Tuyển tập 44 đề thi HSG môn Toán lớp 10 có lời giải chi tiết
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
ĐỀ 1.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
CỤM CHUYÊN MÔN 4
NĂM 2016 - 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1: (2 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số ( P) : y x 2 3x 2 cắt đường thẳng (d ) : y x m tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ trung điểm I của AB đến hai trục tọa độ bằng nhau.
Câu 2: (5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình:
a) x3 3x 2 2
x 2
3
6x 0
x 2 x3 y xy 2 xy y 1
b) 4
2
x y xy 2 x 1 1
Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x y z xyz . Chứng minh
1 1 x2 1 1 y 2 1 1 z 2
xyz
x
y
z
Câu 4: (2 điểm) Giải bất phương trình:
1
x2 4 x 3
1
0
2x 4
Câu 5: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE = 2BE. Lấy điểm F
trên đường thẳng CD sao cho CF
1
AB . Đường thẳng AE và BF cắt nhau tại I.
2
a) Tính AI ; CI theo AB và AD
b) Chứng minh AIC 900
Câu 6: (4 điểm) Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Đỉnh A(0, 2) và M (1, 1) là
trung điểm BC. Tìm tọa độ B và C.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 1
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 2.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
CỤM CHUYÊN MÔN 4
NĂM 2017 - 2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (2,0 điểm). Cho parabol (P): y x 2 4 x 5 .
a) Khảo sát và vẽ parabol (P).
b) Tìm m để phương trình x 2 4 x 5 m 0 có đúng một nghiệm thuộc ;0 5; .
Câu 2 (4,0 điểm). Giải phương trình và bất phương trình sau:
a)
3x 2 4 x 2 21x 22
b) 4 x 1 2 2 x 3 x 1 x 2 2
x y x2 y 2 8
Câu 3 (3,0 điểm). Cho hệ phương trình:
xy( x 1)( y 1) m
a) Giải hệ phương trình khi m 12 .
b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho các số thực dương x1, x2 , x3 ,....x2018 thỏa x1 x2 x3 ... x2018 1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 x1 1 x2 1 x3 ... 1 x2018 .
Câu 5 (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC có AB c, BC a, CA b, BAC 600 . Gọi M , N , P là các điểm thỏa mãn:
2MB MC 0, 3NA NC 0, AP k. AB k
.
a) Tính k theo a, b, c để AM vuông góc PN .
b) Gọi I điểm thỏa IA 7 IM 8IC 0 . Tính tỉ số diện tích của tam giác ABC và tam giác AIC .
Câu 6 (4,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I 1;1 . Các điểm M 2;2 , N 2; 2
lần lượt thuộc cạnh AB, CD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A có hoành độ
dương.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 2
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 3.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
CỤM CHUYÊN MÔN 4
NĂM 2016 - 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (2,0 điểm). Cho parabol ( P) : y x 2 4 x 3 .
a) Khảo sát và vẽ parabol ( P ) .
b) Tìm m để phương trình x 2 4 x 4 m 0 không có nghiệm thuộc đoạn [1, 0] .
Câu 2 (4,0 điểm). Giải phương trình và bất phương trình sau:
a) x 2 x
1
1
3
x
x
b) x 2 1 2 x x 2 2 x
x y xy m
Câu 3 (3,0 điểm). Cho hệ phương trình:
x y m
a) Giải hệ phương trình khi m 3 .
b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm.
Câu 4 (3,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa a 2 b2 c 2 1 . Chứng minh rằng:
a)
1
3 3
2
a(1 a )
2
b)
a
b
c
3 3
2 2 2
2
2
b c a c a b
2
2
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R , gọi M là điểm bất
kì trên đường tròn. Chứng minh rằng:
a) MA2 2MB.MC 3R 2
b) MA2 MB 2 MC 2 4MB.MC .
Câu 6 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD , trên đoạn AC lấy điểm M
sao cho AC 4 AM và N là trung điểm CD . Chứng minh tam giác BMN vuông cân.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 3
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 4.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2012 - 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y f x x 2 2 m 1 x m
1. Tìm m để bất phương trình f x 0 có tập nghiệm là
.
2. Tìm m để bất phương trình f x 0 có hai nghiệm x1 , x2 lớn hơn 1.
Câu 2 (4 điểm)
1. Giải phương trình: 2 x 1 3 x 3 x 2 4 x 3 6, x
x3 x 2 y 2 y 2 xy 2 2 x
2. Giải phương trình:
x, y
2 x 1 2 y 1 x 2 y 1
Câu 3 (4 điểm)
1. Giải bât phương trình:
3x 2 x 3 x3 3x 1
2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
A cos 4 x sin 4 x 2sin 2 x 3 3 sin 4 x cos 4 x 2 sin 6 x cos 6 x
Câu 4. (6 điểm)
1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có
1
GA.GB GB.GC GC.GC . AB 2 BC 2 CA2
6
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A (1;2). Đường thẳng chứa canh
BC có phương trình: x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ B và C, biết AB = 2AC.
3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
(C1): x 1 y 3 0 và (C2): x 2 y 2 5
2
2
2
2
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt các đường tròn (C1) và (C2) lần lượt
tại M, N (M, N không trùng A)
Câu 5. (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a
b
c
3 2
3
1
2
a b c b c a c a2 b
3
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 4
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 5.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
CỤM TRƯỜNG HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM 2018 - 2019
MÔN: TOÁN
Câu 1. ( 5,0 điểm)
a) Tìm m để phương trình mx 2 2 m 2 x 2m 7 0 ( m là tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
mãn: x1 x2
4
.
3
b) Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình
x2 4 x 4
2 thỏa với mọi x .
x 2 2(m 1) x 16
Câu 2. ( 5,0 điểm)
a) Cho phương trình x 4 2 m 2 x 2 2m 3 0 ( m là tham số). Tìm tất cả giá trị của tham số m để
phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14 x2 4 x34 x4 4 52 .
b) Giải phương trình 4 x 2 12 x x 1 27 x 1 .
Câu 3. ( 5,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có BC a, AC b, AB c , độ dài ba đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt
là ha , hb , hc . Biết rằng a sinA b sinB c sinC ha hb hc , chứng minh tam giác ABC đều.
b) Cho hai tia Ax , By với AB 100 cm , xAB 450 và
y
By AB . Chất điểm X chuyển động trên tia Ax bắt đầu từ A
N
M
với vận tốc 3 2 cm / s , cùng lúc đó chất điểm Y chuyển
động trên tia By bắt đầu từ B với vận tốc 4 cm / s . Sau t
x
450
A
B
(giây) chất điểm X di chuyển được đoạn đường AM , chất
điểm Y di chuyển được đoạn đường BN . Tìm giá trị nhỏ nhất
của MN .
Câu 4. ( 5,0 điểm)
mx y m 1
a) Cho hệ phương trình
. Khi hệ có nghiệm duy nhất xo ; yo , hãy tìm giá trị nhỏ nhất
x my 2
của biểu thức A xo 2 2 yo 5 .
b) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c , độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt
là ma , mb , mc . Chứng minh rằng:
a
b
c
2 3.
ma mb mc
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 5
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 6.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
CỤM THANH XUÂN – CẦU GIẤY
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1. Cho hàm số y x2 2 x 2 1 .
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số 1 .
b) Tìm m để phương trình x 2 2 x 2 m 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 1 3 x2 .
Câu 2.
a) Giải bất phương trình sau: x 2 4 x 2 x 2 5 x 3 0 .
