Tuyển tập các bài toán Bất đẳng thức trong đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2021

NGUYỄN NHẤT HUY TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên toán 2020 Ngày 15 tháng 10 năm 2020 Tóm tắt nội dung Vậy là một mùa tuyển sinh vào 10 nữa lại đi qua với sự xuất hiện của nhiều bài toán hay và khó được các sở đưa ra. Và cũng như mọi năm, bất đẳng thức là chủ đề tuy đã quá quen thuộc với chúng ta nhưng nó vẫn là vấn đề tương đối khó và cần các bạn học sinh có kỹ năng phân tích và biến đổi tốt để giải quyết chúng. Với danh nghĩa là một học sinh đã trải qua mùa thi vừa rồi và cũng đã đỗ được 2 ngôi trường chuyên nổi tiếng là Chuyên KHTN Hà Nội và Chuyên Phan Bội Châu, tôi xin mạnh dạn viết lên chuyên đề "Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên toán 2020" với mục đích nhìn lại các bài toán đã qua và giúp các em khóa sau có một tài liệu để ôn tập đạt kết quả cao. Trong tài liệu này tôi có trình bày những kiến thức cơ bản và lời giải các bài toán đã thi trong mùa thi vừa rồi, tiếp đó là những chuyên đề giúp các bạn nhập môn với những kỹ thuật khó hơn. Để hoàn thành chuyên đề này, tôi xin cảm ơn tới anh Nguyễn Minh Tuấn đã chỉ dạy tôi kĩ năng sử dụng LATEX và thiết kế lên tài liệu mà các bạn đang đọc, bên cạnh đó anh cũng là người tư vấn giúp tôi những vấn đề thiếu sót về mặt kiến thức. Vì còn chưa có kinh nghiệm nhiều về tuổi đời cũng như kiến thức nên chắc chắn trong quá trình biên soạn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong bạn đọc và các thầy cô góp ý và bỏ qua. Cuối cùng xin cảm ơn mọi người đã ủng hộ và dõi theo tôi. Mục lục 1 Các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. 2 1.1 Một số kí hiệu sử dụng trong tài liệu. 2 1.2 Bất đẳng thức AM – GM. 2 1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. 2 1.4 Điều kiện có nghiệm của phương trình. 2 2 Các bài toán trong các kì thi chuyên toán. 3 Giới thiệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác. 4 3 38 3.1 Tam thức bậc 2 và phương pháp miền giá trị. 38 3.2 Phương pháp đổi biến PQR và bất đẳng thức Schur 45 3.3 Phân tích tổng bình phương SOS và phân tích Schus - SOS. 51 Các bài toán luyện tập. 59 1 Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Nguyễn Nhất Huy, Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy 1 Các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. 1.1 Một số kí hiệu sử dụng trong tài liệu. X 1 1 1 1 = 2+ 2+ 2 2 ab ab bc ca cyc X 1 1 1 1 1 1 1 = 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2 2 ab ab ba ca ac bc cb sym Ở đây cyc là viết tắt của cyclic và đôi khi cũng có thể sử dụng X để thay thế X , sym là viết tắt của cyc LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC symetric. 1.2 Bất đẳng thức AM – GM. Tổng quát với các số thực dương x1 , x2 , ..., xn thì ta có n X à n Y xi > n n i=1 xi . i=1 Dấu "=" khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn . Với n = 2 và n = 3 thì ta được 2 hệ quả quen thuộc √ a + b > 2 ab √ 3 a + b + c > 3 abc Ngoài ra bất đẳng thức AM − GM cũng có thể phát biểu ở dạng mẫu số n X 1 n2 > n . X x i=1 i xi i=1 1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Cho 2 bộ số (x1 , x2 , ..., xn ) và (y1 , y2 , ..., yn ) khi đó ta có n X i=1 ! xi 2 n X n X ! yi 2 > i=1 !2 x i yi i=1 Dấu "=" khi và chỉ khi các số lập thành các bộ số tỉ lệ. Dạng cộng mẫu Engel tổng quát !2 n !