Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số

Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) Dạng toán 1. Dạng toán 2. Các bài toán về cực trị của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10). Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm ( ) f ( x ) ) ,... y f f ( f ... ( x ) ) trong bài toán không chứa tham cực trị = của hàm y f= (ϕ ( x ) ) ; y f (= số Dạng toán 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm ( ) cực trị= của hàm y f= ( f ( x ) ) ,... y f f ( f ... ( x ) ) trong bài toán chứa tham số. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm cực trị = của hàm y ln= ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) ... trong bài toán không chứa tham số Dạng toán 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm cực trị = của hàm y ln= ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) ... trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra… Trang 1 NHÓM TOÁNVD – VDC Dạng toán 6. Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số DẠNG 1. Các bài toán về cực trị của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10). Câu 1:   Cho hàm số f x   ax 2  bx  c đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số g  f x 2 có mấy điểm cực trị? y 3 O 2 x 1 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Xét hàm số g = f ( x 2 ) . Đặt t = x 2 . Khi đó với t ≥ 0 , hàm g = f (t ) có đồ thị là dạng của đồ thị hàm số f ( x) bên phải trục Oy . Hàm số g = f ( x 2 ) là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Từ đó ta có đồ thị hàm g ( t ) như sau: Câu 2: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Cho parabol y = f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 1 và 2, biết rằng hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( x0 ; +∞) và khoảng cách từ giao điểm của parabol với trục tung đến điểm O bằng 4. Tìm số điểm cực trị của hàm số = y A. 2 . B. 3 . C. 5 . Lời giải f ( x +1 ) . D. 7. Chọn D Do hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( x0 ; + ∞ ) nên a < 0 . Trang 2 Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Biết y = f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 1 và 2 nên f ( x) = a( x − 1)( x − 2) = a( x 2 − 3x + 2) = ax 2 − 3ax + 2a . a = 2 Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2a , ta có 2a= 4 ⇔  .  a = −2 Do hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( x0 ; +∞) nên a = −2 . f ( x) = −2 x 2 + 6 x − 4 Vậy parabol là y = Đồ thị hàm số = y f ( x + 1 ) (hình vẽ phần tô đậm) có được bằng cách + Vẽ đồ thị = y f ( x + 1 ) ( C1 ) + Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) trên trục hoành và lấy đối xứng phần ( C1 ) dưới trục hoành. f ( x) = −2 x 2 + 6 x − 4 qua trục tung sau đó tịnh tiến Để vẽ ( C1 ) lấy đối xứng phần đồ thị y = sáng trái 1 đơn vị. y -1 O 1 x Từ đồ thị suy ra hàm số có 7 điểm cực trị. Câu 3: Cho hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị là parabol như hình vẽ. Tìm m để giá trị lớn y nhất của hàm số = f ( x ) + m − 4 trên [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. A. m = 5 . B. m = 4 . C. m = 3 . D. m = 1 . Trang 3 Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Lời giải Chọn C Từ giả thiết suy ra y = ( x + 1) 2 + m − 5 . Đặt g ( x ) = ( x + 1) + m − 5 . 