Tính giới hạn của hàm số

TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH DÙNG HÀM TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ QUY TẮC L’HOSPITAL -GV. Phan Trung HiếuFacebook: Hieu Pt Bài viết chỉ đề cập đến tóm tắt công thức, lý thuyết và đưa ra một số ví dụ minh họa có khả năng gặp phải sai lầm khi giải bài và một số bài toán phức tạp. I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1. Các công thức hàm tương đương:  Với ak  0 : Khi x  0 : an x n  an1 x n1  ...  am x m  ak x min . (Giữ lại số hạng ứng với xmin) Khi x   : an x n  an1 x n1  ...  am x m  ak x max . (Giữ lại số hạng ứng với xmax)   x  x0 0 .  sin u( x )  u( x ) u( x )    x  x0 0 .  arcsin u( x )  u( x ) u( x )    x  x0 0 .  tan u( x )  u( x ) u( x )     ln  1  u( x )  u( x )  u( x )   0 .  e  1  u( x )  u( x )   0 .  a  1  u( x )ln a  u( x )   0 .   1  u( x )  1   u( x )  u( x )   0 . x  x0  arc tan u( x )  u( x ) u( x )  0 . x  x0 u( x ) x  x0 u( x ) x  x0  x  x0 2  u( x)  1  cos u( x )   u(x)  0  . x  x0 2 1.2. Quy tắc thay tương đương của tích và thương: lim f ( x ). g( x )  lim f 1 ( x ).g1 ( x ) x  x0 f ( x ) ~ f ( x )   x  x0 1  .  f (x) f (x )  lim 1  g( x ) ~ g1 ( x ) lim  x  x 0 g( x ) x  x0 g 1 ( x ) Chú ý: Không dùng quy tắc thay tương đương cho tổng, hiệu lim f ( x )  g( x )  lim f 1 ( x )  g1 ( x )  f (x) ~ f 1 (x) x  x0  x x .  0  g ( x ) ~ g ( x ) lim f ( x )  g ( x )  lim f ( x )  g ( x ) 1 1 1   x x0 x  x0 Khi gặp tổng, hiệu, ta dùng các quy tắc sau 1 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp 1.3. Quy tắc thay tương đương của tổng các VCB:  f 1 ( x ) ~ a1 x n1  n  f 2 ( x ) ~ a2 x 2 Khi x  0, ta có  , suy ra ...  f ( x ) ~ a x nm m  m f 1 ( x )  f 2 ( x )  ...  f m ( x )  Tổng các số hạng ứng với xmin. Chú ý: Nếu lấy tổng ra 0 thì không làm được. 1.4. Quy tắc thay tương đương của tổng các VCL:  f 1 ( x ) ~ a1 x n1  n  f 2 ( x ) ~ a2 x 2 Khi x   , ta có  , suy ra ...  f ( x ) ~ a x nm m  m f 1 ( x )  f 2 ( x )  ...  f m ( x )  Tổng các số hạng ứng với xmax. Chú ý: Nếu lấy tổng ra 0 thì không làm được. 1.5. Các công thức đạo hàm: Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) STT Đạo hàm (C )  0 (C  const ) 1 ( x )   .x 1 (u )   .u 1 .u  1  1    2 x x 1 ( x )  2 x  1  u    2 u u u ( u )  2 u 5 ( ax )  a x .ln a , ( a : hằng > 0) ( au )  au .