−1 n n X X X ai 2 > ai bi bi i=1 Trong đó dạng 1.4 x2 a + y2 b i=1 i=1 2 > (x + y) là dạng ta hay gặp nhất. a+b Điều kiện có nghiệm của phương trình. Trong một số bài toán đánh giá min - max ta sẽ sử dụng tới điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0). Khi đó nếu 1 ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm , đồng nghĩa vế trái luôn không âm hoặc không dương. 2 ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Ứng dụng của kiến thức này sẽ áp dụng cho những bài tìm điều kiện có nghiệm để suy ra min, max. ® Email. [email protected] 2 h Tạp chí và tư liệu toán học Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy 2 Các bài toán trong các kì thi chuyên toán. d Câu 1 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a − 1)3 + (b − 1)3 + (c − 1)3 . Quảng Bình T = (a − 1)3 + (b − 1)3 + (c − 1)3 = a3 − 3a2 + 3a − 1 + b3 − 3b2 + 3b − 1 + c3 − 3c2 + 3c − 1 Å ã Å ã Å ã 9 9 9 3 = a3 − 3a2 + a + b3 − 3b2 + b + c3 − 3c2 + c + (a + b + c) − 3 4 4 4 4 ã2 Å ã2 Å ã2 Å 3 3 3 3 +b b− +c c− + (a + b + c) − 3 =a a− 2 2 2 4 Å ã2 Å ã2 Å ã2 3 3 3 3 =a a− +b b− +c c− − 2 2 2 4 Å ã2 Å ã2 3 3 Vì a > 0; a − > 0, ∀ a ∈ R nên a a − > 0. 2 2 Å ã2 Å ã 3 3 2 3 Tương tự với b, c thì ta có b b − > 0; c c − > 0, nên T > − 2 2 Å 4 ã 3 3 3 Vậy GTNN của T = − khi (a, b, c) là hoán vị của , ,0 . 4 2 2  d Câu 2 Cho các nguyên dương x, y, z thỏa mãn 1 1 1 + + > 2020 x+y x+z y+z p p √ y 2 + 2x2 z 2 + 2y 2 x2 + 2z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất P = + + . xy zy xz Gia Lai - Lời giải. Để giải bài toán này ta sử dụng hai bất đẳng thức phụ sau. i) Cho a, b là các số thực dương ta có 1 1 4 + > a b a+b Dấu bằng xảy ra khi a = b ii) Cho a, b, c, d, e là các số thực ta có » p p p a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f 2 > (a + c + e)2 + (b + d + f )2 Dấu bằng xảy ra khi a c e = = . Đây là 1 trường hợp nhỏ của bất đẳng thức Mincopsky. b d f Phần chứng minh hai bất đẳng thức phụ này xin dành cho bạn đọc. Áp dụng bất đẳng thức i) cho các cặp (x, y); (y, z); (z, x) ta có Å ã Å ã Å ã 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 + ; 6 + ; 6 + x+y 4 x y y+z 4 y z x+z 4 x z ® Email. [email protected] 3 h Tạp chí và tư liệu toán học Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN - Lời giải. Ta biến đổi giả thiết Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Nên theo giả thiết suy ra 1 1 1 + + > 4040. Ta biến đổi biểu thức P , ta được x y z p p √ y 2 + 2x2 z 2 + 2y 2 x2 + 2z 2 P = + + xy zy xz = y 2 + 2x2 + x2 y 2 = 1 2 + 2+ 2 x y z 2 + 2y 2 x2 + 2z 2 + z2y2 x2 z 2 … 1 1 2 2 + 2+ + 2 2 2 y z z x LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Áp dụng bất đẳng thức ii), và bất đẳng thức vừa chứng minh ta có Å P > 1 1 1 + + x y z ã2 Å +2 1 1 1 + + x y z √ Vậy GTNN của P = 4040 3 khi x = y = z = ã2 > p √ 40402 + 2.40402 = 4040 3 3 . 4040  d Câu 3 Cho x, y, z thỏa mãn x2 + y 2 + z 2 = 1. Chứng minh rằng x2 y2 z2 3 + + > 1 + 2yz 1 + 2xz 1 + 2xy 5 Điện Biên - Lời giải. Theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có X
2 X x2 + y 2 + z 2 x2 x4 = > 2 1 + 2yz x2 + 2x2 yz x + y 2 + z 2 + 2xyz (x + y + z) Mặt khác thì ta có đánh giá x2 + y 2 + z 2
2 > (xy + yz + xz)2 > 3xyz (x + y + z) ⇒ xyz (x + y + z) 6 1 3 Như vậy ta suy ra được
2 x2 + y 2 + z 2 > x2 + y 2 + z 2 + 2xyz (x + y + z) 1 2 1+ 3 = 3 5 Bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất. 

