Thuật toán quy hoạch động tiêu biểu của Tin Học
Gửi bởi: Nguyễn Minh Lệ 27 tháng 7 2021 lúc 18:18:52 | Được cập nhật: 8 giờ trước (5:47:30) | IP: 113.165.74.10 Kiểu file: DOC | Lượt xem: 266 | Lượt Download: 1 | File size: 0.042496 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Thuật toán qui hoạch động
Trong quá trình học tập, chúng ta gặp rất nhiều các bài tập về Toán-Tin.
Các bài tập dạng này rất phong phú và đa dạng. Thực tế chưa có thuật
toán hoàn chỉnh có thể áp dụng cho mọi bài toán. Tuy nhiên người ta đã
tìm ra một số thuật toán chung như chia để trị, tham ăn, quay lui,... Các
thuật toán này có thể áp dụng để giải một lớp khá rộng các bài toán hay
gặp trong thực tế. Trong bài viết này, tôi muốn đề cập với các bạn một
thuật toán khác, đó là thuật toán quy hoạch động. Tư tưởng cơ bản của
thuật toán là:
Để giải một bài toán ta chia bài toán đó thành các bài toán nhỏ hơn có thể
giải một cách dễ dàng. Sau đó kết hợp lời giải các bài toán con, ta có được
lời giải bài toán ban đầu. Trong quá trình giải các bài toán con đôi khi ta
gặp rất nhiều kết quả trùng lặp của các bài toán con. Để tăng tính hiệu
quả, thay vì phải tính lại các kết quả đó, ta lưu chúng vào một bảng. Khi
cần lời giải của một bài toán con nào đó ta chỉ cần tim trong bảng, không
cần tính lại.
Tư tưởng của thuật toán quy hoạch động khá đơn giản. Tuy nhiên khi áp
dụng thuật toán vào trường hợp cụ thể lại không dễ dàng (điều này cũng
tương tự như nguyên tắc Dirichlet trong toán vậy). Khi giải bài toán bằng
phương pháp này, chúng ta phải thực hiện hai yêu cầu quan trọng sau:
- Tìm công thức truy hồi xác định nghiệm bài toán qua nghiệm các bài
toán con nhỏ hơn. - Với mỗi bài toán cụ thể, ta đề ra phương án lưu trữ
nghiệm một cách hợp lý để từ đó có thể truy cập một cách thuận tiện
nhất.
Để minh hoạ thuật toán, ta xét một vài ví dụ.
Ví dụ 1: Cho hai dãy số nguyên (a1,a2,...,am), (b1,b2,...,bn). Tìm dãy con
chung có độ dài lớn nhất của hai dãy trên (coi dãy không có số nguyên
nào là dãy con của mọi dãy và có độ dài bằng 0).
Lời giải
Chúng ta có thể thấy ngay rằng độ phức tạp của bài toán trên phụ thuộc
vào hai số m, n. Xét hai trường hợp:
+Trường hợp1:; m=0 hoặc n=0.
Đây là trường hợp đặc biệt, có duy nhất một dãy con chung của hai dãy có
độ dài bằng 0. Vì vậy dãy con chung có độ dài lớn nhất của chúng có độ
dài bằng 0.
+Trường hợp 2: m# 0 và n # 0.
Trong trường hợp này, ta xét các bài toán nhỏ hơn là tìm dãy con chung có
độ dài lớn nhất của hai dãy (a1,a2,...,ai), (b1,b2,...,bj) với 0 <= i <= m, 0 <=
j <= n.
Gọi [i,j] là độ dài của dãy con chung lớn nhất của hai dãy (a 1,...,ai),
(b1,...,bj). ; Như vậy ta phải tính tất cả các l[i,j] trong đó 0<=i<=m,
0<=j<=n.
Chúng ta có thể thấy ngay rằng l[0,0]=0. Giả sử ta tính được l[s,t] với 1
- Nếu ii # bj thì l[i,j]=max{l[i-1,j], l[i,j-1]}.