2 x 2 xy y 2 5 x y 2 0
b) Giải hệ phương trình sau : 2
.
2
x y x y 4 0
x2 4x m
3 nghiệm đúng x
x2 2x 3
c) Tìm m để bất phương trình 2
?
Câu 3. Cho tam giác ABC . Đặt a BC , b AC , c AB . Gọi M là điểm tùy ý.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA2 MB 2 MC 2 theo a , b , c .
b) Giả sử a 6 cm , b 2cm , c 1 3 cm . Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện
tích tam giác ABC .
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu của A lên BD ;
I là trung điểm của BH . Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD là: x 5 y 19 0 , điểm
42 41
I ; .
13 13
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AH . Tìm tọa độ điểm H ?
b) Viết phương trình tổng quát của cạnh AD.
Câu 5. Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a 2 b2 c 2 1 . Chứng minh rằng
a
b
c
3 3
.
2
2
2
2
2
b c c a a b
2
2
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 6
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 7.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu I (1,5 điểm)
1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số y
x
x
10 x
10 x
2) Cho các nửa khoảng A (a; a 1], B [b; b 2). Đặt C A B. Với điều kiện nào của các số
thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó.
Câu II (2,0 điểm)
1) Tìm m để phương trình x 2 1 m 4 m 2 1 có bốn nghiệm phân biệt.
2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình:
m 1 x 2 m 1.
x2
Câu III (2,5 điểm)
1) Giải phương trình: x2 7 x 8 2 x .
7 x y 2x y 5
2) Giải hệ phương trình:
x y 2 x y 1.
Câu IV (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC 600. Các điểm M, N được xác định bởi
MC 2MB và NB 2 NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.
2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A ', B ' và
C '. Gọi Sa , Sb , Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB ' C ', BC ' A ', CA ' B ' và ABC.
Chứng minh bất đẳng thức
S a Sb S c
3
S . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
2
Câu V (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần
lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường
tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 7
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 8.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu I (6 điểm)
1. Cho parabol P : y 2 x 2 6 x 1 . Tìm giá trị của k để đường thẳng : y k 6 x 1 cắt parabol
P
tại hai điểm phân biệt M , N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng
3
d : y 2 x .
2
2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x 2 2 m 1 x m3 m 1 0 có hai nghiệm
2
x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 8 .
Câu II (5 điểm)
1. Giải bất phương trình: x 1 x 4 5 x 2 5x 28
x .
x 2 y 2 2 y 6 2 2 y 3 0
2. Giải hệ phương trình
x, y
2
2
2
2
x y x xy y 3 3 x y 2
Câu III (2 điểm) Cho x; y 0 là những số thay đổi thỏa mãn
.
2018 2019
1. Tìm giá trị nhỏ nhất
x
y
của biểu thức P x y .
Câu IV (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC có BC a ; AC b và diện tích bằng S . Tính các góc của tam giác này biết
S
1 2
a b2 .
4
2. Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a . Trên các cạnh BC , CA , AB lần lượt lấy các điểm
a
2a
N , M , P sao cho BN ; CM ; AP x 0 x a . Tìm x theo a để đường thẳng AN vuông
3
3
góc với đường thẳng PM .
Câu V (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD . Biết
1
diện tích hình thang bằng 14 (đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 và trung điểm cạnh BC là H ;0 .
2
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên
đường thẳng d : 5 x y 1 0 .
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 8
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 9.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (5 điểm) Cho Parabol (P) có phương trình y 4 x 2 1 , đường thẳng d có phương trình
y x3
1. Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d sao cho ∆ cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B và AB = 1.
2. Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho IA vuông
góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi.
Câu 2 (5 điểm)
1. Giải phương trình:
x 1 x2 1 x x
x 2 21 y 1 y 2
2. Giải hệ phương trình:
y 2 21 x 1 x 2
Câu 3 (5 điểm)
1. Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB,
AC. Đường phân gisc trong của góc C cắt DE tại P. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc
với AB, BC lần lượt tại N, M.
a) Tính BM , BN , BP theo hai vecto BA, BC và theo a, b, c
b) Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng
2. Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c là độ dài ba cạnh của tam giác; ma , mb , mc là độ dài
ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C. Gọi R, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu
1
1
1
3
thì tam giác
abmc bcma camb 2 RS
ABC đều.
Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC
có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua
điểm M(1;6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC.
Câu 5. (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a 2 b2 c 2 12 . Chứng minh rằng:
1
1
1
8
8
8
2
2
2
a b b c c a a 28 b 28 c 28
----------------------------------------------
Trang 9
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 10.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2017 - 2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1. (5,0 điểm)
1. Cho đường thẳng dm : y mx 2m 1 và parabol (P): y x 2 3x 2 (m là tham số thực).
Chứng minh d m luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Tìm m để khoảng
cách từ đỉnh I của parabol (P) đến đường thẳng d m đạt giá trị lớn nhất.
2. Cho phương trình x 4 3x3 (2m 3) x 2 12 x 16 0 (m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị
của m để phương trình đã cho có nghiệm thực.
Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình
7x 4
2 x2 2
2
2x 1
2x 1
33
2x 2
x 1
( x ).
8x y 5 x y 1 3 x 2
2. Giải hệ phương trình
1
8x y 5
xy
x
x; y .
Câu 3. (5,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi d là đường thẳng cố định đi qua G và d’ là đường thẳng
bất kỳ song song với d. Chứng minh rằng tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác
ABC đến đường thẳng d không vượt quá tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác
ABC đến đường thẳng d’.
2. Cho tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn sin A
2018
sin B
2018
sin C
2018
. Chứng minh rằng
tam giác ABC có 3 góc nhọn.
Câu 4. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD (cạnh đáy AB), AB = 2CD,
ADC 1350 . Gọi I là giao điểm của AC và BD, đường thẳng d đi qua I và vuông góc với hai cạnh đáy
của hình thang có phương trình x 3 y 4 0 . Tìm tọa độ điểm A biết diện tích của hình thang ABCD
là
15
2
, hoành độ của điểm I là 3 và trung điểm của AB có tung độ không âm.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 6 . Chứng minh rằng:
a
b 1
3
b
c 1
3
c
a3 1
2.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 10
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 11.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. (5.0 điể
MÔN: TOÁN
.
1. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol P : y x 2 mx 3m 2 , đường thẳng d : x y m 0 ( m
là tham số thực) và hai điểm A 1; 1 , B 2; 2 . Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai
điểm phân biệt M , N sao cho A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành.
2. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2 x 2 y 2 1 xy . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P 7 x 4 y 4 4 x 2 y 2 . Tính M m .
Câu 2. (5.0 điể
1. Giải phương trình x 1 6 x 2 6 x 25 23x 13 .
x3 y 3 3x 2 6 x 3 y 4 0
2. Giải hệ phương trình
.
2
( x 1) y 1 ( x 6) y 6 x 5 x 12 y
Câu 3. (2.0 điể
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A(1;3) . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho
1 3
AB 3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD . Điểm M ; là trung điểm HC . Xác
2 2
định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x y 7 0 .
Câu 4. (6.0 điể
1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 . Lấy các điểm
M , N , P lần lượt trên các cạnh
BC , CA, AB sao cho BM 5, CM 10, AP 4 . Chứng minh rằng AM PN .
2. Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp tam giác ABC thoả mãn
a3 b3 c3 2r
4 . Chứng mình tam giác ABC là tam giác đều.
abc
R
3. Cho tứ giác lồi ABCD có AC BD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R 1 . Đặt diện tích tứ
giác
T
ABCD
bằng
S
và
AB a, BC b, CD c, DA d .