(ln a).u 6 ( e x )  e x ( eu )  eu .u 7 (log a x )  8 1 (ln x )  x u (ln u)  u 9 (sin x )  cos x (sin u)  (cos u).u 10 (cos x )   sin x (cos u)  (sin u).u 11 (tan x )  2 3 4 1 , (0  a  1) x.ln a (log a u)  1  1  tan 2 x 2 cos x (tan u)  (  const ) u u.ln a u  (1  tan 2 u).u 2 cos u 2 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp u (cot u)   (1  cot 2 u).u 2 sin u u (arc sin u)  1  u2 u (arc cos u)  1  u2 u (arc tan u)  1  u2 u (arc cot u)  1  u2 1  (1  cot 2 x ) 2 sin x 1 (arc sin x )  13 1  x2 1 (arc cos x )  14 1  x2 1 (arc tan x )  15 1  x2 1 (arc cot x )  16 1  x2 1.6. Quy tắc L’Hospital: Điều kiện sử dụng: 12 (cot x )  Dùng để tính giới hạn lim x  x0  lim x  x0 f (x) 0  có dạng vô định hoặc . 0  g( x ) f ( x ) tồn tại. g( x ) Công thức tính: lim x  x0 f (x) f ( x ) (Đạo hàm tử chia cho đạo hàm mẫu).  lim g( x ) x x0 g( x ) Chú ý: Cả tử và mẫu đều phải lấy đạo hàm, không được giữ lại cái này và lấy đạo hàm cái kia. Có thể dùng quy tắc L’Hospital nhiều lần. 3 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH 0  HOẶC 0  Vận dụng các quy tắc thay tương đương và quy tắc L’Hospital được trình bày trong Mục I với các chú ý sau: Nếu hàm ban đầu phức tạp, khó tính đạo hàm thì ta nên dùng quy tắc thay tương đương để làm gọn, đẹp hàm. Không được dùng đồng thời cả hai quy tắc thay tương đương và quy tắc L’Hospital trong cùng 1 dấu bằng, nghĩa là không được làm như sau f (x ) f (x )  lim 1 f ( x ) ~ f 1 ( x ) , khi đó lim . x  x0 g( x ) x x0 g( x ) Ví dụ 1: Tính lim x 0 x(1  cos x )  2  e x  1 tan x . Nhận xét:  Thay x = 0, ta thấy có dạng vô định 0 . 0  Dùng quy tắc L’Hospital sẽ phức tạp. Bài giải: Dùng quy tắc thay tương đương cho tích và thương (Xem Mục 1.2). Khi x  0 , ta có x ~ x x3  2  x(1  cos x ) ~  x 2 1  cos x ~  2 và 2  e x  1 ~ x 2 2  ( e x  1)tan x ~ x 3 .  tan x ~ x x3 x(1  cos x ) 1 1 Suy ra lim 2  lim 23  lim  . x x 0 x 0 2 2 e  1 tan x x 0 x   4 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp x3  x2  x  1 . x 1 x  ln x  1 Sai lầm thường gặp: Dùng L’Hospital một cách ngây thơ! x3  x2  x  1 (L) 3x 2  2 x  1 ( L ) 6x  2 ( L ) 6 6 lim  lim  lim  lim   3. x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 1 x  ln x  1 2 1 2 3 x x x Bài giải đúng: Ví dụ 2: Tính lim x3  x2  x  1 (L) 3x 2  2 x  1 2  lim   1. x 1 x 1 1 x  ln x  1 2 1 x Chú ý: Mỗi lần dùng L’Hospital hoặc quy tắc thay tương đương xong thì phải thay x  x0 vào hàm số, xem coi ra kết quả chưa. Nếu ra kết quả rồi thì ngưng, còn nếu vẫn lim ra vô định thì mới dùng L’Hospital hoặc quy tắc thay tương đương để khử vô định tiếp. 1   1 Ví dụ 3: Tính lim  2  . x 0 x sin 2 x   Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1 (Dùng quy tắc thay tương đương cho hiệu):  sin 2 x  x 2 1   1 lim  2   lim   x 0 x sin 2 x  x 0  x 2 .sin 2 x   .  Khi x  0 , ta có sin 2 x ~ x 2 , suy ra  sin 2 x  x 2   x2  x2  lim  2  lim  0   0.  x 0  2 2   lim 2 x 0 x 0 x .sin x x . x     Sai lầm 2 (Dùng cả hai quy tắc thay tương đương và L’ Hospital trên dùng một dấu bằng):  sin 2 x  x 2   2 sin x cos x  2 x  lim  2  lim    (Đạo hàm tử, còn mẫu thì dùng tương đương!!!) 