- Nếu ii=bj thì l[i,j]= 1+l[i-1,j-1].
Với những nhận xét trên, ta hoàn toàn tính được l[m,n] chính là độ dài dãy
con chung dài nhất của (a1,..am), (b1,..bn).
Để tìm phần tử của dãy con, ta xuất phát từ ô l[m,n] tới ô l[0,0].
Giả sử ta đang ở ô l[i,j].
Nếu ai=bj thì ta thêm ai vào dãy con rồi nhảy tới ô l[i-1,j-1].
Nếu aibj thì l[i,j]=l[i-1,j] hoặc l[i,j]=l[i,j-1].
Nếu l[i,j]=l[i-1,j] thì nhảy tới ô l[i-1,j], ngược lại thì nhảy tới ô l[i,j-1].
Sau đây là lời giải của bài toán. Chương trình được viết bằng ngôn ngữ
Pascal:
uses crt;
const
fi='b2.inp';
var
a:array[1..10] of integer;
b:array[1..10] of integer;
kq:array[0..10,0..10] of integer;
i,j,maxa,maxb:integer;
f:text;
procedure init;
begin
assign(f,fi);
reset(f);
i:=0;
while not(eoln(f)) do
begin
inc(i);
read(f,a[i]);
end;
maxa:=i;
readln(f);
i:=0;
while not(eoln(f)) do
begin
inc(i);
read(f,b[i]);
end;
maxb:=i;
close(f);
end;
function max(a,b:integer):integer;
begin
if a>b then max:=a
else max:=b;
end;
begin
init;
kq[0,0]:=0;
for i:=1 to maxa do
for j:=1 to maxb do
if a[i]b[j] then kq[i,j]:=max(kq[i-1,j],kq[i,j-1])
else kq[i,j]:=kq[i-1,j-1]+1;
writeln('Do dai day con chung lon nhat:',kq[maxa,maxb]);
i:=maxa;
j:=maxb;
while (i>0)or(j>0) do
if a[i]=b[j] then
begin
write(a[i]);
dec(i);
dec(j);
end
else
if kq[i-1,j]=kq[i,j] then dec(i)
else dec(j);
end.
Với nội dung file ‘b2.inp’ chứa 2 dãy (a1,a2,..am) ,(b1,b2,..bn) sau:
1232346
6987
Xét bài toán kinh điển về tối ưu tổ hợp:
Ví dụ 2: Cho cái túi chứa được trọng lượng tối đa là w. Có n đồ vật, đồ vật
thứ i có khối lượng a[i] và giá trị c[i], 1<= i <=n. Tìm cách xếp đồ vật vào
túi sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Gọi f(k,v) là giá trị lớn nhất của túi đựng trọng lượng v và chỉ chứa các đồ
vật từ 1 đến k.
Nếu k=1 thì f(k,v)=(v div a[1])*c[1]. Giả sử tính được f(s,t) với 1max then
begin
max:=b[i-1,j-k*a[i]].val+k*c[i];
save:=k;
end;
b[i,j].val:=max;
b[i,j].num:=save;
end;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to w do write(b[i,j].val:3);
writeln;
end;
writeln('Max:',b[n,w].val);
i:=n;
j:=w;
while i>=1 do
begin
if b[i,j].num>0 then writeln('Co ',b[i,j].num,' do vat
',i);
j:=j-a[i]*b[i,j].num;
dec(i);
end;
readln;
end.
Với nội dung file ‘b3.inp’ :hàng i chứa khối lượng a[i], giá trị c[i]:
34
45
7 10
8 11
9 13
Qua hai ví dụ trên chắc các bạn đã nắm được tư tưởng của thuật toán qui
hoạch động cũng như cách cài đặt cho nó. Như các bạn thấy, cách phát
biểu thuật toán rất đơn giản. Nếu biết cách vận dụng thuật toán một cách
hợp lý, ta có thể giải được một lớp khá rộng các bài toán trong thực tế. Hi
vọng thuật toán sẽ là công cụ tốt của các bạn trong quá trình học tập môn
tin học.