Tính
giá
trị
biểu
thức
ab cd ad bc .
S
Câu 5. (2.0 điể
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng
a2
b2
c2
a 2 b2 c2
.
2a 1 2b 1 2c 1
a 2 b2 c2 6
-----------------------HẾT----------------------Trang 11
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 12.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (2 điểm)
a) Cho hàm số y x2 2mx 3m và hàm số y 2 x 3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại
hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b) Giải bất phương trình:
x 2 8 x 12 10 2 x
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: (4 x3 x 3)3 x3
3
2
b) Giải phương trình: 2 x 2 11x 23 4 x 1
Câu 3 (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1; 4) . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A
(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện
tích tam giác OAB.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x 2)2 ( y 3)2 9 và điểm A(1; 2) . Đường
thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)
a) Chứng
minh
rằng
tứ
giác
lồi
ABCD
là
hình
bình
hành
khi
và
chỉ
khi
AB 2 BC 2 CD 2 DA2 AC 2 BD 2 .
b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa
1
1 1
2 2 (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là ha ).
2
ha b c
Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng:
a b b c c a
2a
2b
2c
3
2
bc ca ab
a b c
2
2
2
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 12
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 13.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2012 - 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Cho hàm số y x2 3x 2 và hàm số y x m . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau
tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa
độ bằng nhau.
b) Giải bất phương trình:
1
x 4x 3
2
1
0
2x 4
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2) . Đường thẳng là đường phân
giác trong của góc A có phương trình 2 x y 1 0 ; Khoảng cách từ C đến gấp 3 lần khoảng cách
từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác.
Chứng minh rằng sin
3
5
Câu 3 (2,5 điểm)
a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: BD
2
1
BC; AE AC . Tìm vị
3
4
trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:
b 2 IB c 2 IC 2a 2 IA 0 ; Tìm điểm M sao cho biểu thức ( b 2 MB 2 c 2 MC 2 2a 2 MA2 ) đạt giá trị lớn
nhất.
Câu 4 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: 1 6 x 2 2 x 2 1 2 5 x 2 4 x
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . Chứng minh rằng:
1 1 x2 1 1 y 2 1 1 z 2
xyz .
x
y
z
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 13
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 14.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu I (2,0 điểm):
Cho parabol (P): y x 2 – 2 x 4 và các đường thẳng (dm): y 3x 2m 1 (m là tham số)
1) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m.
2) Khi (dm) cắt (P) tại hai điểm A, B (A và B có thể trùng nhau), tìm tập hợp trung điểm I của AB
khi m thay đổi.
Câu II (3,0 điểm):
2x 5
1) Giải bất phương trình:
x 2 x 25
x2 5x 6 0
2 3 x 3 y 3 5(8 x y )
2) Giải hệ phương trình:
2
2
x y 2 x 4 y 31 0
Câu III (3,0 điểm):
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng chứa cạnh
AB là: x 2 y 2 0 , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: 2 x y 1 0 . Điểm M(1;2)
thuộc đoạn thẳng BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho DB.DC có giá trị nhỏ nhất.
DN k DC (0 k 1) . Gọi I
2) Cho tứ giác ABCD; hai điểm M, N thay đổi sao cho AM k AB;
là điểm thỏa mãn 3IM 2 IN . Tìm tập hợp các điểm I khi M, N thay đổi.
Câu IV (2,0 điểm):
1) Tam giác ABC có S b2 (a c)2 với S là diện tích tam giác, Tính tan B .
2) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa a 2 b2 c 2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M
ab
5a 10ab 10b
2
2
bc
5b 10bc 10c
2
2
ca
5c 10ca 10a 2
2
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 14
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 15.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2015 - 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu I(2,0 điểm) Cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; 1) và có hệ số góc là
k . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x1 , x2 .
1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
2) Chứng minh rằng x13 x23 2 với mọi k
.
Câu II(3,0 điểm)
1) Giải phương trình:
3x 1 5 x 4 3 x 2 x 3
x 2 x3 y xy 2 xy y 1
2) Giải hệ phương trình: 4
2
x y xy (2 x 1) 1
Câu III(4 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6) , chân đường phân giác trong kẻ
3
từ đỉnh A là điểm D 2; , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm
2
1
I ;1 . Viết
2
phương trình của đường thẳng BC.
2) Cho tam giác ABC thỏa 2ma2 mb2 mc2 . Chứng minh rằng a 2 4S .cotA
Câu IV(1 điểm) Cho a; b; c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a b c
lớn nhất của biểu thức M
3 3
. Tìm giá trị
2
1
1
1
2 2
2
.
2
a b 3 b c 3 c a2 3
2
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 15
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 16.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2017 - 2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu I (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y
6 x 2 4 x 2018
(m 1) x 2 2(m 1) x 4
có tập xác định là
2) Cho hai hàm số y x 2 2 m 1 x 2m và y 2 x 3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại
hai điểm A và B phân biệt sao cho OA2 OB 2 nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ).
Câu II (3,0 điểm)
1) Giải phương trình 3 5 x 3 5 x 4 2 x 7
2) Giải bất phương trình
11x 2 19 x 19 x 2 x 6 2 2 x 1
xy 4 xy y 4 y 2 2 y 5 1
3) Giải hệ phương trình
2 xy x 2 y x 14 y 0
Câu III (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AB 6; BC 7; CA 5 .Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho
AM 2MB và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC ( k
).Tìm k sao cho đường thẳng CM
vuông góc với đường thẳng BN .
2) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và p là nửa chu vi tam giác. Biết
c ( p a ) a ( p b) b( p c ) 9
. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
IA2
IB 2
IC 2
2
3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB là
x 2 y 1 0 . Biết phương trình đường thẳng BD là x 7 y 14 0 và đường thẳng AC đi qua điểm
M (2,1) .Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Câu IV (1,0 điể
Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Một tấn sản
phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm
loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất 1 tấn sản
phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Một ngày
máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ, máy thứ hai làm việc không quá 4 giờ. Hỏi một ngày nên sản
xuất bao nhiêu tấn mỗi loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất?
Câu V (1,0 điể
Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn a 2 b 2 c 2 27 . Chứng minh rằng:
1
1
1
12
12
12
2
2
2
a b b c c a a 63 b 63 c 63
-----------------------HẾT----------------------Trang 16
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 17.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y x 2 4x 3 có đồ thị P . Tìm giá trị của tham số m để đường
thẳng d m : y x m cắt đồ thị P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
1 1
2
x1 x2
2) Cho hàm số y (m 1) x2 2mx m 2 ( m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên
khoảng (; 2) .
Câu II (3,0 điểm)
2
2
2
2
x y x xy y 3 3 x y 2
1) Giải hệ phương trình:
2
2
x y x 2 x 12 0
2) Giải phương trình x 3 1 x x 4 x 2 x 2 6 x 3
3) Giải bất phương trình x3 (3x 2 4 x 4) x 1 0
Câu III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3 NC 0 . Gọi
P là giao điểm của AC và GN , tính
PA
.
PC
2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H , E , K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C . Gọi diện
tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK . Biết rằng SABC 4 SHEK , chứng minh
sin 2 A sin 2 B sin 2 C
9
.
4
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A . Đường thẳng AB có phương trình
x y 3 0 , đường thẳng AC có phương trình x 7 y 5 0 . Biết điểm M (1;10) thuộc cạnh BC ,
tìm tọa độ các đỉnh A, B, C .
Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một
máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm
việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc
trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi
400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu
kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn xy yz zx 3 . Chứng minh rằng:
x2
x3 8
y2
y3 8
z2
z3 8
1.
-----------------------HẾT----------------------Trang 17
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 18.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT HOÀN KIẾM
NĂM 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y x 2 x 2
1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A, B thỏa
mãn độ dài đoạn thẳng AB bằng khoảng cách từ O đến ∆.
Câu 2 (6 điểm)
xy x 10 y 10 81
1. Giải hệ phương trình: 2
2
x y 10 x 10 y 18 0
2. Giải phương trình: 2 x 2 5x 7 3 x 1 x 4 8
3. Tìm m để phương trình:
4 x 4 x 2 16 x 2 m có nghiệm duy nhất.
Câu 3 (4 điểm)
1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
4a b c
1
1
1
ab ac bc ba ca cb a b b c c a
2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x y z 0 và x 2 y 2 z 2 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S x y z
Câu 4. (3 điểm)
1. Cho tam giác ABC thỏa mãn cot A cot B
a 2 b2
. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
2S
2. Cho tam giác ABC, O là trọng tâm của tam giác. M là một điểm nằm trong tam giác M khác O.Gọi
D E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của m lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng đường
thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF.
Câu 5. (3 điểm)
1.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có B(1;3) . Đường trung tuyến AM và
đường phân giác trong AD của tam giác ABC lần lượt có phương trình là x y 2 0, y 0 . Viết
phương trình đường thẳng AC và xác định tọa độ điểm C.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có BE và CD là các đường cao của tam
giác. Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có phương trình 2 x y 1 0 . Tìm tọa độ của điểm B
biết B có hoành độ dương.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 18
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 19.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT KIM LIÊN
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. Cho phương trình
MÔN: TOÁN
x 3 6 x 18 3x x 2 m , (1), (với m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m 3 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
x 4 x 2 y 2 x3 y 1
Câu 2. a) Giải hệ phương trình 3
.
2
x y xy x 1
b) Một cầu treo có dây truyền đỡ có dạng là Parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn
vào các điểm A, B trên mỗi trục AA' và BB ' với độ cao 30 m. Chiều dài đoạn A' B' trên nền cầu bằng
200 m. Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên cầu là CC ' 5 m. Gọi Q' , P' , H ' , C ' , I ' , J ' , K ' là các
điểm chia đoạn A' B' thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền
QQ' , PP' , HH ' , CC ' , II ' , JJ ' , KK ' gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo ?
Câu 3. Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ.
a) Chứng minh rằng (b2 c2 ) cos A a(c cos C b cos B) .
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB 2 MC 2 MA2
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A(3;1) , B(1; 2) .
a) Tìm tọa độ điểm N trên trục hoành Ox sao cho khoảng cách AN nhỏ nhất
b) Cho điểm M di động trên đường thẳng d: y x . Đường thẳng MA cắt trục hoành tại P và đường
thẳng MB cắt trục tung tại Q. Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5. Cho các số thực dương x , y , z thỏa x 2 y 2 z 2 4 xyz . Chứng minh x y z 2 xyz .
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 19
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 20.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (2 điểm)
1. Cho hàm số y x2 2mx 3m và hàm số y = –2x + 3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại
điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
2. Giải bất phương trình:
x 2 8 x 12 10 2 x
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phương trình: 4 x3 x 3 x 3
3
3
2
2. Giải phương trình: 2 x 2 11x 23 4 x 1
Câu 3 (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;4). Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A
(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện
tích tam giác OAB
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 y 3 9 và điểm A (1;-2). Đường
2
2
∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4. (3 điểm)
1. Chứng minh tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB 2 BC 2 CD 2 AC 2 BD 2
2. Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn:
1
1 1
2 2.
2
ha b c
Câu 5. (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a b b c c a
2a
2b
2c
3
2
bc ca ab
a b c
2
2
2
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 20
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 21.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
NĂM 2015 - 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1. (2.5 điểm) Cho phương trình : x 2 3x 2 x 2 9 x 20 m 1 0 (1)
a. Giải phương trình (1) với m 5 .
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x 2 6 x 7 0 .
Câu 2. (1.0 điểm) Giải phương trình:
x 4 x 2 4 x 4 20 x 2 4 7 x
Câu 3. (1.0 điểm) Giải bất phương trình:
3x 2 2 x 15 3x 2 2 x 8 7
y y 2 x 6 x 2
Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình:
3 3
3
1 x y 19 x
Câu 5. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh
BC , CA, AB sao cho BM a, CN 2a, AP
4a
. Chứng minh AM PN .
5
Câu 6. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A 1;3 . Gọi D là điểm trên
1 3
cạnh AB sao cho AB 3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD . Điểm M ; là
2 2
trung điểm đoạn HC . Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình
x y 7 0.
Câu 7. (1.0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
a
b
c
3 2
3
2
a b c b c a c a2 b
3
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 21
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 22.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT NAM TIỀN HẢI
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số y x2 2mx 2m2 4m có đồ thị là Pm .
1. Tìm m để Pm cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.
2. Tìm các giá trị của k để phương trình x 2 4 x k có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2. (4 điểm)
1. Tính tổng các nghiệm của phương trình: 3x 2 15 x 2 x 2 5 x 1 2 .
2. Giải phương trình
x 3 x 1 x2 x2 4 x 3 2 x
Câu 3. (2 điểm) Chứng minh rằng: a sin A b sin B c sin C
2 ma2 mb2 mc2
3R
với mọi tam giác
ABC .
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
1. Viết phương trình đường cao AD , phân giác trong CE của ABC biết A 4; 1 , B 1;5 ,
C 4; 5 .
7
2. Cho B 0;1 , C 3;0 . Đường phân giác trong góc BAC của BC cắt Oy tại M 0; và chia
3
ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng
10
(phần chứa điểm B có diện tích nhỏ hơn diện tích
11
phần chứa điểm C ). Gọi A a ; b và a 0 . Tính T a 2 b2 .
Bài 5. (2 điểm). Cho các số thực dương a, b, c
3
32
thỏa a b c 2 3 9 . Chứng minh rằng:
3
1
1
1
1
3
3
3
32 3a 32 3b 32 3c 8
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 22
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 23.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1. (5,0 điểm)
1) Cho hàm số y x2 x 1 có đồ thị là (P). Tìm m để đường thẳng d : y 2 x m cắt đồ thị (P) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ).
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m m R để phương trình: x 4 3m 1 x 2 6m 2 0 có bốn
nghiệm phân biệt đều lớn hơn 4 .
Câu 2.
1) ( 3,0 điểm) Giải bất phương trình 2 x 5 x 2 x 25
x2 5x 6 0 .
3 2 x y x 2 y 1 5
2) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 x 2 y 1 5 x 10 y 9
Câu 3. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thỏa S b2 (a c)2 . Tính tan B .
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB c, AC b và BAC 600 . Các điểm M , N được xác
định bởi MC 2 MB và NA
1
NB . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc
2
với nhau.
Câu 5. (3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 1; 2 , B 3; 4 . Tìm tọa độ điểm C sao cho
ABC vuông tại C và có góc B bằng 60 .
Câu 6. (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2 y
2 x
2 z
1
1 1
3 2 3
2 2 2
3
2
2
x y
y z
z x
x
y
z
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 23
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 24.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT TÂN KỲ
NĂM 2015 - 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1: (6 điểm) Cho f ( x) x 2 2 m 1 x m 1
a) Tìm điều kiện của m để phương trình: f ( x) mx m2 1 có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm điều kiện của m để f x 0 có tập nghiệm là
.