x3 + y 3 − x2 + y 2 d Câu 4 Cho x > 1, y > 1, chứng minh rằng D = > 8. (x − 1) (y − 1) Trà Vinh - Lời giải. Biến đổi biểu thức ban đầu, ta được

x3 + y 3 − x2 + y 2 x2 (x − 1) + y 2 (y − 1) x2 y2 (x + y)2 = = + > D= (x − 1) (y − 1) (x − 1) (y − 1) y−1 x−1 x+y−2 Ta cần chứng minh bất đẳng thức (x + y)2 >8 x+y−2 ® Email. [email protected] 4 h Tạp chí và tư liệu toán học Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Biến đổi tương đương ta được hằng đẳng thức rất đẹp (x + y − 4)2 > 0 Bất đẳng thức trên luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = y > 1 ! Nhận xét. Đây là bài toán rất cũ nó từng là đề chuyên của Hà Nội năm 2003-2004. a3 b3 + > a2 + b2 . b a d Câu 5 Cho a, b là 2 số thực âm. Chứng minh rằng Sóc Trăng - Lời giải. Theo bất đẳng thức AM − GM ta có 3 3 2 a3 a3 b2 b2 b2 3 b2 a3 3 a .a .b = + + − >3 − = a2 − b 2b 2b 2 2 2b.2b.2 2 2 2 3 3 2 b3 b3 b3 a2 a2 a2 3 a2 3 b .b .a = + + − >3 − = b2 − a 2a 2a 2 2 2a.2a.2 2 2 2 Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh. d Câu 6 Cho a > 2,  a 2a3 + 1 > 1. Chứng minh rằng > 17. b b(a − b) Bắc Kạn - Lời giải. Với a > 2 thì ta luôn có 7a3 > 14a2 ⇔ a2 (7a − 14) Theo bất đẳng thức AM − GM ta có 2a3 4 +1 > b (a − b) 2a3 +1 a2
= a3 a3 √ 3 3 + + 4 + 7a3 +4 3 a .a3 + 14a2 2 2 = > = 17 a2 a2 a2 8a3 Vậy bài toán được chứng minh.  d Câu 7 Cho các số thực dương a, b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức … a2 M= 1 + 2+ b … b2 + 1 a2 Kon Tum - Lời giải. Theo bất đẳng thức AM − GM ta có … 1 a2 + 2 + b … 1 b2 + 2 > a s 2 a2 b2 s + Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. ® Email. [email protected] 2 √ b2 = 2 a2 Ç… a + b … å √ b >2 2 a  5 h Tạp chí và tư liệu toán học Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN  Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy d Câu 8 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 + 2 2 + 2 2 > a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1) c2 a2 a b b c Kiên Giang - Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có X a2 + 1 LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC a2 c2 ã X Å a2 b2 1 (ab + bc + ca)2 a2 + b2 + c2 = + > + c2 a2 b2 a2 c2 3 1 Như vậy ta cần chứng minh 1 (ab + bc + ca)2 + a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca + (a + b + c) 3 1 ⇔ (ab + bc + ca)2 + (a + b + c)2 − 2 (ab + bc + ca) > ab + bc + ca + (a + b + c) 3 1 ⇔ (ab + bc + ca)2 + (a + b + c)2 − 3 (ab + bc + ca) − (a + b + c) > 0 3 Mặt khác ta lại có 2 1 (ab + bc + ca) > 3abc (a + b + c) ⇒ 1 (ab + bc + ca)2 > a + b + c. 3 2 2 (a + b + c) > 3 (ab + bc + ca). Như vậy bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.  