Bộ đề luyện thi vào chuyên toán

 Tài liệu sưu tầm BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Tài liệu sưu tầm 1 BỘ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ 1 Câu 1 (2,0 điểm) a + b −1 a− b b b  + +   (với a, b > 0 và a ≠ b ). a + ab 2 ab  a − ab a + ab  a) Cho biểu thức P = Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= 2019 + 4 P + 13 a − 6a + a a . b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, y ) sao cho cả hai số x 2 + 8 y và y 2 + 8 x đều là các số chính phương. Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x += 3 3 x ( x + 1) 3 x + 2 . 2 2 0  x( x + y ) + y ( xy + 12) = b) Giải hệ phương trình:  2 . 2 0  x + 4(2 y − 3) = Câu 3 (0,5 điểm). Cho hai hàm số y = 2 x 2 và y = mx . Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều. Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 BC . Trên cạnh BC lấy điểm E . Tia AE cắt đường thẳng CD tại F . 1  1  1 . − = 2 2  AE  AF 2  AB b) Từ một điểm M trong tam giác ABC , vẽ MI ⊥ BC , MH ⊥ CA, MK ⊥ AB . Xác định vị a) Chứng minh rằng 4  trí điểm M để MI 2 + MH 2 + MK 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , D là một điểm trên cạnh BC ( D khác B và C ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P, Q ( P, Q lần lượt thuộc  AC ). Đường tròn ngoại AB và  tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B ). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K . PK QB = . PD QA b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P ). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E . Chứng minh rằng khi D di chuyển trên BC thì CD không đổi. CE Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 8 8 8 8 8 8 + + + a 2 + b2 + c2 ≥ + + . 2 2 2 (a + b) + 4abc (b + c) + 4abc (c + a ) + 4abc a+3 b+3 c+3 Câu 7 (0,5 điểm). Cho tập X = {0;1;2;3;4;5} . Hỏi từ tập X ta lập được bao nhiêu số tự a) Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp và nhiên abcdef gồm 6 chữ số khác nhau thỏa mãn: d + e + f − a − b − c = 1. ===Hết=== 2 ĐỀ SỐ 2 Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho biểu thức   a 2 − b2 a −b a −b = + P  (với a > b > 0 ) : 2 2 2 2 + a b + + − a b a b − − + a b a b   Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này khi b= a − 1 . x2 y 2 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn + = 9. y x Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình 3 x 2 − 1 − x3 − 2 + x = 0. 697  4 2 x + y = b) Giải hệ phương trình  . 81  x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0  Câu 3 (0,5 điểm) Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d := y mx + 3 . Tìm m để đường thẳng d cắt ( P ) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho độ dài AB ngắn nhất. Câu 4 (2,0 điểm). Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho  ABO =  ACO . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của O lên AB và AC .  = OC.sin OAB . a) Chứng minh rằng OB.sin OAC b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và HK . Chứng minh rằng MN vuông góc với HK . Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn ( I ) . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho  ABD =  ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q . Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P . a) Chứng minh tam giác QBI cân và BP.BI = BE.BQ . b) Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD , K là trung điểm của EJ . Chứng minh rằng PK // JB . Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho ab + bc + ca = 3abc . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≤ 1. 2 2 2a + b 2b + c 2c + a 2 2 Câu 7 (0,5 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó là bội của 4. ===Hết=== 3 ĐỀ SỐ 3 Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = 4 . Tính giá trị của biểu thức P= a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc + 2019 . b) Với mọi số nguyên dương n , hãy xác định theo n số tất cả các cặp thứ tự hai số nguyên dương ( x; y ) sao cho x 2 − y 2 = 100.302 n đồng thời số cặp này không thể là số chính phương. Câu 2 (2,0 điểm) ( ) a) Giải phương trình: x + x +1 2 − x = x 2 + x + 1.  5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 = 3 ( x + y ) b) Giải hệ phương trình:  .  2 x + y + 1 + 2 7 x + 12 y + 8= 2 xy + y + 5 Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d= : y 5mx + 4m (m ≠ 0) . Tìm m để đường thẳng d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là x1 , x2 3 sao cho x22 + 5mx1 + 12m m2 = A + đạt giá trị nhỏ nhất. x12 + 5mx2 + 12m m2 Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD, điểm E nằm trên cạnh BC (E khác B , E khác C). Hai đường thẳng AE và CD cắt nhau tại F. a) Chứng minh 1 AE 2 + 1 1 = . AF AB 2 2 b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD và I là trung điểm của cạnh AD. Điểm M di động trên đoạn thẳng ID, đường thẳng MG cắt AC tại N. Chứng minh và khi giá trị của tích AM. AN nhỏ nhất hãy tính tỉ số AD AC + = 3 AM AN AM . AD Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O; R ) và điểm A cố định trên (O; R ) . Gọi M, N là các  của giao điểm của hai đường tròn (O; R ) và ( A; R ) ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN đường tròn ( A; R ) .Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt (O; R ) tại B, C. Kẻ HI ⊥ AB ( I ∈ AB ), HK ⊥ AC ( K ∈ AC ) . a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và AB. AC = 2 R 2 . b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆AIK khi H thay đổi. Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a 9b 16c . + + b+c−a a +c−b a +b−c Câu 7 (0,5 điểm). Cho tập X = {1,2,3,...,81} . Chứng minh rằng trong 3 phần tử tùy ý của biểu thức: P = X luôn có hai phần tử a, b sao cho : 0 < 4 a − 4 b < 1 . ===Hết=== 4 ĐỀ SỐ 4 Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho x = 1 + 3 2 + 3 4 . Tính giá trị của biểu thức P = x3 − 3 x 2 − 3 x + 2019 . b) Tìm các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho 4 3 + 4−b = 3 4+ 4 b +b + 3 4−4 b +b . a Câu 2 (2,0 điểm) 16 . a) Giải phương trình: 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 =  x 4 − y 4 = 240 b) Giải hệ phương trình:  . 2 3 3 2 2 3 4 4 8 x y x y x y − = − − − ) ( ) (  Câu 3 (0,5 điểm) Cho parabol = ( P ) : y 2ax 2 (a > 0) và đường thẳng d : y = 4 x − y − 2a 2 . Tìm a để d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1 , x2 sao cho biểu thức = Q 8 1 + x1 + x2 2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.  = 450 quay quanh đỉnh A . Các tia Câu 4 (2,0 điểm) . Cho hình vuông ABCD có xAy Ax, Ay cắt cạnh BC và CD theo thứ tự tại P và Q . Kẻ PM song song với AQ và QN song song với AP . Đường thẳng MN cắt AP tại E và cắt AQ tại F . Chứng minh rằng a) Tam giác AMN cân. Câu 5 (2,0 điểm) 2 b) EF = ME 2 + NF 2 . Cho đường tròn ( O; R ) và đường tròn ( O′; R′ ) cắt nhau tại A và B . Trên tia đối của AB lấy điểm C . Kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O , trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn (O′) . Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn (O′) lần lượt tại M và N ( M , N =/ A ). Tia DE cắt MN tại I . Chứng minh rằng: a) MIB  AEB b) O′I ⊥ MN . Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 2(a 2b + b 2c + c 2 a ) + (a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc . Câu 7 (0,5 điểm). Cho tập A = {1,2,...,16} . Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà a 2 + b 2 là một số nguyên tố. ===Hết=== 5 ĐỀ SỐ 5 Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho a, b là các số dương, a ≠ b và ( )( )   (a + 2b) 2 − (2a + b) 2   a a + b b a a − b b − 3ab  = 3.  :  a + b a − b     Tính S = 1 + 2ab − 2(a 2 + b 2 ) . a 2 + b2 b) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn a < b ≤ c < d ;= ad bc; Chứng minh rằng a là một số chính phương. Câu 2 (2,0 điểm) ( a) Giải phương trình: x 4 + x 3 + 2 x 3 x x 2 − 2 ) 2 d − a ≤1 . + 4= 6 x 2 + 2 x + ( x 2 + x − 2 ) 3 x 4 − 2 x 2 . 1 1 9 x + y =  b) Giải hệ phương trình:  .  1 + 1  1 + 1  1 + 1  = 18  3 3 y   3 x 3 y   x     2 Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = x và hai điểm A, B thuộc ( P ) có hoành độ lần lượt là −1 và 2. Tìm M thuộc  AB sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài và chiều rộng tương ứng là a, b . Điểm G nằm trên đường chéo AC sao cho cạnh AD và AB tương ứng tại P và Q . GA 1 = . Một đường d bất kì qua G cắt các GC 2 AD AB + có giá trị không đổi. AP AQ b) Đặt AP = x và gọi S là diện tích ngũ giác BCDPQ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) Chứng minh rằng M 2  ax 2  3 S +  6 x − 2b   + 3 biết rằng a + b ≤ 3 . a +1 Câu 5 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R ) . Trên cung nhỏ AD lấy điểm E ( E không trùng với A và D ). Tia EB cắt các đường thẳng AD, AC lần lượt tại I và K . Tia EC cắt các đường thẳng DA, DB lần lượt tại M , N . Hai đường thẳng AN , DK cắt nhau tại P .  = DKM  . a) Chứng minh rằng các tứ giác IABN , EPND nội tiếp và EKM b) Khi điểm M ở vị trí trung điểm của AD . Hãy xác định độ dài đoạn AE theo R . Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c > 0 bất kỳ. Chứng minh rằng: (a 2 + bc ) ( b + c ) a ( b2 + c2 ) + (b 2 + ca ) ( c + a ) b ( c2 + a2 ) + (c 2 + ab ) ( a + b ) c ( a 2 + b2 ) ≥3 2 . Câu 7 (0,5 điểm). Trong một hình vuông cạnh bằng 1 ta sẽ một số đường tròn có tổng chu vi bằng 10. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất bốn đường tròn trong chúng. 6 ĐỀ SỐ 6 Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho x > 1, y < 0 thỏa mãn điều kiện Tính tỉ số ( x + y )( x 3 − y 3 ) 4 x − 16 x − 4 ( ) 1 − 4 x − 1 ( x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ) = −2019 . x . y b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 7 − n5 + 2n 4 + n3 − n 2 + 1 có đúng một ước nguyên tố. Câu 2 (2,0 điểm) x2 + 5x + 2 a) Giải phương trình: x + x + 2 = . 2x + 2 6 x 2 x 3 − 6 x + 5 = ( x 2 + 2 x − 6 )( x 3 + 4 )  b) Giải hệ phương trình:  . 2 2 x + = 1 +  x y2  2 1 2 x và d là đường thẳng đi qua hai điểm 2 I (0; −2), M (m;0) với m ≠ 0 . Chứng minh rằng d luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B với độ dài AB > 4 . Câu 4 (2,0 điểm) Giả sử ABCD là một miếng bìa hình vuông cạnh a . Trên mặt phẳng có hai đường thẳng song song l1 và l2 cách nhau 1 đơn vị. Hình vuông ABCD được đặt trong mặt phẳng đó sao cho AB và AD lần lượt cắt l1 tại E , F . Cũng vậy CB và CD lần lượt cắt l2 tại G và H . Gọi chu vi của các  AEF và CGH tương ứng là m1 , m2 . Lấy hai điểm M và N lần lượt nằm trên BC và DC sao cho NH = AE và MG = AF . a) Chứng minh rằng tổng m1 + m2 là chu vi MCN . Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = − b) Chứng minh rằng với cách đặt tấm bìa hình vuông như thế, thì dù đặt thế nào đi nữa m1 + m2 vẫn là một hằng số. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ( AD < BC ) . Gọi I là giao điểm của AC và BD . Vẽ đường kính CM , DN . Gọi K là giao điểm của AN , BM . Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NOC tại điểm J khác C . a) Chứng minh KBNJ là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh I , K , O thẳng hàng. Câu 6 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a −1 b −1 c −1 3 + 2 + 2 ≥− . 2 a +8 b +8 c +8 8 Câu 7 (0,5 điểm). Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh. ===Hết=== 7 ĐỀ SỐ 7 Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho x = 1 2 2 −1 . Tính giá trị của biểu thức 2 +1 ( ) 2019  1 − 2x  P = (4 x + 4 x − x + 1) + 4 x + 4 x − 5 x + 5 x + 3 +   . 2  2x + 2x  b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x, n) sao cho x n + 2n + 1 là một ước của x n +1 + 2n +1 + 1 . 5 4 3 29 5 4 3 9 Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4 x − 4 = 0. 3 2 −49  x + 3 xy = b) Giải hệ phương trình:  2 . 2  x − 8 xy + y = 8 y − 17 x 1 4 Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y =− x + . Gọi A và B là 3 3 giao điểm của d với ( P ) . Tìm điểm M trên trục tung sao cho độ dài MA + MB nhỏ nhất. Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có  A = 360 . Phân giác BD và đường cao AH cắt nhau tại I . Tia phân giác  ADB cắt AH tại O . Gọi E là giao điểm của BO và AC ; F là giao điểm của CI và DO . a) Chứng minh  BEF cân b) Chứng minh các tứ giác BCEF và BDAF là hình thoi. Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Lấy một điểm P trên cung BC không chứa điểm A của (O) . Gọi ( K ) là đường tròn đi qua A, P tiếp xúc với AC . Đường tròn ( K ) cắt PC tại S khác P . Gọi ( L ) là đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB . Đường tròn ( L) cắt PB tại T khác P .Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC . a) Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DPT . b) Ba điểm S , D, T thẳng hàng. Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 2a 2 + ab (b + ca + c + 2b 2 + bc ) (c + 2 ab + a + 2c 2 + ca ) (a + 2 bc + b ) 2 . Câu 7 (0,5 điểm). Cho tập X = {1,2,3,...,200} . Chứng minh rằng với mọi tập con A của X có số phần tử bằng 101 luôn tồn tại hai phần tử mà phần tử này là bội của phần tử kia. ===Hết=== 8 ĐỀ SỐ 8 Câu 1 (2,0 điểm)  1+ x  2 x y + 2 xy xy + x ( với x > 0, y > 0, xy ≠ 1 ). + + 1 :  1 + xy  1 xy − 1 xy −   16 xy Q P + ( x2 + y 2 )P2 . Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = x+ y a) Cho biểu thức P = b) Tìm các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa: y 6060 = x 6060 − x 4040 − x 2020 + 2 . Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 4 x + 3 + 2 2 x + 7 = ( x + 1)( x 2 + 4 x + 2).  x + y + 2( x + y ) 2 = 2(2 + 3 xy ) b) Giải hệ phương trình:  . 4 3 4 3 6  3 x + 6 x y + 3 y + 6 xy = Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y = − x 2 và đường thẳng d : = y 2 x − 3 . Gọi A, B là hai giao điểm của d và ( P ) . Tìm điểm M trên  AB của parabol ( P ) sao cho MAB vuông tại M . Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có trực tâm H . Qua A kẻ đường thẳng song song với BH cắt CH tại E . a) Gọi p1 , p2 lần lượt là chu vi các tam giác EHA và ABC . Chứng minh rằng EH p1 = AB p2 b) Qua A kẻ đường thẳng song song với CH cắt tia BH tại D . Kẻ đường trung tuyến AM của  ABC . Chứng minh rằng DE ⊥ AM . Câu 5 (2,0 điểm). Cho 3 đường tròn (O ),(O1 ),(O2 ) biết (O1 ),(O2 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và (O1 ),(O2 ) lần lượt tiếp xúc trong với (O) tại M 1 , M 2 . Tiếp tuyến của (O1 ) tại I cắt (O) lần lượt tại A, A . Đường thẳng AM 1 cắt (O1 ) tại điể N1 , đường thẳng AM 2 cắt (O2 ) tại điểm N 2 . Chứng minh tứ giác M 1 N1 N 2 M 2 nội tiếp và OA  N 2 N1. b) Kẻ đường kính PQ của (O) sao cho PQ  AI ( điểm P nằm trên  AM không chứa 1 điểm M 2 ). Chứng minh rằng nếu PM 1 , PM 2 không song song thì các đường thẳng AI , PM 1 , QM 2 đồng quy. Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 + + ≤ . 2 2 2 a (a + 8bc) b(b + 8ac) c(c + 8ab) 3abc Câu 7 (0,5 điểm) . Trên mặt phẳng tọa độ có 3 điểm nguyên nằm trên một đường tròn bán kính là r . Chứng minh rằng tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa đúng không nhỏ hơn 3 r. ===Hết=== 9 ĐỀ SỐ 9 Câu 1 (2,0 điểm) 2 a b 2  ab  (với a, b  0 và a  1 ). ab  2 a  b  2 ab  2 a  b  2 Tìm giá trị lớn nhất của P khi a  1 là số tự nhiên. a) Cho biểu thức P  b) Cho m, n là hai số nguyên dương lẻ sao cho n 2 1 chia hết cho m 2  n 2  1 . Chứng minh rằng m 2  n 2  1 là số chính phương. Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x + x −1 = x 1− 1 1 +3 x− . x x    x  1 y 2  y  2   y 1 x 2  x  1  x  y   b) Giải hệ phương trình:  . 2 2  x x x y 3 2 x x y 1            2 Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol ( P ) : y  x 2 . Lấy hai điểm thay đổi A và B trên ( P ) sao 3 cho OA  OB . Chứng minh rằng hình chiếu H của O trên AB thuộc một đường tròn cố định đồng thời xác định vị trí của A và B để OH lớn nhất.   CAD  và  Câu 4 (2,0 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có BAC ABC   ACD . Hai tia AD và BC cắt nhau tại E , hai tia AB và DC cắt nhau tại F . Chứng minh rằng 1 a) AB.DE  BC.CE . b) AC 2  ( AD. AF  AB. AE ) . 2 Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC không là tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ) . Gọi D, E , F lần lượt là các tiếp điểm của BC , CA, AB với đường tròn ( I ) . Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC , biết AD cắt đường tròn ( I ) tại điểm N ( N không trùng với D ), gọi K là giao điểm của AI và EF . a) Chứng minh rằng các điểm I , D, N , K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn ( I ) . 1 4 Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤ . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 + 4a 1 + 4b 1 + 4c 1  b − c  1 c − a  1 a − b  + + ≤6+   +   +   . 1 − 4a 1 − 4b 1 − 4c a b + c  b c + a  c a + b  Câu 7 (0,5 điểm). Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách giữa hai sân bay nào cũng khác nhau. Mỗi máy bay cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay nào gần nhất. Chứng minh rằng trên bất kỳ sân bay nào cũng không thể có quá 5 máy bay đến. ===Hết===