Tài liệu ôn thi HSG Toán 8 đại số

LÊ THẾ CHÍNH- SỐ ĐIỆN THOẠI 0834810305 CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHIA HẾT-SỐ CHÍNH PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN THCS * Nhiều bài tập hay và đa dạng * Cách giải hay và độc đáo phù hợp học sinh THCS * Rèn luyện tư duy cao và nhiều phương pháp giải toán *Dùng để ôn thi HSG và thi vào lớp 10 chuyên toán tin Bắc Giang -30-4-2019 A:CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN I/ CHIA HẾT: 1-Định nghĩa: Số nguyên a gọi là chia hết cho số nguyên b 0 nếu tồn tại số nguyên k thõa mãn a=bk Số nguyên a chia hết cho số nguyên b 0 ký hiệu a b vậy ta có a b  a bk Chú ý: + a b ta nói a là bội của b và b là ước của a và b chia hết a + a b  a 0 hoặc a  b 2- Tính chất: xét trên tập số nguyên và lưu ý ký hiệu UCLN của a và b là (a,b) +Tính chất 1: với mọi a 0 ta luôn có aa +Tính chất 2: a b và b c  a c +Tính chất 3: a b và ba  a  b +Tính chất 4: a b   a b;  a ( b); a ( b) +Tính chất 5: a b  ka b +Tính chất 6: a b và c d  ac bd +Tính chất 7: a m và bm  a b m +Tính chất 8: a bm mà a m  b m +Tính chất 9: a1a2 a3 ...an p mà p nguyên tố thì trong tích có ít nhất 1 thừa số chia hết cho p +Tính chất 10: a b; a c mà (b;c)=1  a bc +Tính chất 11: ab c mà (a;c)=1 thì bc +Tính chất 12: Trong n số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại duy nhất 1 số chia hết cho n II/ CHIA CÓ DƯ: 1-Định nghĩa: Số nguyên a gọi là không chia hết cho số nguyên b>0 nếu tồn tại số nguyên k và r thõa mãn a=bk+r với 0  r  b Chú ý: Số nguyên a không chia hết cho số nguyên b>0 thi số dư chỉ có thể là 1 hoặc 2,…,hoặc b-1 ( có b-1 số dư) Trang 1 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 2- Tính chất: (xét trên tập số nguyên) -Nều 2 số nguyên chia cho 1 số nguyên dương cho cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho số nguyên đó. -Nếu a và b chia cho số nguyên dương m cho cùng số dư thì ta nói a và b đồng dư theo modm , ký hiệu a b (modm). Ta có a b (modm)  a  b m -Nếu a b (modm) và c d (modm) thì ta có a  c b  d (modm) , ac bc (modm) III/SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ: 1-Số nguyên tố: a-Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó b- Chú ý: + Chỉ có duy nhất 1 số nguyên tố chẵn là 2  m 1  m a hoặc   n a  n 1  m 1 + a là số nguyên tố mà a=mn với m, n nguyên dương và m1 và n>1 thi a là hợp số + Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ước số là số nguyên tố IV/ SỐ CHÍNH PHƯƠNG: 1-Đĩnh nghĩa: Số chính là số viết được dưới dạng bình phương của một số nguyên 2-Tính Chất: +Tính chất 1: Chữ số tận cùng của số chính phương chỉ có thể là 0,1,4,5,6,7 +Tính chất 2: Số chính phương chia cho 3 số dư chỉ có thể là 0 hoặc 1 +Tính chất 3: Số chính phương chia cho 4 số dư chỉ có thể là 0 hoặc 1 +Tính chất 4: Số chính phương chia cho 5 số dư chỉ có thể là 0 hoặc 1;4 +Tính chất 5: a là số chính phương, p là nguyên tố mà a chia hết cho p thì a chia hết cho p 2 +Tính chất 6: a, b là số chính phương thì ab là số chính phương Trang 2 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 +Tính chất 8: ab là số chính phương mà (a;b)=1 thì a, b đồng thời là số chính phương +Tính chất 9: Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào V/ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN: Các kiến thức cần nhớ: ( xét trên các số nguyên) + Nếu abc mà  a, c  1 thì bc + Nếu ab=m thì ta có ma và mb  a 0 + Nếu a b thì ta có   a b + a1a2 a3 ...an p mà p nguyên tố thì trong tích có ít nhất 1 thừa số chia hết cho p + Uớc số của số nguyên lẻ là số lẻ + p là số nguyên tố thì p n có các ước số là 1, p, p 2 ,..., p n + Ký hiệu UCLN của a, b là (a,b). nếu (a,b)=d (với d  N * )  a d và b d  a dx và b dy với (x,y)=1 + UCLN (a,b) chia hết cho UC(a,b) + số hữu tỉ bao giờ cũng viết được dưới dạng a với a, b  Z , b  0 và (a,b)=1 b + a là số nguyên dương chẵn thì a có dạng a k 2n với k lẻ và n, k  N  a  px  + Nếu ab  p n mà p nguyên tố thì ta có  b  p y  x  y n   a x n  + Nếu a, b nguyên dương thỏa mãn ab c n mà  a, b  1 thì ta có  b  y n  xy c;( x, y ) 1  + Định lý Fermat: -Nếu p nguyên tố và a là số nguyên tùy ý thi ta có a p  a p -Nếu p nguyên tố và a là số nguyên tùy ý mà (a, p)=1 thi ta có a p  1  1p + Nguyên tắc Dirichlet: Nếu nhốt n+1 con thỏ vao n chiếc chuồng ( n 2 ) thi tồn tại 1 chuồng có ít nhất 2 con thỏ + Nguyên lý cực hạn: -Trong 1 tập hợp hữu hạn khác rỗng các số thực luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhât -Trong 1 tập hợp khác rỗng các số nguyên dương luôn có thể chọn được số bé nhất Trang 3 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 B: CÁC BÀI TẬP Bài 1: Cho các số n, m nguyên không âm thỏa mãn n3 m2  m  1 . Chứng minh n  1 chia hết cho 6 Bài 2: Cho n số x1 , x2 , x3 ...., xn mà mỗi số nhận giá trị 1 hoặc  1 thỏa mãn x1 x2  x2 x3  ...  xn  1 xn  xn x1 0 . Chứng minh n chia hết cho 4 Bài 3: Cho 5 số nguyên phân biệt a1 , a2 , a3 , a4 , a5 . Chứng minh P chia hết cho 288 P=  a1  a2   a1  a3   a1  a4   a1  a5   a2  a3   a2  a4   a2  a5   a3  a4   a3  a5   a4  a5  a 1 1 1 1 1 . 1     ...   b 2 3 4 1334 1335 Bài 4: Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn Chứng minh a 2003 Bài 5: Cho m, n nguyên thỏa mãn 5  m  n   mn chia hết cho 441. 2 Chứng minh mn chia hết cho 441 Bài 6: Cho a, b, c , d nguyên và n nguyên dương thỏa mãn a  b  c  d và a 2  b 2  c 2  d 2 chia hết cho n. Chứng minh a 4  b4  c 4  d 4  4abcd chia hết cho n Bài 7:Cho a, b, c, d, t nguyên và n nguyên dương thỏa mãn a  b  c  d  t và a 2  b 2  c 2  d 2  t 2 chia hết cho n. Chứng minh a 5  b5  c3  d 5  t 5  5abcdt chia hết cho n Bài 8:Tìm Tìm số tự nhiên n để A= 22 2 n1  3 là số nguyên tố 2 Bài 9: Tìm Tìm số tự nhiên m và n để B= 33m 6 n  61  4 là số nguyên tố Trang 4 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 10: Cho a, b là số tự nhiên thỏa mãn 2a 2  a 3b 2  b . Chứng minh a  b và 2a  2b  1 là số chính phương Bài 11: Cho Số S= 2  2 28n 2  1 ( với n là số tự nhiên). Chứng minh nếu S là số tự nhiên thì S là số chính phương Bài 12: Cho Số S= 2  2 12n 2  1 ( vơis n là số tự nhiên). Chứng minh nếu S là số tự nhiên thì S là số chính phương Bài 13: Cho số nguyên dương n và p nguyên tố thỏa mãn p-1 n và n3  1p . Chứng minh 4p-3 là số chính phương Bài 14: Cho số nguyên n  1 và số nguyên tố p sao cho p  2 chia hết cho n và n3  n  2 chia hết cho p . Chứng minh rằng 4 p  7 là một số chính phương. Bài 15: Cho x, y nguyên dương thỏa mãn x 2  y 2  x xy . Chứng minh x là số chính phương Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên dương lẻ sao cho n 2  1 chia hết cho m 2  1  n 2 . Chứng minh rằng m 2  1  n 2 là số chính phương. Bài 17: Cho a, b, c  N thỏa mãn a-b là số nguyên tố và 3c 2 ab  c(a  b) . Chứng minh 8c+1 là số chính phương Bài 18: Cho x, y  N thỏa mãn y>x và  2 y  1 (2 y  x)  6 y  x  . 2 Chứng minh 2y+x;6y+x là số chính phương Trang 5 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 19: 1/Cho x, y nguyên dương>1 thỏa mãn 4 x 2 y 2  7 x  7 y là số chính phương. Chứng minh x=y Bài 20: Cho các số nguyên x, y khác nhau thỏa mãn  x  y   x 3  y 3 . 