Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia

SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THQG https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 NỘI DUNG CÂU HỎI Câu 1. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 3z + 5 = 0. Giá trị của |z1 | + |z2 | bằng √ A. 2 5. B. 3. C. √ 5. D. 10. Lời giải. √ √ 11 11 3 3 Phương trình z − 3z + 5 = 0 có hai nghiệm là z1 = − i; z2 = + i. 2 2 2 2 sÅ ã Ç √ å2 √ 3 2 11 + Do đó |z1 | + |z2 | = 2 · = 2 5. 2 2 Chọn đáp án A 2 Câu 2. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào? A. z = 1 + 2i. B. z = 1 − 2i. C. z = −2 + i. D. z = 2 + i.  y M 1 −2 x O Lời giải. Ta có M (−2; 1) là điểm biểu diễn của số phức có phần thực bằng −2 và phần ảo bằng 1. Suy ra điểm biểu diễn của M là số phức z = −2 + i.  Chọn đáp án C Câu 3. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z = −1+2i A. N . B. P . C. M . y D. Q. Q P 2 1 −2 −1 N 2 x −1 M Lời giải. Số phức z = −1 + 2i có phần thực −1, phần ảo 2 nên có điểm biểu diễn tọa độ (−1; 2) chính là Q.  Chọn đáp án D Câu 4. Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a + (b + i)i = 1 + 2i với i là đơn vị ảo. 1 A. a = 0, b = 2. B. a = , b = 1. C. a = 0, b = 1. D. a = 1, b = 2. 2 Lời giải. ( a=1 Ta có 2a + (b + i)i = 1 + 2i ⇔ (2a − 1) + bi = 1 + 2i ⇔ b = 2.  Chọn đáp án D Câu 5. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 3z + 5 = 0. Giá trị của |z1 | + |z2 | bằng √ √ A. 2 5. B. 5. C. 3. D. 10. Lời giải. √  3 + 11i z = √ √ 2√ z 2 − 3z + 5 = 0 ⇔  ⇒ |z1 | = |z2 | = 5 ⇒ |z1 | + |z2 | = 2 5.  3 − 11i z= 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 6. Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2i)(z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. (1; −1). B. (1; 1). C. (−1; 1). D. (−1; −1). Lời giải. Giả sử z = a + bi, (a, b ∈ R), ta được (z + 2i)(z + 2) = [a + (b + 2)i][(a + 2) − bi] = [a(a + 2) + b(b + 2)] + [(a + 2)(b + 2) − ab]i. (z + 2i)(z + 2) là số thuần ảo khi và chỉ khi a(a + 2) + b(b + 2) = 0 ⇔ (a + 1)2 + (b + 1)2 = 2 nên tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn phương trình (x + 1)2 + (y + 1)2 = 2 có tâm I(−1; −1).  Chọn đáp án D Câu 7. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|2 = 2|z + z| + 4 và |z − 1 − i| = |z − 3 + 3i| ? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Gọi z = x + yi (x; y ∈ R). Ta có |z|2 = 2|z + z| + 4 ⇔ x2 + y 2 = 4|x| + 4 " 2 x + y 2 − 4x − 4 = 0, x ≥ 0 (1) ⇔ x2 + y 2 + 4x − 4 = 0, x < 0. (2) Mặt khác |z − 1 − i| = |z − 3 + 3i| ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = (x − 3)2 + (y + 3)2 ⇔ 4x = 8y + 16 ⇔ x = 2y + 4 (3) + Thay (3) vào (1) ta được (2y + 4)2 + y 2 − 4(2y + 4) − 4 = 0 ⇔ 5y 2 + 8y − 4 = 0  2 24 y= ⇒x= (nhận) 5 5 ⇔  y = −2 ⇒ x = 0 (nhận). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 + Thay (3) vào (2) ta được (2y + 4)2 + y 2 + 4(2y + 4) − 4 = 0 ⇔5y 2 + 24y + 28 = 0  y = −2 ⇒ x = 0 (loại) ⇔ . 8 14 y = − ⇒ x = − (nhận) 5 5 Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện.  Chọn đáp án B Câu 8. Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là M (1; −2)? A. −1 − 2i. Lời giải. C. 1 − 2i. B. 1 + 2i. D. −2 + i. M (1; −2) là điểm biểu diễn cho số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng −2, tức là 1 − 2i.  Chọn đáp án C Câu 9. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz + (1 − i)z = −2i bằng B. −2. A. 6. Lời giải. D. −6. C. 2. Số phức z có dạng z = x + yi, (x, y ∈ R). Ta có iz + (1 − i)z = −2i ⇔ i(x + yi) + (1 − i)(x − yi) = −2i ⇔ x − 2y − yi = −2i ( ( x=4 x − 2y = 0 ⇔ ⇔ − y = −2 y = 2. Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là x + y = 4 + 2 = 6.  Chọn đáp án A Câu 10. Cho a, b ∈ R và thỏa mãn (a + bi)i − 2a = 1 + 3i, với i là đơn vị ảo. Giá trị a − b bằng A. 4. Lời giải. B. −10. C. −4. D. 10. ( Ta có (a + bi)i − 2a = 1 + 3i ⇔ −2a − b + ai = 1 + 3i ⇔ − 2a − b = 1 a=3 ⇔ ( a=3 b = −7. Vậy a − b = 3 + 7 = 10.  Chọn đáp án D Câu 11. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 |z − i| = |z − z + 2i| là A. một điểm. B. một đường tròn. C. một đường thẳng. D. một Parabol. Lời giải. Gọi z = x + yi; x, y ∈ R. Ta có 2 |z − i| = |z − z + 2i| ⇔ 4 |z − i|2 = |z − z + 2i|2 ⇔ 4 |x + yi − i|2 = |x + yi − (x − yi) + 2i|2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12   ⇔ 4 x2 + (y − 1)2 = 4(y + 1)2 ⇔ 4x2 − 16y = 0 ⇔ x2 = 4y Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một Parabol.  Chọn đáp án D Câu 12. Gọi S là tập hợp các số phức thỏa mãn |z − 1| = √ 34 và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i|, trong đó m ∈ R. Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc S sao cho |z1 − z2 | lớn nhất, khi đó giá trị của |z1 + z2 | bằng A. 2. B. 10. C. √ 2. D. √ 130. Lời giải. Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R). √ Khi đó |z − 1| = 34 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 34. Mặt khác |z + 1 + mi| = |z + m + 2i| ⇔ 2(m − 1)x + 2(2 − m)y + 3 = 0. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn (C) : (x − 1)2 + y 2 = 34 và đường thẳng d : 2(m − 1)x + 2(2 − m)y + 3 = 0. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 , z2 . Suy ra (C) ∩ d = {A, B}. √ √ √ |z Mặt khác |z1 − z2 | = AB ≤ 2R = 2 34 do đó max 1 − z2 | = 2 34 ⇔ AB = 2 34 ⇔ I(1; 0) ∈ d. " z1 = 6 + 3i 1 Từ đó m = − nên ta có d : 3x − 5y − 3 = 0 ⇒ 2 z2 = −4 − 3i. Vậy z1 + z2 = 2.  Chọn đáp án A Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn z = 3 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực bằng −3, phần ảo bằng 2. C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2. B. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2. D. Phần thực bằng −3, phần ảo bằng −2. Lời giải. Vì z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i. Do đó số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2.  Chọn đáp án C Câu 14. Cho các số phức z thỏa mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (4 − 3i)z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. √ A. r = 5. B. r = 2 5. C. r = 10. D. r = 20. Lời giải. Cách 1: Giả sử w = x + yi ⇒ z = x + yi − 3 + 2i 4x − 3y − 18 3x + 4y − 1 = + i. 4 − 3i 25 25 Theo bài ra ta có » (4x − 3y − 18)2 + (3x + 4y − 1)2 |z| = 2 ⇔ =2 25 ⇔ (4x − 3y − 18)2 + (3x + 4y − 1)2 = 2500 ⇔ x2 + y 2 − 6x + 4y + 13 = 100 ⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 100. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w theo yêu cầu là đường tròn có tâm I(3, −2) và bán kính r = 10. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cách 2: Đặt w = x + yi (x, y ∈ R), ta có w = 3 − 2i + (4 − 3i)z ⇔ w − (3 − 2i) = (4 − 3i)z ⇔ |w − (3 − 2i)| = |(4 − 3i)z| ⇔ |(x − 3) + (y + 2)i| = |4 − 3i||z| » » ⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 42 + (−3)2 · 2 ⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 100 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (4 − 3i)z là một đường tròn có tâm I(3, −2), bán kính r = 10.  Chọn đáp án C Câu 15. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là A. 1 và 2. B. 1 và i. C. 1 và 2i. D. 2 và 1. Lời giải. Số phức z có phần thực là 1 và phần ảo là 2. Chọn đáp án A  Câu 16. Cho√số phức z thỏa mãn z(2 − i) + 13i = 1. Tính môđun của số phức z. √ √ 5 34 34 A. |z| = . B. |z| = 34. C. |z| = . D. |z| = 34. 3 3 Lời giải. p √ 1 − 13i = 3 − 5i ⇒ |z| = 32 + (−5)2 = 34. Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇔ z = 2−i Chọn đáp án D  Câu 17. Cho số phức z = 2 − 3i. Số phức liên hợp của số phức z là: A. z = 3 − 2i. C. z = −2 − 3i. B. z = 3 + 2i. D. z = 2 + 3i. Lời giải. Do định nghĩa số phức liên hợp nên số phức liên hợp của z = 2 − 3i là z = 2 + 3i.  Chọn đáp án D Câu 18. Trong các số phức z thỏa mãn: |z − 1 + i| = |z + 1 − 2i|, số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 A. . 10 Lời giải. B. 3 . 5 3 C. − . 5 D. − 3 . 10 Đặt z = x + iy (với x, y ∈ R và i2 = −1). Khi đó, |z − 1 + i| = |z + 1 − 2i| ⇔ |(x − 1) + i(y + 1)| = |(x + 1) − i(y + 2)| ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 2)2 ⇔ 4x + 2y + 3 = 0 3 ⇔ y = −2x − . 2 Ta có p |z| = x2 + y 2 = x2 Å ã 3 2 + −2x − = 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 6 … Å ã 3 2 9 9 5 x+ + ≥ . 5 20 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12   3 3   x = − x = − 5 5 ⇔ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3   y = − 3 . y = −2x − 2 10 Chọn đáp án D  Câu 19. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i với i là đơn vị ảo. 2 C. x = 3; y = −3. D. x = −3; y = −1. A. x = 3; y = −1. B. x = ; y = −1. 3 Lời giải. Ta có ( ( 3x + 3 = 4x x=3 (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i ⇔ (3x + 3) + (2y − 1)i = 4x − 3i ⇔ ⇔ 2y − 1 = −3 y = −1.  Chọn đáp án A 2 Câu 20. Kí√hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z √ −z +1 = 0. Tính P = |z√1 |+|z2 |. 14 3 2 2 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 3 3 3 3 Lời giải. √  1 − i 11 z1 = 6√ . 