d Câu 9 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức 3 T =1+ xy + yz + xz Hậu Giang - Lời giải. Một bài toán tương đối đơn giản, theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có 9 = (x + y + z)2 > 3 (xy + yz + xz) ⇒ xy + yz + xz 6 3 Khi đó biểu thức T =1+ 3 3 >1+ =2 xy + yz + xz 3 Vậy bài toán được giải quyết.  d Câu 10 1 Cho a, b là hai số dương. Chứng minh rằng. 1 1 4 + > . a b a+b √ 1 (b) a2 − ab + 3b2 + 1 > (a + 5b + 2). 4 (a) ® Email. [email protected] 6 h Tạp chí và tư liệu toán học Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy 2 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn P =√ a2 1 1 1 + + 6 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c 1 1 1 +√ +√ 2 2 2 2 − ab + 3b + 1 b − bc + 3c + 1 c − ac + 3a2 + 1 Bình Phước - Lời giải. (a) Ta cần chứng minh Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN 1 Ý thứ nhất. 1 1 4 + > . Biến đổi biểu thức ta được a b a+b 1 1 4 a+b 4 + > ⇔ > a b a+b ab a+b ⇔ (a + b)2 > 4ab ⇔ a2 + 2ab + b2 > 4ab ⇔ (a − b)2 > 0 Bất đẳng thức luôn đúng ∀ a, b ∈ R+ nên bất đẳng thức được chứng minh. √ 1 (b) Ta cần chứng minh a2 − ab + 3b2 + 1 > (a + 5b + 2). Ta biến đổi biểu thức 4 1 (a + 5b + 2)2 16 ⇔ 16a2 − 16ab + 48b2 + 16 > a2 + 25b2 + 4 + 10ab + 20b + 4a ⇔ a2 − ab + 3b2 + 1 > ⇔ 15a2 − 26ab + 23b2 − 4a − 20b + 12 > 0 ⇔ 13(a − b)2 + 2(a − 1)2 + 10(b − 1)2 > 0 Luôn đúng ∀ a, b ∈ R+ nên bất đẳng thức được chứng minh. 2 Áp dụng bất đẳng thức (b) ta có P 6 4 4 4 + + a + 5b + 2 b + 5c + 2 c + 5a + 2 Áp dụng bất đẳng thức i) nhiều lần ta được Å ã 4 1 1 1 1 1 1 1 6 + 6 + + + a + 5b + 2 a + 3b 2b + 2 4 a + b 2b 2b 2 Å ã 1 1 1 1 1 1 1 5 1 6 + + + + = + + 4 4a 4b 2b 2b 2 16a 16b 8 Tương tự với hai phân thức còn lại kết hợp với giả thiết ta suy ra Å ã 3 1 1 1 3 3 + + + 6 P 6 8 a b c 8 2 4 3 khi a = b = c = 1. Mở rộng đoạn ta có thể dùng ngược bất đẳng 2 a + 5b + 2 thức Cauchy − Schwarz dạng phân thức như sau Å ã 4 64 (1 + 5 + 2)2 1 1 5 1 5 1 = = 6 + +2 = + + a + 5b + 2 16 (a + 5b + 2) 16 (a + 5b + 2) 16 a b 16a 16b 8 Vậy GTNN của P = Bài toán được chứng minh. ® Email. [email protected]  7 h Tạp chí và tư liệu toán học Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy d Câu 11 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2 z 2 + y 2 z 2 + 1 6 3z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 8 4z 2 P = 2 + 2 + (x + 1) (y + 3) (1 + 2z)2 Hà Tĩnh - Lời giải. 1 8 1 + 2 > với ∀a, b > 0 2 a b (a + b)2 1 1 2 Ta có theo bất đẳng thức AM − GM ta có 2 + 2 > . a b ab 1 4 (a + b)2 ⇒ > . Mặt khác ab 6 4 ab (a + b)2 1 1 8 Nên suy ra 2 + 2 > với ∀a, b > 0. Khi đó áp dụng bổ đề trên a b (a + b)2 LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Để