TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ - NGUYỄN PHÚ KHÁNH

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bài 8 :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG Bài toán 1 : Hai đường cong C : y = f x và C ' : y = g x tiếp xúc nhau khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )  f x = g x hệ phương trình sau:   f ' x = g ' x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) có nghiệm. () ( ) Ví dụ 1 : Tìm tham số thực m để đường thẳng d : y = m x − 3 tiếp xúc 1 với đồ thị C : y = − x 3 + 3x . 3 ( ) Giải :  1 3 − x + 3x = m x − 3 d tiếp xúc với C khi hệ sau :  3 * có nghiệm. −x 2 + 3 = m   x = 3 x = 3 ⇒ m = −6 2x 3 − 9x 2 + 27 = 0   2 ⇔  2x − 3x − 9 = 0 ⇔  * ⇔ 2 x = − 3 ⇒ m = 3 m = −x + 3 m = −x 2 + 3   2 4  Ví dụ 2 : Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị của x2 hàm số : y = hai tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 450 . x −1 () ( ( ) )() () Giải : Gọi M ∈ Ox ⇒ M x 0 ; 0 , đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , phương ( () ) ( ) trình có dạng : d : y = k x − x 0 .  x2 = k x − x0   x 2− 1 d là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ sau có nghiệm :  x − 2x =k  2  x −1  ( () ( -194- ) ) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x2 x 2 − 2x = x − x 0 ⇔ x  x 0 + 1 x − 2x 0  = 0 2   x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) x = 0  ⇔ 2x 0 x = , x 0 ≠ −1  x0 + 1  x 2 − 2x • x =0⇒k = = 0. 2 x −1 ( • x = 2x 0 x0 + 1 ) ⇒k = −4x 0 (x 0 +1 ) 2 • Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị của hàm số : y = x2 hai tiếp tuyến tạo x −1 với nhau 1 góc 450 khi và chỉ khi k − k2 4x 0 tan 450 = 1 ⇒ = 1 ⇒ x0 = 3 ± 2 2 . 2 1 + k1k2 x0 + 1 ( ( )( ) Vậy M 3 − 2 2; 0 , 3 + 2 2; 0 ) Ví dụ 3 :Tìm tất cả các điểm trên trục hoành những điểm M mà qua đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x 3 + 3x 2 mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau . Giải : Gọi M a; 0 ∈ Ox , đường thẳng (t ) đi qua M và có hệ số góc ( ) k ⇒ (t ) : y = k ( x − a ) . x 3 + 3x 2 = k (x − a ) (1)  (t ) tiếp xúc với (C ) khi hệ sau có nghiệm :  2 (2) 3x + 6x = k Từ (1) , (2) suy ra : x 3 + 3x 2 = 3x 2 + 6x (x − a ) ⇔ 2x 3 + 3(a − 1)x 2 − 6ax = 0 x = 0 ⇔ x 2x 2 − 3(a − 1)x − 6a  = 0 ⇔  2 2x − 3(a − 1)x − 6a = 0 (3) -195- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt • x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ 1 tiếp tuyến. Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đến đồ thị (C ) mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau . Khi đó (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 ≠ 0 và k1k2 = −1  a ≠ 0  ⇔ ∆ > 0 ⇔  2  2   3x 1 + 6x 1   3x 2 + 6x 2  = −1    a ≠ 0  2  9 a − 1 + 48a > 0  2 9 x 1x 2 + 18x 1x 2 x 1 + x 2 + 36x 1x 2 = −1  ( ( ) ) ( )  1 vaø a ≠ 0 a < −3 ∨ a > − 3  ⇔ 81a 2 − 81a a − 1 − 108a + 1 = 0  3(a -1)   vì x 1x 2 = - 3a ; x 1 + x 2 =  2    1 vaø a ≠ 0 1 a < −3 ∨ a > − ⇔ ⇔a = 3 27 −27a + 1 = 0   1  Vậy M  , 0  ∈ Ox thỏa bài toán .  27  ( ) Bài toán 2 : ( ) ( ) ( ( ) ) có Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y = f x tại điểm M x 0 ; f x 0 ( )( ) ( ) dạng : y = f ' x 0 x − x 0 + f x 0 . x −4 với tiếp tuyến (t ) , x −1 biết rằng tiếp tuyến (t ) tạo với đường thẳng (d ) : y = −2x + 2010 1 góc 450 . Ví dụ 1 :Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) : y = Giải : {} • D = »\ 1 -196- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 3 • Ta có : y ' = • 2 ,x ≠ 1 ( ) Gọi M ( x ; f ( x ) ) là tọa độ tiếp điểm cần tìm x −1 k = 0 3 (x 0 −1 2 ) 0 thì hệ số góc tiếp tuyến (t ) là ,x0 ≠ 1 .  1 k +2 k =−  • Vì (t ) và (d ) tạo nhau 1 góc 45 khi t a n 45 = ⇔ 3  1 − 2k k = 3  1 3 1 * k =− ⇔ = − điều này không xảy ra . 