Hình không gian thể tích từ cơ bản đến nâng cao

PHÂN DẠNG BÀI TẬP A. LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1. Cho ( H ) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của ( H ) bằng: A. a3 . 2 B. a3 3 . 2 C. a3 3 . 4 D. a3 2 . 3 Hướng dẫn giải: a3 3 V  S SBC . AA '  4 A' C' B' C A B Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có AA  a , tam giác ABC đều cạnh a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 a3 3 . B. VABC . ABC  . 12 8 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC  S ABC  C. VABC . ABC  a2 3 a3 3 , h  AA '  a  V  S ABC .h  4 4 a3 3 . 4 A D. VABC . ABC  a3 . 6 B C B' A' C' Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông, BA  BC  a , AA  a 2 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . 2.a 3 A. VABC . ABC   . B. VABC . ABC   3 Hướng dẫn giải: 2.a 3 . 2 C. VABC . ABC   BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 2.a 3 . 4 D. VABC . ABC a3  . 3 V 1 a3 2 AB.BC. AA '  2 2 B' C' A' C B A Ví dụ 4. Lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC  2a, AB  a . Mặt bên BB’C’C  là hình vuông. Khi đó thể tıć h lăng trụ là: A. a3 3 . 3 B. a 3 2 . C. 2a3 3 . Hướng dẫn giải: Ta có: BB ' C ' C là hình vuông  h  BB  2a  AC  BC 2  AB 2  a 3   D. a 3 3 . B' C' A' 1 a2 3 AB. AC  2 2   VABC . A’ B’C ’  BB .S ABC  a3 3  S ABC  C B A Ví dụ 5. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC  a 2 và biết A ' B  3a . Tính thể tích khối lăng trụ. A. a3 . B. a3 2 . Hướng dẫn giải: ABC vuông cân tại A nên AB  AC  a ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng  AA '  AB  AA '  D. 2a 3 . C. a3 3 . A' C' B' A ' B 2  AB 2  2 a 2  V  B.h  S ABC . AA '  a 3 2 C A B BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG Ví dụ 6. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác đều cạnh a  4 và biết diện tích tam giác A ' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. A. 8 2 . 3 B. 8 . 3 C. 8 2 . Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm BC .Ta có: ABC đều nên D. 8 . A' AB 3  2 3; AI  BC  A ' I  BC 2 2S 1 S A ' BC  BC. A ' I  A ' I  A ' BC  4 2 BC AA '   ABC   AA '  AI C' AI  AA '  B' C A A ' I 2  AI 2  2 I  VABC . A ' B 'C '  S ABC . AA '  8 3 B Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích khối lăng trụ này. A. 9a3 . B. 9 . Hướng dẫn giải: C. 3a3 . ABCD. A ' B ' C ' D ' là lăng trụ đứng nên BD  BD '2  DD '2  3a 3a ABCD là hình vuông  AB  2 D. 3 . A' B' C' 2 9a Suy ra B  S ABCD  4  V  B.h  S ABCD . AA '  9a 3 D' A B D C Ví dụ 8. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác AAC vuông cân và AC  a . Tính theo a thể tích của khối hộp ABCD. ABCD . a3 2 a3 2 . B. VABCD . ABC D  . 24 48 Hướng dẫn giải: A. VABCD . ABC D  C. VABCD . ABC D  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 2 . 16 D. VABCD. ABC D  a3 2 . 8 A ' C  a  AC  AA '  a a  AB  2 2 A a3 2  V  S ABCD . AA '  8 D C B D' A' B' C' Ví dụ 9. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích hình hộp . a3 6 A. . 2 a3 3 B. . 2 Hướng dẫn giải: a3 6 C. . 6 Ta có tam giác ABD đều nên BD  a và S ABCD  2 S ABD  a2 3 2 Theo đề bài BD '  AC  a 3 DD '  BD '2  BD 2  a 2  V  S ABCD .DD '  a3 3 D. . 6 A' D' B' a 3 C' 6 2 A D B C Ví dụ 10. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm , người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. A. 1200cm3 . B. 1600cm3 . C. 2400cm3 . Hướng dẫn giải: Theo đề bài, ta có: AA '  BB '  CC '  DD '  12cm A' nên ABCD là hình vuông. AB  44 cm  24 cm  20 cm; h  12 cm B'  V  S ABCD .h  4800cm3 D. 4800cm3 . D' C' A B 2. Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D C Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , AB hợp với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 . B. VABC . ABC   a 3 3 . 2 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC  C. VABC . ABC   a 3 . AA '   ABC   AA ',  ABC    A ' B, AB  n ABA '  60  D. VABC . ABC   5a 3 2 . A'  C' 1 a3 3  AA '  AB.tan 60  a 3  V  . AB.BC. AA '  2 2 B' C A B Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C , góc giữa BC và  ABBA bằng 60 , AB  AA  a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . 15.a 3 18.a 3 . B. VABC . ABC   . 4 4 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của A ' B ' .  C ' M   ABB ' AC  A. VABC . ABC   C. VABC . ABC  15a 3 . 4 A' D. VABC . ABC  18a 3 . 4 C' M  BC ',  ABB ' A '  BC ', BM   n MBC '  60 B' a 15 2 2 a 15 a 3 15   V  S A ' B 'C ' . AA '  4 4  MC '  BB '2  MB '2 . tan 60   S A ' B 'C ' C A B Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC  a ,n ACB  60 , góc giữa BC và mặt phẳng  AAC C  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . A. VABC . ABC   a 3 6 . B. VABC . ABC   a 3 3 . C. VABC . ABC   2 2 a 3 . Hướng dẫn giải: BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D. VABC . ABC   a 3 5 . AC  a  AB  a 3, BC  2a B' C' AB   AA ' C ' C  A'  BC ',  AA ' C ' C   BC ', AC '  n AC ' B  30    AC '  3a  CC '  AC '2  AC 2  2a 2 V  1 AB. AC.CC '  a 3 6 2 C B A Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD của lăng trụ hợp với đáy  ABCD  một góc 30. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD . a3 3 a3 2 . B. VABCD . ABC D  . 3 2 Hướng dẫn giải: DD '   ABCD A. VABCD . ABC D  C. VABCD . ABC D   a3 6 3 D C B a 6  DD '  BD.tan 30  3  V  S ABCD .DD '  D. Kết quả khác. A  BD ';  ABCD  BD ', BD  n DBD '  30  a3 6 . 3 D' A' B' C' BAD  60o . Biết AB hợp Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và n với đáy  ABCD  một góc 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD . a3 . B. VABCD . ABC D  a 3 5 . 2 Hướng dẫn giải: A. VABCD . ABC D  C. VABCD. ABCD  a 3 . BB '   ABCD A  AB ',  ABCD   AB ', AB  n BAB '  30  D. VABCD . ABC D   a 3  BB '  AB.tan 30  3  V  S ABCD .BB '  2 S ABD .BB '  D' A' B' BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG C B a3 2 D C' a3 3 . 2 Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa AC ' và mặt phẳng BCC B bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD . A. VABC . ABC   2a 3 . B. VABC . ABC   2a 3 . C. VABC . ABC   Hướng dẫn giải: AB  BCC ' B ' D. VABC . ABC   a 3 . A AC ' B  30  AC ', BCC ' B '   AC ', BC '  n  2a 3 . 2  D C B  BC '  AB.cot 30  a 3  BB '  BC '2  B ' C '2  a 2 D' A'  V  S ABCD .BB '  a 3 2 B' C' Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , đường chéo AC ' tạo với mặt bên BCC B một góc  0    45o . Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng:   B. a 3 cot 2 . A. a 3 cot 2   1 . C. a 3 cot 2   1 . Hướng dẫn giải: AB  BCC ' B ' A  AC ', BCC ' B '   AC ', BC ' n AC ' B    D. a 3 tan 2   1 .  D C B  BC '  AB.cot   BB '  a cot 2   1 D' A'  V  S ABCD .BB '  a 3 cot 2   1 B' C' 3. Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , AB hợp với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 . B. VABC . ABC   a 3 3 . 2 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC   C. VABC . ABC  a 3 . BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D. VABC . ABC   5a 3 2 . AA '   ABC   AA ',  ABC    A ' B, AB  n ABA '  60  C' A'  1 a3 3  AA '  AB.tan 60  a 3  V  . AB.BC. AA '  2 2 B' C A B Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AC  2a, n CAB  120, góc giữa  ABC  và mặt phẳng  ABC  bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC . A. VABC . ABC   a 3 3 . B. VABC . ABC   3a 3 3 . C. VABC . ABC   3a 3 . Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC . AM  AC.cos 60  a A' C' B' AC 2  AB 2  2 AB. AC.cos120  2a 3 BC  D. VABC . ABC   2 a 3 3 . A ' M  BC , AM  BC  AMA '  45  A ' BC ,  ABC   A ' M , AM  n  AA '  AM  a  V  C A M 1 BC. AM . AA '  a 3 3 2 B Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy 0 góc 60 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . A. V  a3 3 . 2 B. V  3a3 3 . 4 C. V  Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm B ' C '  A ' M  B 'C '  600  A' M  S A ' B ' C ' a3 3 . 8 D. V  A C AMA '  AB ' C ',  A ' B ' C '   AM , A ' M  n a 3 3a ; AA '  A ' M .tann AMA '  2 2 2 3 3a 3 a 3   V  SABC . AA '  4 8 B C' A' M B' BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 3a3 3 . 8 Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ a3 3 a3 3 . B. VABC . ABC   . 8 4 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC .  A ' M  BC , AM  BC A. VABC . ABC    C. VABC . ABC   ABC. ABC . a3 . 2 D. VABC . ABC   A' A ' MA  30  A ' BC ,  ABC   A ' M , AM  n  ABC và a3 3 . 2 C' B' a a3 3  AA '  AM .tan 30   V  S ABC . AA '  2 8 C A M B Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC  a , mặt phẳng  A ' BC  tạo với đáy một góc 30 và tam giác A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . A. a 3 3 8 . B. 3a 3 3 . 4 C. 3a 3 3 . 8 Hướng dẫn giải: BC  AB    BC  A ' B BC  AA '  BC  AB   ABC    BC  A ' B   A ' BC    BC   ABC    A ' BC    3a 3 3 . 2 A' C' B' ABA '  ABC,  A ' BC   AB, A ' B  n 2 S A ' BC  D. 2.S A ' BC 2.a 3 1 A ' B.BC  A ' B    2a 3 2 BC a C A B AB  A ' B.cosn ABA '  2a 3.cos 300  3a; AA '  A ' B.sinn ABA '  2a 3.sin 300  a 3 VABC . A ' B 'C ' 1 1 3a 3 3  B.h  S ABC . AA '  . AB.BC. AA '  .3a.a.a 3  2 2 2 BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , mặt phẳng BC ' D hợp với đáy  ABCD một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ a3 6 a3 3 . B. VABCD . ABC D  . 6 2 Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của BD .  AC  BD, C ' I  BD   BC ' D   ABCD  BD  A. VABCD. ABC D  C. VABCD . ABC D  ABCD. ABCD . a3 6 . 2 D. Kết quả khác. A' D' B' C'  BC ' D;  ABCD   AC , C ' I   n CIC '  60 1 a 2 a 6  CC '  CI .tan 60  AC  2 2 2 a3 6  V  S ABCD .CC '  2 A CI  D I B C 0 Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng  A ' BC  hợp với đáy  ABCD một góc 60 , A ' C hợp với đáy  ABCD một góc 300 và AA '  a 3 . Tính theo a thể tích khối hộp. A. V  2a 3 6 . B. V  2a 3 6 . 3 Hướng dẫn giải: AA '   ABCD A'  300  A ' C ,  ABCD   A ' C , AC   n A ' CA  60 AB  BC  0     A ' BC  ,  ABCD   A ' B, AB  n A ' BA AA ' tann A ' BA  a; AC  3 D. V  a . C. V  2a3 2 . AA ' tann A ' CA C' B'  3a D' A AC 2  AB 2  2a 2; S ABCD  AB.BC  2a 2 2  VABCD . A ' B 'C ' D '  S ABCD . AA '  2a 3 6 D B C 4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3 và hợp với đáy  ABC  một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 3a 3 3 . B. VABC . ABC  . 8 8 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC   C. VABC . ABC  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 5a 3 3 . 8 D. Đáp án khác.