Phân loại dạng và phương pháp giải nhanh hình không gian

Ví dụ minh họa Hình 1 : Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc mới mặt phẳng  ABC  , AC  AD  4a , AB  3a , BC  5a . Thể tích khối tứ diện ABCD là A. 4a3 . C. 8a 3 . B. 3a 3 . D. 6a 3 . Hƣớng dẫn giải :Ta có BC 2  25a2  16a2  9a2  AC 2  AB2 nên ABC vuông tại A . S ABC  1 1 AB. AC  .3a.4a  6a 2 . 2 2 1 1 Vậy VABCD  . AD.S ABC  .4a.6a 2  8a3 . 3 3 Chọn C HÌNH 2 Hình chóp tam giác đều S.ABC S  Đáy là tam giác đều ABC .  Đường cao SG , với G là trọng tâm tam giác ABC .  Cạnh bên SA, SB, SC hợp với đáy một góc bằng nhau. A C  Góc giữa cạnh bên với đáy bằng SAG (hoặc SCG, SBG ).  Mặt bên SAB, SBC, SCA hợp với đáy một góc bằng nhau. G M B  Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMG . Ví dụ minh họa Hình 2 : Cho hình chóp đều S. ABC có SA  2a ; AB  a . Thể tích khối chóp S. ABC là. a3 a 3 11 a 3 11 a3 3 . D. . C. . B. . A. 4 12 12 12 Hƣớng dẫn giải : Gọi I là trung điểm của BC , O là trọng tâm tam giác ABC . Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC  3 2 a . 4 AI  3 2 3 a ; AO  AI  a. 2 3 3 Xét tam giác SAO vuông tại O có SO  SA2  AO 2  4a 2  a2 33  a. 3 3 1 1 33 3 2 11 3 Vậy thể tích khối chóp S. ABC là VS . ABC  SO.S ABC  . a. a  a . 3 3 3 4 12 Chọn C HÌNH 3 Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) và SA vuông góc với đáy S  Đáy là hình chữ nhật (hình vuông) ABCD .  Đường cao SA .  Cạnh bên SB, SC, SD, SA . A B  SAB, SAC, SAD là các tam giác vuông tại A .  Góc giữa cạnh SB với đáy ABCD là góc SBA . D C  Góc giữa cạnh SC với đáy ABCD là góc SCA .  Góc giữa cạnh SD với đáy ABCD là góc SDA . Ví dụ minh họa Hình 3 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 450 và SC  2a 2 . Thể tích khối chóp S. ABCD bằng: A. a3 . 3 B. 2a 3 . 3 C. Hƣớng dẫn giải : Vì SA   ABCD  suy ra AC là hình chiếu vuông góc của SC lên  ABCD    SC,  ABCD    SCA  45o . SAC vuông tại A có: SA  AC  SC.sin 45o  2 2a. 2  2a . 2 ABC vuông tại B có: BC  AC 2  AB2  4a 2  a 2  3a . 2a 3 3 . 3 D. a3 3 . 3 S ABCD  AB.BC  a.a 3  3a 2 . 1 1 2 3 3 Vậy VS . ABCD  SA.S ABCD  .2a. 3a 2  a . Chọn C 3 3 3 HÌNH 4 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD S  Đáy là hình vuông ABCD .  Đường cao SO , với O là giao điểm của AC và BD .  Cạnh bên SA, SB, SC, SD hợp với đáy một góc bằng nhau. A B  Góc giữa cạnh bên với đáy bằng SBO (hoặc SAO, SCO, SDO )  Mặt bên SAB, SBC, SCA hợp với đáy một góc bằng nhau. D M O C  Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMG Ví dụ minh họa Hình 4 (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam): Một hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 8a 2 . Tính diện tích S của mặt đáy hình chóp. A. S  4a 2 3 . B. S  2a 2 3 . Hƣớng dẫn giải : Gọi H là trung điểm của AB . Vì S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên  SH  AB .  OH  AB   SAB  ;  ABCD    SH ; OH   SHO (1). Trong SOH vuông tại O , có SH  OH  2.OH  AB cos 60 Diện tích xung quanh của hình chóp S xp  4.SSAB  2.SH . AB  2 AB 2 Mà S xq  8a 2 nên 2 AB2  8a2  AB  2a C. S  4a 2 . D. S  2a 2 . Vậy diện tích đáy của mặt chóp là S  AB2  4a 2 . Chọn C B\ I TẬP MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP CHUNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Phƣơng pháp trực tiếp: Sử dụng trực tiếp công thức PHƢƠNG PH[ P TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Tính thể tích bằng cách chia nhỏ Phƣơng pháp gián tiếp Tính thể tích bằng cách bổ sung Tính thể tích bằng tỉ số thể tích Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, AC  2a. Cạnh bên SA vuông góc với  ABCD  . Tính thể tích khối chóp S. ABCD trong các trường hợp sau: a) Biết SA  3a. b) Biết SB  a 5 . c) Biết góc giữa SC với mặt đáy bằng 60o . Hƣớng dẫn giải S a)  BC  AC 2  AB2  4a2  a 2  a 3.  Diện tích đáy: S ABCD  AB.BC  a 2 3 3a  Đường cao: SA  3a  Thể tích khối chóp S. ABCD là: 1 1 VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 3.3a  a3 3. 3 3 D C S a 5  Đường cao SA  SB2  AB2  5a 2  a 2  2a. a A  Thể tích khối chóp S. ABCD là: VS . ABCD B 2a D S C c)  Diện tích đáy S ABCD  AB.BC  a 2 3  Góc giữa SC với  ABCD  bằng góc SCA  60o B 2a b)  Diện tích đáy S ABCD  AB.BC  a 2 3 1 1 2 3 3  .S ABCD .SA  .a 2 3.2a  a . 3 3 3 a A a A 2a D 60o C B SA  SA  AC.tan 60 o  2 3 a. AC  SAC vuông tại A  tan SCA   Thể tích khối chóp S. ABCD là: 1 1 VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 3.2 3a  2a3. 3 3 Bài 2. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa SC với  ABC  bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S. ABC . Hƣớng dẫn giải  SABC  S a2 3 .  Góc giữa SC với đáy bằng SCG  60o 4 a 3 2 a 3 a 3  CG  .  2 3 2 3  SGC vuông tại G , suy ra:  CK  60o A SG a 3 tan 60   SG  CG.tan 60o  . 3  a. CG 3  Thể tích khối chóp S. ABC là: o 2 C G K B 3 1 1 a 3 3a . V  SABC .SG  . .a  3 3 4 12 Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp S. ABCD trong các trường hợp sau: a) Biết cạnh bên SB  a 2 . b) Biết góc giữa cạnh bên SB với đáy bằng 45o . c) Biết góc giữa mặt bên SBC với đáy bằng 60o . Hƣớng dẫn giải S a)  Diện tích đáy ABCD là S ABCD  a 2 .  ABCD là hình vuông  BD  a 2  BO  a 2 BD a 2  2 2 a2 a 6  SBO vuông tại O  SO  SB  OB  2a   . 2 2 2 2  Thể tích khối chóp S. ABCD là: 2 O D b)  Diện tích đáy ABCD là S ABCD  a 2 . C D 45o a A  Góc giữa SB với đáy bằng góc SBO  45o a 2  Đường cao SO  BO.tan 45  . 2 B S 1 1 a 6 a3 6 VS . ABCD  S ABCD .SO  .a 2 .  . 3 3 2 6 o a A O C B  Thể tích khối chóp S. ABCD là: S 1 1 a 2 a3 2 VS . ABCD  S ABCD .SO  .a 2 .  . 3 3 2 6 c)  Diện tích đáy ABCD là S ABCD  a 2 . a A  Góc giữa mặt bên SBC với đáy bằng góc SIO  60o a a 3  Đường cao SO  IO.tan 60o  . 3  . 2 2 B 600 I O D C 3  Thể tích khối chóp S. ABCD là: 1 1 a 3 a 3 VS . ABCD  S ABCD .SO  .a 2 .  . 3 3 2 6 Bài 4. (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi) Cho khối tứ diện OABC với OA , OB , OC vuông góc từng đôi một và OA  a , OB  2a , OC  3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng. 3a 3 A. . 4 2a 3 C. . 3 3 B. a . a3 D. . 4 Hƣớng dẫn giải C Ta có thể tích VOABC Ta có: 1 1    OA.OB  .OC  a 3 (đvtt). 3 2  VOCMN CM .CN 1   VOCAB CA.CB 4 Vậy thể tích VOCMN N 3a M 1 a3  VOABC  (đvtt). Chọn D 4 4 2a B O a A Bài 5. (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi) hối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều A. Bát diện đều. B. h thập diện đều. C. Tứ diện đều. D. Thập nh diện đều. Hƣớng dẫn giải Bát diện đều có 8 mặt là các tam giác đều. Tứ diện đều có 4 mặt là các tam giác đều. Nh thập diện đều có 20 mặt là các tam giác đều. Thập nh diện đều có 12 mặt là các ngũ giác đều. Chọn D Bài 6. (THPT Chuyên Tuyên Quang) hối Cho khối chóp S. ABC , trên ba cạnh SA, SB, SC lần 1 1 1 lượt lấy ba điểm A, B, C sao cho SA  SA , SB  SB , SC  SC . Gọi V và V  lần lượt là thể 3 3 3 V là tích của các khối chóp S. ABC và S. ABC . hi đó tỉ số V 1 1 1 1 D. . C. . . B. A. . 6 9 27 3 Hƣớng dẫn giải: Ta có V  SA SB SC 1 1 1 1  . .  . .  SA SB SC 3 3 3 27 V Chọn B Bài 7. (THPT Chuyên Tuyên Quang) Cho hình chóp đều S. ABCD có chiều cao bằng a 2 và độ dài cạnh bên bằng a 6 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD . A. 8a 3 2 . 3 B. 10a 3 2 . 3 C. 8a 3 3 . 3 D. 10a 3 3 . 3 Hƣớng dẫn giải: Ta có BO  SA2  SO2  2a . Vậy BD  4a , suy ra AB  2a 2 . 8a3 2 1 1 Vậy V  S ABCD .SO  AB 2 .SO  3 3 3 Chọn A Bài 8. (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a 3 . Tính thể tích V của 3 khối chóp S. ABC . a3 A. V  . 8 a3 B. V  . 12 a2 C. V  . 4 a3 D. V  . 6 Hƣớng dẫn giải: a2 3 . 4 Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là Vì ABC đều cạnh a  S ABC  1 a 3 a 2 3 a3 1 . Chọn B   V  SA.S ABC   12 4 3 3 3 Bài 9. (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam) Cho hình chóp S. ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho SN  3NC . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp A.BMN và thể tích khối chóp S. ABC . – 3 A. k  . 8 B. k  2 . 5 1 C. k  . 3 3 . 4 D. k  Hƣớng dẫn giải S Ta có: M là trung điểm SA nên VA.BMN  VS .BMN Ta có: M VS .BMN SM SN 1 3 3  .  .  . VS .BAC SA SC 2 4 8 N A V 3 Vậy: k  A.BMN  . Chọn A VS .BAC 8 C B Bài 10. (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội) Cho khối chóp S. ABC có thể tích bằng 16 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , SC . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP . A. V  2 . B. V  6 . C. V  4 . D. V  8 . Hƣớng dẫn giải: 3 V SM SN SP  1  1 . .    Ta có S .MNP  VS . ABC SA SB SC  2  8 Do đó VS .MNP S M 16  2. 8 P N Do M là trung điểm SA , ta có d ( A,(MNP))  d (S ,(MNP)) C A Suy ra VAMNP  VS .MNP  2 . Chọn A. B Bài 11. (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội) Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . A. V  2 3 3 a . 