Tuyển chọn 100 bài toán hình học giải tích phẳng oxyz - Nguyễn Minh Tiến

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến Hà Nội 1 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 01 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm trên đường thẳng (d1 ) : 2x + y + 1 = 0 và chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm trên đường thẳng (d2 ) : 2x + y − 8 = 0. Biết điểm M (3; 0) là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác. Lời giải tham khảo : Gọi điểm B (a; −2a − 1) ∈ (d1 ) Điểm H (b; 8 − 2b) ∈ (d2 ) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ C (6 − a; 2a + 1) −−→ −−→ Ta có H ∈ AC nên AH và HC cùng phương −−→ −−→ AH = (b − 1; 3 − 2b) và HC = (6 − a − b; 2a + 2b − 7) −−→ −−→ AH và HC cùng phương ⇒ b−1 3 − 2b = ⇔ a = 11 − 6b 6−a−b 2a + 2b − 7 −−→ −−→ H là chân đường cao hạ từ B xuống AC ⇒ AH⊥BH ⇔ AH.BH = 0 (1) −−→ −−→ −−→ BH = (b − a; 2a − 2b + 9) ⇒ AH.BH = 0 ⇔ (b − 1) (b − a) + (3 − 2b) (2a − 2b + 9) = 0 ⇔ 5b2 − 5ab − 25ab + 7a + 27 = 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được 5b2 − 5b (11 − 6b) − 25b + 7 (11 − 6a) + 27 = 0  b=2  2 ⇔ 35b − 122b + 104 = 0 ⇔  52 b= 35 Thay ngược lại ta có điểm B và C cần tìm 45 , đáy lớn CD nằm 2 trên đường thẳng (d) : x − 3y − 3 = 0. Biết hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I (2; 3). Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương. Đề bài 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích bằng Lời giải tham khảo : ABCD là hình thang cân ⇒ tam giác ICD vuông cân tại I Ta có CD = 2d (I; CD) = 2. √ √ |2 − 3.3 − 3| √ = 2 10 ⇒ IC = 20 10 Lấy C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC 2 = (3a + 1)2 + (a − 3)2 = 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6; 1) −→ Phương trình BD đi qua điểm I và nhận IC làm vtpt ⇒ BD : 2x − y − 1 = 0 D là giao điểm của BD và CD ⇒ D (0; −1) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 2 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ 1 Đặt IA = IB = x ⇒ SIAB = x2 ; SIAD = x 5 = SIBC ; SICD = 10 2  √ 5 (tm) x = √ 45 1 ⇒ SABCD = x2 + 2x 5 + 10 = ⇔ √ 2 2 x = −5 5 (loai) ⇒ −→ −→ DI = 2 ⇒ DI = 2IB IB (∗) Gọi B (b; 2b − 1) ∈ BD từ (∗) ⇒ B (3; 5) Phương trình đường thẳng BC đi qua B và C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = 0. Bài toán giải quyết xong. Đề bài 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AD là (d) : 3x − 4y − 7 = 0. Gọi E là điểm nằm bên trong hình vuông ABCD sao cho \ = 150o . Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4). tam giác EBC cân có BEC Lời giải tham khảo : \ = 150o ⇒ tam giác BEC cân tại E Tam giác BEC cân và có BEC Gọi H là hình chiếu của E lên AD ⇒ H là trung điểm của AD và HE = d (E; AD) = 3 Đặt cạnh hình vuông là AB = x \ = 150o ⇒ EBC \ = 15o . Gọi I là trung điểm của BC ⇒ BI = x ; EI = Tam giác BEC cân tại E có BEC 2 x−3 [ = 15o ⇒ tan 15o = EI = 2x − 6 Tam giác BIE vuông tại I có góc EBI BI x Tổng hợp các bài toán đặc sắc 3 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒2− √ 3= √ 2x − 6 ⇔x=2 3 x Phương trình đường thẳng EH qua điểm E và vuông góc với AD ⇒ EH : 4x + 3y + 4 = 0 Đường thẳng AB // EH ⇒ AB có dạng (d) : 4x + 3y + α = 0 √ √ |α − 4| = BI = 3 ⇔ α = 4 ± 5 3 5 √ Phương trình đường thẳng AB là (d) : 4x + 3y + 4 ± 5 3 = 0 Ta có d (E, AB) = Bài toán giải quyết xong. Đề bài 04 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B và phân giác kẻ từ C có phương trình lần lượt là (d1 ) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2 ) : 4x + 5y − 3 = 0; (d3 ) : x + 2y − 5 = 0. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải tham khảo : → = (3; −4) Ta có AH⊥BC ⇒ BC có vtcp là − u 4 → = (a; b) là vtcp của đường thẳng AC. Ta có CD là phân giác trong góc C Gọi − u 5 →, − → − → − → ⇒ cos (− u 3 u4 ) = cos (u3 , u5 ) − → = (2; −1) u 3  b=0 |2a − b| 10  ⇒√ √ = √ √ ⇔ 4 5. 25 5. a2 + b2 b=− a 3 4 → = (3; −4) loại vì trùng với − → Với b = − a ⇒ chọn − u u 5 4 3 → = (1; 0) Với b = 0 ⇒ − u 5 −→ Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (−1 + 4a; 6 + 3a) và C ∈ (d3 ) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒ AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) → → và − Ta có − u AC cùng phương ⇒ c − 3a − 6 = 0 (1) 5   4a + 4 − 2c 3a + c + 6 M là trung điểm của AC ⇒ M ; . Trung điểm M thuộc (d2 ) 2 2 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 4 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ 4. 4a + 4 − 2c 3a + c + 6 + 5. − 3 = 0 ⇔ 31a − 3a + 40 = 0 2 2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ a = 1; c = 3 ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) Phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − 5 = 0 B là giao điểm của BM và BC ⇒ B (2; −1) Bài toán cở  bản : Biếttọa độ 3 đỉnh √ tam giác tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 5 65 13 và R = giác. Tâm I −3; − . 8 8 Đề bài 05 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB và BC lần lượt là (d1 ) : 7x − y + 17 = 0; (d2 ) : x − 3y − 9 = 0. Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh C của tam giác ABC biết điểm M (2; −1) nằm trên đường thẳng AC. Lời giải tham khảo : → = (7; −1), BC có vtpt là − → = (1; −3) Đường thẳng AB có vtpt là − n n 1 2 → = (a; b) là vtpt của đường thẳng AC Gọi − n 3 10 |a − 3b| →, − → − → − → √ =√ √ Tam giác ABC cân tại A ⇒ cos (− n 1 n2 ) = cos (n2 , n3 ) ⇒ √ 50. 10 10. a2 + b2  a=b ⇔ a2 + 6ab − 7b2 = 0 ⇔  a = −7b → = (7; −1) loại vì cùng phương với − → X Với a = −7b chọn − n n 3 1 → = (1; 1) ⇒ đường thẳng AC : x + y − 1 = 0 X Với a = b chọn − n 3 Tọa độ C là giao điểm của BC và AC ⇒ C (3; −2) Phương trình đường cao xuất phát từ C là (d) : x + 7y + 11 = 0. Đề bài 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao và đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A lần lượt là (d1 ) : x − 2y = 0; (d2 ) : x − y + 1 = 0. Biết điểm 180 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam M (1; 0) nằm trên cạnh AB và diện tích tam giác ABC bằng 7 giác ABC. Lời giải tham khảo : Tổng hợp các bài toán đặc sắc 5 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A là giao điểm của (d1 ) và (d2 ) ⇒ tọa độ điểm A (−2; −1) Qua M kẻ đường thẳng ⊥(d2 ) cắt (d2 ) tại I và AC tại N MN qua M và ⊥(d2 ) ⇒ (M N ) : x + y − 1 = 0 I là giao điểm của MN và (d2 ) ⇒ I (0; 1) I là trung điểm của MN ⇒ N (−1; 2) Phương trình đường thẳng (AB) : x − 3y − 1 = 0 và (AC) : 3x − y + 5 = 0 Điểm B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), điểm C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5) −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có BC⊥AH ⇔ AH⊥BC ⇔ AH.BC = 0 −−→ −−→ AH = (2; 1) ; BC = (b − 3a − 1; 3b + 5 − a) ⇒ 2 (b − 3a − 1) + (3b + 5 − a) = 0 ⇔ 5b − 7a + 3 = 0 (1) q 180 |8b + 14| 1 . (3a + 3)2 + (a + 1)2 = Ta có SABC = d (C, AB) .AB = √ 2 7 10  8 a=  7 Từ (1) và (2) ⇒  thay ngược lại ta có các điểm A, B, C. 22 a=− 7 (2) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 07 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC =  2AB,  phương 1 trình đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình là (d) : 2x − y + 7 = 0, điểm G 0; là trọng 3 tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ bé hơn −2. Lời giải tham khảo : \ Gọi M là trung điểm của AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vuông cân tại A ⇒ M BA = 45o Tổng hợp các bài toán đặc sắc 6 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG → là vtpt của đường thẳng (d) ⇒ − → − → Gọi − n 1 √ √ n1 = (2; −1) và n2 = (a; b) là vtpt của đường thẳng BG 2 |2a − b| 2 →, − → ⇒ cos (− n ⇒√ √ = 1 n2 ) = 2 2 2 2 5. a + b  a = 3b  ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = 0 ⇔  1 a=− b 3 → = (3; 1) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : 9x + y − 1 = 0 X Với a = 3b chọn − n n 2 2  4   x=− 3 loại do hoành độ điểm B nhỏ hơn −2 B là giao điểm của AB và BG ⇒ 13   y= 3 X Với a = − b → = (1; −3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : x − 3y + 1 = 0 chọn − n n 2 2 3 B là giao điểm của AB và BG ⇒ B (−4; −1) ( thỏa mãn ) −−→ 2 −−→ M là trung điểm của AC ⇒ M (3a − 1; a) ∈ BG ta có BG = BM ⇒ M (2; 1) 3 Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm M và vuông góc với AB ⇒ AC : x + 2y − 4 = 0 Tọa độ điểm A là giao điểm AC và AB ⇒ A (−2; 3) ⇒ C (6; −1) Bài toán giải quyết xong. Đề bài08 ( k2pi Lần 14 - 2014) : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm 1 ; 1 . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB tại D, E và F. B 2 Biết điểm D (3; 1) và phương trình đường thẳng EF có phương trình là (d) : y − 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh A có tung độ không âm. Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và D ⇒ BC : y − 1 = 0 ⇒ BC//EF Do đó tam giác ABC cân tại A và D chính là trung điểm của BC. Phương trình đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với BC ⇒ AD : x − 3 = 0 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 7 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG    2  a=2 1 2 25 1 9 Điểm E (a; 3) ∈ EF ta có BE = BD ⇒ a − + 22 = ⇔ a− = ⇔ 2 4 2 4 a = −1 X a = 2 ⇒ phương trình AB đi qua điểm B và E ⇒ AB : 4x − 3y + 1 = 0   13 A là giao điểm của AB và AD ⇒ A 3; 3 X a = −1 ⇒ phương trình AB đi qua điểm B và E ⇒ AB : 4x + 3y − 5 = 0   7 A là giao điểm của AB và AD ⇒ A 3; − ( loại) 3   13 Vậy điểm A 3; 3 Đề bài 09 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A (1; 5), phương trình đường chéo BD là 3x + 4y − 13 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật biết B có hoành độ âm. Lời giải tham khảo : √ Xét tam giác ABD vuông tại A có BD2 = AB 2 + AD2 = 5AB 2 ⇒ BD = AB 5 Phương trình đường chéo BD có + 4b| 1 \ = |3a √ ⇒ cos ABD =√ 2 2 5 5. a + b \ = AB = √1 ⇒ cos ABD BD 5 → = (3; 4). Gọi → − vtpt − n n = (a; b) là vtpt của đường thẳng AB 1  11 a=− b  2 ⇔ 4a2 + 24ab + 11b2 = 0 ⇔  1 a=− b 2 11 − b chọn → n = (11; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình 11x − 2y − 1 = 0 2   3 14 Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B ; loại do B có hoành độ âm. 5 5 X Với a = − 1 − X Với a = − b chọn → n = (1; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình x − 2y + 9 = 0 2 Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B (−1; 4) ( thỏa mãn ) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 8 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng AD đi qua điểm A và vuông góc với AB ⇒ AD : 2x + y − 7 = 0 Tọa độ điểm D là giao điểm của AD và BD ⇒ D (3; 1)   5 ⇒ C (1; 0) Trung điểm I của BD có tọa độ I 1; 2 Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 10 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD √
là (d) : x − y = 0. Đường thẳng AB đi qua điểm P 1; 3 , đường thẳng CD đi qua điểm √
Q −2; −2 3 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết độ dài AB = AC và điểm B có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải tham khảo : \ = 60o ⇒ ABD \ = 30o Ta có AB = AC ⇒ tam giác ABC đều ⇒ ABC → = (1; −1). Giả sử → − Đường thẳng BD có vtpt − n n = (a; b) là vtpt của AB 1 √ √
|a − b| 3 →, → − ⇒ cos (− n = ⇔ a2 + 4ab + b2 = 0 ⇔ a = −2 ± 3 b 1 n) = √ √ 2 2. a2 + b2 √
√
− − X Với a = −2 − 3 b chọn → n = −2 − 3; 1 đường thẳng AB đi qua điểm P và có vtpt → n ⇒ √
AB : 2 + 3 x − y − 2 = 0   2 2 √ ; √ Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B loại do xB > 1 1+ 3 1+ 3 √
√
− − X Với a = −2 + 3 b chọn → n = −2 + 3; 1 đường thẳng AB đi qua điểm P và có vtpt → n ⇒ √
√ AB : 2 − 3 x − y − 2 + 2 3 = 0 Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B (2; 2) thỏa mãn √
√ Ta có CD // AB và CD đi qua điểm Q ⇒ CD : 2 − 3 x − y + 4 − 4 3 = 0 Tọa độ điểm D là giao điểm của BD và CD ⇒ D (−4; −4) ⇒ tọa độ tâm k của hình thoi là trung điểm của BD ⇒ K (−1; −1) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 9 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường chéo AC đi qua điểm K và vuông góc với BD ⇒ AC : x + y + 2 = 0 Tọa độ điểm A là giao điểm của AB và AC ⇒ A (....) Tọa độ điểm C là giao điểm của CD và AC ⇒ C (....) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 11 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (5; 2)phương trình đường trung trực cạnh BC và trung tuyến xuất phát từ đỉnh C lần lượt là (d1 ) : 2x+y−5 = 0; (d2 ) : x+y−6 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Lời giải tham khảo :  Giả sử điểm B (a; b). Ta có trung điểm của AB là M ⇒ a+5 b+2 ; 2 2  ∈ (d2 ) a+5 b+2 + − 6 = 0 ⇔ a + b − 7 = 0 ⇔ b = 7 − a ⇒ B (a; 7 − a) 2 2 Lấy điểm C (c; 6 − c) ∈ (d2 )  (d1 ) là trung trực của BC ⇒ trung điểm của BC là N a + c 13 − a − c ; 2 2  ∈ (d1 ) 13 − a − c −5=0⇔a+c+3=0 (1) 2 −−→ → −−→ (d1 ) là trung trực của BC ⇒ BC⊥(d1 ) ⇒ BC⊥− ud1 ta có − u→ d1 = (1; −2) ; BC = (c − a; a − 1 − c) ⇒a+c+ ⇒ c − a − 2 (a − 1 − c) = 0 ⇔ 3c − 3a + 2 = 0   7   c + a = −3  a=− 6 Từ (1) và (2) ta có ⇔  3c − 3a = −2   c = − 11 6 (2) ⇒ tọa độ điểm B và C Bài toán giải quyết xong. Đề bài 12 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (−1; −3), trực tâm H (1; −1) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I (2; −2). Xác định tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Lời giải tham khảo : Gọi D là điểm đối xứng với A qua I ⇒ AD là đường kính đường tròn tâm I và I là trung điểm của AD ⇒ D (5; −1) AD là đường kính đường tròn tâm I ⇒ CD⊥AC, H là trực tâm ⇒ BH⊥AC ⇒ CD//BH Tương tự ta có CH//BD ⇒ BHCD là hình bình hành ⇒ BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Tổng hợp các bài toán đặc sắc 10 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ trung điểm M của DH là trung điểm của BC ta có M (3; −1) Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm M và vuông góc với AH ⇒ BC : x + y − 2 = 0 √ Phương trình đường tròn tâm I có bán kính IA = 10 ⇒ (C) : (x − 2)2 + (y + 2)2 = 10 Tọa độ điểm B và C là giao điểm của đường thẳng BC và (C) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 13 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao BH : x + 2y − 3 = 0, trung tuyến AM : 3x + 3y − 8 = 0. Cạnh BC đi qua điểm N (3; −2). Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC biết đỉnh C thuộc đường thẳng (d) : x − y + 2 = 0. Lời giải tham khảo : Lấy điểm B (3 − 2b; b) ∈ BH và C (c; c + 2) ∈ (d)   3 − 2b + c b + c + 2 Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M ; . Ta có M ∈ AM 2 2 3 − 2b + c b+c+2 + 3. − 8 = 0 ⇔ 3b − 6c + 1 = 0 2 2 −−→ −−→ Cạnh BC đi qua điểm N (3; −2) ⇒ BN và N C cùng phương ⇒ 3. (1) −−→ −−→ Ta có BN = (2b; −2 − b) và N C = (c − 3; c + 4) ⇒ c+4 c−3 = ⇔ 3bc + 5b + 2c − 6 = 0 2b −2 − b (2) Từ (1) và (2) ⇒ b = ...; c = ... ⇒ tọa độ điểm B và C. Bài toán giải quyết xong. Đề bài 14 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD với CD = 2AB, phương trình hai đường chéo AC và BD lần lượt là (d1 ) : x + y − 4 = 0; (d2 ) : x − y − 2 = 0. Biết rằng tọa độ hai điểm A và B đều dương và diện tích hình thang bằng 36. Tìm tọa độ các đỉnh hình thang. Tổng hợp các bài toán đặc sắc 11 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lời giải tham khảo : Ta có (d1 )⊥(d2 ) ⇒ hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau. √ 1 ⇒ S = .AC.BD = 36 ⇒ AC 2 = 72 ⇒ AC = BD = 6 2 2 Ta có hai tam giác AIB và tam giác CID đồng dạng ⇒ √ AB IA 1 1 = = ⇒ IA = AC = 2 2 = IB CD IC 2 3 I là giao điểm của hai đường chéo ⇒ I (3; 1)  Lấy điểm A (a; 4 − a) ∈ (d1 ) ⇒ IA2 = (a − 3)2 + (a − 3)2 = 8 ⇔   Lấy điểm B (b; b − 2) ∈ (d2 ) ⇒ IB 2 = (b − 3)2 + (b − 3)2 = 8 ⇔  a=1 a=5 b=1 b=5  ⇒  ⇒ A (1; 3) (tm) A (5; −1) (loai) B (1; −1) B (5; 3) (loai) (tm) − → −→ Lấy điểm C (c; 4 − c) ∈ (d1 ) ta có IC = 2IA ⇒ 2AI = IC ⇒ C (7; −3) −→ −→ Lấy điểm D (d; d − 2) ∈ (d2 ) ta có ID = 2IB ⇒ 2BI = ID ⇒ D (−1; −3) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 15 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng (d) : x + 3y + 7 = 0 và A (1; 5). Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia CB sao cho M C = 2BC, N là  hình chiếu  vuông góc của B lên đường thẳng M D. Xác định tọa độ các đỉnh B và C biết rằng 5 1 N − ; 2 2 Lời giải tham khảo : Gọi điểm C (−3c − 7; c) ∈ (d). Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD   −3c − 6 c + 5 ⇒ I là trung điểm của AC ⇒ I ; 2 2 Xét tam giác DN B vuông tại N có I là trung điểm của BD ⇒ IN = IB = ID I là tâm của hình chữ nhật ⇒ IA = IB = ID ⇒ IN = IA  2  2     −3c − 6 c+5 −3c − 6 5 2 c+5 1 2 ⇒ −1 + −5 = + + − ⇔ c = −3 ⇒ C (2; −3) 2 2 2 2 2 2 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 12 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG −−→ −→ −−→ −−→ Giả sử B (a; b) có AB⊥BC ⇒ AB⊥AC có AB = (a − 1; b − 5) ; BC = (a − 2; b + 3) ⇒ (a − 1) (a − 2) + (b − 5) (b + 3) = 0 (1) −−→ −−→ Ta có CM = 2BC ⇒ CM = 2BC ⇒ M (6 − 2a; −9 − 2b)     −−→ −−→ −−→ 5 1 −−→ 17 19 ; MN = − 2a; − − 2b M N ⊥BN ⇒ M N ⊥BN mà BN = a + ; b − 2 2 2 2       17 1 19 5 − 2a + b − − − 2b = 0 (2) ⇒ a+ 2 2 2 2 Từ (1) và (2) ⇒ a = ....; b = .... ⇒ B (....) Bài toán giải quyết xong. \ Đề bài 16 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, biết phân giác trong góc ABC đi qua trung điểm M của cạnh AD, phương trình đường thẳng BM là (d) : x − y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng (d1 ) : x + y − 9 = 0, điêm E (−1; 2) thuộc đường thẳng AB và điểm B có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật Lời giải tham khảo : \ ⇒ ABM \ = 45o ⇒ ∆ABM vuông cân tại A Ta có BM là phân giác góc ABC − → = (1; −1) là vtpt của BM Gọi → n = (a; b) là vtpt của đường thẳng AB, có − n 1  √ a=0 − b| 2 − →) = √ |a √ ⇒ cos (→ n,− n = ⇔ ab = 0 ⇔  1 2 2. a2 + b2 b=0 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 13 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG − − X Với a = 0 chọn → n = (0; 1) ⇒ phương trình đường thẳng AB đi qua điểm E và có vtpt → n ⇒ AB : y − 2 = 0 ⇒ Tọa độ B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (0; 2) ( loại) − − X Với b = 0 chọn → n = (1; 0) ⇒ phương trình đường thẳng AB đi qua điểm E và có vtpt → n ⇒ AB : x + 1 = 0 ⇒ Tọa độ B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (−1; 1) ( thỏa mãn) Giả sử điểm A (−1; a) ∈ AB và D (d; 9 − d) ∈ (d1 )   d−1 9−d+a ∈ (d) Trung điểm M của AD có tọa độ M ; 2 2 d−1 9−d+a − + 2 = 0 ⇔ 2d − a − 6 = 0 (1) 2 2 −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có AD⊥AB ⇒ AD⊥AB mà AB = (0; 1) và AD = (d + 1; 9 − d − a) ⇒ ⇒9−d−a=0⇔a+d=9 (2)    A (−1; 4)  d=5 ⇒ Từ (1) và (2) ⇒  D (5; 4)  a=4   5 Gọi I là tâm hình chữ nhất ⇒ I 2; . I là trung điểm của AC ⇒ C (5; 1) 2 Bài toán giải quyết xong. Đề bài 17 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Đường phân giác trong góc B có phương trình (d) : x + 2y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AC đi qua điểm K (6; 2). Lời giải tham khảo : Gọi điểm B (5 − 2b; b) ∈ (d). B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ O ⇒ C (2b − 5; −b) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt (d) và AB lần lượt tại F và I. Đường thẳng OF đi qua O và vuông góc với (d) ⇒ OF : 2x − y = 0 Tọa độ F là giao điểm của (d) và OF ⇒ F (1; 2) F là trung điểm của OI ⇒ I (2; 4) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 14 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG −−→ −→ −−→ −→ Tam giác ABC vuông tại A ⇒ AB⊥AC ⇒ AB⊥AC có AB = (3 − 2b; b − 4) và AC = (2b − 11; −b − 2)  b=1 ⇒ (3 − 2b) (2b − 11) + (b − 4) (−b − 2) = 0 ⇔ −5b2 + 30b − 25 = 0 ⇔  Với b = 1 ⇒ B (3; 1) ⇒ b=5 C (−3; −1) Phương trình đường thẳng AB đi qua B và I ⇒ AB : 3x + y − 10 = 0 Phương trình đường thẳng AC đi qua C và K ⇒ AC : x − 3y = 0 A là giao điểm của AB và AC ⇒ A (3; 1) ( loại do trùng điểm B) Trường hợp b = 5 xét tương tự Bài toán giải quyết xong. 45 . Phương trình 8 hai cạnh đáy AB : x − 3y + 1 = 0 và  CD :  2x − 6y + 17 = 0. AD và BC cắt nhau tại điểm K (2; 6). 7 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm I 1; 3 Đề bài 18 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có diện tích bằng Lời giải tham khảo : 15 Khoảng cách giữa AB và CD là d = √ 40 √ 1 3 10 Ta có diện tích hình thang S = . (AB + CD) .d ⇒ AB + CD = 2 2 AB d (I, AB) = =2 CD d (I, CD) √ Từ (1) và (2) ⇒ AB = 2.CD = 10 ABCD là hình thang ⇒ (1) (2) Tam giác KAB có CD // AB và AB = 2CD ⇒ CD là đường trung bình của tam giác KAB Nối KI cắt AB và CD tại M và N ⇒ M. N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tổng hợp các bài toán đặc sắc 15 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thăng KI đi qua K và I ⇒ KI : 11x − 3y − 4 = 0   1 1 M là giao điểm của KI và AB ⇒ M ; 2 2 Ta có AB = √ √ 10 và M là trung điểm của AB ⇒ A và B thuộc đường tròn tâm M bán kính R =  ⇒ (C) : 1 x− 2 2 10 2   1 2 5 + y− = 2 2 A, B là giao điểm của (C) và đường thẳng AB ⇒ A, B có tọa độ là (2; 1) ; (−1; 0)     7 1 Do đó C, D có tọa độ là 2; ; ;3 2 2 Bài toán giải quyết xong. Đề bài 19 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có BC = 2AB, phương trình đường \ = 120o và điểm A (3; 1). Tìm trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là (d) : x + y − 2 = 0. Biết ABC tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác. Lời giải tham khảo : Đặt AB = x ⇒ BC = 2x. Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ABC ta có √ \ = 7x2 ⇒ AC = x 7 AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2.AB.BC. cos ABC Áp dụng công thức tính đường trung tuyến vào tam giác ABC ta được AB 2 + BC 2 AC 2 3x2 − = 2 4 4 √ 3x2 x 7 Trong tam giác ABM có AB = x, BM 2 = ; AM = ⇒ AM 2 = AB 2 + BM 2 4 2 BM 2 = ⇒ ∆ABM vuông tại B ⇒ AB⊥BM Phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BM ⇒ AB : x − y − 2 = 0 B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (2; 0) Lại có AB = d (A, BM ) = √ √ 6 . Gọi M (m; 2 − m) ∈ BM 2 √ 3 3 2 2 ⇒ BM = 2 (m − 2) = ⇔ m = 2 ± 2 2 2 = x ⇒ BM = Tổng hợp các bài toán đặc sắc 16 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Thay vào ta được điểm M , lại có M là trung điểm của AC ⇒ tọa độ điểm C 2 ± √ 3; 4 ± √
3 Bài toán giải quyết xong. Đề bài 20 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh BC là (d) : 2x − y + 3 = 0. Điểm I (−2; −1) là trung điểm cạnh BC, điểm E (4; 1) nằm trên cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết diện tích tam giác ABC bằng 90. Lời giải tham khảo : Tam giác ABC cân tại A ⇒ AI là vừa là đường cao vừa là đường phân giác góc A Phương trình đường phân giác AI đi qua A và vuông góc với BC ⇒ AI : x + 2y + 4 = 0 Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AI và AC tại F và M . Phương trình đường thẳng EM đi qua E vuông góc với AI ⇒ EM : 2x − y − 7 = 0 Tọa độ điểm F là giao điểm của EM và AI ⇒ F (2; −3). F là trung điểm của EM ⇒ M (0; 7) Lấy điểm B (b; 2b + 3) ∈ BC ⇒ C (−4 − b; 5 − 2b) \ = ACB \ hay (BE, BC) = (M C, BC) Tam giác ABC cân tại A ⇒ ABC −−→ −−→ −−→ BE = (b − 4; 2b − 2) , M C = (4 + b; 2b − 2) , BC = (1; 2)  b=1 |b − 4 + 2b − 4| |5b| ⇒√ √ =√ √ ⇔ 5. 5b2 − 16b + 20 5. 5b2 + 20 b=4 √ X Với b = 1 ⇒ B (1; 5) ⇒ C (−5; −7) ⇒ BC = 6 5 √ 1 S = .AI.BC = 90 ⇒ AI = 6 5. Lấy điểm A (−2a − 4; a) ∈ AI 2   a = 5 A (−14; 5) ⇒ AI 2 = (2a + 2)2 + (a + 1)2 = 90 ⇔  ⇒ a = −7 A (10; −7) X Với b = 4 xét tương tự. Bài toán giải quyết xong. Tổng hợp các bài toán đặc sắc 17 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 21 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A (−1; −3) , B (5; 1). Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao cho M C = 2M B. Tìm tọa độ điểm C biết rằng M A = AC = 5 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên. Lời giải tham khảo : Giả sử điểm M (a; b) ta có M A = 5 ⇒ (a + 1)2 + (b + 3)2 = 25 a2 + 2a + b2 + 6b = 15 (1) Gọi D là trung điểm của CM ta có M A = AC = 5 ⇒ ∆CAM cân tại A ⇒ AD⊥CM Theo giả thiết M C = 2M B ⇒ M B = M D ⇒ M là trung điểm của BD ⇒ D (2a − 5; 2b − 1) −−→ −→ AD = (2a − 4; 2b + 2) ; BI = (2a − 10; 2a − 2) −−→ −→ AD⊥BI ⇒ AD.BI = 0 ⇒ (2a − 4) (2a − 10) + (2b + 2) (2b − 2) = 0 ⇒ a2 − 7a + b2 = −9   Từ (1) và (2) ⇒  (2) a = 2; b = 1 50 23 ;b = − 13 13   50 23 50 23 X Với a = ; b = − ⇒ M ;− 13 13 13 13 a= Phương trình đường thẳng BC đi qua B và M ⇒ BC : 12x − 5y − 55 = 0 ( loại do phương trình BC có hệ số góc nguyên) X Với a = 2; b = 1 ⇒ M (2; 1) phương trình BC đi qua M và B ⇒ BC : y = 1 ( thỏa mãn) Tọa độ điểm D (−1; 1) ⇒ C (−4; 1) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 22 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H (−3; 2). Gọi D, E là chân đường cao hạ từ B và C. Điểm A thuộc đường thẳng (d) : x − 3y − 3 = 0, điểm F (−2; 3) thuộc đường thẳng DE và HD = 2. Tìm tọa độ đỉnh A. Tổng hợp các bài toán đặc sắc 18 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lời giải tham khảo : Ta có HD = 2 ⇒ (xD + 3)2 + (yD − 2)2 = 4 2 + 6x − 4y + 9 = 0 ⇔ x2D + yD D D (1) −−→ −−→ Điểm A ∈ (d) ⇒ A (3a + 3; a) ta có AD⊥DH ⇒ AD.HD = 0 (xD − 3a − 3) (xD + 3) + (yD − a) (yD − 2) = 0 2 − 3ax − (a + 2) y − 7a − 9 = 0 x2D + yD D D (2) Tứ (1) và (2) ⇒ (6 + 3a) xD + (a − 2) yD + 7a + 18 = 0 Tương tự ta có (6 + 3a) xE + (a − 2) yE + 7a + 18 = 0 Do đó phương trình đường thẳng DE có dạng (d1 ) : (6 + 3a) x + (a − 2) y + 7a + 18 = 0 Mà điểm F ∈ (d1 ) ⇒ a = 0 ⇒ A (3; 0) Đề bài 23 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G (1; 1), đường cao từ đỉnh A có phương trình (d) : 2x − y + 1 = 0. Các đỉnh B và C thuộc đường thẳng (d1 ) : x + 2y − 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết tam giác ABC có diện tích bằng 6. Lời giải tham khảo : Điểm A ∈ (d) ⇒ A (a; 2a + 1) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 19 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG −→ −−→ Gọi M là trung điểm của BC ⇒ G ∈ AM và AG = 2GM ⇒ AG = 2GM   3−a ⇒M ; 1 − a mặt khác M ∈ (d1 ) 2 3−a + 2 (1 − a) − 1 = 0 ⇒ a = 1 ⇒ A (1; 3) ⇒ M (1; 0) 2   6 1 3 ⇒ AH = √ Gọi H là giao điểm của (d) và (d1 ) ⇒ H − ; 5 5 5 ⇒ √ √ 1 S = .AH.BC = 6 ⇒ BC = 2 5 ⇒ M B = M C = 5 2 Điểm B ∈ (d1 ) ⇒ B (1 − 2b; b) ⇒ M B 2 = 5b2 = 5 ⇔ b = ±1 X b = 1 ⇒ B (−1; 1) ⇒ C (3; −1) X b = −1 ⇒ B (3; −1) ⇒ C (−1; 1) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 24 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6. Phương trình đường thẳng chứa đường chéo BD là (d) : 2x + y − 11 = 0, đường thẳng AB đi qua điểm M (4; 2), đường thẳng BC đi qua điểm N (8; 4). Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết các điểm B, D đều có hoành độ lớn hơn 4. Lời giải tham khảo : −−→ −−→ Vì B ∈ (d) ⇒ B (b; 11 − 2b). AB⊥BC ⇒ M B⊥N B ⇒ M B.N B = 0  19 b= 2  5 ⇒ (b − 4) (b − 8) + (9 − 2b) (7 − 2b) = 0 ⇒ 5b − 44b + 95 = 0 ⇔ b=5 ⇒ B (5; 1) Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B và M ⇒ AB : x + y − 6 = 0 Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và N ⇒ AC : x − y − 4 = 0 A ∈ AB ⇒ A (a; 6 − a) và C ∈ BC ⇒ C (c; c − 4)   a+c c−a+2 Gọi I là tâm của hình chữ nhật ⇒ I ; ∈ BD 2 2 c−a+2 − 11 = 0 ⇔ 3c + a − 20 = 0 (1) 2 √ √ AB = 2. |a − 5| và BC = 2. |c − 5| ⇒ S = 2 |a − 5| . |c − 5| = 6 ⇒a+c+ Tổng hợp các bài toán đặc sắc (2) 20 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG " Từ (1) và (2) ⇒ a = 2; c = 6 ⇒ a = 8; c = 4 " A (2; 4) , C (6; 2) ⇒ I (4; 3) ⇒ D (3; 5) A (8; −2) , C (4; 0) ⇒ I (6; −1) ⇒ D (7; −3) (loai) (tm) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 25 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (C) : x2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm M (0; 1) là trung điểm của cạnh AB và điểm A có hoành độ dương. Lời giải tham khảo : Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (−1; 2) ; R = 2. M là trung điểm của AB ⇒ IM ⊥AB Phương trình đường thẳng AB đi qua M và vuông góc với IM ⇒ AB : x − y + 1 = 0 Có điểm A ∈ AB ⇒ A (a; a + 1) ⇒ IA = 2 ⇒ (a + 1)2 + (a − 1)2 = 4 ⇒ a = ±1 ⇒ A (1; 2) ⇒ B (−1; 0) Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và vuông góc với AI ⇒ BC : x + 1 = 0 C là giao điểm của BC và (C) ⇒ C (−1; 4) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 26 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 10, phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là (d) : 3x − y = 0. Lấy điểm M đối xứng với điểm D qua điểm C và đường thẳng BM có phương trình (d1 ) : 2x + y − 10 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết đỉnh B có hoành độ dương. Lời giải tham khảo : Gọi N là giao điểm của BM và AD ⇒ N (2; 6) Điểm D ∈ AD ⇒ D (d; 3d) và B ∈ BM ⇒ B (b; 10 − 2b) với b > 0   d + 2 3d + 6 A là trung điểm của N D ⇒ A ; 2 2 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 21 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  B là trung điểm của M N ⇒ M (2b − 2; 14 − 4b) mà C là trung điểm của M D ⇒ C −−→ −−→ −−→ AB⊥AD ⇒ AB.AD = 0 có AB = ⇒  d + 2 − 2b 3d + 4b − 14 ; 2 2 2b − 2 + d 14 − 4b + 3d ; 2 2  d + 2 − 2b 3d − 14 + 4b + 3. =0⇔b+d=4 2 2 10 10 . (d − 2)2 và AB 2 = (d − 2)2 4 4  d=0⇒b=4 10 ⇒S= (d − 2)2 = 10⇒ 4 d=4⇒b=0 (1) Từ (1) có AD2 = AN 2 = (tm) (loai) Do đó B (4; 2) , D (0; 0) , C (3; −1) , A (1; 3) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 27 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho AC = CK. Kẻ KE vuông góc với BC ( E thuộc đường thẳng BC) cắt \ = 45o , phương đường thẳng AB tại N (−1; 3). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết AEB trình đường thẳng BK là (d) : 3x + y − 15 = 0 và hoành độ điểm B lớn hơn 3. Lời giải tham khảo : Tổng hợp các bài toán đặc sắc 22  HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác N BK có BE và KA là hai đường cao ⇒ C là trực tâm ⇒ NC ⊥ BK. \ = AKB \ = 45o ⇒ ∆ABK vuông cân tại A ⇒ ABK \ = 45o Tứ giác BAEK nội tiếp ⇒ BEA − → = (3; 1) là vtpt của đường thẳng BK Gọi → n = (a; b) là vtpt của đường thẳng AB, có − n 1  b = 2a 1 + b| − →) = √ |3a √ = √ ⇒ 4a2 + 6ab − 4b2 = 0 ⇒  ⇒ cos (→ n,− n 1 2 10. a2 + b2 a = −2b − X Với a = −2b ⇒ chọn → n = (−2; 1) ⇒ AB : −2x + y − 5 = 0 ⇒ B (2; 9) ( loại) − X Với b = 2a ⇒ chọn → n = (1; 2) ⇒ AB : x + 2y − 5 = 0 ⇒ B (5; 0) (thỏa mãn) Phương trình đường thẳng NM qua điểm N và vuông góc với BK ⇒ M N : x − 3y + 10 = 0 1 1 1 1 1 BK Có ∆ABK và ∆KCM vuông cân ⇒ KM = √ .CK = √ . .AC = √ . √ BK = 4 2 2 2 2 2 2   7 9 M là giao điểm của M N và BK ⇒ M ; . Có BK = 4MK ⇒ K (3; 6) 2 2 Phương trình đường thẳng AC đi qua K và vuông góc với AB ⇒ AC : 2x − y = 0 A là giao điểm của AC và AB ⇒ A (1; 2) C là trung điểm của AK ⇒ C (2; 4) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 28 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AB = 3AM. Đường tròn tâm I (1; −1) đường kính CM  cắtBM tại D. Xác 4 định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng BC đi qua điểm N ; 0 , phương trình 3 đường thẳng CD : x − 3y − 6 = 0 và điểm C có hoành độ dương. Lời giải tham khảo : Tam giác ABM vuông tại A có AB = 3AM ⇒ BM = Tổng hợp các bài toán đặc sắc √ \ = √3 10AM ⇒ cos ABM 10 23 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG − \ = DCA \ ⇒ cos DCA \ = √3 . Gọi → Tứ giác BADC nội tiếp ⇒ ABM n = (a; b) là vtpt của đường thẳng 10 AC  a=0 3 |a − 3b|  2 \ = √ ⇒ 8a + 6ab = 0 ⇒  ⇒ cos DCA = √ √ 3b 10 10. a2 + b2 a=− 4 3b − − ⇒ chọn → n = (3; −4).Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm I và có vtpt → n 4   3 11 ( loại ) ⇒ AC : 3x − 4y − 7 = 0 C là giao điểm của AC và CD ⇒ C − ; − 5 5 X Với a = − − − X Với a = 0 ⇒ chọn → n = (0; 1). Phương trình AC đi qua điểm I và có vtpt → n ⇒ AC : y + 1 = 0 ⇒ tọa độ điểm C là C (3; −1) ( thỏa mãn ) I là trung điểm của CM ⇒ M (−1; −1) ⇒ phương trình đường tròn tâm I là (C) : (x − 1)2 + (y + 1)2 = 4   3 11 D là giao điểm của CD và (C) ⇒ D − ; − . Phương trình đường thẳng BM : 3x + y + 4 = 0 5 5 Phương trình đường thẳng BC : 3x + 5y − 4 = 0. B là giao điểm của BM và BC ⇒ B (−2; 2) Phương trình đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với AC ⇒ AB : x + 2 = 0 A là giao điểm của AB và AC ⇒ A (−2; −1). Bài toán giải quyết xong. Đề bài 29 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có D (−6; −6), đường trung trực (d1 ) của đoạn thẳng CD có phương trình là (d1 ) : 2x + 3y + 17 = 0 và đường phân giác \ có phương trình (d2 ) : 5x + y − 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình (d2 ) của góc BAC bình hành ABCD. Lời giải tham khảo : Đường thẳng CD đi qua điểm D và vuông góc với (d1 ) ⇒ CD : 3x − 2y + 6 = 0 Gọi M là giao điểm của CD và (d1 ) ⇒ M (−4; −3). M là trung điểm của CD ⇒ C (−2; 0) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 24 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với (d2 ) cắt (d2 ) tại G và cắt AB tại H ⇒ CH : x − 5y + 2 = 0   1 1 G là giao điểm của CH và (d2 ) ⇒ G . G là trung điểm của CD ⇒ H (3; 1) ; 2 2 Phương trình đường thẳng AB đi qua H và song song với CD ⇒ AB : 3x − 2y − 7 = 0 A là giao điểm của AB và (d2 ) ⇒ A (1; −2). Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C và song song với AD ⇒ BC : 4x − 7y + 8 = 0 B là giao điểm của AB và BC ⇒ B (5; 4) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 30 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB 2 2 và  AD tiếp xúc  với đường tròn (C) : (x + 2) + (y − 3) = 4. Đường chéo AC cắt (C) tại điểm 16 23 M − ; và điểm N thuộc trục Oy. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết 5 5 điểm A có hoành độ âm và điểm D có hoành độ dương, diện tích tam giác AND bằng 10 Lời giải tham khảo : √ 8 5 Đường tròn (C) cắt trục Oy tại điểm N (0; 3) ⇒ M N = và phương trình MN : x + 2y − 6 = 0 5 Giả sử đường tròn (C) tiếp xúc với AB, AD tại điểm G và F ⇒ AGIF là hình vuông ⇒ AF = IF = 2. AMN là cát tuyến của (C) và AF là tiếp tuyến của (C) ⇒ AM.AN = AF 2 = 4 −−→ −−→ Vì A ∈ M N ⇒ A (6 − 2a; a) và AM .AN = 4 ( A nằm ngoài M và N )     4 13     a=5 A ; 16 23  5 5 ⇒ − − 6 + 2a (2a − 6) + − a (3 − a) = 4 ⇔  ⇒ ⇒ A (−4; 5) 13 5 5 a= A (−4; 5) 5 Giả sử điểm D (b; c). Gọi d là khoảng cách từ D đến AN ta có √ √ 1 |b + 2c − 6| √ SAN D = .d.AN = 10 ⇒ d = 2 5 ⇒ = 2 5 ⇒ |b + 2c − 6| = 10 2 5 − − → − → Ta có góc giữa AD và AI bằng 45o . AD = (b + 4; c − 5), AI = (1; −1) Tổng hợp các bài toán đặc sắc (1) 25 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  −−→ − c=5 → |b + 4 − c + 5| 1 cos AD, AI = √ q = √ ⇒ 2 b = −4 2. (b + 4)2 + (c − 5)2  b=6 D có hoành độ dương ⇒ D (6; 5) Với c = 5 thay vào (1) ⇒  b = −14 Phương trình AD đi qua điểm A và D ⇒ AD : y = 5. Phương trình CD đi qua D và vuông góc với AD ⇒ CD : x = 6   5 C là giao điểm của AC và CD ⇒ C (6; 0). Gọi I là tâm hình chữ nhật ⇒ I 1; 2 I là trung điểm của BD ⇒ B (−4; 0) Đề bài 31 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M (2; 1) là trung điểm của AC. Điểm H (0; −3) là chân đường cao hạ từ A, điểm E (23; −2) thuộc trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ đỉnh B biết đỉnh A thuộc đường thẳng (d) : 2x + 3y − 5 = 0 và điểm C có hoành độ dương. Lời giải tham khảo : Vì A ∈ (d) ⇒ A (3a + 1; 1 − 2a). M là trung điểm của AC ⇒ C (3 − 3a; 1 + 2a) −−→ −−→ H là chân đường cao hạ từ A ⇒ AH ⊥ CH ⇒ AH⊥CH  ⇒ (3a + 1) (3 − 3a) + (4 − 2a) (4 + 2a) = 0 ⇒   ⇒ −13a2  + 6a + 19 = 0 ⇒  a = −1 a= 19 13 C (6; −1)  ⇒ C (6; −1) ⇒ A (−2; 3)  18 51 C − ; 13 13 Phương trình đường trung tuyến kẻ từ C đi qua C và E ⇒ CE : x + 17y + 11 = 0 Phương trình đường thẳng BC đi qua C và H ⇒ BC : x − 3y − 9 = 0 Lấy điểm B ∈ BC ⇒ B (3b + 9; b)   3b + 7 b + 3 Trung điểm của AB là điểm N ; 2 2 N ∈ CE ⇒ 3b + 7 3+b + 11. + 11 = 0 ⇒ b = −4 ⇒ B (−3; −4) 2 2 Bài toán giải quyết xong. Tổng hợp các bài toán đặc sắc 26 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 32 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo AC là (d) : x + 7y − 31 = 0. Các đỉnh B, D lần lượt thuộc các đường thẳng (d1 ) : x + y − 8 = 0; (d2 ) : x − 2y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết hình thoi có diện tích bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm. Lời giải tham khảo : B ∈ (d1 ) ⇒ B (b; 8 − b) và D ∈ (d2 ) ⇒ D (2d − 3; d)  ABCD là hình thoi ⇒ trung điểm của BD ∈ AC. Gọi I là trung điểm của AC ⇒ I I ∈ AC ⇒ b + 2d − 3 8−b+d + 7. − 31 = 0 ⇒ 2b − 3d + 3 = 0 2 2 Mặt khác BD ⊥ AC ⇒ 7 (2d − 3 − b) − (d − 8 + b) = 0 ⇒ −8b + 13d − 13 = 0 ( ( √ b=0 B (0; 8) Từ (1) và (2) ⇒ ⇒ ⇒ BD = 5 2 d=1 D (−1; 1)   √ 1 1 9 S = .AC.BD = 75 ⇒ AC = 15 2. Tam của hình thoi là I − ; 2 2 2 √ AC 15 2 A ∈ AC ⇒ A (31 − 7a; a). Có IA = = 2 2 b + 2d − 3 8 − b + d ; 2 2  (1) (2) ⇒ IA2 = ... ⇒ tọa độ điểm A ⇒ tọa độ điểm C Bài toán giải quyết xong. Đề bài 33 : Trong mặt phẳng với  hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có A (1; 1) và AB = 4. 9 3 Gọi M là trung điểm của BC, K ;− là hình chiếu của D lên AM. Tìm tọa độ các đỉnh còn 5 5 lại của hình vuông biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 2. Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng AM đi qua A và K ⇒ AM : 2x + y − 3 = 0 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 27 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ √ 2 4 5 AK và AM = 2 5 ⇒ = Ta có AK = 5 AM 5 Lấy điểm M (m; 3 − 2m). Ta có −−→ 2 −−→ AK 2 = ⇒ AK = AM ⇒ M (3; −3) AM 5 5 Giả sử điểm B (a; b) với a > 2. ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BM ⇒ (a − 1) (a − 3) + (b − 1) (b + 3) = 0 ⇔ a2 − 4a + b2 + 2b = 0 AB = 4 ⇒ (a − 1)2 + (b − 1)2 = 16 ⇔ a2 − 2a + b2 − 2b = 14 (1) (2) Từ (1) và (2) ⇒ B (1; −3). M là trung điểm của BC ⇒ C (5; −3) Phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB ⇒ AD : y = 1 Phương trình đường thẳng CD đi qua C và vuông góc với BC ⇒ CD : x = 5 D là giao điểm của CD và AD ⇒ D (5; 1) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 34 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm trên đường thẳng (d) : x + y − 1 = 0. Điểm E (9; 4) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm √ F (−2; −5) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2 2. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thoi biết điểm C có hoành độ âm. Lời giải tham khảo : Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC cắt AC tại M và cắt AD tại N Phương trình đường thẳng EN đi qua E và vuông góc với AC ⇒ EN : x − y − 5 = 0 AC cắt EN tại điểm M ⇒ M (3; −2). M là trung điểm của EN ⇒ N (−3; −8) Phương trình đường thẳng AD đi qua F và N ⇒ AD : 3x − y + 1 = 0 A là giao điểm của AC và AD ⇒ A (0; 1) Lấy điểm C (c; 1 − c) ∈ AC ⇒ AC 2 = c2 + c2 = 8 ⇒ c = ±2 ⇒ C (−2; 3) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 28 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Gọi I là tâm của hình thoi ⇒ I là trung điểm của AC ⇒ I (−1; 2) Phương trình đường chéo BD đi qua điểm I và vuông góc với AC ⇒ BD : x − y + 3 = 0 D là giao điểm của AD và BD ⇒ D (1; 4). I là trung điểm của BD ⇒ B (−3; 0) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 35 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm C (5; 1), trung tuyến AM, điểm B thuộc đường thẳng (d) : x + y + 6 = 0. Điểm N (0; 1) là trung điểm của AM, điểm D (−1; −7) không nằm trên đường thẳng AM và khác phía so với đường thẳng BC đồng thời khoảng cách từ A và D tới đường thẳng BC bằng nhau. Xác định tọa độ điểm A và B. Lời giải tham khảo : − Giả sử → n = (a; b) là vtpt của đường thẳng BC ⇒ BC : ax + by − 5a − b = 0 |−6a − 8b| 2 |5a| =√ Ta có d (A, BC) = d (D, BC) = 2d (N, BC) ⇒ √ 2 2 a +b a2 + b2  1 a=− b 2 2  2 ⇒ 16a − 24ab − 16b = 0 ⇒ a = 2b X Với a = 2b ⇒ BC : 2x + y − 11 = 0 ( loại do N và D cùng phía với BC) 1 X Với a = − b ⇒ BC : x − 2y − 3 = 0 ( thỏa mãn ) 2 B là giao điểm của đường thẳng BC và (d) ⇒ B (−3; −3) M là trung điểm của BC ⇒ M (1; −1). N là trung điểm của AM ⇒ A (1; 3) Bài toán giải quyết xong. Tổng hợp các bài toán đặc sắc 29 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 36 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có A (−2; 6), đỉnh B nằm trên đường thẳng (d) : x − 2y + 6 = 0. Trên hai cạnh BC và CD lấy hai điểm M và N  sao choBM 2 14 . ; = CN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết AM và BN cắt nhau tại điểm I 5 5 Lời giải tham khảo : \ \ \ \ = 90o ⇒ BN ⊥ AM Ta có ∆ABM = ∆BCN ⇒ BM A = BN C ⇒ BM A + CBN Phương trình đường thẳng AI đi qua A và I ⇒ AI : 4x + 3y − 10 = 0 Phương trình đường thẳng BN đi qua I và vuông góc với AI ⇒ BI : 3x − 4y + 10 = 0 