TÍNH ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN - NGUYỄN ANH DŨNG

vn to an . HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Nguyễn Anh Dũng12 1 uy en Đồng biến, nghịch biến là các khái hiệm cơ bản nhất của hàm số. Sử dụng khảo sát sự biến thiên của hàm số, giúp chúng ta giải quyết được một lớp rất rộng các bài toán. Sau đây là một số vấn đề và dạng toán thường gặp trong chương trình phổ thông. Lý thuyết Ta có các mệnh đề liên quan đến hàm đồng biến: • Hàm số y = y(x) đồng biến trong khoảng (a, b) khi và chỉ khi y 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), và tập hợp các giá trị x trong khoảng (a, b) thỏa mãn y 0 (x) = 0 là hữu hạn. nl • Nếu hàm số y = y(x) xác định trên R, y 0 (x) > 0, ∀x ∈ R và tập hợp các giá trị x trong mỗi khoảng (a, b) thỏa mãn y 0 (x) = 0 là hữu hạn thì hàm số đồng biến trên R. Đối với hàm số nghịch biến, ta cũng có các mệnh đề tương tự. Các dạng toán có liên quan /o 2 2.1 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trong một khoảng dddd.cho trước :/ Ví dụ 1. Cho hàm số y = 31 x3 − 12 (2m + 1)x2 + (3m + 2)x − 5m + 2. (a) Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (0, 1). (b) Tìm m để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1. tp Lời giải. (a) Ta có y 0 = x2 − (2m + 1)x + 3m + 2. Hàm số nghịch biến trong khoảng (0, 1) khi và chỉ khi ht y 0 = f (x) = x2 − (2m + 1)x + 3m + 2 6 0, 1 ∀x ∈ (0, 1). Bài viết này được trích từ một bài báo trên tạp chí Toán học và Tuổi trẻ. Onluyentoan.vn xin được phép đăng trên Diễn đàn lại để giúp các bạn ôn thi tốt hơn. 2 Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõ nguồn của http://onluyentoan.vn khi đăng tải trên các trang web khác. 1 Nguyễn Anh Dũng 2 ye nt oa n. vn Điều đó xảy ra khi và chỉ khi f (x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 6 0 < 1 6 x2 , tức là ( ( 3m + 2 6 0 x1 x2 6 0 ⇔ m 6 −2. ⇔ m+260 (1 − x1 )(1 − x2 ) 6 0 (b) Tam thức y 0 = f (x) có biệt thức ∆ = 4m2 − 8m − 7. • Nếu ∆ 6 0 thì y 0 > 0, ∀x ∈ R, hàm số đã cho luôn đồng biến, không thỏa mãn. √ √ • Nếu ∆ > 0 ⇔ m < 2−2 11 ∨ m > 2+2 11 thì y 0 6 0 ⇔ x1 6 x 6 x2 , hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (x1 , x2 ). Để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng có độ dài lớn hơn 1 thì ta phải có |x1 − x2 | > 0 ⇔ (x1 − x2 )2 > 1 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 > 1. (1) Theo định lý Viette, ta có x1 + x2 = 2m + 1 và x1 x2 = 3m + 2. Thay vào (1), ta được √ √ (2m + 1)2 − 4(3m + 2) > 1 ⇔ m2 − 2m − 2 > 0 ⇔ m < 1 − 3 ∨ m > 1 + 3. √
√
Kết hợp với điều kiện để ∆ > 0, ta có m ∈ −∞, 1 − 3 ∪ 1 + 3, +∞ . √
√
Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu là m ∈ −∞, 1 − 3 ∪ 1 + 3, +∞ . /o nl u Lưu ý. Nếu a > 0 thì tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c 6 0, ∀x ∈ (α, β) khi và chỉ khi ( f (α) 6 0 f (β) 6 0 Bài toán tổng quát. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a > 0). Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn k. Cách giải. Tính y 0 . Điều kiện của bài toán được thỏa mãn khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt (∆ > 0) sao cho |x1 − x2 | > k ⇔ (x1 − x2 )2 > k 2 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 > k 2 . tp :/ Sử dụng định lý Viette suy ra kết quả. Ví dụ 2. Tìm m để hàm số 1 y = x3 − (3m − 1)x2 + (m + 3)x + 4m − 3 3 đồng biến trong khoảng (1, +∞). Lời giải. Ta có y 0 = x2 − 2(3m − 1)x + m + 3. ht Hàm số đồng biến trong khoảng (1, +∞) khi và chỉ khi y 0 = f (x) = x2 − 2(3m − 1)x + m + 3 > 0, Điều kiện đề ra được thỏa mãn trong hai trường hợp sau: ∀x ∈ (1, +∞). (1) ∆0 6 0 (vì khi đó y 0 > 0, ∀x ∈ R, hàm số đồng biến trên R). Ta có 2 ∆0 6 0 ⇔ 9m2 − 7m − 2 6 0 ⇔ − 6 m 6 1. 9 3 vn Hàm số đồng biến, nghịch biến và một số dạng toán liên quan ye nt oa n. (2) Phương trình y 0 = f (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 < x2 6 1. Khi đó   ∆>0 2     9m − 7m − 2 > 0  2 af (1) > 0 ⇔ − 5m + 6 > 0 ⇔m<− .   9  3m − 1 < 1 S  <1 2 Hợp kết quả hai trường hợp, ta được m 6 1. Lưu ý. Giả sử a là một số thực dương thì hàm số y = ax2 + bx + c > 0, ∀x ∈ (α, β) trong hai trường hợp sau: (1) ∆ 6 0. (2) Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn (α, β) ∩ (x1 , x2 ) = ∅. Ví dụ 3. Cho hàm số x2 − (3m + 1)x + 5m − 1 y= . x−m Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (0, 1). Lời giải. Điều kiện xác định: x 6= m. Ta có /o nl u Hàm số xác định trong khoảng (0, 1) khi m 6 0 hoặc m > 1. y0 = (2) x2 − 2mx + 3m2 − 4m + 1 . (x − m)2 Hàm số đồng biến trong khoảng (0, 1) khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ (0, 1), hay f (x) = x2 − 2mx + 3m2 − 4m + 1 > 0, Vì f (x) là một tam thức bậc hai có khi và chỉ khi S 2 =m∈ / (0, 1) nên f (x) đồng biến trong khoảng (0, 1) ( ∀x ∈ (0, 1) ⇔ tp :/ y 0 = f (x) > 0, ∀x ∈ (0, 1). f (0) > 0 ⇔ f (1) > 0 ( − 4m + 1 > 0 1 ⇔m6 . 2 4 3m − 6m + 2 > 0 (3) Kết hợp (2) và (3), ta được m 6 0. Lưu ý. • Khi nói một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trong khoảng nào đó thì trước hết, nó phải xác định trong khoảng đó. b = − 2a ∈ / (α, β) thì ( f (α) > 0 ◦ f (x) > 0, ∀x ∈ (α, β) ⇔ f (β) > 0 ( f (α) 6 0 ◦ f (x) 6 0, ∀x ∈ (α, β) ⇔ f (β) 6 0 ht • Nếu f (x) = ax2 + bx + c và S 2 vn Nguyễn Anh Dũng 4 2.2 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương dddd trình, bất phương trình Ví dụ 4. Giải phương trình x2 + x + 1 = x2 − 3x + 2. 2x2 − 2x + 3 ye nt oa n. log3 Lời giải. Đặt u = x2 + x + 1, v = 2x2 − 2x + 3 (u > 0, v > 0) suy ra v − u = x2 − 3x + 2. Phương trình đã cho tương đương với u log3 = v − u ⇔ log3 u − log3 v = v − u ⇔ log3 u + u = log3 v + v. (4) v Xét hàm số f (t) = log3 t + t, có f 0 (t) = t ln1 3 + 1 > 0, ∀t > 0 nên hàm số đồng biến khi t > 0. Từ (4) có f (u) = f (v), suy ra u = v hay v − u = 0, tức là x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1, 2}. Lưu ý. • Với phương trình dạng loga u v = u − v với u, v dương và a > 1, ta thường biến đổi: loga u − loga v = v − u ⇔ loga u + u = loga v + v. /o nl u Vì hàm số f (t) = loga t + t đồng biến khi t > 0, suy ra v = u. • Với các điều kiện trên, ta có bất phương trình loga u v < v − u ⇔ f (u) < f (v) ⇔ u < v. Ví dụ 5. Giải bất phương trình log5 3 + √
