TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 11

CHUYÊN TÍNH ĐI VÀ TRỀ Ị1. KI TH TR NG TÂMẾ ỌĐ nh lý Lagrangeị Cho là hàm liên trên ụ[] ;a b, có hàm trên ạ() ;a b. Lúc đó ạ();c bÎđ :ể()()()'f af cb a-=- hay ()()()()'f c- -Đ nh lý Rolleị Cho là hàm liên trên ụ[] ;a b, có hàm trên ạ() ;a và ()()f b= Lúc đó iồ ạ();c bÎ ể()' 0f c= .Đ nh lý Cauchyị Cho và là hai hàm liên trên ụ[] ;a b, có hàm trên ạ() ;a và ()' 0g x¹ iạ ỗ();x bÎ.Lúc đó ạ();c bÎ ể()()()()()()''f cg c-=- .Tính đi uơ ệGi hàm có hàm trên kho ng ả() ;a khi đó:- ng bi trên ế() ;a thì ()' 0f x³ ọ();x bÎ .- ngh ch bi trên ế() ;a thì ()' 0f x£ ọ();x bÎ .- ế()' 0f x³ ọ();x bÎ và ()' 0f x= ch đi ủ() ;a thì hàm ngố ồbi trên kho ng ả() ;a b.- ế()' 0f x£ ọ();x bÎ và ()' 0f x= ch đi ủ() ;a thì hàm sốngh ch bi trên kho ng ả() ;a b.- ng bi trên kho ng ả() ;a và liên trên ụ[) ;a thì ng bi trên ế[) ;a b; và liên trên ụ(] ;a bthì ng bi trên ế(] ;a b; liên trên ụ[] ;a thì ng bi trên ế[] ;a b.20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 1- ngh ch bi trên ế() ;a và liên trên ụ[) ;a thì ngh ch bi trên ế[) ;a b; liên trên ụ(] ;a thìngh ch bi trên ế(] ;a b; liên trên ụ[] ;a thì ngh ch bi trên ế[] ;a b.- ế()' 0f x= ọx DÎ thì hàm không trên tr hàm sự ốCho hàm xác nh trên và 0x DÎ .0x là đi ượ kho ng ả() ;a ch đi ể0x sao cho ();a DÌ và()()0f x<, (){}0; \\x x" .0x là đi ti ượ kho ng ả() ;a ch đi ể0x sao cho ();a DÌvà ()()(){}0 0, \\f x> " .B Fermatổ Gi hàm có hàm trên ạ() ;a b. tr đi ể()0;x bÎ thì ()0' 0f x=.- Cho ()y x= liên trên kho ng ả() ;a ch ứ0x có hàm trên các kho ng ả()0;a và ()0;x :N ế()'f âm sang ng thì ươ ti ạ0x ế()'f ng sang âm thì ươ ạ0x Cho ()y x= có hàm hai trên kho ng ả() ;a ch ứ0xN ế()0' 0f x= và ()0'' 0f x> thì ti ạ0x ế()0' 0f x= và ()0'' 0f x< thì ạ0x ng ng vào ph ng trình ươ- hàm đi trên thì ph ng trình ươ()0f x= có đa nghi m. ế()0f a= thu thìx là nghi duy nh ph ng trình ươ()0f x= .- có hàm không trên thì 'f là hàm đi nên ph ng trình ươ()0f x= có đaố2 nghi trên ế()0f a= và ()0f b= ớa thì ph ng trình ươ()0f x= ch có nghi làỉ ệx và .20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 2- là hàm liên trên ụ[] ;a b, có hàm trên ạ() ;a thì ph ng trình ươ()()()'f af xb a-=- có ítnh nghi ệ();c bÎ .Đ bi t, ế()()0f b= thì ph ng trình ươ()' 0f x= có ít nh nghi ệ();c bÎ hay gi aữhai nghi thì có ít nh nghi hàm 'f.Chú ý:1) Tung tr ị()y x= ạ0x x= :Hàm đa th c: ứ()()()0 0. 'y x= Hàm ỉ()()()()()()()0 000 0''u xu xy yv x= bi t: hàm ớ()y x= có CĐ, CT và ế()(). 'y x= thì ph ng trình ng th ngươ ườ ẳqua CĐ, CT là ()y x= .2) nghi ph ng trình 3: ươ ậ3 20, 0ax bx cx a+ .N ế()' 0,f x³ " hay ()' 0,f x£ " thì ()0f x= ch có nghi m.