giải bài toán này ta chứng minh bổ đề sau P = 1 8 64 1 8 8 ã2 + ã2 + ã2 2 + Å 2 > Å 2 > Å 1 1 1 (x + 1) (y + 3) (y + 3) +1 +2 +5 x+ x+y+ 2z 2z 2z 3 1 Từ giả thiết suy ra là số dương và x2 z 2 + y 2 z 2 + 1 6 3z ⇔ x2 + y 2 + 2 6 . z z 1 Đặt = t suy ra x2 + y 2 + t2 6 3t. Ta có z 64 256 P =Å ã2 = 1 (2x + 2y + t + 10)2 x+y+ +5 2z  2  2x 6 x + 1 Ta có 2y 6 y 2 + 1 ⇒ 2x + 2y + 4t 6 x2 + y 2 + t2 + 6 6 3t + 6.   4t 6 t2 + 4 256 1 Suy ra 2x + 2y + t 6 6. Suy ra P > 2 = 1, dấu ” = ” xảy ra khi x = y = 1, z = 2 . (6 + 10) Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1.  √ √ √ √ d Câu 12 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + a2 + c2 + b2 + c2 = 2021. Chứng minh rằng … a2 b2 c2 1 2021 + + > b+c a+c a+b 2 2 Ninh Bình - Lời giải. √ √ √ √ Đặt x = b2 + c2 , y = c2 + a2 , z = a2 + b2 với x, y, z > 0; x + y + z = 2021, suy ra a2 = y 2 + z 2 − x2 2 x2 + z 2 − y 2 2 x2 + y 2 − z 2 , b = ,c = 2 2 2 Khi đó áp dụng các bất đẳng thức phụ cơ bản » » » √ √ √ b + c 6 2 (b2 + c2 ) = 2x, c + a 6 2 (c2 + a2 ) = 2y, a + b 6 2 (a2 + b2 ) = 2z ® Email. [email protected] 8 h Tạp chí và tư liệu toán học Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Suy ra y 2 + z 2 − x2 z 2 + x2 − y 2 x2 + y 2 − z 2 √ √ √ + + 2 2x 2 2y 2 2z ñÇ å Ç å Ç åô (y + z)2 1 (z + x)2 (x + y)2 > √ −x + −y + −z 2x 2y 2z 2 2 ñÇ å Ç å Ç åô (y + z)2 (z + x)2 (x + y)2 1 + 2x − 3x + + 2y − 3y + + 2z − 3z = √ 2x 2y 2z 2 2 1 > √ [(2(y + z) − 3x) + (2(z + x) − 3y) + (2(x + y − 3z)] 2 2 … 1 1 2021 . Suy ra V T > √ (x + y + z) = 2 2 2 2  d Câu 13 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 8. Chứng minh rằng a b c 1 + + 6 (a2 + b2 + c2 ) ca + 4 ab + 4 bc + 4 16 Hà Nam - Lời giải. Vì a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 8 nên tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a= 2x 2y 2z ;b = ;c = y z x Bất đẳng thức trở thành x2 y 2 z2 2x 2y 2z + + > + + 2 2 2 y z x y+z z+x x+y Ta có x2 y 2 z2 3 2 + 2+ 2 y z x Å ã Å > x y z + + y z x ã2 Å x y z + + >3 y z x ã ⇒ z2 x y z x2 y 2 + + > + + 2 2 2 y z x y z x (2) Mặt khác ta lại có x2 y 2 z2 x y y z z x x y z + 2+ 2 > . + . + . = + + 2 y z x y z z x x y z x y (3) Từ (2) và (3) có x2 y 2 z2 2 2 + 2+ 2 y z x Å ã > x y z x y z + + + + + y z x z x y Lại có Å ã Å ã Å ã x y z x y z 1 1 1 1 1 1 + + + + + =x + +y + +z + y z x z x y y z x z x y 4x 4y 4z + + > y+z z+x x+y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.  d Câu 14 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x3 − y 3 > 2x. Chứng minh rằng x3 > 2y. Khánh Hòa - Lời giải. ® Email. [email protected] 9 h Tạp chí và tư liệu toán học Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN VT >