x > log4 x. tp :/ Lời giải. Điều kiện: x > 0. Đặt t = log4 x ⇔ x = 4t , bất phương trình trở thành  t 3 2 t t t log5 (3 + 2 ) > t ⇔ 3 + 2 > 5 ⇔ t + > 1. 5 5
t
t Xét hàm số f (t) = 3 15 + 25 có  t  t 1 1 2 2 0 f (t) = 3 ln + ln < 0, ∀t ∈ R. 5 5 5 5 Vậy hàm số f (t) nghịch biến trên R và f (1) = 1. Bất phương trình trở thành f (t) > f (1) ⇔ t < 1. Từ đây, ta được log4 x < 1 ⇔ 0 < x < 4. Lưu ý. ht • Với bất phương trình dạng loga u < logb v, ta thường giải như sau: Đặt t = loga u (hoặc t = logb v); đưa về bất phương trình mũ; sử dụng chiều biến thiên của hàm số để suy ra nghiệm. • Với phương trình dạng loga u = logb v, ta giải như sau: Đặt t = loga u = logb v ⇒ u = at , v = bt ; sử dụng phương pháp thể để đưa về một phương trình mũ; tìm t (thông thường phương trình có nghiệm t duy nhất); suy ra x. 5 vn Hàm số đồng biến, nghịch biến và một số dạng toán liên quan 2.3 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứng minh dddd. bất đẳng thức Ví dụ 6. Chứng minh rằng với x dương, ta có bất đẳng thức x2 . 2 ye nt oa n. ex > 1 + x + Lời giải. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với   x2 . x > ln 1 + x + 2   2 Xét hàm số f (x) = x − ln 1 + x + x2 , có f 0 (x) = 1 − 1+x x2 = > 0, 2 2 + 2x + x2 1 + x + x2 ∀x ∈ R. Vậy hàm số f (x) đồng biến trên R. Do đó với x > 0, ta có f (x) > f (0) = 0. Bất đẳng thức được chứng minh. /o nl u Lưu ý. Với x dương và n ∈ N∗ , ta có bất đẳng thức tổng quát sau:   xn x2 xn x2 x + ··· + ⇔ ln 1 + x + + ··· + e >1+x+ < x. 2! n! 2! n! Cách chứng minh tương tự ví dụ 6. Ví dụ 7. Chứng minh rằng với x ∈ 0, π 2
, ta có sin x + tan x > 2x. tp :/
Lời giải. Xét hàm số f (x) = sin x + tan x − 2x. Để ý rằng với x ∈ 0, π2 thì 0 < cos x < 1, suy ra cos x > cos2 x, nên  2 1 1 1 2 0 f (x) = cos x + − 2 > cos x + − 2 = cos x − > 0. cos2 x cos2 x cos x


Vậy hàm số f (x) đồng biến trong khoảng 0, π2 và liên tục trong 0, π2 nên với x ∈ 0, π2 có f (x) > f (0) = 0, suy ra sin x + tan x > 2x.
Lưu ý. Chứng minh tương tự như trên, với x ∈ 0, π2 , ta có a2 sin x + b2 tan x > 2abx, ∀a2 + b2 > 0. Bài tập tự luyện ht Bài tập 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau: (a) log2 (sin x) = 2 log3 (tan x); (b) log2 x2 + 3x + 5 < x2 − x − 2. 2x2 + 2x + 3 Bài tập 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: (a) x − x3 < sin x < x, ∀x > 0; 6 ht tp :/ /o nl u ye nt oa n. x2 , ∀x ∈ R; 2  b  a 1 1 a b (c) 2 + a 6 2 + b , a > b > 0. 2 2 (b) cos x + ex > 2 + x − vn Nguyễn Anh Dũng 6