1 0 1
Suy ra:
1
1
2 x 1, do đó phương trình vô nghiệm.
x 2 1 1 4 x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 3.
Bài 7.
Giải phương trình: x 2 3 x 4 x 2 10 0.
Lời giải
Điều kiện xác định: x 2. Phương trình đã cho tương đương:
x2 4 x 4 x 2 4
x 2
2
x2 4 0
2
x 2 2 0
x 2 0
x 2.
x 2 2 0
Thỏa điều kiện xác định. Vậy phương trình đã có nghiệm duy nhất x 2.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Bài 8.
a) Giải phương trình: 15 x3 x 2 2 x 4 5 x 2 2 x 4 4.
x 2 xy y 2 4 y 1 0
.
b) Giải hệ phương trình: 2
x
1
x
y
2
y
Lời giải
a) Ta có: 4 5 x 2 2 x 4 4 15 x x 2 x 2 x 0. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 , ta được:
2
4
2
4 5 x x 2 2 15 x 1
x
x
x
Đặt t x
2
2 2. Phương trình đã cho trở thành:
x
4t 5t 2 20 15 t 1 16t 2 5t 20 225 t 1
16t 4 109t 2 90t 45 0
t 3 16t 3 48t 2 35t 15 0
t 3.
Với t 3, ta có: x
x 1
2
3 x 2 3x 2 0
.
x
x 2
Thỏa điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x 2.
b) Nhận xét y 0 không thỏa mãn. Xét y 0, hệ phương trình tương đương:
x2 1
x y 2 2
y
.
2
x
1
y x y 2 1
x2 1
, b x y 2. Hệ cho trở thành:
Đặt a
y
a b 2
a b 1. Do đó:
ab 1
x2 1
2
1
x 1, y 2
y x 1
.
y
2
x
2,
y
5
x
x
2
0
x y 2 1
Vậy hệ cho có hai nghiệm x; y 1; 2 , 2;5 .
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
2
https://thuvientoan.net/
Bài 9.
2019 x 2019 x x 2020 x 2020 13
Giải phương trình:
.
2
2
2019 x 2019 x x 2020 x 2020 37
2
2
Lời giải
Điều kiện: x . Đặt a x 2019, phương trình đã cho trở thành:
a 2 a a 1 a 1
2
a 2 a a 1 a 1
2
13
37
a 2 a 1
13
133a 2 3a 1 37 a 2 a 1 0
2
3a 3a 1 37
a 4
a 2 a 12 0
.
a 3
Với a 4, ta có x 2023.
Với a 3, ta có x 2016.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 2023, x 2016.
Bài 10.
x 2 4 x 6 x 2 8 x 20
Giải phương trình:
2.
x2
x4
Lời giải
Điều kiện xác định: x 2; x 4. Phương trình đã cho tương đương:
x 2 2
2
x 4 4
2
2
4
x4
2
x2
x4
x2
x4
2 x 4
4 x 2
2
4
x2 x4
x 2 x 4 x 4 x 2
2 x 2
Phương trình tương đương: 2 x 4 4 x 2 x 0 (thỏa điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S {0}.
Bài 11.
a) Giải phương trình: 3 x 3 2 x x 2 3x 9 6 x x3 27.
x2 y2 2
b) Giải hệ phương trinh:
.
x y x 4 y 4 6 x 2 y 2 8 xy 32
Lời giải
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
a) Điều kiện: x 3. Phương trình tương đương:
x3 27 3 x 3 6 x 2 x x 2 3x 9 0
x 3
2x
x 3x 9 3 0
x 3 x 3x 9 3 0
x 2 3x 9 3 2 x
2
2
x 1
2 x x 3 0
x 0.
x 2 3x 9 3 0 x 3
Thỏa điều kiện ban đầu nên phương trình đã cho có ba nghiệm: S 0;1;3.
b) Kết hợp với x 2 y 2 2, phương trình thứ hai của hệ tương đương:
x y x 2 y 2 4 x 2 y 2 8 xy 32
2
2 2
x y 4 4 x y 8 xy 32
x y 1 xy 8.