2 x 0 x 2 .x 2   x .sin x  x 0   sin 2 x  2 x   lim   x 0 x4   (L)  2 cos 2 x  2   lim   x 0 4x 3   (L)  4 sin 2 x   lim   2 x 0  12 x  (L)  8 cos 2 x   lim    . x 0  24 x  5 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp Bài giải đúng:  sin 2 x  x 2  0 1   1 Đặt A  lim  2   2  (Dạng vô định ).   lim 2 2 x 0 x x  0 0 sin x    x .sin x  Khi x  0 , ta có sin 2 x ~ x 2 , suy ra  sin 2 x  x 2 A  lim  2 2 x 0  x .x   sin 2 x  x 2    lim   x4  x 0   (L)  2 sin x cos x  2 x   lim   x 0 4x 3    sin 2 x  2 x   lim   x 0 4x 3   (L)  2 cos 2 x  2   lim   x 0 12 x 2   (L)  4 sin 2 x   lim   x 0  24 x  (L)  8 cos 2 x  1  lim   . x 0 24   3 Nhận xét: Trong bài giải trên, ta đã giữ lại tử số và dùng quy tắc thay tương đương để làm đẹp mẫu số. Khi đó, tử và mẫu đã dễ lấy đạo hàm và ta dùng quy tắc L’Hospital để làm tiếp. x1 1 . x 0 3  2 x  9 Sai lầm thường gặp: Ví dụ 4: Tính lim Khi x  0 , ta có x  1  1 ~ 1  1  0 , suy ra lim x 0 x1 1  lim 0  0. 3  2 x  9 x 0 Bài giải đúng: lim x 0 (L)  lim x 0 0 x1 1 (Dạng vô định ) 0 3  2x  9 1 2 x1 1 2 x9  1 2 x  9 3 lim  . x  0 2 2 x1 6 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp ln(1  e x ) . x  1 x Sai lầm thường gặp: Ví dụ 5: Tính lim ln(1  e x ) ex ( L ) ex  lim  lim  . x  x  1  x x  1 1 x Sai lầm ở đây là việc dùng công thức ln  1  u( x )  u( x ) mà quên rằng điều kiện để Khi x   , ta có ln(1  e x ) ~ e x , suy ra lim x x0 dùng phải là u( x )   0 . Ở bài này, u( x )  e x   khi x   nên ta không dùng được công thức đó. ex x ln(1  e x ) ( L ) ex (L) ex Bài giải đúng: lim  lim 1  e  lim  lim  lim 1  1. x  x  x  1  e x x  e x x  1 x 1 ln(cos x ) Ví dụ 6: Tính lim . x 0 arctan 2 x  2 x 2 Nhận xét: 0  Thay x = 0, ta thấy có dạng vô định . 0  Nếu dùng quy tắc L’Hospital ngay từ đầu sẽ phức tạp. Do đó, ta nên dùng quy tắc thay tương đương để làm đẹp tử và mẫu trước.  Nếu dùng quy tắc thay tương đương cho ln(cos x ) thì chưa làm được liền, vì nó chưa   x x0  0 . Nhận thấy, ln(cos x ) bị thiếu số 1 có dạng công thức ln  1  u( x )  u( x ) u( x )  bên trong nên ta thử thêm, bớt 1 vào   ln(cos x )  ln  1  (cos x 1) (OK ).   u ( x )0    Dưới mẫu có dạng tổng của các VCB, nên ta dùng quy tắc thay tương đương của tổng các VCB (Xem Mục 1.3). Bài giải: ln  1  (cos x  1) ln(cos x ) .  lim 2 2 x 0 arctan x  2 x x 0 arctan 2 x  2 x 2 Khi x  0 , ta có Đặt A  lim ln  1  (cos x  1) ~ cos x  1, arctan 2 x ~ x 2  arctan 2 x  2 x 2 ~ 3x 2 .  2 2 2 x ~ 2 x cos x  1 ( L )  sin x ( L )  cos x 1 Suy ra A  lim  lim  lim  . x 0 x 0 x 0 3x 2 6x 6 6 7 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp Ví dụ 7: Tính lim x  x 1  x2 . Nhận xét:  .   