2 Với ∀x ∈ [ −2;1] ta có g ( x ) ∈ [ m − 5; m − 1] . Giá trị lớn nhất của hàm số ymax= max { m − 5 , m − 1 } . + Trường hợp 1: m − 5 ≥ m − 1 ⇔ ( m − 5 ) ≥ ( m − 1) ⇔ m ≤ 3 . 2 2 Khi đó ymax = m − 5 = 5 − m ≥ 2 ⇒ GTLN của hàm số đạt GTNN bằng 2, khi m = 3 . + Trường hợp 2: m − 1 ≥ m − 5 ⇔ m ≥ 3 . Khi đó ymax = m − 1 = m − 1 ≥ 2 ⇒ GTLN của hàm số đạt GTNN bằng 2, khi m = 3 . Vậy m = 3 . DẠNG 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 1: Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d . Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là M (1; − 1) và nhận I ( 0;1) làm tâm đối xứng. Giá trị y ( 2 ) là A. y ( 2 ) = 2 . B. y ( 2 ) = −2 . C. y ( 2 ) = 6 . D. y ( 2 ) = 3 . Lời giải Chọn D Ta có: y′ = 3ax 2 + 2bx + c, y '' = 6ax + 2b . Do đồ thị hàm số có một điểm cực trị là M (1; − 1) và nhận I ( 0;1) làm tâm đối xứng nên:  y (1) = −1 a + b + c + d =−1 a =1  3a += b 0 2b + c 0 =  y′ (1) = 0   . ⇔ ⇔   y '' ( 0 ) = 0 2b = 0 c = −3 y 0 =1 d 1= = d 1  ( ) Vậy: y = x3 − 3 x + 1 . Suy ra y ( 2 ) = 23 − 3.2 + 1 = 3 . Câu 2: Đồ thị của hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị là A (1; 2 ) và B ( −1;6 ) . Giá trị của P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 bằng bao nhiêu? A. P = 18 . B. P = 26 . C. P = 15 . D. P = 23 . Trang 4 Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Lời giải Chọn B Tập xác định D =  . Ta có y ' = 3ax 2 + 2bx + c và = y '' 6ax + 2b . Vì A (1; 2 ) và B ( −1;6 ) là điểm cực trị nên  y ' (1) = 0 2b + c 0 a + 2c 0 = 3a + = 6= a 1    b 0 c+d 2 b+d 4 =  y (1) = 2 a + b += =  . ⇔ ⇔ ⇔  0  y ' ( −1) = 3a − 2b + c =0 2a + 2c =−4 c =−3  y −1 = c+d 6 = = −a + b −= 4b 0 d 4  ( ) 6 Câu 3: Vậy P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 26 . Cho hàm số y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d (a  0) xác định trên  và thỏa mãn f (2)  1. Đồ thị hàm số f '( x) được cho bởi hình bên dưới. Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số f ( x). A. yCT  3 . B. yCT  1 . C. yCT  1 . D. yCT  2 . Lời giải Chọn A Vì đồ thị hàm f '( x) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x  1 và x  1 nên f '( x)  k ( x 1)( x  1) với k là số thực khác 0. Vì đồ thị hàm f '( x) đi qua điểm (0; 3) nên ta có 3  k  k  3. Suy ra f '( x)  3 x 2  3. Mà f '( x)  3ax 2  2bx  c nên ta có được a  1, b  0, c  3. Từ đó f ( x)  x3  3 x  d . Mặt khác f (2)  1 nên d  1. Suy ra f ( x)  x3  3 x 1.  x  1 Ta có f '( x)  0   .  x  1 Trang 5 Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Bảng biến thiên Vậy yCT  3. Câu 4: ( )  3 x 2 − 15 x f ′ ( x ) + (10 − 5 x ) f ( x ) = 0  Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  , thỏa mãn  với 2 2 ′ f x + f x > 0       ( )   ( )  ∀x ≠ 0 và f (1) = −4 . Tổng cực đại và cực tiểu của hàm số y = f ( x ) bằng B. 3 3 4 . A. −3 3 4 . C. −2 3 4 . D. 3 4 2 . Lời giải Chọn A 2 2 0 ⇒ f '( x) ≠ 0 . Từ  f ′ ( x )  +  f ( x )  > 0 với ∀x ≠ 0 ta suy ra: Với x ≠ 0 ta có f ( x ) = ( ) Do đó từ 3 x 2 − 15 x f ′ ( x ) + (10 − 5 x ) f ( x ) = 0 với ∀x ≠ 0 , ta suy ra: ( ) Với x ≠ 0 ta có f ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 15 x f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 5 . f ′( x) 5 x − 2 Với các kết quả trên ta được= ∀x ∉ {0;5} f ( x ) 3 x ( x − 5) Suy ra ( ) 5 x−2 x) ∫ f ( x ) dx = 3 ∫ x ( x − 5)dx ⇔ ln f (= f′ x 2 ln x + ln x − 5 + C 3 ⇔ f ( x ) =eC ( x − 5 ) 3 x 2 Do f (1) = −4 nên C = 0 và f ( x= ) ( x − 5) 3 x 2 với ∀x ∉ {0;5} Vì f ( x ) liên tục trên  nên f ( x ) liên tục tại= x 0,= x 5 suy ra f= ( 0 ) f= ( 5) 0 Hay f ( x= ) ( x − 5) 3 x 2 Khi đó f ′ ( x ) = với ∀x ∈  . 