ỉ ệN ế()' 0f x= có nghi phân bi và:ệ ệV 0C CTy >: ph ng trình ươ()0f x= ch có nghi mỉ ệV 0C CTy =: ph ng trình ươ()0f x= có nghi (1 n, kép)ệ ơV 0C CTy <: ph ng trình ươ()0f x= có nghi phân bi tệ ệ2. CÁC BÀI TOÁNBài toán 1.1: Ch ng minh các hàm sau là hàm không iứ ổa) ()2 2cos cos cos cos3 3f xp pæ ö= +ç ÷è b) ()()()2 22 sin sin cos .cos .cosf x= ng gi iướ ảa)()' cos sin cos sin sin cos cos .sin3 3f xp pæ ö=- +ç ÷è 2sin sin sin 23 3x xp pæ ö=- +ç ÷è ø20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 3sin cos .sin2 6x xp pæ ö=- +ç ÷è øsin cos 02x xpæ ö=- =ç ÷è ø, .Do đó ng trên nên ()()1 30 14 4f f= b) hàm theo bi là ng ).ằ ố()()()()()' sin cos cos sin cos sin cos cos sinf x=- ùë ()()2 sin sin cos .sin 0x a=- =.Do đó ng trên nên ()()2 20 sin cos sinf a= .Bài toán 1.2: Cho đa th ứ() và () th mãn: ỏ()()' 'P x= và ()()0 0P Q= Ch ngứminh: ()()P xº .H ng gi iướ ảXét hàm ố()()(),f D= =¡ Ta có ()()()' ' ' 0f x= theo gi thi t, do đó ế() là hàm ng nênằ()()()()0 0f Q= .()()()0f xÞ º.Bài toán 1.3: Ch ng minh ng:ứ ằa) arcsin arccos 12x xp+ b) 222 arctan arcsin 11xx xxp+ =- -+ ng gi iướ ảa) ế1, 1x x= =- thì đúng.N ế1 1x- thì xét hàm ố()arcsin arccosf x= ()()2 21 1' 02 21 1f fx xp-æ öÞ =ç ÷è ø- b) ớ1x£ xét ()222 arctan arcsin1xf xx= ++ 20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 4Ta có ()()2222 22222 212 2' 01 111xxf xx xxx-+= =+ +æ ö-ç ÷+è (vì 1x£ )Suy ra ()()12 4f fp p= =- =- .Bài toán 1.4: Tính ọ1arctan arctanxx+ ớ0x¹ .H ng gi iướ ảXét ()1arctan arctanf xx= ()(); 0;D= +¥V ớ()0;xÎ +¥ thì liên và có hàmụ ạ()222 2211 1' 011 1xf xxx xx-= =++ nên ng trên ằ()0;+¥ Do đó ()()14 2f fp p= .V ớ(); 0xÎ thì liên và có hàm ạ()' 0f x= nên ng trên ằ(); 0- .Do đó ()()14 2f fp p= =- =- ậ012arctan arctan02 khi khi xxxxppì- <ïï+ =íï>ïî Bài toán 1.5: Tìm trong nh lý Lagrange:ịa)()22 4y x= trên []1; 2- b)()arcsiny x= trên [] 0;1 ng gi iướ ảa) Hàm ố()22 4y x= liên trên ụ[]1; 2- và có hàm ạ()' 1f x= theo nh lýịLagrange thì ố[]1; 2cÎ sao cho:20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 5()()()()2 16 1' 22 2f ff c- -+= =- -.b) Hàm ố()arcsiny x= liên trên ụ[] 0;1 và có hàm ạ()21'1f xx=- theo nh lý Lagrangeịthì ố[]0;1cÎ sao cho:()()()201 012'1 11f ff ccp--= =-- 22 21 1c cp p4 4Û -. Ch ọ241cp= .Bài toán 1.6: Xét chi bi thiên hàm :ề ốa) 22 5y x= b) ()214yx=- ng gi iướ ảa)D=¡ Ta có ()3 2' 1y x= Cho ()2' 0y x= ho ặ1x=± .BBTx- ¥− +¥'y− +yV hàm ngh ch bi trên kho ng ả(); 1- và () 0;1, ng bi trên kho ng ả()1; 0- và()1;+¥.b){}\\ 4D=¡ Ta có ()32'4yx-=-' 0y< trên kho ng ả()4;+¥ nên ngh ch bi trên kho ng ả()4;+¥ ' 0y> trên kho ng ả(); 4- nên ng