2 Ta có 3z − z + 1 = 0 ⇔   1 + i 11 z2 = 6 √ å sÅ ã Ç √ … 2 2 1 2 3 11 1 Do đó P = |z1 | + |z2 | = 2 =2 = . + 6 6 3 3  Chọn đáp án D Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết |z −(2−3i)| ≤ 2. A. Một đường thẳng. B. Một hình tròn. C. Một đường tròn. D. Một đường elip. Lời giải. » Đặt z = x + yi, |z − (2 − 3i)| = |(x − 2) + (y + 3) i| = (x − 2)2 + (y + 3)2 . » Do đó |z − (2 − 3i)| ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 4. Vậy điểm biểu diễn số phức z nằm trên hình tròn có bán kính r = 2. Chọn đáp án B  Câu 22. Biết rằng đồ thị hàm số y = x4 − 2ax2 + b có một điểm cực trị là (1; 2). Khi đó khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho bằng √ √ √ A. 2. B. 26. C. 5. D. 2. Lời giải. Dựa vào điểm cực trị ta tìm được a = 1; b = 3. Tọa độ điểm cực đại A(0; 3), tọa độ một điểm cực tiểu là B(1; 2). √ Khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu là AB = 2.  Chọn đáp án D Câu 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn |z + 2 − i| + |z − 4 − i| = 10 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 12π. Chương 3-Giải tích 12 B. 20π. C. 15π. D. Đáp án khác. Lời giải. Phương pháp: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức bài cho sau đó tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các điểm đó. Cách giải: Ta có |z + 2 − i| + |z − 4 − i| = 10 ⇔ |z − (−2 + i)| + |z − (4 + i)| = 10 (∗). Gọi z = x + yi ⇒ M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Gọi A (−2; 1) là điểm biểu diễn cho số phức −2 + i và B (4; 1) là điểm biểu diễn cho số phức 4 + i. Từ (∗) ⇒ M A + M B = 10 nên tập hợp điểm M là elip có A, B là hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng 10. Ta có AB = √ 62 = 6 = 2c ⇒ c = 3 và M A + M B = 2a = 10 ⇒ a = 5. ⇒ b2 = a2 − c2 = 52 − 32 = 42 ⇒ b = 4. Vậy S(E) = π · ab = π · 5 · 4 = 20π.  Chọn đáp án B Ä√ ä2019 Câu 24. Cho khai triển 3+x = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + a2019 x2019 . Hãy tính tổng S = a0 − a2 + a4 − a6 + . . . + a2016 − a2018 . A. Ä√ ä1009 3 . C. 22019 . B. 0. D. 21009 . Lời giải. Phương pháp: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức: (a + b)n = n P Ckn an−k bk . k=0 2019 Ä√ ä2019 X Ä√ äk Ck2019 3+x = 3 x2019−k k=0 = C02019 Ä√ ä2019 Ä√ ä2018 √ 2018 2019 3 + C12019 3 x + . . . + C2018 · 3x + C2019 2019 2019 x = a + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + a2019 x2019 .  0  1 khi m = 4l     i khi m = 4l + 1 m Ta có: i = (l ∈ Z).  − 1 khi m = 4l + 2      −i khi m = 4l + 3 Chọn x = i ta có: 2019 Ä√ ä2019 X Ä√ äk
3+i = Ck2019 3 i2019−k i2 = −1 k=0 = C02019 Ä√ ä2019 Ä√ ä2018 √ 2019 3 + C12019 3 i + . . . + C2018 3 · i2018 + C2019 2019 · 2019 i = a0 + a1 i + a2 i2 + a3 i3 + . . . + a2018 i2018 + a2019 i2019 = a0 + a1 i − a2 − a3 i + . . . − a2018 − a2019 i. Chọn x = −i ta có: Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ä√ Chương 3-Giải tích 12 2019 ä2019 X Ä√ äk 3−i = Ck2019 3 (−i)2019−k k=0 = C02019 Ä√ ä2019 Ä√ ä2018 √ 2019 3 − C12019 3 i − . . . + C2018 3 · i2018 − C2019 2019 · 2019 i = a0 − a1 i + a2 i2 − a3 i3 + . . . + a2018 i2018 − a2019 i2019 = a0 − a1 i − a2 + a3 i + . . . − a2018 + a2019 i. Ä√ ä2019 Ä√ ä2019 ⇒ 3+1 3−1 + = 2 (a0 − a2 + a4 − a6 + . . . + a2016 − a2018 ) . i h h Ä√ ä3 673 Ä√ ä3 i673 3+1 + 3−1 = (8i)673 + (−8i)673 = 0 ⇔ 2S = ⇔ 2S = 8673 · i673 − 8673 · i673 = 0 ⇔ S = 0. Chọn đáp án B  Câu 25 (2D4B1-2). Cho số phức z = 2 + 5i. Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. (5; 2). B. (2; 5). C. (−2; 5). D. (2; −5). Lời giải. Phương pháp: Số phức z = a + bi, (a; b ∈ R) có điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng Oxy là (a; b). Cách giải: Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là (2; 5).  Chọn đáp án B Câu 26. Đồ thị hàm số nào đi qua điểm M (1; 2)? x2 − x + 1 −2x − 1 . B. y = 2x3 − x + 1. C. y = . A. y = x+2 x−2 Lời giải. D. y = −x4 + 2x2 − 2. Phương pháp: Thay tọa độ của điểm M vào các hàm số. Cách giải: Ta có 2 = 2 · 13 − 1 + 1 ⇒ M (1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = 2x3 − x + 1.  Chọn đáp án B Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z = 6 − 3i. Phần thực của số phức z là: A. −3. B. 3. C. 0. D. −3i. Lời giải. Phương pháp: Giải phương trình phức cơ bản tìm số phức z. Cách giải: Ta có (1 + 2i) z = 6 − 3i 6 − 3i ⇔z = 1 + 2i (6 − 3i) (1 − 2i) ⇔z = (1 + 2i) (1 − 2i) 6 − 12i − 3i − 6 ⇔z = = −3i. 1+4 Phần thực của số phức z là 0.  Chọn đáp án C Câu 28. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 2018 = 0. Khi đó giá trị biểu thức A = |z1 + z2 − z1 z2 | bằng A. 2017. B. 2019. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 2018. 9 D. 2016. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Phương pháp: Sử dụng định lý Vi-ét. " Cách giải: z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 2018 = 0 ⇒ z1 + z2 = 2 z1 z2 = 2018. A = |z1 + z2 − z1 z2 | = |2 − 2018| = 2016.  Chọn đáp án D √ Câu 29. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 2i| = 2 và z 2 là số thuần ảo? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Phương pháp: Gọi số phức đó là z = a + bi, (a, b ∈ R). Tìm điều kiện của a, b. Cách giải: Gọi số phức đó là z = a + bi, (a, b ∈ R). Ta có: √ √ |z − 2i| = 2 ⇔ |a + bi − 2i| = 2 ⇔ a2 + (b − 2)2 = 2 (1) " z 2 = (a + bi)2 = (a2 − b2 ) + 2abi là số thuần ảo ⇒ a2 − b2 = 0 ⇔ a=b a = −b. a = b. Thay vào (1): a + (a − 2) = 2 ⇔ 2a − 4a + 2 = 0 ⇔ a = 1 = b ⇒ z = 1 + i. 2 2 2 a = −b. Thay vào (1): a2 + (−a − 2)2 = 2 ⇔ 2a2 + 4a + 2 = 0 ⇔ a = −1, b = 1 ⇒ z = −1 + i. Vậy, có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Chọn đáp án C Câu 30. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = 3, |z2 | = 4, |z1 − z2 | = a + bi,√ (a, b ∈ R). Khi đó |b| bằng√ 3 3 3 A. . B. . 8 8 Lời giải. √ 41. Xét số phức z = √ 2 C. . 4 z1 = z2 √ D. 5 . 4 Phương pháp: Biểu diễn lượng giác của số phức. |z1 | z1 = , z2 6= 0. |z2 | z2 Cách giải: Cách 1: Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 . 2 2 √ ’ = 3 + 4 − 41 = − 2 . Theo đề bài, ta có OA = 3, OB = 4, AB = 41. ⇒ cos AOB 2·3·4 3 Đặt z1 = 3 (cos ϕ + i sin ϕ) . ⇒ z2 = 4 (cos (ϕ ± AOB)) = 4 (cos (ϕ ± α) + i sin (ϕ ± α)) Ä ä ’ . α = AOB z1 3 (cos ϕ + i sin ϕ) = z2 4 (cos (ϕ ± α) + i sin (ϕ ± α)) 3 = · (cos ϕ + i sin ϕ) (cos (ϕ ± α) − i sin (ϕ ± α)) 4 3 = [(cos ϕ · cos (ϕ ± α) + sin ϕ · sin (ϕ ± α)) + i (sin ϕ · cos (ϕ ± α)) − cos ϕ · sin (ϕ ± α)] 4 3 3 = [cos (±α) + i · sin (±α)] = · (cos α ± i sin α) . 4 4 Å ã2 √ 3 3 2 5 ⇒ b = ± sin α ⇒ |b| = 1− = . 4 4 3 4 ⇒ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebra