Phương trình và bất phương trình có chứa mũ và lôgarit

HAØM SOÁ MUÕ - HAØM SOÁ LOÂGARÍT Chuyeân ñeà 6: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH COÙ CHÖÙA MUÕ VAØ LOGARÍT TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ MUÕ 1. Caùc ñònh nghóa: • • • • an = a.a...a  (n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R) n thöøa soá 1 a = a ∀a a0 = 1 ∀a ≠ 0 1 a− n = n (n ∈ Z + , n ≥ 1, a ∈ R / { 0}) a • m an • m − a n n = am = 1 m an ( a > 0; m, n ∈ N ) = 1 n m a 2. Caùc tính chaát : • • am .an = am+ n am a n = am− n • (am )n = (an )m = am.n • (a.b)n = an .b n • a an ( )n = n b b 3. Haøm soá muõ: Daïng : y = ax ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Taäp xaùc ñònh : D = R • • T = R + ( ax > 0 Taäp giaù trò : Tính ñôn ñieäu: *a>1 • • ∀x ∈ R ) : y = ax ñoàng bieán treân R * 0 < a < 1 : y = ax nghòch bieán treân R Ñoà thò haøm soá muõ : 22 y y=ax y y=ax 1 1 x x a>1 0 0 , a ≠ 1 vaø N > 0 log a N = M Ñieàu kieän coù nghóa: dn ⇔ log a N coù nghóa khi 2. Caùc tính chaát : • • log a 1 = 0 • log a aM = M • • alog a N = N log a (N1 .N 2 ) = log a N1 + log a N 2 • log a ( log a a = 1 N1 ) = log a N1 − log a N 2 N2 23 aM = N ⎧a > 0 ⎪ ⎨a ≠ 1 ⎪N > 0 ⎩ O 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Ñaëc bieät : log a N 2 = 2. log a N log a N α = α . log a N • 3. Coâng thöùc ñoåi cô soá : • log a N = log a b. log b N • log b N = * Heä quaû: log a b = • log a N log a b 1 log b a 4. Haøm soá logarít: log vaø ak N= 1 log a N k Daïng y = log a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) Taäp xaùc ñònh : D = R + Taäp giaù trò T=R Tính ñôn ñieäu: • • • : y = log a x ñoàng bieán treân R + *a>1 * 0 < a < 1 : y = log a x nghòch bieán treân R + Ñoà thò cuûa haøm soá loâgarít: • y y y=logax O a>1 Minh hoïa: y 3.5 0 N (nghòch bieán) 3. Ñònh lyù 3: Vôùi a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (ñoàng bieán ) ⇔ M=N 4. Ñònh lyù 4: Vôùi 0 < a ≠ 1 vaø M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N 5. Ñònh lyù 5: Vôùi 0 < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghòch bieán) 6. Ñònh lyù 6: Vôùi a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (ñoàng bieán) III. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : aM = aN (ñoàng cô soá) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 9 x + 1 = 27 2 x + 1 2 2) 2x −3x + 2 = 4 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 3 2x+ 8 − 4.3x+ 5 + 27 = 0 2) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 2 3) ( 2 − 3 ) x + ( 2 + 3 ) x = 4 2 4) 2 x − x − 2 2+ x − x = 3 5) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 Baøi taäp reøn luyeän: 1) ( 2 + 3 ) x + ( 2 − 3 ) x = 4 ( x ± 1) x x x (x=0) 2) 8 + 18 = 2.27 x x 3 x +1 3) 125 + 50 = 2 (x=0) x x 2 x +1 4) 25 + 10 = 2 (x=0) 5) ( 3 + 8 )x + ( 3 − 8 )x = 6 6) 2.2 2 x − 9.14 x + 7.7 2 x = 0 ( x = ±2 ) 6) 27 + 12 = 2.8 (x=0) IV. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : log a M = log a N (ñoàng cô soá x x x Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1 1) log2 = log 1 (x 2 − x − 1) x 2 2) log2 [ x(x − 1)] = 1 3) log2 x + log2 (x − 1) = 1 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá. Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 25 1) 6 4 + =3 log2 2x log2 x 2 2) log 32 x + log 32 x + 1 − 5 = 0 V. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : aM < aN ( ≤, >, ≥ ) Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) 23−6x > 1 −4x −11 2 ⎛1⎞ 2) ⎜ ⎟ > 2x + 6x +8 ⎝2⎠ 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá. Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) 9x < 2.3x + 3 2) 52x +1 > 5x + 4 VI. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : loga M < loga N ( ≤, >, ≥ ) Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) log2 (x 2 + x − 2) > log2 (x + 3) 2) log 0,5 (4x + 11) < log 0,5 (x 2 + 6x + 8) 3) log 1 (x 2 − 6x + 5) + 2 log3 (2 − x) ≥ 0 3 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau : log22 x + log2 x − 2 ≤ 0 VII. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH: Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình ⎧⎪ x − 1 + 2 − y = 1 1) ⎨ 2 3 ⎪⎩3log9 (9x ) − log3 y = 3 1 ⎧ ⎪log 1 ( y − x) − log 4 y = 1 2) ⎨ 4 ⎪ x 2 + y 2 = 25 ⎩ ⎧2 3 x = 5 y 2 − 4 y ⎪ 3) ⎨ 4 x + 2 x +1 =y ⎪ x ⎩ 2 +2 ⎪⎧ y − x = x + 1 4) ⎨ ⎪⎩ x + 2 y = 10 1 x −2 y ⎧ x− y ⎪( 3 ) = ( ) 6) ⎨ 3 ⎪⎩log 2 ( x − y ) + log 2 ( x − y ) = 4 ⎧ 3 4−x ⎪( x + 1 − 1)3y = 7) ⎨ x ⎪ y + log x = 1 3 ⎩ ⎧⎪3 − x .2 y = 1152 8) ⎨ ⎪⎩log 5 ( x + y ) = 2 ⎧x − 4 y + 3 = 0 9) ⎨ ⎩ log 4 x − log2 y = 0 ⎧log ( x 2 + y 2 ) = 5 5) ⎨ 2 ⎩2 log 4 x + log 2 y = 4 ⎧⎪2 x .4 y = 64 10) ⎨ ⎪⎩ x + y = 3 ------------------------------Heát--------------------------26