Các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết - Nguyễn Bảo Vương

Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Ta nói dãy số có giới hạn là dần tới dương vô cực, nếu khi có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: hay khi Định nghĩa 2 Ta nói dãy số có giới hạn là Kí hiệu: hay (hay dần tới ) khi nếu khi 2. Một vài giới hạn đặc biệt a) với b) c) Nếu nguyên dương; nếu ( là hằng số) thì Chú ý: Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là . II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí 1 a) Nếu và thì (nếu b) Nếu Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng ). thì - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn có công bội được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. , với Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa Ta nói dãy số có giới hạn là khi , nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: Dãy số hay khi có giới hạn là Kí hiệu: khi hay , nếu . khi Nhận xét: 2. Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau nguyên dương; a) với b) nếu . 3. Định lí 2 a) Nếu và b) Nếu , c) Nếu và Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng thì . và - 0946798489 thì thì Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp: Để chứng minh ta chứng minh với mọi số nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số sao cho . Để chứng minh ta chứng minh Để chứng minh . ta chứng minh với mọi số lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên sao cho . Để chứng minh ta chứng minh . Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 1. lim n+2 =1 n+1 2. lim n2 − 1 2 2n + 1 1 2 = 3. lim 1 − 2n 2 n +1 = −2 n Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (u n ) : u n = ( −1) không có giới hạn. Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau: 1. lim n2 + 1 = +∞ n 2. lim 2−n n = −∞ 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Chứng minh rằng: 1. lim 1 =0 n+1 1 2. lim 4. lim(2n + 1) = +∞ nk 5. lim = 0 (k ∈  *) 3. lim sin 2 n =0 n+2 1 − n2 = −∞ n Bài 2 Chứng minh các giới hạn sau 1. lim 4. lim 2 =0 n+1 3n 3 + n n 2 2. lim = +∞ cos n + sin n 5. lim 2 n +1 2−n n+1 =0 3. lim n+1 =0 n+2 = −∞ . Bài 3 Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau : 2n + 1 n−2 Bài 4 Tìm các giới hạn sau 1. A = lim 1. A = lim 3. C = lim n−2 n 2n 1 2 n +2 n +7 2. B = lim 2. B = lim 4. D = lim 2n + 3 3. C = lim n2 + 1 n2 + 1 . n+1 n sin n − 3n 2 n2 4n + 1 n 2 + 3n + 2 . Bài 5 Chứng minh rằng dãy số (u n ) : u n = ( −1)n n không có giới hạn. Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau: 1. lim an =0 n! 2. lim n a = 1 với a > 0 Bài 7 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  x + x 2 + ... + x n  1. Nếu dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình  1  cũng có giới hạn là a . n   1 2. Dãy số (x n ) thỏa mãn điều kiện 1 < x1 < 2 và x n +1 = 1 + x n − x n2 , ∀n ∈  * . Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. 2 x n đề . 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Tìm lim Vấn Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. ta thường chia cả tử và mẫu cho Khi tìm , trong đó trong đó Khi tìm là bậc lớn nhất của tử và mẫu. ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn. 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau : 1. A = lim n 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) 2. B = lim 2 2n + 1 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :  1  1   1 1. C = lim  1 −   1 −  ...  1 − 2 2 2  3   n2  1 + 2 + ... + n − n 3 2 1 + 2 2 + ... + n 2 + 2n     1 1 1 1  = + + + ... + 2. D lim   1.2 2.3 3.4 n(n + 1)   Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : 1. A = lim 4 n +1 − 5 n +1 2. B = lim 4 n + 5n 4.3n + 2 − 2.7 n −1 4 n + 7 n +1  1  1   1  Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C = lim  1 −   1 −  ...  1 −  22   32   n2   1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Tìm các giới hạn sau : 1. A = lim 2n 2 + 3n + 1 3n 2 − n + 2 ( 2n + 1) 3. C = lim 2 4 ( n + 2 )9 n17 + 1 Bài 2 Tìm các giới hạn sau : A lim  n 2 + 6n − n  = 1.   3. C = lim 2. B = lim 3.2 n − 3n n +1 n +1 2 +3 Bài 3 Tìm các giới hạn sau: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 4. D = lim n 2 + 2n n − 3n 2 + 1 3 n 2 + 1 − 3n 3 + 2 4 2n 4 + n + 2 − n 3 B lim  n 3 + 9n 2 − n  2.=   3 = D lim  n 2 + 2n − n 3 + 2n 2 4.  - 0946798489 .   Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 = 1. A lim  n 2 + 2n + 2 + n    4 3. C = lim = 2. B lim  2n 2 + 1 − n    3n 3 + 1 − n a k n k + ... + a1n + a 0 4. D = lim 2n 4 + 3n + 1 + n bp n p + ... + b1n + b0 (Trong đó k,p là các số nguyên dương; a k bp ≠ 0 ) . ( 5. = A lim n 3 − 2n + 1 ) ( 7. C lim a k n k + a k −1n k −1 + ... + a 0 = ) = 6. B lim  n 2 + n − 1 + n    với a k ≠ 0 3 = lim  2n − n 3 + 1  8. D   9. E = lim 3n 3 + n − 1 10. F = lim (2n − 1)(n + 3)2 (n − 2)7 (2n + 1)3 (n 2 + 2)5 3 = M lim  1 − n 2 − 8n 3 + 2n  11. H lim  n 2 + n + 1 − n  12. =     3 = 13. N lim  4n 2 + 1 − 8n 3 + n    3 = 14. K lim  n 3 + n 2 − 1 − 3 4n 2 + n + 1 + 5n  .   Bài 4. Tìm các giới hạn sau 2n + 1 1 − 3n 1. A = lim 3. C = lim 2. B = lim n3 + 1 4. D = lim n(2n + 1)2 5. E = lim n 3 + 2n + 1 n+2 6. F = lim = M lim  n 2 + 6n − n  7.   2n 3 + sin 2n − 1 n +1 3.3n + 4 n 3 n +1 +4 4. D = lim n +1 = 5. E lim( n 2 + n + 1 − 2n) k n 3 − 3n 2 + 2 n 4 + 4n 3 + 1 4 n 4 − 2n + 1 + 2n 3 10. K = lim 2. B = lim 3 3. C = lim (3n − 1)2 3n 3 + n − n 3 = 8. N lim  n 3 + 3n 2 + 1 − n    3 = 9. H lim n  8n 3 + n − 4n 2 + 3    Bài 5 Tìm các giới hạn sau 1. A = lim 4n 2 + 3n + 1 = 6. F lim p ( 3.2 n − 3n 2 n +1 + 3 n +1 n . n! n 3 + 2n n+1 n 2 ( 3n 2 + 2 − 3n 2 − 1) n+1+n ) = 8. K lim n  n 2 + 1 − n  .   7. H lim( n 2 + 1 − n 2 − 1) = Bài 6. Tìm giới hạn của các dãy số sau 1 1 1 = + + ... + 1. u n 2 1+ 2 3 2+2 3 (n + 1) n + n n + 1 2. u n = (n + 1) 13 + 2 3 + ... + n 3 3n 3 + n + 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 (1 − 3. u n = 4. u n = n¨m häc 2018 n(n + 1) 1 1 1 )(1 − )...(1 − ) trong đó Tn = . 2 T1 T2 Tn 2 3 − 1 33 − 1 n 3 − 1 . .... 2 3 + 1 33 + 1 n 3 + 1 5. u n = 6. u n = q + 2q 2 + ... + nq n với q < 1 7. u n = n ∑ 2k − 1 k =1 n ∑ k =1 n 2k n 2 +k Bài 7 Tìm các giới hạn sau: 1. A = lim 2. B = lim a k .n k + a k −1n k −1 + ... + a1n + a 0 bp .n p + bp−1n p−1 + ... + b1n + b0 3 với a k bp ≠ 0 n 6 + n + 1 − 4 n 4 + 2n − 1 (2n + 3)2 = 3. C lim  4n 2 + n + 1 − 2n    3 = 4. D lim  n 2 + n + 1 − 2 n 3 + n 2 − 1 + n    Bài 8 1. Cho các số thực a,b thỏa a < 1; b < 1 . Tìm giới hạn I = lim 1 + b + b2 + ... + bn . 