Câu 2: ( 6 điểm )
a) Giải phương trình: x 2. 7 x 2. x 1 x 2 8 x 7 1 .
2
xy y 2 y x 1 y 1 x
b) Giải hệ phương trình:
3. 6 y 3. 2 x 3 y 7 2 x 7
Câu 3: ( 6 điểm )
a) Cho tam giác ABC có các điểm M, N, P thỏa MA 2.MC , NB 3.NM , PB k .PC . Tìm k để
ba điểm A, N, P thẳng hàng.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của điểm A lên BD và E là trung điểm của HD. Giả sử H 1;3 , phương trình
5
đường thẳng AE : 4 x y 3 0 và C ; 4 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.
2
Câu 4: (2 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 y 2 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P
4 x 2 2 xy 1
2 xy 2 y 2 3
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 24
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 25.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT THANH MIỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM 2017 - 2018
MÔN: TOÁN
Câu 1 (2 điểm)
a) Cho parabol (P): y x2 4 x 5 và điểm I (1; 4) . Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua
điểm I.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình x 2 2 m 4 m 2 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2 (3 điểm)
a) Giải bất phương trình: ( x 1) x 2 ( x 6) x 7 x 2 7 x 12
( x 1)( y 2 6) y ( x 2 1)
b) Giải hệ phương trình:
2
2
( y 1)( x 6) x( y 1)
c) Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 2 4 x 2 1 có nghiệm.
Câu 3 (3 điểm)
a) Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định bởi các hệ thức:
AD 2 AB; AE
2
AC . Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng
5
b) Gọi H là trực tâm ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MH .MA
1
BC 2
4
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD, điểm M (2;0) là trung điểm của cạnh
7
AB, điểm H (1; 1) là hình chiếu của B trên AD và điểm G ;3 là trọng tâm tam giác BCD. Đường
3
thẳng HM cắt BC tại E, đường thẳng HG cắt BC tại F. Tìm tọa độ các điểm E, F và B
Câu 4 (1 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 y 2 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
( x y)2 3 y 2
của biểu thức S
.
xy 1
Câu 5 (1 điểm) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A ( x 1) 2 y 2 ( x 1) 2 y 2 y 2
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 25
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 26.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. (3.0 điể
. Cho hàm số y x 2 4 x 4 m ;
MÔN: TOÁN
Pm .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m 1 .
b) Tìm m để Pm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn 1; 4
Câu 2. (3.0 điể
Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 3x a 0 ; x3 và x4 là hai
nghiệm của phương trình x 2 12 x b 0 . Biết rằng
x2 x3 x4
. Tìm a, b .
x1 x2 x3
Câu 3. (6.0 điể
a) Giải phương trình: x 2 x 2 x 1 0
x 3 3x 2 4 x 2 y 3 y
b) Giải hệ phương trình:
4 x 6 x 1 7 4 x 1 y
Câu 4. (3.0 điể
a) Cho tam giác OAB. Đặt OA a, OB b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho
1
1
AC 2. AB, OD OB, OE OA . Chứng minh C, D, E thẳng hàng.
2
3
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC ED .
Câu 5. (3.0 điể
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1 ; B 2; 4 .
a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu 6. (2.0 điể
biểu thức P
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
y
2019 x
2019 y
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 26
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 27.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT TÔ HIỆU
NĂM 2016 - 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (1,5 điểm) Cho hàm số y x 2 3x 2 và hàm số y x m . Tìm m để đồ thị các hàm số đó
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến
các trục tọa độ bằng nhau.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
3x 1 x 1 9 x .
b) Giải bất phương trình sau:
9
x2 .
x 5 3
2 x 2 y 2 3xy 3x 2 y 1 0
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2
2
4 x y x 4 2 x y x 4 y
Câu 4 (2,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2). Đường thẳng là đường phân giác
trong của góc A có phương trình 2 x y 1 0 , khoảng cách từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B
đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
b) Cho tam giác ABC vuông tại A . Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b 2 IB c 2 IC 2a 2 IA 0 . Tìm
điểm M sao cho biểu thức P b 2 MB 2 c 2 MC 2 2a 2 MA2 đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng các biểu thức E sin 4 x 4cos 2 x cos 4 x 4sin 2 x không phụ thuộc vào x .
b) Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB 2KC , gọi L là hình chiếu của B trên
AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB 2KAC . Chứng minh rằng FL vuông góc AC.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . Chứng minh rằng:
1 1 x2 1 1 y 2 1 1 z 2
xyz .
x
y
z
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 27
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 28.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1.
1. Giải phương trình: 2 x 6 3 x 5 x 3 .
2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: a 2b 5c 0 . Chứng minh phương trình
ax 2 bx c 0 có nghiệm.
x 2 4 xy x 2 y 0
Câu 2. Giải hệ phương trình: 4
2
2
2
x 8 x y 3x 4 y 0
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A 1;3 , B 5; 3 . Xác định tọa độ điểm M
trên đường thẳng d : x 2 y 1 0 sao cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4. Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A cot C cot B .
1. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1 của tam giác ABC khi
1
.
2
2. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi 2 .
Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
P
1
5a 2ab 2b
2
2
1 1 1
1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a 2 b2 c2
1
5b 2bc 2c
2
2
1
5c 2ca 2a 2
2
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 28
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 29.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
x y m 2
Câu 1. (4 điểm) Cho hệ phương trình 2
2
2
x y 2 x 2 y m 4
a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm.
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A xy 2 x y 2011
x y xy 1
Câu 2. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
2
2
x 3 y 3 4
Câu 3. (1 điểm) Chứng minh rằng nếu x, y là các số thực dương thì
1
1 x
2
1
1 y
2
1
1 xy
Câu 4. (3,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 2 và B 4;3 . Tìm tọa độ điểm M
trên trục hoành sao cho AMB 45 .
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Các đường thẳng
AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác
6 17
C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng D 2;1 , E 3; 4 , F ; .
5 5
3. Cho tam giác ABC, có a BC , b CA, c AB . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, nửa
chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng
IA2
IB 2
IC 2
2
c p a a p b b p c
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 29
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 30.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1:
1. Giải phương trình
x2 x 1 x2 x 1 2 x
2. Giả sử phương trình bậc hai x 2 2 m 1 x m3 m 1 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều
2
kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 8
x 2 x 3 y xy 2 xy y 1
Câu 2: Giải hệ phương trình: 4
x, y
2
x y xy 2 x 1 1
Câu 3: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x 1 x 2
y
1 y 2 2012 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của P x y .
Câu 4.
1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua
các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP.
Chứng minh rằng OA OB OC OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng.
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Các
đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm M 1; 5 ,
7 5 13 15
N ; , P ; (M, N, P không trùng với các đỉnh của ABC ). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
2 2 2 2
biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q 1;1 và điểm A có hoành độ dương.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 30
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 31.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2012 - 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (3 điểm)
1. Giải phương trình:
1
1
2
x
2 x2
2. Cho phương trình bậc hai x 2 2mx m2 2m 4 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho
phương trình đã cho có hai nghiệm không âm x1 , x2 . Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của P x1 x2 .
x 2 xy y 2 x 2 y 0
Câu 2 (2 điểm) Giải hệ phương trình:
x, y
2
x
xy
y
2
Câu 3 (1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng:
a
2
1 1 1
b2 c 2 2 2 2 10
a b c
Câu 4. (3 điểm)
1. Cho tam giác ABC, nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi G và M lần lượt là trọng
tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng OG vuông góc với
đường thẳng OM thì AC2 + AB2 + 2BC2 = 12R2.