B là giao điểm của đường thẳng (d) và BI ⇒ B (2; 4) Phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AB ⇒ BC : 2x − y = 0 M là giao điểm của BC và AI ⇒ M (1; 2) √ √ 1 Ta có AB = 2 5, BM = 5 ⇒ BM = BC ⇒ M là trung điểm của BC 2 ⇒ tọa độ điểm C (0; 0) Giả sử H là tâm hình vuông ⇒ H là trung điểm của AC ⇒ H (−1; 3) H là trung điểm của BD ⇒ D (−4; 2) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 37 : Trongmặt phẳng  với hệ tọa độ Oxy cho hình vuôngABCD.Gọi E là trung điểm của 11 2 3 6 cạnh AD, điểm H ;− là hình chiếu của B lên CE và M ;− là trung điểm của BH. 5 5 5 5 Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A có hoành độ âm. Lời giải tham khảo : Tổng hợp các bài toán đặc sắc 30 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Gọi G là trung điểm của BC ⇒ GM là đường trung bình của tam giác BCH ⇒ GM // CE ABCD là hình vuông có E, G lần lượt là trung điểm của AD và BC ⇒ AG // CE Qua G có hai đường thẳng cùng song song với CE do đó A, G, M thẳng hàng hay AM ⊥ BH ⇒ phương trình đường thẳng AM : 2x + y = 0, phương trình đường thẳng CE : 2x + y − 4 = 0 M là trung điểm của BH ⇒ B (−1; −2) BM ED 1 = = ⇒ AM = 2BM AM CD 2 √ √ 4 5 8 5 Có BM = . Tam giác ABM vuông tại M có AM = 2BM = ⇒ AB = 4 5 5 Hai tam giác ABM và CED đồng dạng ⇒  2 2 Lấy điểm A (a; −2a) ∈ AM ⇒ AB = (a + 1) + (2 − 2a) = 16 ⇔ 5a2  − 6a − 11 = 0 ⇔  a = −1 a= 11 5 ⇒ A (−1; 2) ⇒ phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB ⇒ AD : y = 2 E là giao điểm của AD và CE ⇒ E (1; 2), E là trung điểm của AD ⇒ D (3; 2) Phương trình đường thẳng BC đi qua B và song song với AD ⇒ BC : y = −2 C là giao điểm của CE và BC ⇒ C (3; −2) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 38 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (−3; 4), đường phân giác trong góc A có phương trình (d) : x + y − 1 = 0 và tâm đường tròn ngoại tiếp là I (1; 7). Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích tam giác ABC gập bốn lần diện tích tam giác IBC. Lời giải tham khảo : Ta có IA = 5 ⇒ phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng (C) : (x − 1)2 + (y − 7)2 = 25 Phương trình phân giác góc A cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là D ⇒ D (−2; 3) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 31 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG AD là phân giác trong góc A nên D là trung điểm của cung nhỏ BC ⇒ ID ⊥ BC −−→ Phương trình đường thẳng BC nhận AD làm vtpt ⇒ phương trình BC có dạng : 3x + 4y + α = 0 Ta có diện tích tam giác ABC gấp 4 lần diện tích tam giác IBC nên d (A, BC) = 4d (I, BC)  114 α=− |7 + α| 31 + α  3 ⇔ = 4. ⇔ 131 5 5 α=− 5  9x + 12y − 114 = 0 Phương trình đường thẳng BC là  15x + 20y − 131 = 0 Bài toán giải quyết xong. Đề bài 39 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểm A (3; 5). Điểm H (1; 3) là hình chiếu của B lên AC và đường trung trực của BC có phương trình (d) : x+4y−5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành. Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng AC đi qua A và H ⇒ AC : x − y + 2 = 0 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 32 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng BH đi qua H và vuông góc với AC ⇒ BH : x + y − 4 = 0 Lấy điểm B (b; 4 − b) ∈ BH và C (c; c + 2) ∈ AC Đường thẳng (d) là trung trực của BC ⇒ BC ⊥(d) ⇒ 4 (c − b) − (c + b − 2) = 0 ⇔ 3c − 5b + 2 = 0   b+c 6−b+c ∈ AC Trung điểm của BC là điểm M ; 2 2 b+c 6−b+c + 4. − 5 = 0 ⇔ 5c − 3b + 4 = 0 2 2 ( ( b = −2 B (−2; 6) Từ (1) và (2) ⇒ ⇒ c = −4 C (−4; −2) ⇒ (1) (2) Gọi I là tâm của hình bình hành ⇒ D (1; −3) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 40 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD biết B (3; 3) , C (5; −3). Giao điểm I của hai đường cheo nằm trên đường thẳng (d) : 2x + y − 3 = 0. Diện tích tam giác ABC bằng 12. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang biết CI = 2BI, điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm. Lời giải tham khảo : Lấy điểm I (m; 3 − 2m) ∈ (d). Ta có IC = 2IB   ⇒ (m − 5)2 + (6 − 2m)2 = 4 (m − 3)2 + 4 (2m)2 ⇔  m=1 m=− 5 ⇒ I (1; 1) 3 Phương trình đường thẳng AC đi qua I và C ⇒ AC : x + y − 2 = 0. √ 1 SABC = .d (B, AC) .AC = 12 ⇒ AC = 6 2 2 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 33 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ Lấy điểm A (a; 2 − a) ∈ AC. Ta có AC = 6 2  a = 11 ⇒ (a − 5)2 + (5 − a)2 = 72 ⇒  ⇒ A (−1; 3) a = −1 Phương trình đường thẳng CD đi qua C và song song với AB ⇒ CD : y = −3 Phương trình đường thẳng BD đi qua B và I ⇒ BD : x − y = 0 D là giao điểm của BD và CD ⇒ D (−3; −3) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 41  : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, có trọng tâm 5 G ; −2 , bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5. B và C thuộc đường thẳng (d) : 4x+3y −9 = 0. 3 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo : 1 5 1 Gọi M là trung điểm của BC, ta có GM = AM = R = 3 3 3   5 5 2 25 ⇒ M thuộc đường tròn tâm G bán kính hay M ∈ (C) : x − + (y + 2)2 = 3 3 9 Tọa độ M là giao điểm của (C) và (d) ⇒ M (3; −1) Phương trình đường thẳng AM đi qua G và M ⇒ AM : 3x − 4y − 13 = 0 G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ AM = 3GM ⇒ A (−1; −4) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm M và R = 5 ⇒ (C1 ) : (x − 3)2 + (y + 1)2 = 25 B và C là giao điểm của (d) và (C1 ) ⇒ B (0; 3) , C (6; −5) và ngược lại Bài toán giải quyết xong. Tổng hợp các bài toán đặc sắc 34 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 42 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M (3; 2) nằm trên đường chéo BD. Từ M kẻ các đường thẳng ME và MF lần lượt vuông góc với AB tại E (3; 4) và AD tại F (−1; 2). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD. Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng AB đi qua E và vuông góc với ME ⇒ AB : y = 4 Phương trình đường thẳng AD đi qua F và vuông góc với MF ⇒ AD : x = −1 A là giao điểm của AB và AD ⇒ A (−1; 4) ABCD là hình vuông ⇒ ME = BE = 2 và AE = MF = 4 −→ −−→ Lấy điểm B (b; 4) ∈ AB. Có AE = 2EB ⇒ AE = 2EB ⇒ B (5; 4) Phương trình đường thẳng BD đi qua M và B ⇒ BD : x − y − 1 = 0 D là giao điểm của AD và BD ⇒ D (−1; −2) Gọi I là tâm của hình vuông ⇒ I là trung điểm của BD ⇒ I (2; 1) ⇒ C (5; −2) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 43 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) có tọa độ đỉnh B (2; 1). Đường cao AH có phương trình x + 2y − 10 = 0. Trên cạnh AC lấy điểm D \ cắt AH tại N. sao cho AB = CD. Kẻ DM vuông góc với AH tại M. Đường phân giác góc CBM Tìm tọa độ điểm N. Lời giải tham khảo : Từ D hạ DI vuông góc với BC ( I thuộc BC) \ = DCI [ ⇒ ∆ABH = ∆CDI ⇒ DI = BH Ta có BAH Tứ giác DMHI là hình chữ nhật ⇒ DI = MH do đó BH = MH hay tam giác BHM vuông cân Tổng hợp các bài toán đặc sắc 35 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH ⇒ BC : 2x − y − 3 = 0 r√ 2+2 o 2 Gọi α là góc tạo bởi BN và BH ta có cos 45 = 2 cos α − 1 ⇒ cos α = 4 Phương trình đường thẳng BN đi qua B và tạo với BC một góc α Đến đây bài toán đơn giản là viết phương trình đường thẳng tạo với đường thằng cho trước 1 góc cho trước ( cái này dành cho bạn đọc ) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 44 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ. Biết các điểm M (−3; −1) và N (2; −1) thuộc cạnh BC, Q thuộc cạnh AB, P thuộc cạnh AC, đường thẳng AB có phương trình x − y + 5 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC đi qua M và N ⇒ BC : y = −1 MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MN ⊥ MQ ⇒ phương trình MQ qua M và vuông góc BC ⇒ M Q : x = −3 Q là giao điểm của MQ và AB ⇒ Q (−3; 2) Phương trình PQ qua P và vuông góc với MQ ⇒ P Q : y = 2 Phương trình NP qua N và vuông góc với MN ⇒ N P : x = 2 P là giao điểm của PQ và NP ⇒ P (2; 2) Phương trình đường thẳng AC đi qua P và vuông góc với AB ⇒ AC : x + y − 4 = 0 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 36 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  1 9 A là giao điểm của AB và AC ⇒ A − ; 2 2  C là giao điểm của BC và AC ⇒ C (5; −1) Bài toán giải quyết xong.   3 1 Đề bài 45 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có I ; và E (1; 0) lần 2 16 lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Đường tròn (T ) tiếp xúc với các cạnh BC và các cạnh AB, AC kéo dài có tâm là F (2; −8). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết A có tung độ âm. Lời giải tham khảo : Gọi D, K là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn tâm I \ = BED \ ⇒ ∆EDB cân tại D Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên trong đường tròn ta có EBD \ Ta có đường tròn tâm F tiếp xúc với BC và các cạnh AB, AC kéo dài ⇒ AF là phân giác của góc BAC \ và BF là phân giác ngoài của góc ABC ⇒ A, E, F thẳng hàng và BE ⊥ BF. Tam giác BEF vuông tại B có BD = DE ⇒ D là trung điểm của EF   3 D là trung điểm của EF ⇒ D ; −4 . Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2   2    3 2 1 2 65 (C) : x − + y− = 2 16 16 Phương trình đường thẳng AF đi qua E và F ⇒ AF : 8x + y − 8 = 0 A là giao điểm của đường tròn (C) và AF ⇒ A (...) Giả sử điểm B (a; b). Ta có B ∈ (C) ⇒ 1 phương trình Tổng hợp các bài toán đặc sắc 37 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG BE ⊥ BF ⇒ 1 phương trình. Từ đó ta có điểm B Bài toán giải quyết xong. ( Bài này lười tính hihi ) Đề bài 46 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M (3; −1) là trung điểm của BC. Đường thẳng AC đi qua điểm F (1; 3). Điểm E (−1; −3) thuộc đường cao xuất phát từ B. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết điểm D (4; −2) là điểm đối xứng với điểm A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải tham khảo : D đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ⇒ AD là đường kính ⇒ CD ⊥ AC Giả sử C (a; b). M là trung điểm của BC ⇒ B (6 − a; −2 − b) −−→ −−→ Ta có CD ⊥ AC ⇒ CF ⊥CD ⇒ (4 − a) (1 − a) + (3 − b) (−2 − b) = 0 ⇔ a2 − 5a + b2 − b − 2 = 0 (1) −−→ −−→ E thuộc đường cao hạ từ B ⇒ BE ⊥ AC ⇒ BE⊥CF ⇒ (1 − a) (7 − a) + (1 − b) (3 − b) = 0 ⇔ a2 − 8a + b2 − 4b + 10 = 0  a = 5; b = −1 Từ (1) và (2) ⇒  ⇒ C (5; −1) ⇒ B (1; −1) a = 4; b = −2 (2) Phương trình đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với BD ⇒ AB : 3x − y − 4 = 0 Phương trình đường thẳng AC đi qua C và F ⇒ AC : x + y − 4 = 0 A là giao điểm của AB và AC ⇒ A (2; 2) Bài toán giải quyết xong. Tổng hợp các bài toán đặc sắc 38 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 47 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh A (−4; 5) và phương trình một đường chéo là (d) : 7x − y + 8 = 0. Viết phương trình cách cạnh của hình vuông ABCD. Lời giải tham khảo : Ta có A không nằm trên (d) ⇒ (d) là phương trình đường chéo BD Phương trình đường chéo AC đi qua A và vuông góc với (d) ⇒ AC : x + 7y − 31 = 0   1 9 Tâm I của hình vuông là giao điểm của AC và BD ⇒ I − ; 2 2 I là trung điểm của AC ⇒ C (3; 4) √ √ 5 2 Ta có AC = 5 2 ⇒ hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính R = 2 2  2  1 9 25 + y− = ⇒ (C) : x + 2 2 2 B và D là giao điểm của (d) và (C) ⇒ B và D có tọa độ (−1; 1) ; (0; 8) Đến đây bài toán quá đơn giản dành cho bạn đọc. Đề bài 48 : Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ  Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi M 10 là trung điểm của cạnh CD. Điểm G 2; là trọng tâm tam giác BCM. Tìm tọa độ các đỉnh 3 của hình chữ nhật biết phương trình đường thẳng AM : x − 1 = 0. Lời giải tham khảo : Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD và M là trung điểm của CD ⇒ AD = CM = DM = BC ⇒ ∆BCM vuông cân tại M ⇒ CG ⊥ BM ( G là trong tâm ) Dễ thấy BM ⊥ AM ⇒ AM // CG ( cùng vuông góc với BM) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 39 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình CG đi qua G và song song với AM ⇒ CG : x − 2 = 0 Gọi H là trung điểm của BM. Ta có độ dài đoạn MH chính là khoảng cách giữa AM và CG ⇒ MH = 1 r √ √ √ 2 5 2 2 5 ⇒ BM = 2 ⇒ BC = CM = 2 ⇒ CN = ⇒ MN = ⇒ MG = MN = √ 2 2 3 3 2    m=3 10 2 10  2 2 Lấy điểm M (1; m) ∈ AM ⇒ M G = (1 − 2) + m − = ⇒ 11 3 9 m= 3 Với m = 3 ⇒ M (1; 3). Phương trình MH đi qua M vuông góc với AM ⇒ M H : x = 3 ⇒ H (2; 3) H là trung điểm của MB ⇒ B (3; 3) −−→ 1 −−→ 1 Lấy điểm C (2; c) ∈ CG ta có HG = CG ⇒ HG = HC ⇒ C (2; 4) 3 3 M là trung điểm của CD ⇒ D (0; 2) Phương trình AD đi qua điểm D và vuông góc với CD ⇒ AD : x + y − 2 = 0 A là giao điểm của AM và AD ⇒ A (1; 1) Với m = 11 xét tương tự. Bài toán giải quyết xong. 3 Đề bài 49 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A (1; 2), điểm C nằm trên đường thẳng (d) : 2x − y − 5 = 0 và AB = 2AD. Gọi M là điểm nằm trên cạnh CD sao cho DM = 2CM. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết phương trình cạnh BM : 5x + y − 19 = 0. Lời giải tham khảo : 2x 1 Đặt AD = BC = x ⇒ CD = AB = 2x ⇒ CM = CD = ⇒ BM = 3 3 √ 13x 3 BC 2 3 \ \ \ = √2 ⇒ cos M BC = = √ ⇒ sin M BC = √ ⇒ cos ABM BM 13 13 13 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 40 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG − \ . Gọi → Góc giữa AB và BM chính là góc ABM n = (a; b) là vtpt của đường thẳng AB  a = −b \ = √ |5a + b|√ = √2 ⇒ 17a2 + 10ab − 7b2 = 0 ⇒  ⇒ cos ABM  7 13 a2 + b2 . 26 a= b 17 − − Với a = −b ⇒ → n = (1; −1). Phương trình đường thẳng AB đi qua A có vtpt → n ⇒ AB : x − y + 1 = 0 B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (3; 4) Phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AB ⇒ BC : x + y − 7 = 0 C là giao điểm của BC và (d) ⇒ C (4; 3) Phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB ⇒ AD : x + y − 3 = 0 Phương trình đường thẳng CD đi qua C và vuông góc với BC ⇒ CD : x − y − 1 = 0 D là giao điểm của AD và CD ⇒ D (2; 1) Trường hợp còn lại chúng ta làm tương tự. Bài toán giải quyết xong. Đề bài 50 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ tử đỉnh A và đường thẳng BC có phương trình lần lượt là (d1 ) : 3x + 5y − 8 = 0; (d2 ) : x − y − 4 = 0. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai D (4; −2). Viết phương trình các cạnh AB và AC biết hoành độ điểm B lớn hơn 3. Lời giải tham khảo :  Trung điểm M của BC là giao điểm của (d1 ) và (d2 ) ⇒ M 7 1 ;− 2 2  Phương trình đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với BC ⇒ AD : x + y − 2 = 0   5 1 A là giao điểm của AD và AM ⇒ A (1; 1). Giả sử N là trung điểm của AD ⇒ N ;− 2 2 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 41 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình trung trực của AD đi qua N và vuông góc với AD ⇒ (d3 ) : x − y − 3 = 0 Phương trình trung trực của BC đi qua M và vuông góc với BC ⇒ (d4 ) : x + y − 3 = 0 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ I là giao điểm của (d3 ) và (d4 ) ⇒ I (3; 0) ⇒ IA = √ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là I và bán kính R = 5 √ 5 ⇒ (C) : (x − 3)2 + y 2 = 5 Tọa độ B và C là giao điểm của (C) và (d2 ) ⇒ B, C có tọa độ (5; 1) ; (2; −2) Hoành độ B lớn hơn 3 ⇒ B (5; 1) ; C (2; −2) Bài toán giải quyết xong. Tổng hợp các bài toán đặc sắc 42 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 51 : Trong  phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình  thoi ABCD có tâm I (3; 3) và AC  mặt 13 4 thuộc đường thẳng AB, điểm N 3; thuộc đường thẳng CD. Viết = 2BD. Điểm M 2; 3 3 phương trình đường chéo BD biết điểm B có hoành độ nhỏ hơn 3. Lời giải tham khảo :   5 Gọi P là điểm đối xứng với N qua I ⇒ P 3; và P thuộc đường thẳng AB 3 Phương trình đường thẳng AB đi qua M và P ⇒ AB : x − 3y + 2 = 0 √ [ = IB = √1 Ta có AC = 2BD ⇒ AI = 2BI. Tam giác ABI vuông tại I ⇒ AB = BI 5 và cos ABI AB 5 −−→ − Gọi → n = (a; b) là vtcp của đường thẳng BD. Ta có M P = (3; 1) là vtcp của đường thẳng AB.  −−→ − [ hay cos ABI [ = cos → ⇒ Góc giữa AB và BD là góc ABI n , MP  a = −b 1 |3a + b|  2 2 √ √ = ⇒ 7a + 6ab − b = 0 ⇒  ⇒√ b 5 10. a2 + b2 a= 7 − − Với a = −b chọn → n = (1; −1). Phương trình BD đi qua I và có vtcp → n ⇒ BD : x + y − 6 = 0 B là giao điểm của AB và BD ⇒ B (4; 2) b − − chọn → n = (1; 7). Phương trình BD đi qua I và có vtcp → n ⇒ BD : 7x − y − 18 = 0 7   14 8 B là giao điểm của AB và BD ⇒ B ; 5 5 Với a = Bài toán giải quyết xong. Nguyễn Minh Tiến 2 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 52 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết tọa độ  trực tâm,  tâm đường tròn ngoại tiếp 5 5 của cạnh BC. Hãy xác định tam giác ABC lần lượt là H (2; 2) , I (1; 2) và trung điểm M ; 2 2 tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết xB > xC ( với xB , xC là hoành độ của điểm B và C). Lời giải tham khảo : Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ ba điểm G, H, I thẳng hàng và 2HI = 3HG   −→ −−→ 4 ;2 Phương trình đường thẳng HI : y = 2. G ∈ HI ⇒ G (g; 2) và 2HI = 3HG ⇒ G 3 Phương trình đường thẳng AG đi qua G và M ⇒ AG : 3x − 7y + 10 = 0 G là trọng tâm ⇒ AG = 2GM và điểm A ∈ AG ⇒ A (−1; 1) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 5 Phương trình đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với IM ⇒ BC : 3x + y − 10 = 0 Tọa độ B và C là giao điểm của BC và (C) ⇒ B (3; 1) , C (2; 4) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 53 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C (−1; −1), phương trình √ cạnh AB là x + 2y − 5 = 0 và AB = 5. Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng (d) : x + y − 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC. Lời giải tham khảo : ( đây là một bài tương đối dễ ) Gọi A (5 − 2a; a) ∈ AB và B (5 − 2b; b) ∈ AB ⇒ AB 2 = 5 (a − b)2 = 5 ⇔ a − b = ±1 (1)  Tọa độ trọng tâm G của tam giác là G ⇒a+b=2 10 − 2a − 2b − 1 a + b − 1 ; 3 3  ∈ (d) (2) Từ (1) và (2) ⇒ a = ...; b = ... ⇒ A, B Nguyễn Minh Tiến 3 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 54 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I, điểm K (0; 2) thuộc đoạn IA. M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD và cùng nằm trên đường thẳng (d) : x − 1 = 0. Q là giao điểm của KM với BC. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm H (4; 8) thuộc đường thẳng NQ. Lời giải tham khảo : − \ = 45o Gọi → n = (a; b) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AC. Ta có AIM  a=b 1 a \= √ = √ ⇔ ⇒ cos AIM 2 a2 + b2 a = −b − − X Với a = b ⇒ → n = (1; 1) phương trình AC đi qua K có vtpt → n ⇒ AC : x + y − 2 = 0 ⇒ I (1; 1) Lấy điểm A (a; 2 − a) ∈ AC phương trình AB đi qua A và vuông góc với (d) : x − 1 = 0 ⇒ AB : y + a − 2 = 0 M là giao điểm của AB và MN ⇒ M (1; 2 − a) ⇒ B (2 − a; 2 − a) I là giao điểm của AC và MN ⇒ I (1; 1). I là trung điểm của MN ⇒ N (1; a) Phương trình đường thẳng BC đi qua B và song song với MN ⇒ BC : x = 2 − a Phương trình đường thẳng KM đi qua M và K ⇒ KM : ax + y − 2 = 0
Q là giao điểm của KM và BC ⇒ Q 2 − a; a2 − 2a + 2 −−→ −−→ Điểm H thuộc đường thẳng QN ⇒ N H = αN Q ⇒ 3 a−8 = 2 ⇔ a2 = 1 ⇔ a = ±1 a−1 a − 3a + 2 – Với a = 1 ⇒ A (1; 1) loại vì trùng với điểm I – Với a = −1 ⇒ A (−1; 3) ⇒ B (3; 3) ⇒ C (3; −1) , D (−1; −1) X Với a = −b xét tương tự Đề bài 55 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Điểm M (1; 2) là trung điểm của cạnh AB, điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN = 3NC. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết phương trình đường thẳng DN là x + y − 1 = 0 và hoành độ điểm A lớn hơn 1. Lời giải tham khảo : Nguyễn Minh Tiến 4 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ AC a 2 a = Gọi a > 0 là độ dài cạnh hình vuông ABCD ⇒ AM = ; CN = 2 4 4 Tam giác AMD vuông tại A ⇒ DM 2 = a2 + a2 5a2 = 4 4 5a2 \ Tam giác AMN có M N 2 = AN 2 + AM 2 − 2AM.AN. cos M AN = 8 5a2 \ Tam giác CDN có DN 2 = CD2 + CN 2 − 2.DN.CN. cos N CD = 8 ⇒ tam giác DMN có DM 2 = M N 2 + DN 2 ⇒ tam giác DMN vuông tại N Phương trình đường thẳng MN đi qua M và vuông góc với DN ⇒ M N : x − y + 1 = 0 N là giao điểm của MN và DN ⇒ N (0; 1) ⇒ M N 2 = 2 = 5a2 4 ⇒ a = √ ⇒ DM = 2 8 5 Điểm D ∈ DN ⇒ D (d; 1 − d) ⇒ DM 2 = (d − 1)2 + (d + 1)2 = 4 ⇔ d = ±1 X Với d = 1 ⇒ D (1; 0). Gọi điểm A (a; b) 4 16 Ta có AD = a = √ ⇒ (a − 1)2 + b2 = 5 5 (1) a 2 4 = √ ⇒ (a − 1)2 + (b − 2)2 = (2) 2 5 5  1   a= 9 8  5 Từ (1) và (2) ⇒  ⇒A ; ( do hoành độ điểm A lớn hơn 1) 9 5 5 a= 5   1 12 M là trung điểm của AB ⇒ B ; 5 5 AM = Phương trình đường thẳng AC đi qua A và N ⇒ AC : x − 3y + 3 = 0 Phương trình đường thẳng CD đi qua D và vuông góc với AD ⇒ CD : x + 2y − 1 = 0   3 4 C là giao điểm của CD và AC ⇒ C − ; 5 5 X Với d = −1 xét tương tự ( trường hợp này loại ) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 56 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABCD là hình thang vuông tại A và D có BC = 2AB = 2AD. Trung điểm của BC là điểm M (1; 0), đường thẳng AD có phương trình √ x − 3y + 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A biết DC > AB Lời giải tham khảo : Gọi N là trung điểm của AD ⇒ MN ⊥ AD. Phương trình MN đi qua M và vuông góc với AD √ √ √
⇒ M N : 3x + y − 3 = 0. N là giao điểm của AD và MN ⇒ N 0; 3 ⇒ M N = 2 Nguyễn Minh Tiến 5 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Gọi AB = AD = x ⇒ BC = 2x. Gọi H là hình chiếu của B lên CD ⇒ AB = BH = x √ Tam giác BCH vuông tại H ⇒ CE = x 3. MN là đường trung bình của hình thang ABCD √
√ ⇒ 2M N = AB + CD = x + x + x 3 = 4 ⇒ x = 4 2 − 3 √
√
2 √
2 A thuộc đường tròn tâm N bán kính R = 4 2 − 3 ⇒ (C) : x2 + y − 3 = 4 2 − 3 A là giao điểm của AD và (C). Bài toán giải quyết xong. Đề bài 57 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 96. Gọi M (2; 0) là trung điểm của AB, phân giác trong góc A có phương trình (d) : x − y − 10 = 0. Đường 3 thẳng AB tạo với đường thẳng (d) một góc α thỏa mãn cos α = . Xác định tọa độ các đỉnh của 5 tam giác ABC. Lời giải tham khảo : − Giả sử → n = (a; b) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AB  a = 7b |a − b| 3  2 2 √ √ ⇒ cos α = = ⇔ 7a − 10ab + 7b = 0 ⇔  b 5 2. a2 + b2 a= 7 − − X Với a = 7b ⇒ → n = (7; 1) phương trình AB đi qua M và có vtpt → n ⇒ AB : 7x + y − 14 = 0 A là giao điểm của AB và (d) ⇒ A (3; 7). M là trung điểm của AB ⇒ B (1; 7) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt (d) tại I và cắt AC tại N ⇒ M N : x + y − 2 = 0 I là giao điểm của MN và (d) ⇒ I (6; −4). I là trung điểm của MN ⇒ N (10; −8) Nguyễn Minh Tiến 6 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng AC đi qua A và N ⇒ AC : x + 7y + 46 = 0 √ 96 AB = 10 2; d (B, AC) = √ . Diện tích tam giác ABC là 50 √ 1 S = .AC.d (B, AC) = 96 ⇒ AC = 10 2 ⇒ C (17; −9) 2 X Với a = b xét tương tự 7 Bài toán giải quyết xong. Đề bài 58 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BC là (d) : x − 3y + 13 = 0, điểm M (−1; −1) thuộc cạnh AB và nằm ngoài đoạn AB, điểm N (3; 2) thuộc đường thẳng AC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo : − Gọi → n = (a; b) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AB. Tam giác ABC vuông cân tại A  a = −2b − 3b| 1  \ = √ |a√ ⇒ cos ABC = √ ⇔ 4a2 + 6ab − 4b2 = 0 ⇔  b 2 10. a2 + b2 a= 2 − X Với a = −2b ⇒ → n = (2; −1). Phương trình đường thẳng AB : 2x − y + 1 = 0 B là giao điểm của AB và BC ⇒ B (2; 5) Đường thẳng AC đi qua N và vuông góc với AB ⇒ AC : x + 2y − 7 = 0 ⇒ A (1; 3) Ta có xM < xA < xB ⇒ M nằm ngoài A và B ⇒ thỏa mãn C là giao điểm của BC và AC ⇒ C (−1; 4) X Với b = 2a xét tương tự ( trường hợp này loại ) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 59 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểm M (−3;  0) là  4 trung điểm của cạnh AB, điểm H (0; −1) là hình chiếu vuông góc của B lên AD và điểm G ;3 3 là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D của hình bình hành. Lời giải tham khảo : −−→ −→ Gọi I (a; b) là tâm của hình bình hành, khi đó ta có CG = 2GI ⇒ C (4 − 2a; 9 − 2b) I là trung điểm của AC ⇒ A (4a − 4; 4b − 9). M là trung điểm của AB ⇒ B (−4a − 2; 9 − 4b) I là trung điểm của BD ⇒ D (6a + 2; 6b − 9) −−→ −−→ −−→ Ta có HA = (4a − 4; 4b − 8) ; BH = (4a + 2; 4b − 10) ; AD = (2a + 6; 2b) Nguyễn Minh Tiến 7