2
2
x y 2 1 xy
Vậy hệ cho tương đương:
.
2
x
y
1
xy
8
x y
5
Do đó: 8 x y 1 xy
2
4
x y 2. Khi đó xy 1.
Từ đây tìm được x y 1.
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất x; y 1;1.
Bài 12.
a) Giải phương trình: x 3x 1 2 x 1.
x y x 1 y 1 8
b) Giải hệ phương trinh:
.
3
y
y
16
6
x
x
2
Lời giải
a) Điều kiện: x 0. Phương trình tương đương:
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
2 x 2 3x 1 4 x 2
3x 1 2 3x 1 1 x 4 x 4
2
2
3x 1 1
x 2 3x 1 1 x 2
3x 1 x 1
3
1
0
3x 1 2 x 1 x 1
3x 1 2
x 1
x 1 3 x 1 3x 1 0
3x 1 x 1
x 0
2 x x 1 0
.
x 1
Thỏa điều kiện ban đầu nên phương trình đã cho có ba nghiệm: S 0;1.
b) Ta có:
x3 y 3 1 3 x y x 1 y 1 x 3 y 3 y 24 y 1
x3 6 x x 2 16 24 y 1 x3 6 x x 2 8 y 1
x 2 y 1
3
Suy ra:
x y 1 x 2 y 1 0
3
3
2
2
y 1 x y 1 x y 1 x 2 x 2 1 0
y 1.
x 1
2
Với y 1, ta được x 1 4
.
x 2
Vậy hệ cho có nghiệm hai nghiệm x; y 1;1 , 2;1.
Bài 13.
a) Giải phương trình:
2
x 1 x 3.
2 xy
2
2
x y x y 1
.
b) Giải hệ phương trình:
2
2
x 2 y 8 y x
Lời giải
a) Điều kiện: x 3. Phương trình tương đương:
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
x 2 x 1 x 3 x 2 x x 3 1
x x 4
x4
x 3 1
x 2
x
1
0
x 4
x 2
x 3 1
x 4
x
1
x 2 x 3 1 0 *
Ta có phương trình * tương đường:
x
x 3 1 x 2 0
x x 3 2 x 2 3x 4 0
x 1
x 4
Do x 3 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: S 4.
b) Điều kiện: x y. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
x 2 y 2 x y 2 xy x y
x y 2 xy x y 2 xy x y
3
x y x y 2 xy x y 1 0
3
x y x y 1 x y 1 2 xy x y 1 0
x y 1 x y x y 1 2 xy 0
x y 1 0
y x 1
x y x y 1 2 xy 0 x y x y 1 2 xy 0 *
Với y x 1 thay vào phương trình thứ hai ta tìm được x 2 y 1 , x
5
2
y .
3
3
Ta lai có phương trình * tương đương:
x2 x y 2 y 0 8 y 2 y 2 y 2 y 0
y 0
y2 7 y 0
y 7
Với y 0, ta tìm được x 1.
Với y 7, phương trình vô nghiệm.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
2 5
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: S
; , 2;1 , 1;0
.
3 3
Bài 14.
a) Giải phương trình
x 2 3 x 2 x 1.
x y 2 xy
b) Giải hệ phương trình
.
2
2
2 x y x y
Lời giải
1
a) Điều kiện: x . Ta có:
2
x 2 3 x 2 x 1 x 2 3 x 2 2 x 1 2 x 2 x 1
1
x2
x 2 x 1 2 x 2
2
2
x 2 x 1 2 x
1
x2
2
x 1
3
2
x x 2x 2 0
Vậy x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Cộng vế theo với của phương trình ta được:
x y 2 2 x y xy x 2 y 2
x y x y 2 0
2
x y 1
.
x y 2
Với x y 1, thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 2 3x 3 0, vô nghiệm.