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa
đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là x 2 y 0, x 2 0, x y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A,
B, C biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 10 và đỉnh A có hoành độ âm.
Câu 5. (1 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M nằm trên trong tứ giác đó (M không nằm trên
các cạnh của tứ giác ABCD). Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các góc
MAB, MBC , MCD, MDA có số đo không lớn hơn 450 .
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 31
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 32.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (3 điểm)
1. Cho phương trình bậc hai x 2 2mx 3m 2 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương
trình đã cho có hai nghiệm x1.x2 thỏa P x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Cho tam thức bậc hai f x ax 2 bx c, a 0. Chứng minh rằng nếu f x 0 với mọi x
thì 4a c 2b .
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phương trình:
x 2 3x 1 2 x 3
x y x 2 xy y 2 3 3 x 2 y 2 2
2. Giải hệ phương trình:
x, y
2
x 6 y 3 x 2 x 8
Câu 3 (2 điểm)
1.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng
a 2 b2 c 2
3 a 2 b2 c 2
b c a
2. Giải bất phương trình:
3
3 x 1 x 2
Câu 4. (3 điểm)
1. Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác vuông ABE và ACF với
BAE CAF 900 sao cho tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF. Gọi M là trung điểm BC,
chứng minh rằng AM vuông góc với EF.
2. Cho tam giác ABC không vuông thỏa a 2 b 2 2c 2 và tan A tan B 2 tan C thì ABC là một tam
giác cân.
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp và
ttrong tâm lần lượt có tọa độ là I (4;0), G (
11 1
; ). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết
3 3
rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng (d): 2x + y – 1 = 0 và điểm M(4;2) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh
B của tam giác ABC.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 32
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 33.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số: f x
Câu 2 (1,0 điểm) Chứng minh rằng hàm số f x
2014
x 2x 3
2
2015
x2 2x
x
đồng biến trên khoảng 1;
x 1
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 19 3x 4 x 2 x 6 6 2 x 12 3 x
x 2 2 y 2 3xy y 1 0
Câu 4. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2
2
x y y 3 0
Câu 5. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị m sao cho bất phương trình m 1 2 m 2 2m 2 0
2
vô nghiệm.
Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam
giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, và G’ là trọng tâm tam giác
MNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng.
Câu 7. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn
a 2 b 2 2c 2 và tan A tan C 2 tan B thì tam giác ABC đều.
Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không vuông và nội tiếp
đường tròn tâm I; điểm H(2; 2) là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn
(I). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết M(5; 3) N(1; 3) và đường thẳng BC đi qua điểm P (4;2).
Câu 9. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a b c 2015 . Chứng minh rằng
2015 a
2015a a 2 2015b b 2 2015c c 2
2015 b
2015 c
6 2 2
bc
ca
ab
a
b
c
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 33
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 34.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2015 - 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (1,5 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là
y
.
2015 x 2016
(m 1) x 2 2(m 1) x 4
Câu 2 (2,5 điểm).
x 2 2 2 x 5 x 1.
a) Giải bất phương trình
b) Giải phương trình x 4 2 x3 2 x 2 x x.
Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình x3 (2m 1) x2 (m 2) x m 2 0 , trong đó m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn
x12 x22 x32 17.
Câu 4 (3,0 điểm).
a) Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của CD. Tìm vị trí điểm K trên đường thẳng BD sao
cho K không trùng với D và đường thẳng AK vuông góc với KM .
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A 5;1 , điểm C nằm trên
đường thẳng d : x 2 y 3 0 . Gọi giao điểm của đường tròn tâm B bán kính BD với đường thẳng
CD là E ( E D) . Hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng BE là điểm N 4; 2 . Tìm tọa độ
các điểm B, C , D.
c) Cho tam giác ABC không vuông với độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh B, C lần lượt là hb , hc , độ
dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A là ma . Tính cos A , biết hb 8, hc 6, ma 5.
x3 y 3 2 x 2 4 y 2 5 0
Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2
2
x 2 y 4 x 13 y 7 0
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a b và
1 ab
3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
ba
1 a 1 b .
của biểu thức P
2
2
a ( a b)
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 34
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 35.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2016 - 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (2,0 điểm).
a. Tìm tập xác định của hàm số y
b. Chứng minh rằng hàm số y
1
2016
.
x 2017
x 2 3x
1
nghịch biến trên tập xác định.
x2
Câu 2 (1,5 điểm). Giải phương trình
3x 1 x 2 2 x 7 2 .
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tham số m để hàm số y x 2 2mx m 3 có tập xác định là một đoạn có
độ dài bằng 4.
y 3 x 3 3x 2 6 y 2 16 y 7 x 11
Câu 4 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình
.
2
y 2 x 4 x 9 2 y x 9 x 9 x 1
Câu 5 (3,0 điểm)
a. Cho tam giác ABC với các cạnh tương ứng là BC a, CA b, AB c . Chứng minh rằng nếu
sin A
sin B 2sin C
thì tam giác ABC vuông.
2 cos B cos C
b. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là điểm thỏa mãn
OM 2OA OB 2OC . Biết rằng OM vuông góc với BI và AC 2 3BC.BA . Tính góc ABC .
c. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có góc ABC tù. Hai điểm
D 4;1 , E 2; 1 lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và B của tam giác ABC. Trung điểm của
cạnh AB là điểm N 1; 2 , trung điểm của cạnh AC là điểm M nằm trên đường thẳng có phương trình
2 x 6 y 5 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm M có hoành độ lớn hơn 3.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:
a
b
c
9 ab bc ca
6
bc
ca
ab
abc
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 35
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 36.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số y x 2018
2019
5 4 x x2
Câu 2. Cho hai phương trình: x 2 2 x a 2 1 0 1 và x 2 2 a 1 x a a 1 0 2 .
a) Tìm a để phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình 1 và x3 ; x4 là hai nghiệm của phương trình 2 với
x3 x4 . Tìm tất cả các giá trị a để x1 ; x2 x3 ; x4 .
Câu 3. Cho a, b R và a 0 . Xét hai hàm số f x 2 x 2 4 x 5 và g x x 2 + ax + b . Tìm tất cả
các giá trị của a và b biết giá trị nhỏ nhất của g x nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của f x là 8 đơn vị và
đồ thị của hai hàm số trên có đúng một điểm chung.
Câu 4. Giải phương trình 2 x 2 2 x 3 3 x 2 x 1 0 .
Câu 5. Tìm m để bất phương trình
x 2 2 x 2 2m 1 2 x 2 4 x có tập nghiệm là
.
8 xy
2
2
x y x y 16
Câu 6. Giải hệ phương trình:
.
2 x 2 5 x 2 x y 3x 2 0
Câu 7. Cho tam giác ABC , M là điểm di động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm vị trí
điểm M để P MB 2 MC 2 2MA2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 8. Cho tam giác ABC có ABC 60 . Gọi D là giao điểm của chân đường phân giác trong góc A
với BC , điểm E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB và BC . Đặt
số
AB
x , tính tỉ
AC
S DEF
theo x và tính tỉ số đó khi BD 3, BC 9 .