4 Chứng minh 9x  1 là lập phương đúng Bài 21: Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn 4 x3  x 12 y 3  y . Chứng minh x  y là lập phương của 1 số nguyên Bài 22: Tìm các số nguyên dương (x;y) sao cho x 2 y 2  4( x  y) là số chính phương Bài 23: Tìm p nguyên tố sao cho p 1 p 2 1 là số chính phương ; 2 2 Bài 24: Tìm a, b nguyên dương để a 3b  1 ab3  1 đều là số nguyên ; a 1 b  1 Bài 25: Tìm các số nguyên dương (x;y) sao cho x 2  y 2 là số nguyên tố và x3  y 3  4x 2  y 2 Bài 26: Tìm các số nguyên (x;y) thỏa mãn x3  y 3 13  x 2  y 2  Bài 27: Tìm các số nguyên (x;y) thỏa mãn 5  x 2  xy  y 2  7  x  2 y  Bài 28: Tìm các số tự nhiên n sao cho 2n  1 và 3n  1 là các số chính phương và 2n  9 là số nguyên tố. Trang 6 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 29: Cho n là số tự nhiên>1 thỏa mãn 8n  1 và 24n  1 là các số chính phương. Chứng minh 8n+3 là hợp số Bài 30: Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 2n+1 và 3n+1 là số chính phương. Chứng minh n chia hết cho 40 Bài 31:Cho số nguyên x, y thỏa mãn x2  1 y 2  1 . Chứng minh x 2  y 2 chia hết cho 40  2 3 Bài 32: Tìm x, y nguyên dương để 4 x 2  6 x  3 chia hết cho 2 xy  1 Bài 33:. Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m, n, p, q thỏa mãn 1 1 1 1 1     1. m n p q mnpq Bài 34: Tìm x, y nguyên thỏa mãn 9 x 2  6 x  y 3 Bài 35: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x 4  2 y 2 1 Bài 36:Tìm x, y nguyên thỏa mãn x3 y  x 2 y  3x  3 y  2 0 Bài 37: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x 4  2 x 2 y 2  16 x  y 4  1 0 Bài 38: Tìm số tự nhiên n để  n2  1  5n2  9  là số chính phương Bài 39: Tìm các số nguyên (x;y) thỏa mãn  x  2   y  2   xy 2  26 0 2 Trang 7 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 40:Tìm x, y nguyên thỏa mãn x3  y3 95  x 2  y 2  Bài 41: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x3  y 3  xy  8 Bài 42:Tìm x, y nguyên thỏa mãn 2 xy 2  x  y  1 x 2  2 y 2  xy Bài 43: Tìm x, y nguyên thỏa mãn 2 x3  2 x 2 y  x 2  2 xy x  10 Bài 44: Tìm x, y nguyên thỏa mãn xy 3  y 2  4 xy 6 Bài 45: Tìm x, y nguyên thỏa mãn 2 x 2  y 2  2 xy  4 x  4 y  9 0 Bài 46:Tìm x, y nguyên không âm thỏa mãn 3x  y 3  1 Bài 47: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x 2  y   x  y 2   x  y  3 Bài 48:Tìm x, y nguyên dương thõa mãn x  y  3 1  x  y Bài 49: Tìm x, y nguyên dương thõa mãn x  y  x y 2 Bài 50:Tìm x, y nguyên thõa mãn x3  y 3  x 2  y 2  42 xy Bài 51: Tìm p nguyên tố thỏa mãn p 2  p  1 là lập phương 1 số nguyên Bài 52: Tìm p, q nguyên tố thỏa mãn p 2  pq  27 = q 3 Trang 8 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 53: Tìm x, y nguyên thõa mãn x 2  2 x 27 y 3 Bài 54:Tìm p nguyên tố để p 3  4 p  9 là số chính phương Bài 55: Tìm p nguyên tố để 2 p 4  p 2  16 là số chính phương Bài 56: Tìm p, q nguyên tố để p 2  3 pq  q 2 là số chính phương Bài 57: Tìm x, y nguyên thõa mãn x 2 ( y 2  5)  y  y  x  Bài 58: Tìm p nguyên tố và n nguyên dương để p 3  2 p 2  p  1 3n Bài 59:Tìm p nguyên tố để 2 p 2  p  9 là số chính phương Bài 60: Tìm x nguyên dương để 49 x 2  35 x  6 là lập phương của 1 số tự nhiên Bài 61:Tìm a, b, c nguyên tố thỏa mãn a 2  3ab  b 2 5c Bài 62: Tìm a, b, c nguyên tố thỏa mãn a 2  5ab  b 2 7c Bài 63:Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A 427  42016  4n là số chính phương Bài 64: Tim x, y, z nguyên dương thoã mãn x2  x 1 z xy  1 Bài 65: Tìm x, y, z nguyên dương để thỏa mãn x 2  y  