2 3 3 x −1 0 ( * k =3⇔ ) 0 3 (x 0 −1 0 2 ) x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ M 0; 4 0 = 3 ⇔ x 02 − 2x 0 = 0 ⇔  0 x 0 = 2 ⇒ y 0 = −2 ⇒ M 2; −2 ( ) ( ) 2x + 3 , có đồ thị (C ) . Tìm tất cả các tham số x −2 m để đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Giải : Đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại Ví dụ 2 : Cho hàm số y = đó song song với nhau khi và chỉ khi phương trình ( ) nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa mãn điều kiện y ' x 1 ( ) ( 2x + 3 = 2x + m có hai x −2 = y ' x 2 . Khi đó phương ( ) ) trình g x = 2x 2 + m − 6 x − 2m − 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 khác 2 và thỏa mãn điều kiện − 7 ( x1 − 2 2 ) 7 =− ( x2 − 2 -197- 2 ) ⇔ x1 + x 2 = 4 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  2 ∆ = m − 6 + 8 2m + 3 > 0  ⇔ g 2 = 2.22 + m − 6 .2 − 2m − 3 ≠ 0 ⇔ m = 2 .  m −6 − =4  2 2x Ví dụ 3: Cho hàm số y = có đồ thị là (C ) . Tìm trên đồ thị (C ) những x +1 điểm M , sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm ( () ) ( ( ) ) 1 . 4 phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng Giải : ( ) ( ) Gọi M x 0 ; y 0 ∈ C ⇒ y 0 = 2x 0 x0 + 1 2 ⇒ y '0 = (x 0 +1 Phương trình tiếp tuyến (t ) của (C ) tại M là : y 0 = 2 ) 2 (x 0 +1 2 ) 2x 02 x+ (x +1 0 ( 2 ) . ) Tiếp tuyến (t ) cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm phân biệt A −x 02 ; 0 ,  2x 02 B  0;   x0 + 1  (   sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 1 khi đó 2  4   ) 2 2x 0 1 1 1 .OAOB . = ⇔ OAOB . = ⇔ x 02 . 2 4 2 x0 + 1 ( 2 ) = 1 ⇔ 4x 02 − x 0 + 1 2 ( 2 ) =0   1  1 2x 02 + x 0 + 1 = 0 x 0 = − ⇒ M  − ; −2  2 ⇔  2  2 . 2x 0 − x 0 − 1 = 0 x 0 = 1 ⇒ M 1;1   1  Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán M  − ; −2  , M 1;1 .  2  ( ) ( ) () Ví dụ 4 : Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến (d ), t của đồ thị (C ) : y = x 3 − 6x 2 + 9x song song với nhau thì hai tiếp điểm A, B đối xứng nhau -198- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt qua M (2;2) . Giải : ( ) ( ( ) ) tiếp điểm của (d ), (t ) và đồ thị (C ) . (d ) và (t ) song song với nhau khi y ' ( x ) = y ' ( x ) ⇔ 3x − 12x + 9 = 3x − 12x + 9 ⇔ x + x = 4 . x = 2 − t ⇒ y ( x ) = t − 3t + 2 Với x + x = 4 thì tồn tại t > 0 :  x = 2 + t ⇒ y ( x ) = −t + 3t + 2 ( ) Gọi A x 1, y x 1 = x 13 − 6x 12 + 9x 1 , B x 2 , y x 2 = x 23 − 6x 22 + 9x 2 là tọa độ 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3  x + x2 =2 x 0 = 1  2 Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ  . y x y x + 1 2  =2 y 0 = 2 Do đó hai tiếp điểm A, B đối xứng nhau qua M (2;2) . 2x 2 π Ví dụ 5 : Cho hàm số y = .Tìm α ∈  0;  sao cho điểm x −1  2 M (1 + sin α ; 9 ) nằm trên đồ thị (C ) . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của (C ) tại điểm M cắt hai tiệm cận của (C ) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua điểm M . ( ) ( ) Giải : Vì M (1 + sin α ; 9 ) nằm trên đồ thị (C ) nên: sin α = 1 2 2 (1 + sin α ) 2 2 = 9 ⇔ 2 sin α − 5 sin α + 2 = 0 ⇔  sin α = 2 1 + sin α − 1  π 1 π 3 Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9   2 2 6 2  3 3 Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: y = y '    x −  + 9 2  2  hay (d ) : y = −6x + 18 . Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại: A (1;12 ) -199- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm y = −6x + 18 ( x ; y ) hệ phương trình:  y = 2x + 2  xA  Dễ thấy:  y  A  x = 2 ⇔ ⇒ B ( 2; 6 ) y =6  + xB 3 = = xM 2 2 + yB = 9 = yM 2 Suy ra, A, B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm). 2x − 3 tại M cắt các đường x −2 tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất , với I là giao điểm hai tiệm cận . Giải : () Ví dụ 6: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = ( ) ( ) Gọi M x 0 ; y 0 ∈ C ⇒ y 0 = 2x 0 − 3 x0 − 2 , y '0 = − () 1 (x Phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại M : y = 0 −2 ) 2 −1 (x 0 −2 (x − x 0 ) + 2 ) 2x 0 − 3 x0 − 2  2x 0 − 2   , B 2x 0 − 2;2 . − 2   0 (d ) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A  2; x ( ) ( ) Dễ thấy M là trung điểm AB và I 2;2 là giao điểm hai đường tiệm cận. Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2     2x 0 − 3   1 2 2 S = π IM = π (x 0 − 2) +  − 2   = π (x 0 − 2)2 +  ≥ 2π 2  x −2    ( x 2) −  0    0   x 0 = 1 ⇒ y 0 = 1 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi (x 0 − 2)2 = ⇔  x = 3 ⇒ y0 = 3 (x 0 − 2)2  0 ( ) ( ) Vậy M 1;1 M 3; 3 thỏa mãn bài toán. Bài toán 3 : -200- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( ) ( ) ( Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y = f x đi qua điểm M x 1; y1 ) Cách 1 : () • Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : ( ) y = k x − x 1 + y1 .  f x = k x − x + y 1 1 d tiếp xúc với đồ thị C khi hệ sau  có nghiệm. f ' x = k  Cách 2 : • () ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) () • Gọi N x 0 ; y 0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C và tiếp tuyến d qua điểm () ( ) M , nên d cũng có dạng y = y '0 x − x 0 + y 0 . (d ) đi qua điểm M nên có phương trình : y = y ' (x − x ) + y (*) • Từ phương trình ( * ) ta tìm được tọa độ điểm N ( x ; y ) , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d ) . • 1 0 0 1 0 0 0 x4 5 − 3x 2 + Ví dụ 2: Cho hàm số : y = có đồ thị là (C ) . Giả sử 2 2 M ∈ (C ) có hoành độ a . Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt khác M . Giải :  a 5 Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM = − 3a 2 +  2 2  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc yM' = 2a 3 − 6a Tiếp tuyến tại M có dạng : 4 a4 5 − 3a 2 + M 2 2 Tiếp tuyến d của (C ) tại M cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt khác M khi () y = yx' (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a 3 − 6a )(x − a ) + () phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : x4 5 a4 5 − 3x 2 + = (2a 3 − 6a )(x − a ) + − 3a 2 + hay phương trình 2 2 2 2 -201- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt (x − a )2 (x 2 + 2ax + 3a 3 − 6) = 0 có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình ( ) g x = x 2 + 2ax + 3a 3 − 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt và khác a . ∆ ' = a 2 − (3a 2 − 6) > 0 a 2 − 3 < 0  a < 3 ⇔  g (x ) ⇔ ⇔  2  g(a ) = 6a 2 − 6 ≠ 0 a ≠ ±1 a ≠ 1    a < 3 Vậy giá trị a cần tìm  a ≠ ±1 Bài tập tương tự : 1. Tìm m để tiếp tuyến đi qua điểm M 2; m + 2 của đồ thị hàm số ( ) y = x 3 − 3x + m phải đi qua gốc tọa độ O . BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.  5 ax 2 − bx a ) Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số f x = đi qua điểm A  −1;  x −1 2  ( ) ( ) và tiếp tuyến tại O 0; 0 có hệ số góc bằng −3 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với giá trị a, b vừa tìm được. ( ) b ) Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số f x = 2x 2 + ax + b tiếp xúc với hypebol a ) Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số y = 1  1 tại điểm M  ;2  x 2  2. a ) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A 1; −2 và tiếp xúc với ( ) parabol y = x 2 − 2x 5 x − 2, y = x 2 + x − 2 tiếp xúc nhau 4 tại M , viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó . b ) Chứng minh hai đường cong y = x 3 + -202- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt c) Chứng minh rằg các đồ thị của ba hàm số ( ) ( ) ( ) f x = −x 2 + 3x + 6, g x = x 3 − x 2 + 4, h x = x 2 + 7x + 8 tiếp xúc nhau tại ( ) điểm A −1;2 . d ) Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số x2 3 3x + x, g x = tiếp xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết 2 2 x +2 phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . ( ) ( ) f x = ( ) ( ) e ) Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số f x = x 3 − x , g x = x 2 − 1 tiếp xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . Hướng dẫn : 1. a −1 2 − −1 5   = ⇔ a = −2 a)   2 −1 − 1 b = −3  f ' 0 = −3  9 b ) a = −6, b = 2 2. a ) d : y = m x − 1 − 2 ⇒ m = 2 y = 2x − 4 , m = −2 y = −2x ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) 1 5 9 b ) M  ; −  , y = 2x − 4 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ( −1;2 ) các đồ thị của ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các đồ thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại điểm A ( −1;2 ) . c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = 5 , chứng tỏ tại ( ) d ) O 0; 0 , y = 3 x 2 -203-