1 ,x = x n2 + xn ,∀n ≥ 1 2 n +1 2. Cho dãy số (x n ) xác định bởi x1 = Đặt S= n 1 + a + a 2 + ... + a n 1 1 1 + + + . Tính lim S n . x1 + 1 x 2 + 1 xn + 1 3. Cho dãy (x k ) được xác định như sau: x k = Tìm lim u n với u n= n 1 2 k + + ... + 2! 3! (k + 1)! x1n + x n2 + ... + x n2011 . u0 = 2011 u3  1 . Tìm lim n . 4. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi:  u = un + n  n +1 u n2  5. Cho dãy số (u n ) xác định bởi : u n = n + 2 − 2 n + 1 + n .Đặt S n = u1 + u 2 +  + u n . Tìm lim S n .  u1 = 1;  un   6. Cho dãy (u n ) xác định như sau:   . u 2n . Tìm lim  ∑ u n +1   u n += 1 un + 2010  7. Cho dãy số (u n ) với u n = 4n + 1 2n n . Dãy (s n ) được cho bởi s n = ∑ ui . Tìm lim s n . i =1  u1 = 3  8. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi:  .Xét sự hội tụ và tính giới hạn sau nếu tồn u n (u n + 1)2 − 8 = u , (n ≥ 1, n ∈ N)  n +1 5  n u −2 tại: lim ∑ i . n →∞ i =1 u 2 + 1 i Bài 9 Cho dãy số ( u n ) xác định như sau: u1 = 2 và u= n +1 1. Chứng minh ( u n ) là dãy số tăng và không bị chặn trên. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 u 2n 2010 u với n = 1, 2, 3,... + 2011 2011 n Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 2. Tính n¨m häc 2018 n ∑u n →+∞ lim i =1 ui i +1 −1 . Bài 10. 1. Cho dãy số (x n ) được xác định như sau: x= 1 1,x= 2 2,x n += 2 x n +1 + x n , ∀n ≥ 1 . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó. n 1  2. Cho dãy số (u n ) : u n=  1 +  . Chứng minh rằng dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn. n  2  u1 =  3. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi:  u 2n − u n + 3 = = u , ∀n 1, 2,....  n +1 u 2n + u n + 1  Chứng minh rằng dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 4. Cho dãy số (u n ) thỏa: u n + u n +1 ≥ 2u n + 2 và dãy (u n ) bị chặn. Chứng minh rằng dãy (u n ) tồn tại giới hạn hữu và tìm giới hạn đó. = u0 1,= u1 5  5. Cho dãy (u n ) được xác định bởi:  + u n2 + 6 . Chứng minh rằng dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới u  u n + 2 = n +1 3  hạn đó. 1  u1 =  6. Cho dãy số (u n ) thỏa mãn:  . Chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới u 2n + 4u n + 1 u ,n ≥ 1 =  n +1 2 un + un + 1  hạn đó. = = x1 1;x 2 2 . Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn trên. x n +1 4x n + 3x n −1 = 7. Cho dãy số (xn ) sao cho  Bài 11. Cho dãy số (x n ) xác định như sau:= x0 2011, x= n +1 2 1 + x 2n = ; ∀n 0,1, 2,... = 1,2,3,... Chứng minh dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn. 1. Đặt u n= x 2n , ∀n 2. Chứng minh rằng dãy (x n ) cũng có giới hạn hữu hạn. Bài 12. Tìm lim u n biết: 1. u n = = 3. u n n. 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) 2 2n + 1 1 2 1+ 2 (1 − 4. u n = 5. u n = + 1 3 2+2 3 + ... + 2. u n = lim 1 + 2 + ... + n − n 3 2 1 + 2 2 + ... + n 2 + 2n 1 (n + 1) n + n n + 1 n(n + 1) 1 1 1 )(1 − )...(1 − ) trong đó Tn = . 2 T1 T2 Tn 2 3 − 1 33 − 1 n 3 − 1 . .... 2 3 + 1 33 + 1 n 3 + 1 6. u n = 7. u n = q + 2q 2 + ... + nq n với q < 1 9. u n = n 1 k =1 2 ∑ 8. u n = n ∑ 2k − 1 k =1 n ∑ k =1 n 2k n 2 +k 2  2... 