3  yz 2 Trang 9 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 66: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn : pq m2  1  . p  q m 1 Bài 67:Tìm x, y  N biết 5x  y 4  4 y  1 Bài 68: Tìm x, y nguyên dương thoả mãn x  y 2 x 2  y và y  x 2 y 2  x Bài 69:Tìm x, y nguyên dương biết x 4  2 y 4  x 2 y 2  4 x 2  7 y 2 5 Bài 70: Tìm x, y nguyên thõa mãn x 2 ( y 2  3)  y  y  x  Bài 71:Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5  y 2  xy 2  1 Bài 72: Tìm x, y nguyên dương thoả mãn 4 x  17 3 y Bài 73: cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên. Bài 74: cho dãy số n, n+1, n+2, …, n3+n2+n+2 với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít nhất một lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên. Bài 75:Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn x3  y 3 xy  61 Bài 76:Tìm nghiệm nguyên của phương trình y 2  5 y  62 ( y  2) x 2   y 2  6 y  8  x Bài 77:Tìm các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). Trang 10 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 78:Tìm x, y, z  N thỏa mãn x2 3  y  z . Bài 79:Tìm số tự nhiên n đê n 4  n 2  1 là lập phương của một số tự nhiên Bài 80:Tìm p nguyên tố để 5 p  4 p 4 là số chính phương Bài 81: Tìm x, y, z, t nguyên dương thỏa mãn x y x  2 2  2 2 t y z z x x y 2 2 (1) Bài 82:Cho x, y, z nguyên dương đôi 1 khác nhau thỏa mãn x3  y 3  z 3 x 2 y 2 z 2 . Tính M= x3  y 3  z 3 x2 y 2 z Bài 83: Tìm x, y nguyên dương >1 để 2 xy  1 là số nguyên  x  1  y  1 Bài 84: Tìm a, b nguyên dương để a 2  2 chia hết cho ab+2 Bài 85:Cho các số p = bc + a, q = ab + c, k = ca + b (a, b, c  N*) là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 3 số p, q, k có ít nhất hai số bằng nhau. Bài 86: Cho x, y là 2 số nguyên khác -1 thỏa mãn x3  1 y 3  1  nguyên . y 1 x 1 Chứng minh x 2022  1y  1 Bài 87: Tìm a, b nguyên dương để a3  1 chia hết cho ab  1 Bài 88: Tim n nguyên không âm để 5n  12n là số chính phương Trang 11 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 89: Tìm các số tự nhiên x,y thõa mãn x 2  5 x  7 3 y Bài 90: Tìm x, y nguyên thoả mãn 2 x 4  12 x 3  2 x 2 y x 2  18 x  3 y  8 Bài 91: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x 6  z 3  15x 2 z 3x 2 y 2 z   y 2  5  . 3 Bài 92: Tìm các số nguyên k để biểu thức k 4  8k 3  23k 2  26k  10 là số chính phương. Bài 93: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x3  y 3  y x3  x Bài 94: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn là số nguyên dương xy  1 Bài 95: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 3x  2 y 1 Bài 96: Tìm x, y nguyên không âm thỏa mãn 2 x  3 y 1 Bài 97: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x 4  y 2  y  x 2  Bài 98: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x3  x 2 y  3x  2 y  5 0 Bài 99: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 y 3 2 x 6  9 x 4  2011. Bài 100: Tìm số nguyên tố a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn 20abc  30(ab  bc  ca)  21abc Trang 12 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 101: Tìm x, y nguyên không âm của phương trình x3 y 3  4 xy 3  x 2  y 2  2 y  3 0 Bài 102: Tìm số tự nhiên n để 4n  2 là bình phương của 1 số hữu tỉ n 5 Bài 103: Tìm x, y, z nguyên tố thỏa mãn x  x  1  y  y  1 z  z  1 (1) Bài 104: Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x  x  3  y  y  3  z  z  3 trong đó x, y là nguyên tố Bài 105: Tìm x, y nguyên của phương trình x 4  y 4  z 4  2 x 2 z 2  3x 2  4 z 2  1 0 Bài 106: Tìm x, y nguyên