Với x y 2, thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 2 0 x 0 y 2,
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất x; y 0; 2.
Bài 15.
a) Giải phương trình: x 1 x 1 5 x 13
x 3 xy 2 x 2 2 y 0
b) Giải hệ phương trình:
x y 2 x 1
y x 5 9 x 5
x2
Lời giải
a) Điều kiện : x 1 0 x 1 . Phương trình đã cho tương đương:
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
x 1 x 1 1 6 x 12 0
x 1 x 2
x 1 1
6 x 2 0
x 2
x 1
x 2
6 0 x 1
x 1 1
6 0
x 1 1
x 1
Ta thấy x 2 thỏa mãn. Còn
6 0 với mọi x 1.
x 1 1
Vậy x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
b) Điều kiện: x 1, x 2, y . Ta có:
x 2
x3 xy 2 x 2 2 y 0 x 2 x 2 y 0
y x2
Do x 1 nên y x 2 .
Thay y x 2 vào phương trình
x y 2 x 1
x2
x x 2 2
y x 5 9 x 5, ta được phương trình:
x 1
x 2 x 5 9 x 5
x2
x 2 x 2 x 1 3 2
x 5 x 9 x 5 1
x2
Với điều kiện bài toán
1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 4 x 5
x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 4 x 5 0
x 1 y 1
2
(2)
x 2 x 1 x 2 x 4 x 5 0
Ta có:
2 x 1 x 1 x 2 x 2
3
3
x 1 x 2
2
2
x 1 x 2 x 1 x 2 1 0
x 1 x 2
(3)
2
x 1 x 2 x 1 x 22 1 0 4
Vì
3 x 2
1
x 1 x 2 x 1 x 2 1 x 1 x 2
1 0 nên (4) vô nghiệm.
2
4
2
2
2
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
2
https://thuvientoan.net/
x2
x 2
x
2
x 5 13
5 13
x
. Giá trị này thỏa mãn.
3
2
2 2
2
x 1 x 2
x 5x 3 0
x 5 13
2
5 13
19 5 13
.
Với x
ta có y
2
2
5 13 19 5 13
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm
;
1;1;
.
2
2
Bài 16.
x 4 x 2 1
1
.
a) Giải phương trình: 3
2
x 3x x 2
x y 3 x 2 y 1
b) Giải phương trình:
.
x
y
y
x
Lời giải
x 0
a) Điều kiện: x3 3 x 2 x 0 2
. Phương trình đã cho tương đương:
2
x 3 x 1 0
2 x 4 x3 5 x 2 x 2 0
1
1
1
1
2 x 2 2 x 5 0 2 x x 1 0
x
x
x
x
1
1
x 1 2 x 1 0 x 2 x 12 x 2 x 2 0
x
x
2
x 1 5
2
x 1 5
x 2 x 1 0
2
2
.
1 17
2 x x 2 0
x 4
x 1 17
4
So với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
1 5 1 5 1 17 1 17
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: S
;
;
;
.
2
2
4
4
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
x y 0
. Hệ phương trình tương đương:
b) Điều kiện:
3x 2 y 0
2 x y 2 5 x y x y
.
x
y
x
y
0
2a 2 5a 2 b
Đặt a x y và b x y với a 0, b 0. Hệ đã cho trở thành:
.
a b 0
Suy ra
2 a 1 5a 2 a 2 a 1 5a 2 a 3a 2 5a 2 0 a 2 do a 0. Suy ra b 2.
2
1 5
x y
x y 4
x 1
2
Khi đó ta có:
.
yx 2
y3
1 5
yx
2
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất x; y 1;3.
Bài 17.
a) Giải phương trình
x 2020 x 2019 1 x 2 x 2019 2020 4039.
b) Cho hai số thực m, n khác 0 thỏa mãn
1 1 1
. Chứng minh rằng phương trình:
m n 2
x 2 mx n x 2 nx m 0
luôn có nghiệm.