5 x−2 . 3 3x Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 , f ′ ( x ) không xác định khi x = 0 . Bảng biến thiên của f ( x ) : Trang 6 Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số −3 3 4 . Từ đó suy ra yCD = f ( 0 ) = 0; yCT = f ( 2 ) = −3 3 4 . Vậy yCD + yCT = DẠNG 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số. Câu 1. x3 − 3mx 2 + 4m3 có điểm Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y = cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là A. 2 . 2 B. 1 . 2 C. 0 . D. Lời giải Chọn C 1 . 4 x = 0 Ta có: = . y′ 3 x 2 − 6mx , y′= 0 ⇔   x = 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m ≠ 0 . Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A ( 0; 4m3 ) , B ( 2m ;0 ) . Ta có I ( m ; 2m3 ) là trung điểm của đoạn thẳng AB . 0. Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d : x − y = Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì: 2m − 4m3 = 0 2 . ⇔ 1 − 2m 2 =0 ⇔ m =±  3 2 0 m − 2m = Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0 . Câu 2. Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 2 có đồ thị ( C ) . Để đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A , B , C sao cho bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi ( O là gốc tọa độ) thì giá trị tham số m là A. m = − 2 . B. m = ± 2 . 2 Chọn B C. m = ± 2 . D. m = Lời giải 2 . 2 x = 0 Ta có = . y′ 4 x3 − 4m 2 x ; y′= 0 ⇔  2 x = m Điều kiện để hàm số có ba cực trị là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 . x = 0 Khi đó: y′= 0 ⇔  .  x = ±m Tọa độ các điểm cực trị là A ( 0; m 2 ) , B ( m; −m 4 + m 2 ) , C ( m; −m 4 + m 2 ) . Ta có OA ⊥ BC , nên bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần và đủ là OA và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn 0 = 0  x A + xO = xB + xC ⇔ ⇔ 2 ( m4 + m2 ) + ( −m4 + m2 )  y A + yO = yB + yC m + 0 =− 2 1 ⇔ 2m 4 − m 2 = 0 ⇔ m 2 =⇔ m = . ± 2 2 Vậy m = ± 2 . 2 Trang 7 Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M ( 2m3 ; m ) cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2 x3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x + 1 tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. A. m = −1 . C. m = 1 . Lời giải B. m = 2 . Chọn D Tập xác định: D =  . y′ = 6 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) D. m = 0 .  x= m ⇒ y= 2m3 + 3m 2 + 1 y′ = 0 ⇔ 6 x − 6 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) = 0⇔ . 3 2  x = m + 1 ⇒ y = 2m + 3m 2 Hàm số có 2 cực trị: ∆′ > 0 ⇔ 9 ( 2m + 1) − 36m ( m + 1) > 0 ⇔ 9 > 0, ∀x ∈  . 2 Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  ⇒ A ( m; 2m3 + 3m 2 + 1) , B ( m + 1; 2m3 + 3m 2 ) ⇒ AB =(1; − 1) ⇒ AB = 2 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm cực trị: x + y − 2m3 − 3m 2 − m − 1 =0 = d (M , ∆) 2m3 + m − 2m3 − 3m 2 − m − 1 3m 2 + 1 = 2 2 1 1 3m 2 + 1 3m 2 + 1 S ∆MAB= d ( M , ∆ ) . AB= . . 2= . 2 2 2 2 1 S min = ⇔ m = 0 . 2 Câu 4. x 4 − 2mx 2 + m ( C ) . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị đồng thời ba Cho hàm số y = điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 . A. m = 1 . B. m = 0 . C. m = −2 . D. m = 2 . Lời giải Chọn D y′ 4 x 3 − 4mx . Ta có = x = 0 y′= 0 ⇔  2 . x = m Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 . Các điểm cực trị của đồ thị là A ( 0; m ) , B = AC = Ta có: AB ( ) ( m ; − m2 + m , C − m ; − m2 + m ) m 4 + m , BC = 2 m . Gọi I là trung điểm BC . Suy ra I ( 0; −m 2 + m ) và AI = m 2 . = S 1  AB + BC + CA  2 m = AI .BC   .r ⇔ m .2 = 2 2   (2 ) m 4 + m + 2 m .1 m = 0 ( loai ) ⇔ 2 m m 2 − m3 + 1 − 1 = 0⇔  m3 + 1= m 2 − 1 ( ) Trang 8 Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số  m ≥1  m 2 − 1 ≥ 0   m = 0 ( loai ) ⇔ ⇔ 3 ⇔m= 2.  4 2 m = − 1 nhan ( ) m + 1= m − 2m + 1    m = 2 nhan ( )  Câu 5. 1 4 x − mx 2 + m 2 . Gọi ma là 4 Cho ( P ) là đường Parabol qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = giá trị để ( P ) đi qua B A. ( ) 10; 15 . ( ) 2; 2 . Hỏi ma thuộc khoảng nào dưới đây? B. ( − 2; 5 ) . C. Để hàm số có ba cực trị thì ab < 0 ⇔ − Gọi parabol đi qua điểm A ( 0; m 2 ) , B D. ( − 8; 2 ) . Lời giải Chọn B y=′ x3 − 2= mx x ( x 2 − 2m ) .  x 0,= = y m2  y′ = 0 ⇔= 2m= ,y 0 . x  − 2m , y = 0  x = ( − 5; 2 ) . m < 0 ⇔ m > 0. 4 ( ) ( ) 2 2m ; 0 , C − 2m ; 0 có dạng: y = ax + bx + c m  2ma + 2mb + c = 0 a = − 2   m  Ta có: 2ma − 2mb + c = hay y = 0 − x 2 + m2 . 0 ⇔ b = 2 c = m 2 c = m 2     m Theo yêu cầu bài toán parabol đi qua B 2; 2 nên: 2 = − a 2 2  ma = −1 ⇔ .  ma = 2 ( ) ( ) 2 0 + ma2 ⇔ ma2 − ma − 2 = Vậy ma = 2 . Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 ? A. 4 . B. 7 . C. 6 . Lời giải Chọn C D. Vô số. Ta có y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1 ⇒ y′ = 8 x 7 + 5 ( m − 3) x 4 − 4 ( m 2 − 9 ) x 3 . ( ) y′ = 0 ⇔ x 3 8 x 4 + 5 ( m − 3) x − 4 ( m 2 − 9 ) = 0 x = 0 . ⇔ 4 2  g ( x ) = 8 x + 5 ( m − 3) x − 4 ( m − 9 ) = 0 Trang 9 Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Xét hàm số g ( x ) = 8 x 4 + 5 ( m − 3) x − 4 ( m 2 − 9 ) có g ′ ( x ) = 32 x3 + 5 ( m − 3) . Ta thấy g ′ ( x ) = 0 có một nghiệm nên g ( x ) = 0 có tối đa hai nghiệm. +) TH1: Nếu g ( x ) = 0 có nghiệm x = 0 ⇒ m = 3 hoặc m = −3 . Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g ( x ) . Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y′ và y′ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = 3 thỏa ycbt. x = 0 4  Với m = −3 thì g ( x ) = . 8 x − 30 x =⇔ 0  x = 3 15  4 Bảng biến thiên Dựa vào BBT x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = −3 không thỏa ycbt. +) TH2: g ( 0 ) ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ g ( 0 ) > 0 ⇔ m 2 − 9 < 0 ⇔ −3 < m < 3 . Do m ∈  nên m ∈ {−2; −1;0;1; 2} . Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. DẠNG 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT, hoặc đạo hàm của = f ( x ) ) ,... y f ( f ( f ... ( x ) ) ) trong hàm f ( x ) , tìm cực trị của hàm y f= (ϕ ( x ) ) ; y f (= bài toán không chứa tham số. Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có đúng hai điểm cực trị x = −1, x = 1, có đồ thị như hình vẽ sau: Hỏi hàm số y f ( x 2 − 2 x + 1) + 2019 có bao nhiêu điểm cực trị? = A. 4 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Trang 10