Toán 11 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, trường THPT Quốc Oai - Hà Nội

Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  và x0   a; b  . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y  f  x  tại x0 và kí hiệu là f   x0  (hoặc y  x0  ), tức là f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 y . x  0 x Chú ý: Nếu x  x  x0 và y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  thì f   x0   lim  x gọi là số gia của đối số tại điểm x0 .  y gọi là số gia của hàm số tương ứng. 2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Bước 1. Giả sử x là số gia của đối số tại x0 , tính y  f  x0  x   f  x0  Bước 2. Lập tỉ số Bước 3. Tìm lim x  0 y x y và kết luận. x 3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lí 1 Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0 . Chú ý: a) Nếu y  f  x  gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0 . b) Nếu y  f  x  liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0 . Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 2 Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0T của đồ thị hàm số tại điểm M 0  x0 ; f  x0   . Định lí 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M 0  x0 ; f  x0   là : y  y0  f '  x0  x  x0  trong đó y0 f x0 . 5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm Vận tốc tức thời: v  t0   s,  t0  Cường độ tức thời: I  t0   Q'  t0  II – ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số y  f  x  được gọi là có đạo hàm trên khoảng  a; b  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số f ' :  a; b   x f '  x là đạo hàm của hàm số y  f  x  trên khoảng  a; b  , kí hiệu là y, hay f '  x  . III. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: 1. Tính đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x0 bằng định nghĩa. Cách 1: - Tính lim x  x0 f  x   f  x0  (1). x  x0 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin - Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại x0 và ngược lại thì hàm số không có đạo hàm tại x0 . Cách 2: Tính theo số gia. - Cho x0 một số gia x : x  x  x0  y  f  x0  x   f  x0  . - Lập tỉ số y . x y . x  0 x 2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm. - Tính giới hạn lim - Hàm số y  f  x  liên tục tại điểm x0  lim f  x   f  x0   lim  0 . - Hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0  y  f  x  liên tục tại điểm x0 . - Hàm số y  f  x  liên tục tại điểm x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm x0 . x  x0 x 0 Ví dụ 1. Cho hàm số f  x   x  1 . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0  1 . A. 2 . 4 B. 2 . 2 C. 2 2 . D. 2 . 3 Lời giải Đáp án A. Cách 1: Xét lim x 1 f  x   f 1 x 1  2  lim x 1 x 1 x 1  lim x 1  x  1  x 1 x 1  2   lim x 1 2 1 1 .   4 x 1  2 2 2 Cách 2: y  f  x  1  f 1  x  2  2 . y x  2  2 .  x x lim x 0 y x  2  2  lim  lim  x  0 x 0 x x x  x 2  x  2   lim x 0 1 2 .  4 2  x  2 Ví dụ 2. Khi tính đạo hàm của hàm số f  x   x 2  5x  3 tại điểm x0  2 , một học sinh đã tính theo các bước sau: Bước 1: f  x   f  2   f  x   11. Bước 2: f  x   f  2  x 2  5 x  3  11  x  2  x  7     x7. x2 x2 x2 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM f  x   f  2  lim  x  7   9 . Vậy f   2   9 . x 2 x2 Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào. A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3 . Bước 3: lim x 2 D. Tính toán đúng. Lời giải Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng. Ví dụ 3. Số gia của hàm số f  x   x 2 ứng với số gia x của đối số x tại x0  1 là: A.  x   2x  1 . B.  x   2x  2 . 2 2 C.  x   2x . D.  x   2x . 2 2 Lời giải Đáp án D. Với số gia x của đối số x tại điểm x0  1 , ta có: y   1  x   1   x   2x . 