2 . 10. u n =  n +k n dau can 3 3 Bài 13. Cho dãy số (x n ) thỏa mãn x n= 2n + a 8n + 1∀n ∈ N , a là số thực cho trước. 1. Tìm điều kiện của a để dãy số trên có giới hạn hữu hạn. 2. Tìm điều kiện của a sao cho dãy số trên là dãy số tăng. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018  x1 = α Bài 14. Cho số thực α và xét dãy số (x n ) với  2 x n +1 = x n − 2x n + 2 ( n ∈  * ). 1. Với α ∈(1;2) . Chứng minh 1 < x n < 2 với mọi n ∈  * và (x n ) là dãy số giảm. 2. Với α ∈ [1; +∞ ). Tùy vào giá trị của α , tìm giới hạn của (x n ) . Bài 15. 4 4 8 − + 3u n . Tìm lim u n . 1. Gọi (u n ) là dãy số xác định bởi u1 = ; u n +1 = 9 9 9 2. Giả sử f(x) là hàm số được xác định trên tập số thực R và thỏa mãn bất phương trình: 9f ( 4x ) ≥ 4 + 4 12f ( 3x ) − 9f ( 4x ) . 4 . 3 = x1 a;y = = 1 b;z 1 c  3. Cho các dãy số (x n ),(y n ),(z n ) được xác định như sau:  + y n −1 y n −1 + z n −1 z n −1 + x n −1 x = , yn , z n = n −1 xn =  2 2 2 a+b+c . Chứng minh rằng các dãy trên cùng hội tụ về giá trị 3 x1 = a  5. Cho a > 2 và dãy số ( x n ) với  n+3 . = 3x n2 + 2x n +1 n  Chứng minh: f ( x ) ≥ u n ∀ n ∈  ;x ∈  . Từ đó hãy suy ra f ( x ) ≥ a) Chứng minh : x n > 1 , với n ∈  * b)Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 16.  3 a= 1 a= 2 2 . Chứng minh rằng dãy số (a n ) hội tụ và tìm giới hạn 1. Dãy số (a n ) được xác định bởi :  2 a n +1 = = , ∀n 2, 3, 4.. a n + a n −1  của dãy số đó. n u1 = 1 1 2. Cho dãy số (u n ) được xác định như sau  .Đặt v n = ∑ . Tìm u u u (u 1)(u 2)(u 3) 1; n 1, 2,.. = + + + + =  n +1 i =1 i + 2 n n n n lim v n .  x1 = 3. Cho dãy (x n ) :  x =  n hạn và tìm giới hạn đó. 1 n 1 2 . Chứng minh rằng dãy (y n ) xác định bởi y n = ∑ có giới 2 1 2  , ∀n ≥ 2 i =1 xi x 4x x + +  n −1 n −1  2  n −1  n au + bv . Chứng 4. Cho a, b ∈   ,(a, b) = 1; n ∈ {ab + 1,ab + 2,...} . Kí hiệu rn là số cặp số (u,v) ∈   ×   sao cho = rn 1 . = n →∞ n ab minh rằng lim Bài 17. x n +1 1. Cho dãy (x= n ) : x1 1;= (2 + cos 2α)x n + cos 2 α trong đó α là số thực.= Đặt y n (2 − 2 cos 2α)x n + 2 − cos 2α để dãy số (y n ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. n ∑ 2x i =1 1 ∀n ≥ 1 . Tìm α i +1 2. Cho c là một số thực dương. Dãy (x n ) được xây dựng như sau: x n +1 = c − c + x n , n = 0,1,2.. nếu các biểu thức dưới dấu căn không âm. Tìm tất cả các giá trị của c , để với mọi giá trị ban đầu x0 ∈ ( 0; c ) , dãy (x n ) xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC A. 2.  sin 5n   2 bằng: Câu 1. Kết quả của giới hạn lim   3n  A. 2. Câu 2. B. 3. C. 0. bao nhiêu 1 n  2 n k cos 1 n  . lim 2n 2 A. 0. Có số nhiên C. 4. B. 1. B. 0. Câu 10. Giá trị của giới hạn lim 5 . 3 chẵn A. . k B. A. D. Vô số. 3sin n  4 cos n bằng: n 1 C. 2. 1 . 4 C. 5. B. 2. C. 0. D. 3. vn  B. 3. C. C. 4. B. 2. 2 . 7 D. 3 . 4 n n 1 bằng: n  2 C. 1. D. 0. un  và vn  có un  B. 2. C. 0. Câu 13. Cho dãy số un  với un  D. 4. D. 0. 1 và n 1 v 2 . Khi đó lim n có giá trị bằng: n2 un A. 1. D. 3. an  4 trong đó a là tham 5n  3 số thực. Để dãy số un  có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: A. a  10. D. . B. a  8. C. a  6. Câu 14. Cho dãy số un  với un  n  1   Câu 6. Giá trị của giới hạn lim 4   bằng:  n  1  A. 1. 3 . 2 Câu 12. Cho hai dãy số   n  2n 3  là: Câu 5. Kết quả của giới hạn lim n 2 sin   5 A. . B. 0. 2 . 3 3n 3  2n  1 là: 4 n 4  2n  1 để  n cos 2n  Câu 4. Kết quả của giới hạn lim 5  2  bằng:  n  1  A. 4. C. Câu 11. Giá trị của giới hạn lim Câu 3. Kết quả của giới hạn lim A. 1. tự D. B. 1. D. a  4. 2n  b trong đó b là tham 5n  3 số thực. Để dãy số un  có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là: D. 2. A. b là một số thực tùy ý. B. b  2. C. không tồn tại b. D. b  5. n Câu 7. Cho hai dãy số vn  un  và vn  có un  1 n2 1 1 . Khi đó lim un  vn  có giá trị bằng: n2  2 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. B. . Câu 9. Giá trị của giới hạn lim Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng C. 0. 3 A. L  . 2 1 B. L  . 2 n2  n  5 . 2n 2  1 C. L  2. D. L  1. Câu 16. Cho dãy số un  với un  D. 1. n  2n 2 bằng: n 3  3n 1 - 0946798489 Câu 15. Tính giới hạn L  lim 4n 2  n  2 . Để dãy số đã an 2  5 cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: 3 là: Câu 8. Giá trị của giới hạn lim 2 4 n  2n  1 3 A.  . 4 và A. a  4. B. a  4. Câu 17. Tính giới hạn L  lim C. a  3. D. a  2. n 2  3n 3 . 2n 3  5n  2 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 1 A. L   . B. L  . 5 2 1 C. L  . 2 D. L  0. Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số 2 L  lim 5n  3an 1  a  n 4  2n  1  0. A. a  0; a  1. B. 0  a  1. C. a  0; a  1. Câu 19. Tính giới hạn D. 0  a  1. 2n  n3 3n 2  1 L  lim . 2n 1n 4  7 3 A. L   . B. L  1. 2 Câu 20. Tính giới hạn A. L  0. C. L  3. 8 C. L  . 3 B. L  1. B. L  1. 3 3 n 1 n 8 D. L  . D. L  . B. . C. . Câu 23. Kết quả của giới hạn lim 3 A. . 4 B. . Câu 24. Kết quả của giới hạn lim A. 0. B. . 2 D. . 3 5 D. . 7 3 D. . 4 Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 3  2n 3 . A. lim 2 2n 1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 2n 2  3 . B. lim 2 n 3  4 - 0946798489 B. un  n 4  2n 3 1 . 3n 3  2n 2 1 C. un  n 2  3n 3 . 9n 3  n 2 1 D. un  n 2  2n  5 . 3n 3  4 n  2 Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? A. un  1  n2 . 5n  5 B. un  C. un  n 2  2n . 5n  5n 2 D. n2  2 . 5n  5n 3 1  2n . 5n  5n 2 Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? A. 1  2n . 5n  5n 2 B. un  n 3  2n 1 . n  2n 3 2n 2  3n 4 n 2  2n . D. un  . 2 3 5n  1 n  2n Câu 29. Tính giới hạn L  lim 3n 2  5n  3. B. L  . C. L  5. D. L  .  thuộc  khoảng 10;10 để L  lim 5n  3 a  2 n   . A. 19. B. 3. 2 3 C. 5. D. 10. Câu 31. Tính giới hạn lim 3n 4  4 n 2  n  1. A. L  7. B. L  . C. L  3. Câu 32. Cho dãy số un  với un  2  D. L  .  2 2  ...   2 . n Mệnh đề nào sau đây đúng ? 3n  n 4 là: 4n  5 C. . n 2  2n . 3n 2  5 Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a 2n  3n 3 là: 4 n 2  2n  1 C. 0 2n 2  3n 4 . 2 n 4  n 2 A. un  A. L  3. n 3  2n là: Câu 22. Kết quả của giới hạn lim 1  3n 2 1 A.  . 3 D. lim 1 Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  ? 3 C. un  . 1 C. L  . 8 để 2n  3n 3 . 2 n 2  1 D. L  . n 2  2n2n 3  14n  5 . L  lim n 4  3n 13n 2  7 Câu 21. Tính giới hạn L  lim 1 A. L  . 2 a 4 C. lim 2 A. lim un  . B. lim un  C. lim un  . D. Không tồn tại lim un . 1 2 . 1 3 n  1   ...  2 2 bằng: Câu 33. Giá trị của giới hạn lim 2 n2 1 Page | 10