dương của phương trình y 2 z 2   y 3  2 xy  z  x  x  y   y 2 z 2  y  1 0 Bài107:Tìm m, n nguyên dương và số nguyên tố p thỏa mãn 4m3  m 2  40m 2  11 p n  5  Bài108: Tìm số tự nhiên x, y để 2  x 2  y 2  3x  3 y   1 và 5  x 2  y 2  4 x  2 y  3 đều là số chính phương Bài 109: Tìm x, y nguyên thỏa mãn  x  y  1  x  y  1  6 xy  (2  x  y ) y 2 2  x  1  y  1 Bài 110: Tìm x, y nguyên thỏa mãn  x  2018   y 4  6 y 3  11 y 2  6 y 2 Trang 13 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 111: Tìm các số x, y nguyên dương sao cho x 2  8 y và y 2  8 x đề là số chính phương Bài 112: Tìm x, y nguyên của phương trình x  1  x  x 2  4 y  y  1 Bài 113: Tìm x, y nguyên dương của phương trình x 2  4 xy  13 y 2  y 2 z 2 Bài 114: Tìm x, y nguyên dương để 6 x  2 y  2 là số chính phương Bài 115: Tìm x, y nguyên dương để 1  4 x  4 y là số chính phương Bài 116: Tìm x, y nguyên dương và nguyên tố cùng nhau thỏa mãn 2  x3  x   y 3  y Bài 117: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: a) a 2  1 và b 2  1 là các số nguyên tố; b) a 2  1  b 2  1 c 2  1 . Bài 118: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) a  b 2 là lũy thừa của một số nguyên tố; ii) a 2  b chia hết cho a  b 2 . Bài 119: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 để  n  1  4n  3 là số chính phương 3 Bài 120: Cho a, b là các số nguyên dương . Chứng minh nếu tích  16a  17b   17 a  16b  chia hết cho 11, thi tích đó có ít nhất một ước số là số chính phương Trang 14 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 121: Giả sử x1 , x2 là nghiệm phương trình x 2  4 x  1 0 . Chứng minh với mọi số nguyên dương n, thì x12 n  x22 n có thể biểu diễn thành tổng các bình phương của 3 số nguyên liên tiếp Bài 122: Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho tích của hai số bất kỳ cộng 1 chia hết cho số còn lại. Bài 123:Cho n số nguyên dương lớn hơn 1, chứng minh rằng số : n5  n  1 có ít nhất hai ước số nguyên tố phân biệt. Bài 124:Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a 2  ab  b 2 c 2  cd  d 2 . Chứng minh rằng a  b  c  d là hợp số . Bài 125: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: b3  1 chia hết cho a và a  1 chia hết cho b. Chứng minh rằng : a b b  1 hoặc a b 2  b  1 . Bài 126: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2  6 x  1 0 . Với mọi số nguyên n, đặt S n x1n  x2n , chứng minh rằng S n là một số nguyên không chia hết cho 5. n2  1 Bài 127: Cho số nguyên dương n sao cho là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. 3 Chứng minh rằng n là tổng của hai số chính phương liên tiếp. Bài 128: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình:  x  1  x 2  7 x  21 11 p n  6  (1) Trang 15 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 129: Tìm x, y nguyên dương của phương trình 2 x  xy  2 y  3  x  y   3x  y  Bài 130: Tìm x, y nguyên dương của phương trình x3  y 3  x  y    xy  2 2 Bài 131: Tìm x, y nguyên của phương trình 54 x3  1  y 3 Bài 132: Tìm số tự nhiên n để 2n  n 2 1 là số chính phương Bài 133: Tìm số tự nhiên n để 3n  n 2  3 là số chính phương Bài 134: Tìm x, y nguyên của phương trình x3  y 3 2 xy  8 Bài 135:Tìm 8 số nguyên tố p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 , p8 Thỏa mãn p12  p22  p32  p42  p52  p62  p72  p82 Bài 136: Tìm x, y nguyên thỏa mãn  y  2   x 2  1 2 x3  3x  1 Bài 137: Tìm p, q nguyên tố để 2 p  1 ; 2q  1 và 2 pq  1 là số chính phương Bài 138: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x 2 y  2 xy  243 x  y 0 Bài 