2 2 Ví dụ 4. Cho hàm số f  x   x 2  x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại x0 là:   A. lim  x   2 x0 .x  x . B. lim  x  2 x0  1 . C. lim  x  2 x0  1 . D. lim  x   2 x0 .x  x . x 0 2 x  0 x 0 x 0   2 Lời giải Đáp án B. Ta có: y   x0  x    x0  x    x02  x0    x   2 x0 .x  x 2 2 y  lim  x  2 x0  1 . x 0 x x 0  f   x0   lim Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x  có đao hàm tại điểm x0 là f   x0  . Khẳng định nào sau đây là sai. A. f   x0   lim f  x   f  x0  . x  x0 B. f   x0   lim f  x0  x   f  x0  . x C. f   x0   lim f  x  h   f  x0  . h D. f   x0   lim f  x  x0   f  x0  . x  x0 x  x0 h 0 x 0 x  x0 Lời giải Đáp án D. - A đúng theo định nghĩa. - B đúng vì x  x  x0 nên x  x0  x  0 . - C đúng. Đặt h  x  x  x0  x  h  x0 , h  0 khi x  x0 . f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  f  x  h   f  x0  f  x0  h   f  x0   lim  lim . h 0 h 0 h x  x0 h  x0  x0 - Vậy D sai. Ví dụ 6. Xét ba mệnh đề sau: Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM (1) Nếu hàm số f  x  có đạo hàm tại điểm x  x0 thì f  x  liên tục tại điểm đó. (2) Nếu hàm số f  x  liên tục tại điểm x  x0 thì f  x  có đạo hàm tại điểm đó . (3) Nếu hàm số f  x  gián đoạn tại điểm x  x0 thì chắc chắn f  x  không có đạo hàm tại điểm đó . Trong ba mệnh trên: A. (1) và (3) đúng. B. (2) đúng. C. (1) và (2) đúng . D. (2) và (3) đúng. Lời giải Đáp án A. Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số f  x   x có tập xác định D  , nhưng ta có: lim x 0 nên hàm số liên tục trên f  x   f  0 f  x   f  0  1 và lim  1 nên hàm số không có x 0 x0 x0 đạo hàm tại x  0 . Ví dụ 7. Cho hàm số y  f  x   A. 2 . x2  x  1 x B. 1 . . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0  1 . C. 0 . D. Không tồn tại. Lời giải Đáp án D. Hàm số liên tục tại x0  1 . Ta có lim x 1 f  x   f  1 x2  2 x  1  lim 0 x 1 x 1 x  x  1 (1). f  x   f  1 x2 1 lim  lim  2 (2). x 1 x 1 x  x  1 x 1 Từ (1) và (2)  hàm số không có đạo hàm tại điểm x0  1 . Chú ý : Hàm số f  x  có đạo hàm tại x0  f   x0   f   x0   f   x0  3  4  x Ví dụ 8. Cho hàm số f  x    1 A. 1 . 4 B. khi x  0 khi x  0 1 . 16 . Khi đó f   0  là kết quả nào sau đây? C. 1 . 2 Lời giải Đáp án A. Ta có: lim x 0 f  x   f  0 2 4 x 1 1  lim  lim  . x  0 x  0 x0 x 2 4 x 4 D. 2 . Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM khi x  1  x Ví dụ 9. Cho hàm số f  x    2 . Khi đó f  1 là kết quả nào sau đây. khi x  1  x 1 A. . B. 1 . C. 2 . D. f  1 không 2 tồn tại. Lời giải Đáp án D. Ta có: f 1  12  1 . f  1   lim x 1 x 1 1 1 x2 1  lim  và f  1   lim  lim  x  1  2 . x 1 x  1 x 1 x  1 x1 x  1 2 Vì f ' 1   f ' 1  nên hàm số f  x  không tồn tại đạo hàm tại x0  1 . Ví dụ 10. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai. A. Hàm số có đạo hàm tại x  0 . C. Hàm số có đạo hàm tại x  2 . B. Hàm số có đạo hàm tại x  1 . D. Hàm số có đạo hàm tại x  3 . Lời giải Đáp án B. Tại x  1 đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục. Vậy hàm số không có đạo hàm tại x  1 . Chú ý : - Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một đường liền trên khoảng đó. - Hàm số không liên tục tại điểm x0 thì không có đạo hàm tại x0 .  x2  1 khi x  1  Ví dụ 11. Tìm a để hàm số f  x    x  1 có đạo hàm tại điểm x  1 . a khi x  1  A. a  2 . B. a  2 . C. a  1 . Lời giải D. a  1 . 2 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM Đáp án B. Để hàm số có đạo hàm tại x  1 thì trước hết f  x  phải liên tục tại x  1 . x2 1 2 f  x   f 1 x 1 x  1  . Khi đó lim  2  f 1  a f 1  lim  lim  1. x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 Vậy a  2 .  x2 1 khi x  0  Ví dụ 12. Tìm a, b để hàm số f  x    x  1 có đạo hàm tại điểm x  0 . ax  b khi x  0  a  11 A.  . b  11 a  10 B.  . b  10 a  12 C.  . b  12 a  1 D.  . b  1 Lời giải Đáp án D. Trước tiên hàm số phải liên tục tại x  0 lim f ( x)  1  f (0), lim f ( x)  b  b  1 x  0 x 0 Xét lim x 0 lim x 0 f ( x)  f (0) x 1  lim  1 x 0 x  1 x f ( x)  f (0)  lim a  a x 0 x Hàm số có đạo hàm tại x  0  a  1 ax 2  bx  1 khi x  0 Ví dụ 13. (VDC) Tìm a, b để hàm số f ( x)   a s in x  b cos x khi x  0 x0  0 A. a  1; b  1 . B. a  1; b  1 . C. a  1; b  1 . Lời giải Đáp án A Ta có: f (0)  1 lim f ( x)  lim (ax 2  bx  1)  1 x 0  x 0 lim f ( x)  lim (a s in x  b cos x)  b x 0  x 0 Để hàm số liên tục thì b  1 có đạo hàm tại điểm D. a  0; b  1 . Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin f (0 )  lim x 0 Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM ax 2  x  1  1 1 x x x x 2a sin cos  2sin 2 a s inx  b cos x  1 2 2 2 f (0 )  lim  lim x 0 x 0 x x x x sin sin x 2 . lim  a cos x   lim 2  lim sin  a  x 0 x . xlim  x 0 x x 0   0 2 2 2 2   Để tồn tại f (0)  f (0 )  f (0 )  a  1 s inx s inf(x)  1  lim 1 f ( x )  0 x f ( x) Ví dụ 14. Cho hàm số f ( x)  x( x  1)( x  2)...( x  1000) . Tính f (0) . Giới hạn lượng giác Chú ý : A. 10000! . B. 1000! . lim x 0 C. 1100! . Lời giải D. 1110! . Đáp án B. f ( x)  f (0) x( x  1)( x  2)...( x  1000)  0  lim  lim( x  1)( x  2)...( x  1000) x 0 x 0 x 0 x0 x  (1)(2)...(1000)  1000! f ( x)  lim Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x  1  x – 2  tại điểm có hoành độ 2 Ví dụ 15. x  2 là A. y  –8 x  4 . B. y  9 x  18 . C. y  –4 x  4 . D. y  9 x  18 . Lời giải Chọn D. Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm. Ta có x0  2  y0  0 .  x – 2   x3  3x  2 . Bằng định nghĩa ta tính được y  2  9 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  9  x  2   0  y  9 x  18 . y   x  1 Ví dụ 16. 2 Điểm M trên đồ thị hàm số y  x3 – 3x 2 –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là A. M 1; –3 , k  –3 . B. M 1;3 , k  –3 . C. M 1; –3 , k  3 . D. M  1; –3 , k  –3 . Lời giải Chọn A. Gọi M  x0 ; y0  . Bằng định nghĩa ta tính được y  x0   3x02  6 x0 . Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là k  y  x0   3x02  6 x0  3  x0  1  3  3 2 Vậy k bé nhất bằng 3 khi x0  1 , y0  3 . A. y  28 x  59 ; y  x  1 . 3x  4 là : x 1 B. y  –24 x  51 ; y  x  1 . C. y  28 x  59 . D. y  28 x  59 ; y  24 x  51 . Ví dụ 17. Tiếp tuyến kẻ từ điểm  2;3 tới đồ thị hàm số y  Lời giải Chọn C. Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm. Bằng định nghĩa ta tính được : y  x0   7  x0  1 2 . 3x  4 tại điểm M  x0 ;y0    C  với x0  1 là: x 1 3x  4 7 . y  y  x0  x  x0   y0  y  x  x0   0 2  x0  1  x0  1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  Vì tiếp tuyến đi qua điểm  2;3 nên ta có 3  7  x0  1 2  2  x0   3 3x0  4  x0  . 2 x0  1 Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y  –28 x  59 . IV . BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Số gia của hàm số f ( x)  x3 ứng với x0  2 và x  1 bằng bao nhiêu? Câu 2. A. 19 . B. 7 . C. 19 . y Tỉ số của hàm số f ( x)  2 x( x  1) theo x và x là: x A. 4 x  2x  2 . B. 4 x  2(x)2  2 . D. 4 x.x  2(x) 2  2x . C. 4 x  2x  2 . Câu 3. Số gia của hàm số f ( x)  x 2  4 x  1 ứng với x và x là: A. x(x  2 x  4) . Câu 4. Câu 5. D. 7 . B. 2x  x . C. x(2 x  4x) .  x2  1 1 khi x  0  Cho hàm số f ( x) xác định: f ( x)   x 0 khi x  0  1 1 A. . B.  . C. 2 . 2 2 Cho hàm số f ( x) xác định trên f (1) bằng: \ 2 D. 2 x  4x . .Giá trị f (0) bằng: D. Không tồn tại.  x3  4 x 2  3x khi x  1  bởi f ( x)   x 2  3x  2 0 khi x  1  .Giá trị Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Câu 6. Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM 3 A. . B. 1 . C. 0 . 2 Xét hai mệnh đề: ( I ) f ( x) có đạo hàm tại x0 thì f ( x) liên tục tại x0 . D. Không tồn tại. ( II ) f ( x) có liên tục tại x0 thì f ( x) đạo hàm tại x0 . Câu 7. Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ ( I ) . B. Chỉ ( II ) . đúng. Cho đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ: C. Cả hai đều sai. Hàm số không có đạo hàm tại các điểm nào sau đây? A. x  0 . B. x  1 . C. x  2 . Câu 8. Câu 9. D. Cả hai đều D. x  3 .  x3  2 x 2  x  1  1 khi x  1  Cho hàm số f ( x)   .Giá trị f (1) bằng: x 1 0 khi x  1  1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 5 2 4 khi x  1 2 x  3  3 Cho hàm số f ( x)   x  2 x 2  7 x  4 .Giá trị f (1) bằng: khi x  1  x 1  A. 0 . B. 4 . C. 5 . D. Không tồn tại. Câu 10. Cho hàm số f ( x) xác định trên   x khi x  0  bởi f ( x)   x 0 khi x  0  ( I ) f (0)  1 . ( II ) Hàm số không có đạo hàm tại x0  0 . Mệnh đề nào đúng? Xét hai mệnh đề sau: Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin A. Chỉ ( I ) . Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM B. Chỉ ( II ) . C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Câu 11. Xét hai câu sau: x liên tục tại x  0 . x 1 x (2) Hàm số y  có đạo hàm tại x  0 . x 1 Trong 2 câu trên: A. (2) đúng. B. (1) đúng. (1) Hàm số y  C.Cả (1) , (2) đều đúng. D. Cả (1) , (2) đều sai.  3 4 x2  8  8x2  4 khi x  0  Câu 12. Cho hàm số f ( x)   x 0 khi x  0  1 A. . 3 5 B.  . 3   khi x  0  x sin Câu 13. Với hàm số f ( x)   x 0 khi x  0 luận qua các bước như sau: 1. f ( x)  x . sin  x C. .Giá trị của f (0) bằng: 4 . 3 D.Không tồn tại. .Để tìm đạo hàm f '( x)  0 một học sinh lập  x . 2.Khi x  0 thì x  0 nên f ( x)  0  f ( x)  0 . 3.Do lim f ( x)  lim f ( x)  f (0)  0 nên hàm số liên tục tại x  0 . x 0 x 0 4.Từ f ( x) liên tục tại x  0  f ( x) có đạo hàm tại x  0 . Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước: A.Bước 1. B.Bước 2. 1   x sin 2 khi x  0 Câu 14. Cho hàm số f ( x)   . x 0 khi x  0 C.Bước 3. D.Bước 4. (1) Hàm số f ( x) liên tục tại điểm x  0 . (2) Hàm số f ( x) không có đạo hàm tại điểm x  0 . Trong các mệnh đề trên: A.Chỉ (1) đúng. B. Chỉ (2) đúng. C.Cả (1), (2) đều đúng. D. Cả (1), (2) đều sai. ax 2  bx khi x  1 Câu 15. Cho hàm số f ( x)   .Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x  1 khi x  1 2 x  1  A. a  1, b  0 . B. a  1, b  1 . C. a  1, b  0 . D. a  1, b  1 . Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Đại số và giải tích 11-Chương 5. ĐẠO HÀM  sin 2 x khi x  0  Câu 16. Cho hàm số f ( x)   x  x 2  x khi x  0  A. 1 . B. 2 . .Giá trị của f (0) bằng: C. 3 . D. 5 . Câu 17. Xét hàm số y  f ( x) có tập xác định là đoạn  a; b đồng thời nếu x  x0   a; b thì f ( x)  1 với 3 điều kiện: I. f ( x) là hàm số liên tục trái và liên tục phải của x0 . II. f ( x0 )  1 . III. f ( x) có đạo hàm tại x0 . Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để f ( x) liên tục tại x0 là: A. Chỉ I. Câu 18. Xét ba hàm số: B. Chỉ II. C. Chỉ I và II. D. Chỉ II và III. C. Chỉ I và II. D. Chỉ I và III. I. f ( x)  x .x II. g ( x)  x III. h( x)  x  1 x Hàm số không có đạo hàm tại x  0 là: A. Chỉ I. B. Chỉ II. Câu 19. Cho đường cong  C  : y  x . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  –1;1 là 2 A. y  –2 x  1 . B. y  2 x  1 . C. y  –2 x –1 . D. y  2 x –1 . Câu 20. Gọi  P  là đồ thị của hàm số y  2 x 2  x  3 . Phương trình tiếp tuyến với  P  tại điểm mà  P  cắt trục tung là: A. y   x  3 . B. y   x  3 . C. y  4 x  1 . D. y  11x  3 . x2 , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm  –6;5 là x2 1 7 1 7 A. y  – x –1 ; y  x  . B. y  – x –1 ; y   x  . 4 2 4 2 1 7 1 7 C. y  – x  1 ; y   x  . D. y  – x  1 ; y   x  . 4 2 4 2 Câu 21. Cho hàm số y  Câu 22. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   2m –1 x 4 – m  5 tại điểm có hoành độ 4 x  –1 vuông góc với đường thẳng d : 2 x – y – 3  0 . A. 3 . 4 B. 1 . 4 C. 7 . 16 D. 9 . 16