Lời giải
a) Điều kiện: x 2019. Nhân cả hai vế của phương trình cho
4039 1 x 2 x 2019 2020 4039
x 2020 x 2019, ta được:
x 2020 x 2019
x 2020 x 2019 1 x 2020 x 2019
x 2020 x 2019 x 2020
x 2019 1
x 2020 1 0
x 2019 1
x 2020.
x 2020 1
So với điều kiện ban đầu ta thấy x 2020 là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Ta có
1 1 1
2 m n mn.
m n 2
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
x 2019 1 0
https://thuvientoan.net/
Phương trình tương đương: x 2 mx n 0 1 hoặc x 2 nx m 0 2.
Phương trình 1 và 2 lần lượt có 1 m 2 4n và 2 n 2 4m.
Ta có: 1 2 m 2 n 2 4m 4n m 2 n 2 2mn m n 0.
2
Suy ra một trong hai số 1 hoặc 2 lớn hơn hoặc bằng 0.
Do đó một trong hai phương trình 1 hoặc 2 luôn có nghiệm.
Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Bài 18.
Giải phương trình x 2 3 x 5 x 3 x 2 5.
Lời giải
Phương trình đã cho luôn xác định với mọi x . Đặt a x 2 5 ( a 0), khi đó phương trình có thể viết lại
thành a 2 3x ( x 3)a, hay ( a x )( a 3) 0.
Do a x 2 5 x 2 x x nên từ đây, ta có a 3 hay
x 2 5 3.
Từ đó, ta có x 2 (thỏa mãn) hoặc x 2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 2 và x 2.
Bài 19.
x4 2x2 y 1
a) Giải hệ phương trình:
.
2
2
2
x
y
2
y
2
b) Giải phương trình: 2 x 2 x 2 x 2 3x 3.
Lời giải
a) Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được:
x 4 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2 y 3
x 4 2 x 2 y y 2 2 x 2 y 3 0
2
x 2 y 2 x 2 y 3 0
x2 y 1
x 2 y 1
2
2
.
x
y
3
x y 3
Với x 2 y 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 0 x 1 hoặc x 1.
Với x 2 y 3, Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 2 8 y 2 2 hoặc y 2 2.
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥
https://thuvientoan.net/
Khi đó x 2 2 2 3 hoặc x 2 2 2 3, phương trình vô nghiệm do x 2 0.
Tóm lại hệ cho có hai nghiệm x; y 1; 0 , 1;0.
b) Điều kiện: x 2. Phương trình tương đương:
x 2 3 x 3 2 x 2 x 2 0
x 2 4 x 4 2 x 2 x 2 x 2 9
x2 x 2
2
9
x2 x 2 3
x 2 x 2 3
x 2 5 x 1
.
x 2 1 x 2
x 5
5 x 0
11 29
Trường hợp 1: 1
x
.
2 2
2
x
11
x
23
0
x
2
5
x
x 1
1 x 0
1 5
Trường hợp 2: 2
x
.
2 2
2
x
x
1
0
x
2
1
x
11 29 1 5
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
;
.
2
2
Bài 20.
a) Giải phương trình: 5 x 2 3x 6 7 x 1 x 2 3.
8 xy
x2 y 2
16
x y
.
b) Giải hệ phương trình:
5
x 2 12
x y 3x x 2 5
2
Lời giải
a) Đặt a x 2 3 3, khi đó phương trình trở thành: 2a 2 7 x 1 a 3 x 2 3x 0
Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn a, dựa vào công thức nghiệm ta tìm được:
2a x 1 hoặc a 3x.
x 1
x 1
Với 2a x 1, ta có 2 x 2 3 x 1
. Hệ này vô nghiệm.
2
2
2
3
x
2
x
11
0
4
x
12
x
1
♥♥ Quyết tâm đậu vào chuyên Toán các em nhé! ♥♥