139: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x3  x 2 y  x 2  y 3 8  x 2  xy  y 2  1 Bài 140: Cho x, y nguyên dương thỏa mãn 44 x 2  1  y 2 . Chứng minh 2y+2 là số chính phương Trang 16 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 141: Tìm x, n nguyên dương và p nguyên tố thỏa mãn x3  2 x 3  p n  1 Bài 142: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn x 2 y 2  x  y   x 2  y  x  1 Bài 143: Chứng minh có thể biểu diễn lập phương của một số nguyên dương bất kỳ dưới dạng hiệu của hai số chính phương Bài 144: Chứng minh nếu số tự nhiên x thỏa mãn x2  1 là tích của 2 số tự nhiên liên 3 tiếp, thi x là tổng bình phương của 2 số nguyên liên tiếp Bài 145: Cho a, b nguyên dương thỏa mãn a 2  b 2 ab . Chứng minh M a 2  a  3b  4 là số chính phương Bài 146: Tìm x nguyên dương để 4 x3  14 x 2  9 x  6 là số chính phương. Bài 147:Tìm x, y nguyên dương và p nguyên tố thỏa mãn x 2  p 2 y 2 6  x  2 p  Bài 148: Tìm x nguyên dương để x3  3x 2  x  3 là lũy thừa của 1 số nguyên tố Bài 149: Tim x nguyên và y nguyên không âm thỏa mãn  x  1995   x  2019  3 y  81 Bài 150: Tìm n nguyên dương để n  2  n  n  2 là số nguyên Bài 151:Tìm x, y nguyên không đồng thời bằng 0 thỏa mãn  x 2  y   x  y 2  ( x  y) 2 Trang 17 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 152:Tìm số nguyên dương n sao cho số S= 1 2 3 ... 7  n  n 1  n  2  ...  n  7  Có thể viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai số nguyên dương Bài 153: Cho a, b, c nguyên khác 0 thỏa mãn a b c   3 . Chứng minh abc là lập b c a phương của một số nguyên Bài 154: Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình x 4   x  1  y 2   y  1 4 2 Bài 155: Tìm x nguyên dương thỏa mãn phương trình 10  2 x  1  x  13 x  3 Bài 156: Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình p 3  q 5  p  q  2 Bài 157: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 29  x  y   81xy 27  x 2  y 2  với (x,y)=1 Bài 158: Tìm x, y nguyên không âm thỏa mãn x3  y 3 ( x  y ) 2  100 x4  2 Bài 159: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 2 là số nguyên dương x y 1 Bài 160: Tìm x, y nguyên của phương trình 2x2  4y2  xy xy  2x  12 8 x  2 Bài 161: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn : pq m2  6  . p  q m 1 Bài 162: Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình  xy  2  x 2  y 2 2 Trang 18 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305 Bài 163: 1.Cho x, y nguyên dương thỏa mãn x 2  y 2 44 . Tìm GTNN của T= x3  y 3 Bài 164: Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình x 2  1  y 2  1  2  x  y   1  xy  4 xy  9 Bài 165: Cho x, y nguyên dương và p nguyên tố thỏa mãn 4 x 2  8 y 2  (2 x  3 y ) p  12 xy 0 . Chứng minh M= 4y+1 là số chính phương Bài 166: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình  x  y  ( x  y  6)2 3 Bài 167:Tìm a, b nguyên dương để a 2b  a  b chia hết cho ab 2  b  7 Bài 168: Tìm x, y nguyên dương của phương trình 7 x3  x 3 y 2  y 3  x 2 y 2  7 y 50 Bài 169: Cho x, y nguyên thỏa mãn x 2  2 xy  y 2 5 và xy  2 y 2  x 5 . Chứng minh 2 x 2  y 2  2 x  y 5 Bài 170: Tìm x, y nguyên của phương trình x 2 y 2  4 x 2 y  y 3  4 x 2  3 y 2  1 0 Bài 171: Chứng minh nếu n là số nguyên dương thỏa mãn 1  2n  4n là số nguyên tố thì n 3k với k là số nguyên không âm Bài 172: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 x 2  3 y 2  5 xy  3x  2 y  3 0 Bài 173: tìm a, b, c nguyên dương để a 2  b ; b 2  c và c 2  a đồng thời la số chính phương Trang 19 - Lê Thế chính – Bắc Giang – Điện thoại 0834810305