bi trên kho ng ả(); 4- ¥Bài toán 1.7: Tìm kho ng đi hàm sả ố20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 6a) 326xyx=- b) 11xyx+=- ng gi iướ ảa) xác nh ị()(); 6;D= +¥ Ta có: ()()2 22 22 9' ' 36 6x xy xx x-= =±- .BBT:x- ¥− 36- +¥'y+ +yV hàm ng bi trên các kho ng ả()(); 3;- +¥ ngh ch bi trên các kho ngị ả()()3; 6; 3- -.b)();1D= Ta có ()33' 0, 12 1xy xx-= " <- .a) 2cosy x= b) siny x= trên []0; 2p ng gi iướ ảa)D=¡ Ta có ' cos sin sin 2y x= ' sin ,4y kpp= ΢ Hàm liên trên đo ạ(), 14 4k kp pp pé ù+ +ê úë và ' 0y> trên kho ngỗ ả(); 14 4k kp pp pæ ö+ +ç ÷è nên ng bi trên đo ạ(); ,4 4k kp pp pé ù+ Îê úë û¢ .V hàm ng bi trên ế¡ .b)' cosy x= Ta có []0; ' 0x yp" và ' 0y x= ho ặ2xp= .Vì hàm liên trên đo ạ[]0; 2p nên hàm ng bi trên đo ạ[]0; 2p .Bài toán 1.9: Ch ng minh các hàm sứ ố20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 7a)cos 5y x= ngh ch bi trên ế¡ b)()()()sin;sin ay kx bp+= Î+¢ đi trên kho ng xác nh.ơ ịH ng gi iướ ảa)1 2, ,x x" <¡ hai a, sao cho 2a b< .Ta có: ()()' sin 0f x=- ọ();x bÎ .Vì ()' 0f x= ch đi kho ng ả() ;a nên hàm ngh ch bi trên kho ngị ả();a đpcm.b) Đi ki ệ() kp¹ ΢ .()()()()()()()2 2sin cos sin cos sin'sin sinx ayx b+ -= =+ Vì 'y liên đi ểx kp¹ và kp- nên 'y gi nguyên trong kho ngữ ảxác nh đpcm.Bài toán 1.10: Tìm các giá tr tham hàm :ị ốa)()()3 cosy x= ngh ch bi trên ế¡ .b)3 23y mx m= ch ngh ch bi trên đo có dài ng 3.ỉ ằH ng gi iướ ảa)()' siny x= Hàm không là hàm ng nên ngh ch bi trên ế¡ :()' 0, sin 0,y x£ " " ặsin 1t t= thì ()()()3 sin 1m t- Đi ki ng ng: ươ ươ()[]0, 1;1f t£ " ()()1 04 0243 031 0fmmmfì- £- £ìïÛ £í í- ££îïî.b)2, ' ' 3D m= -¡Xét ' 0D thì ' 0, :y x³ " Hàm luôn ng bi (lo i)ồ ạXét ' 0mD thì ' 0y= có nghi ệ1 ,x nên 22,3mx x+ =- 20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 8BBT:x- ¥1x2x+¥'y+ +yTheo bài: ề()22 22 23 9x x- ()22 24 154 93 4x mÛ =- (th a)ỏBài toán 1.11: Tìm tr các hàm sau:ự ốa) ()()2 32 3y x= b) ()2y x= ng gi iướ ảa)()()()()()()3 2' 3y x= Ta có ' 2y x= =- ho 0x ho 3x BBTx- ¥− +¥'y+ +y00 +¥- ¥− 108V đi ạ()2; 0- và ti ể()0; 108- b) Hàm ố()y x= liên trên ụ¡ Ta có:()()()2 02 0khi khi xf xx xì- <ï=í+ ³ïî ớ()()0, ' 2; ' 1x x< =- =- ớ()0, ' 0x x> 20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 9BBTx- ¥− +¥'y+ +y10V đi CĐậ ể()1;1- CT() 0; 0.Bài toán 1.12: Tìm tr hàm sự ốa) 218xyx+=+ b) 326xyx=-H ng gi iướ ảa)D=¡ Ta có ()()()222 22 28 12 8'8 8x xx xyx x+ +- += =+ ' 4y x= =- ho ặ2x= .BBTx- ¥− +¥'y− −y0 1/4− 1/8 0Hàm CĐ ạ2x= 14C Ðy= CT ạ14;8CTx y=- =- .b) xác nh ị()(); 6;D= +¥ ()()()()42 22 2223 32 23 63 96'66 6xx xx xxyxx x- -- --= =-- ' 0y x= ho ặ3x=± .20 chuyên HSG 200k LH 0937351107 Trang 10