S ABC
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có AC 2 AB , phương
trình đường chéo BD : x y 1 0 , điểm B có hoành độ âm. Gọi M là trung điểm cạnh BC và
E 3; 4 là điểm thuộc đoạn thẳng AC thỏa mãn AC 4 AE . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C , D , biết
diện tích tam giác DEC bằng 4.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T
3 b c 4a 3c 12 b c
2a
3b
2a 3c
-----------------------HẾT----------------------Trang 36
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 37.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨNG TÀU
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2016 - 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Bài 1 (4,0 điểm) Cho parabol P : y x 2 2 x 3 và đường thẳng d : y x m. Tìm tất cả các
giá trị m để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt A,B nằm về hai phía của đường thẳng có
phương trình
y 1.
Bài 2 (6,0 điểm)
1. Giải phương trình:
1 2 x 1 2 x 2 x2
x 2 ( x y )( y 1) 4 y 3x
2. Giải hệ phương trình:
3 y 1 3x 5 y
Bài 3 (4,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC , trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 4MA 3MB,
2 NA =NC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng:
4 AI 3IB 2IC.
2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và H là trực tâm. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là chân đường cao hạ từ
A,B,C của tam giác ABC. Chứng minh rằng
AH BH CH
6 . Tìm điệu kiện của tam giác ABC
HA1 HB1 HC1
để bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng.
Bài 4 (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M 0;10 là trung điểm của cạnh
AB. Gọi H là hình chiếu của A trên BD, E là điểm đối xứng của D qua H ; K là hình chiếu của
B trên đường thẳng AE. Biết K 9; 3 và điểm H thuộc đường thẳng d có phương trình
x 3 y 20 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 5 ( 2,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
1
1
1
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 a 1 b 1 c
biểu thức P a. 4 b 2 b. 4 c 2 c. 4 a 2 .
Bài 6 (2,0 điểm) Trong một buổi lễ tuyên dương học sinh giỏi, có 9 học sinh được nhận giải thưởng.
Biết rằng cứ ba học sinh bất kì trong nhóm thì luôn có hai học sinh quen biết với nhau. Chứng minh
rằng trong số 9 học sinh này luôn có thể chọn ra 4 học sinh đôi một quen biết nhau.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 37
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 38.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨNG TÀU
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM 2017 - 2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1 (6,0 điểm):
1) Giải phương trình
x 3 +
x2 =
x 2 3x 2
x 3 y 3 x 2 y 2 xy 1 y x
2) Giải hệ phương trình
2
2 x y 3 x 2 y 2 3 x y 4
Câu 2 (4,0 điểm):
1) Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức
S=
2 2
R sin3 A sin3 B sin3 C . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
3
2) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3 . Trên các cạnh BC , CA, AB lần lượt lấy các điểm
N , M , P sao cho BN 1, CM 2, AP x (0 x 3).
a) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB, AC.
b) Tìm giá trị của x để AN vuông góc với PM .
Câu 3 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A, D và
AD CD 2 AB . Điểm I thuộc đoạn AC sao cho AI
3
AC. Biết điểm B(5;3), đường thẳng DI
4
có phương trình 3x y 8 0 và điểm D có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm D.
Câu 4 (3,0 điểm): Cho phương trình x 2 4m 1 x 3m2 2m 0 ( m là tham số).
1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
x13 x23 18 .
2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
Câu 5 (3,0 điểm): Cho 4 số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a b c d 4 . Chứng minh rằng:
a
b
c
d
2.
2
2
2
1 b c 1 c d 1 d a 1 a 2b
Câu 6 (2,0 điểm): Cho 2018 số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 4034. Chứng minh tồn tại 3 số
phân biệt trong 2018 số đã cho mà một số bằng tổng hai số kia.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 38
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 39.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG 2
NĂM 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Câu 1. (4 điểm). Cho hàm số y x 2 2m 3 x 2m 2 1
1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m 0 .
2) Xác định m để đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y 3x 1 tại hai điểm A, B phân biệt sao cho
OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).
Câu 2. (2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x m 1
2x
xác định
x 2m
trên khoảng 1;3 .
Câu 3. (5 điểm). Giải phương trình:
1)
x 2 3x 1 7 2 x
2)
3x 1 4 x 3 5 x 4
3)
3x 3 5 2 x x3 3x2 10 x 26 0
x 2 x3 y xy 2 xy y 1
Câu 4. (2 điểm). Giải hệ phương trình: 4
2
x y xy 2 x 1 1
Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB 1, AC x và BAC 60 . Các điểm M , N được xác
định bởi MC 2 MB và NB 2 NA . Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau.
Câu 6. (2 điểm). Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có
1
GA.GB GB.GC GC.GA ( AB 2 BC 2 CA2 )
6
Câu 7. (2 điểm) . Cho x, y, z 2018; 2019 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
2018.2019 xy 2018.2019 yz 2018.2019 zx
( x y) z
( y z) x
( z x) y
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 39
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 40.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN - THỜI GIAN: 150’
Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình:
a) 2 x 2 7 x 4 ( x 2) 2 x 1
x 2 y 2 1 2 y 2
b)
3 2
( xy 1)(2 y x) 2 x y
Câu 2: (2 điểm) Cho hàm số y 2 x 2 6 x 5 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho
khoảng cách từ M đến A(6, 2) là nhỏ nhất
Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa x y 1 . Chứng minh:
4 x2 4 y 2
3x 2 y
8 x 12 y 5
y
x
Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, gọi D là điểm bất kì trên đoạn AM. Đường
thẳng BD cắt AC tại E, CD cắt AB tại F.
a) Chứng minh EF song song BC.
b) Gọi H là điểm bất kì trên cạnh BC, đường thẳng qua H và song song CD cắt AB tại P. Đường
thẳng qua H và song song BD cắt AC tại Q. Đường thẳng PQ cắt DB và DC lần lượt tại R và S. Chứng
minh PR = SQ.
Câu 5: (3 điểm) Trên bảng người ta viết các số 1, 2,3..., 2015 sau đó thực hiện trò chơi như sau: mỗi
lần xóa hai số tùy ý a, b và viết lên một số mới bằng a b ab , cứ làm như vậy cho đến khi trên bảng
chỉ còn một số duy nhất. Hỏi số còn lại đó là bao nhiêu?
Câu 6: (4 điểm) Bảng giá cước taxi Mai Linh như sau: 10.000đ cho 0,6km đầu tiên, 13.000đ/km cho
đoạn tiếp theo từ 0,6km cho tới 25km và 11.000đ/km cho đoạn tiếp theo từ 25km trở đi.
a) Hãy thiết lập hàm số f ( x) để tính giá tiền phải trả cho quãng đường đi x km.
b) Vẽ đồ thị hàm số y f ( x) với 0 x 50
c) Bạn An sau khi xuống xe đã trả tài xế số tiền là 371.200đ. Hỏi quãng đường bạn An đã đi là bao
nhiêu?
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 40
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 41.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 2
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN - THỜI GIAN: 150’
Câu 1: (6 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình:
a)
2 x 1 x 2 3x 1
5y
x
x2 y x y 2 4
b)
2
2
5 x y x 5 y 5
xy
Câu 2: (3 điểm) Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 2); C (2;3) . Viết phương trình
đường thẳng d đi qua B và cắt AC tại D khác A sao cho AB BD .
a 2 b2
Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương a, b . Chứng minh rằng a b ab
2
Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC , gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho BD 2CD và E là trung
điểm AD . Một đường thẳng bất kì qua E cắt AB, AC tại M và N .
a) Chứng minh
AB 2 AC
6.
AM
AN
b) Tìm vị trí điểm M trên AB sao cho diện tích tam giác AMN bằng
1
diện tích tam giác ABD .
3
Câu 5: (2 điểm) Một cửa hàng có 350 món đồ lưu niệm được bán với các mức giá lần lượt là 1 ngàn,
2 ngàn, 3 ngàn,…, 349 ngàn, 350 ngàn. Bạn Nam có 50 tờ 2 ngàn và 50 tờ 5 ngàn và không có tờ tiền
nào khác. Bạn ấy muốn mua một món đồ lưu niệm và chỉ trả chính xác số tiền của món đồ đó (không
thối lại). Hỏi có bao nhiêu trong số 350 món đồ lưu niệm mà Nam có thể chọn?
Câu 6: (4 điểm) Trên một đường cao tốc hình tròn có 3 trạm thu phí được đặt tại một chiếc cầu, một
con kênh và một đập thủy điện theo chiều kim đồng hồ. Khi qua trạm thu phí tại cầu phải trả 1000đ,
qua trạm tại kênh phải trả 1.500đ, qua trạm tại đập thủy điện phải trả 1.800đ. Một người xuất phát ở vị
trí giữa đập thủy điện và cây cầu đi theo chiều kim đồng hồ cho đến khi phải tổng cộng là 58.400đ.
Hỏi người đó phải trả bao nhiêu ở trạm tiếp theo?
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 41
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 42.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 3
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN: TOÁN - THỜI GIAN: 150’
Câu 1: (6 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình:
a)
2 x2 x 9 2 x2 x 1 x 4
3x3 y 8 2 x3
b) 3
xy 2 x 6
Câu 2: (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) : x2 y 2 2 x 4 y 5 0 và điểm
A(0, 1) . Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC đều.
Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa x y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P x
12 32
x
y
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại
tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng AM OI khi và chỉ khi
2
1
1
.
BC AB AC
Câu 5: (2 điểm) Nhà toán học Hy lạp cổ đại Archimedes đã tìm ra định luật về lực đẩy khi đang
ngâm mình trong bồn tắm. Nhờ lực đẩy này mà một vật thể sẽ có trọng lượng giảm đi khi ở trong
nước. Biết rằng vàng nguyên chất sẽ nhẹ hơn
1
1
lần và bạc nguyên chất sẽ nhẹ hơn
lần khi ở
10
20
trong nước. Một chiếc vương miện làm bằng vàng và bạc nặng 0,9kg và trở nên nhẹ hơn
1
lần khi ở
18
trong nước. hỏi khối lượng bạc trong chiếc vương miện là bao nhiêu?
Câu 6: (3 điểm) Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia và đấu vòng tròn 1 lượt. Đội thắng được 3
điểm, hòa được 1 điểm và thua là 0 điểm. Sau khi kết thúc giải người ta nhận thấy đội vô địch có số
điểm bằng tổng số điểm của hai đội hạng nhì, hạng ba và cũng bằng tổng số điểm của ba đội còn lại.
Tính số điểm của đội vô địch và đội xếp cuối biết rằng đội vô địch thua đúng một trận.
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 42
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 43.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 4
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN: TOÁN - THỜI GIAN: 150’
Câu 1: (5 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình:
a) Giải phương trình: x 2 8 3 x3 8
b) Cho tam thức bậc hai P( x) hệ số thực thỏa x2 2 x 3 P( x) 15x 2 30 x 17, x .
Biết rằng P(13) 2018 , tính P(0) .
Câu 2: (3 điểm) Trong hệ trục Oxy cho A(3;0), B(0; 4) . Biết rằng tồn tại đúng một hình vuông có hai
đỉnh nằm trên đoạn AB và hai đỉnh còn lại nằm trên các đoạn OA, OB . Hãy tìm tọa độ tâm I của
hình vuông đó?
Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa
1 1 1
2 . Chứng minh rằng x y 2 z 2 6 ,
x y z
đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có AB AC . Gọi I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC , gọi D, E lần lượt là giao điểm của AI với BC và đường tròn (O) .
Đường thẳng qua I , vuông góc AI cắt BC tại K , đường thẳng KA, KE cắt lại (O) tại M , N . Các
tia ND, NI cắt lại đường tròn (O) tại Q, P .
a) Chứng minh tam giác INE vuông.
b) Chứng minh rằng PM PQ .
Câu 5: (2 điểm) Trong một câu lạc bộ có 100 học sinh, trong đó có 90 học sinh chơi cầu lông, 80 học
sinh chơi bóng bàn và 70 học sinh chơi bóng đá. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh chơi cả ba môn?
Câu 6: (3 điểm) Tại một công ty có 10 chiếc xe đưa rước nhân viên xuất phát cùng lúc từ một bến xe
đi đến công ty. Mỗi tài xế có hai lựa chọn là:
1) Đi đường quốc lộ không kẹt xe nhưng xa hơn nên mất 40 phút tới công ty.
2) Đi đường nội thành ngắn hơn và chỉ mất 15 phút nếu một xe chạy, nhưng do đường nhỏ nên nếu có
thêm một xe nữa cùng chạy (chỉ xét xe của công ty) thì thời gian đi của các xe sẽ cùng tăng lên 5 phút.
Cứ như thế thời gian sẽ tăng tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm.
Hỏi các tài xế nên thảo luận và chọn ra bao nhiêu xe đi trong nội thành để tổng thời gian đi của 10 xe
là ít nhất?
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 43
THẦY HUY – GV THPT MẠC ĐĨNH CHI
ĐỀ 44.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM
ĐỀ THI OLYMPIC 30/04 TPHCM LẦN 5
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN - THỜI GIAN: 120’
Câu 1: (6 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình:
a)
3x 1
x 2 x 1 3x 2 x 1
x 2 y 2 xy 2 3
b) 2
x 2 xy y 4
Câu 2: (5 điểm)
a) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH . Gọi M là trung điểm BC và D là hình chiếu
vuông góc của M lên AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt cạnh BC tại E . Chứng minh
rằng E là trung điểm CH .
b) Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC với các điểm được định nghĩa như trên, biết rằng
C (7; 4), E (4; 3) và diện tích tam giác AEC bằng 5. Tìm tọa độ điểm A .
Câu 3: (3 điểm) Cho các số thực dương a, b thỏa a b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
a 4 1 b4 1
a
b
Câu 4: (3 điểm) Một nhóm cướp biển gồm 10 tên có một cái rương chứa các đồng tiền vàng. Họ đồng
ý chia số tiền theo quy tắc như sau: Tên cướp thứ nhất nhận dược
được
1
số vàng, tên cướp thứ 2 nhận
10
k
2
số vàng còn lại,… cứ như thế tên cướp thứ k nhận
số vàng còn lại. Biết rằng số đồng
10
10
tiền vàng là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn cách chia trên. Hỏi tên cướp thứ 10 nhận được bao nhiêu
đồng tiền vàng?
Câu 5: (3 điểm) Hai bạn A và B chơi một trò chơi gồm hai vòng, mỗi vòng gồm nhiều trận đấu phân
định thắng thua và không có hòa. Trong vòng 1, ở mỗi trận ai thắng sẽ được 3 điểm và thua thì bị trừ 1
điểm. Trong vòng 2, ở mỗi trận người thắng sẽ được 4 điểm và thua sẽ bị trừ 2 điểm. Biết rằng sau khi
chơi xong thì tổng số điểm của cả hai bạn là 56 và A có nhiều điểm hơn B, mặt khác bạn A đã thắng
tất cả các trận vòng 1 nhưng lại thua tất cả các trận vòng 2. Hỏi ở vòng 1 có thể có ít nhất và nhiều
nhất là bao nhiêu trận?
-----------------------HẾT-----------------------
Trang 44