3 B. V  4 3a3 . C. V  4 3 3 a . 2 D. V  4 3 3 a . 3 Hƣớng dẫn giải: S Gọi G là trung điểm của đoạn CD , dễ thấy CD  SG   SCD   CD  GO   ABCD  .   SCD    ABCD   CD Suy ra D  SCD  ,  ABCD   SGO  60 G O B C Vậy, trong tam giác vuông SGO , ta có tan 60  SO  SO  a 3 . OG 1 1 4 3 3 Vậy thể tích khối chóp là VSABCD  .SO.S ABCD  a 34a 2  a Chọn D. 3 3 3 Bài 12. (THPT Chuyên Thái Bình) Cho hình chóp đều S. ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên tạo với đáy góc 45 . Diện tích toàn phần của hình chóp trên theo a là A. 2 3a 2 . B.   3 1 a2 . C. 4a 2 . D.   3  1 a2 . Hƣớng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . hi đó SO   ABCD  . Suy ra OB là hình chiếu của SB trên  ABCD  nên góc giữa SB và  ABCD  là SBO  45o . Ta có cos 45o  BO BO 2 2  SB  a : a o SB cos 45 2 2 Suy ra SB  SA  SC  SD  a hay SAB , SBC , SCD , SDA là các tam giác đều cạnh a . Diện tích toàn phần của hình chóp S. ABCD là S  SSAB  SSBC  SSCD  SSDA  S ABCD    a2 3 a2 3 a2 3 a2 3     a 2  1  3 a 2 . Chọn D. 4 4 4 4 Bài 13. (THPT Chuyên Phan Bội Châu– Nghệ An) Cho khối chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại A , SB   ABC  , AB  a , ACB  30 , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  là 60 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC theo a. A. V  3a . 3 B. V  a . 3 3a 3 D. V  . 2 C. V  2a . Hƣớng dẫn giải: Ta có tam giác ABC vuông tại A và 3 S ACB  300  ABC  600 ; AB  a  BC  2a . Vì SB   ABC   góc giữa SC và  ABC  chính là góc SCB  600 . Vậy đường cao của hình chóp SB  BC.tan 600  2 3a 600 B 600 a A C 1 AB. AC a.a 3.a 2 3 Thể tích hình chóp là V  . .SB   a3 Chọn B. 3 2 6 Bài 14. (THPT Chuyên Phan Bội Châu– Nghệ An) Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA   ABCD  , AB  3a , AD  2a , SB  5a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD theo a. A. V  8a 2 . B. V  24a3 . Hƣớng dẫn giải: Ta có: VS . ABCD D. V  8a3 . C. V  10a3 . S 1  .SA.S ABCD 3 5a Xét tam giác vuông SAB có: SA  SB2  AB 2  4a Và S ABCD  AB. AD  6a 2 (ñvdt) ên VS . ABCD 3a A B 2a 1  .4a.6a 2  8a3 (ñvtt) Chọn D. 3 D C Bài 15. (THPT Chuyên Phan Bội Châu– Nghệ An) Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau, AB  a, AC  b, AD  c. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD theo a , b , c A. V  abc . 2 B. V  abc . 6 C. V  abc . 3  AB  AC Hƣớng dẫn giải: Có :   AB   ACD   AB  AD B 1 11 Thể tích tứ diện ABCD là : VABCD  S ACD . AB  AC. AD. AB 3 32 Hay V  D. V  abc . D A abc Chọn B. 6 C Bài 16. (THPT Chuyên ĐH Vinh– Lần 3) Cho hình chóp S. ABC có SC  2a và SC   ABC  . Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có AB  a 2 . Mặt phẳng   đi qua C và vuông góc với SA,   cắt SA, SB lần lượt tại D, E . Tính thể tích khối chóp S.CDE . A. 4a 3 . 9 Hƣớng dẫn giải : Ta có B. 2a 3 . 3 C. 2a 3 . 9 VS .CDE SD SE SD SE  .  VS .CDE  . .VS .CAB . VS .CAB SA SB SA SB 1 1 1 1 2a 3 VS .CAB  .SC. BA.BC  .2a. .2a 2  . 3 2 3 2 3 D. a3 . 3