Nếu dùng quy tắc L’Hospital nhiều lần thì sẽ quay lại từ đầu (Thử đi rồi sẽ biết )  Thay x =  , ta thấy có dạng vô định Sai lầm thường gặp: Khi x   , ta có 1  x 2 ~ x 2  x , suy ra x x lim  lim  lim 1  1. x  1  x 2 x x x  Bài giải: 1  x 2 ~ x 2  x  x (vì x < 0), suy ra Khi x   , ta có lim x  Ví dụ 8: Tính lim x  x 1 x x2  4  2x  3 x x2  4  x  lim 2 x  x  lim ( 1)  1. x x . Nhận xét:  Nếu dùng quy tắc L’Hospital thì lấy đạo hàm hơi phức tạp.  Tử và mẫu có dạng tổng của các VCL, nên ta dùng quy tắc thay tương đương của tổng các VCL (Xem Mục 1.4). Bài giải: Khi x   , ta có  x2  4 ~ x2  x  x,   x 2  4  2 x  3 x ~ 3x 2 x ~ 2 x ,  1/2 3 x ~ 3x và  x 2  4 ~ x 2  x  x ,  x 2  4  x ~ 2 x.  x ~ x Suy ra lim x  x 2  4  2x  3 x x2  4  x 3x 3 3  lim  . x  2 x x  2 2  lim 8 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp Ví dụ 9: Tính lim x 0 1  cos x  2 sin x  sin 3 x  x 2  3x 4 . tan 3 x  6 sin 2 x  x  5x 3 Nhận xét:  Hàm số ở tử và mẫu quá phức tạp nên ta dùng quy tắc thay tương đương để làm gọn lại.  Tử và mẫu có dạng tổng của các VCB, nên ta dùng quy tắc thay tương đương của tổng các VCB (Xem Mục 1.3). Bài giải: Khi x  0 , ta có 1 2  1  cos x ~ 2 x ,  2 sin x ~ 2 x ,  3 3 3 2 4  sin x ~ x ,  1  cos x  2 sin x  sin x  x  3x ~ 2 x  2 2 x ~ x ,  3x 4 ~ 3x 4   và tan 3 x ~ x 3 ,  2 2 6 sin x ~ 6 x ,  tan 3 x  6 sin 2 x  x  5x 3 ~ x.  x ~ x , 5x 3 ~ 5x 3  1  cos x  2 sin x  sin 3 x  x 2  3x 4 2x Suy ra lim  lim  lim 2  2. 3 2 3 x 0 x 0 x x 0 tan x  6 sin x  x  5x Ví dụ 10: Tính lim x 2 e 3 x . x  Nhận xét:  Thay x =  , ta thấy có dạng vô định 0. . f 1 g 0  bằng cách f .g (0.)   .  Đưa về dạng hoặc g 0  1 f x2 (L) 2x (L) 2  lim  lim 3 x  0.  3 x  3 x x  e x  3 e x  9 e Bài giải: lim x 2 e 3 x  lim x  9 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp 1  sin x  1 cos x Ví dụ 11: Tính lim  .  x 0  x  Nhận xét:  Thay x = 0  , ta thấy có dạng vô định 1 .  Giới hạn có dạng lim  f ( x ) x  x0 Đặt A  lim  f ( x ) x  x0 g( x ) g( x ) , ta làm như sau  ln A  lim ln  f ( x ) g( x ) x  x0  ln A  lim g( x )ln  f ( x )  b  A  eb . x  x0 1  sin x  1 cos x Bài giải: Đặt A  lim   x 0  x  1  sin x  1 cos x  ln A  lim ln   x 0  x   ln A  lim x 0 1 1  sin x   sin x  ln  ln  1  1 .   lim   1  cos x  x  x 0 1  cos x  x  Khi x  0 , ta có  sin x  sin x  sin x  x  1  0  ln  x  1  1  ~ x  1   .  2 1  cos x ~ x  2 Suy ra sin x 1 sin x  x ( L ) cos x  1 ( L )  sin x ( L )  cos x 1 x ln A  lim  lim  lim  lim  lim  . 2 3 2    x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 3x 3x 3 3 2 2 2 1 Vậy A  e 3 . 10 GV. Phan Trung Hiếu–DĐ: 098 843 9630–Facebook: Hieu Pt. Nhận dạy Toán 10-11-12 tại quận Tân Phú & Gò Vấp