Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT

18a56069cd910288c753da0bd43f984c
Gửi bởi: Võ Hoàng 23 tháng 11 2018 lúc 23:52 | Được cập nhật: 21 tháng 2 lúc 4:23 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 303 | Lượt Download: 0 | File size: 0 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

www.laisac.page.tl

Chuyên Đề :

MŨ VÀ LOGARIT

N
Loonngg
Thhàànnhh L
Ngguuyyễễnn T
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ
CHỦ ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
I. Phương pháp:
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
Dạng 1: Phương trình a f  x   a g  x 
f x
g x
TH 1: Khi a là một hằng số thỏa mãn 0  a  1 thì a    a    f  x   g  x 
TH 2: Khi a là một hàm của x thì a

f  x

a

g x

a  1
a  0

hoặc 
  0  a  1
 a  1  f  x   g  x    0
  f  x   g  x 



Dạng 2: Phương trình:
0  a  1, b  0
a f  x  b  
 f  x   log a b
Đặc biệt:
Khi b  0, b  0 thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm
f x
Khi b  1 ta viết b  a 0  a    a 0  f  x   0

Khi b  1 mà b có thể biếu diễn thành b  a c  a f  x   a c  f  x   c
Chú ý:
Trước khi biến đổi tương đương thì f  x  và g  x  phải có nghĩa
II. Bài tập áp dụng:
Loại 1: Cơ số là một hằng số
Bài 1: Giải các phương trình sau
x 1

a. 2 .4

x 1

.

1
1 x

8

 16

x

1
b.  
3

x 2 3 x 1

3

c. 2 x 1  2 x  2  36

Giải:
a. PT  2 x 1 2 x 2 33 x  24 x  6 x  4  4 x  x  2

2

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
1
b.  
3

Email: Loinguyen1310@gmail.com

x 2  3 x 1

 3  3 ( x

2

 3 x 1)

 31   ( x 2  3x  1)  1

x  1
 x 2  3x  2  0  
x  2

2x
8.2 x  2 x
 36 
 36
c. 2  2  36  2.2 
4
4
 9.2 x  36.4  2x  16  24  x  4
Bài 2: Giải các phương trình
x 1

x 2

a. 0,125.4

2 x 3

x

 2
 

 8 

x

b. 8

2 x 1
x 1

 0, 25

 2

7x

c. 2 x  2.5 x 2  23 x.53 x

Giải:
 12
2
 3
2









 5 
 2 .2
 2 2 


b. Điều kiện x  1

x

2 x 3
1
Pt  .  22 
8

3

2(2 x 3)

3

PT  2

2 x 1
x 1

c. Pt   2.5 

2
x2

7x
2
2

x

5

5

x

x

 2 3  4 x  6  2 2  2 4 x  9  2 2  4 x  9 

5
x x6
2

 x 1
2 x 1
x
2
3
 7  2  7 x  9x  2  0  
x  2
x 1
2
7


  2.5

3x

 10 x  2  103 x  x  2  3x  x  1
Bài 2: Giải phương trình:

1
 x  2   x  
2


log3 x

 x2

Giải:
Phương trình đã cho tương đương:
 x2 0
x  2  0
x  2



log3 x
log3 x
 
1
 ln  x  1 
 log x ln  x  1   0


0
 
1


3

  x  


2
2

 

2






  x  2  0
  x  2
 x  2
x  2
x  2
x  2



 x  1
 x  1
   log 3 x  0






  
 
   
1
1
3x2




ln
x
0
 
 x   1    x 

2
2
2
   
 

 x  2
  x  2
  x  2

3

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email: Loinguyen1310@gmail.com

Bài 3: Giải các phương trình:
2

a.



10  3



x 3
x 1





10  3



x 1
x 3


b.  2 2




1



x 3 2


x



x 1

4

Giải:
x  1
a. Điều kiện: 
 x  3
1
.
Vì 10  3 
10  3
3 x
x 1

x 1
x 3

3  x x 1

 9  x2  x 2  1  x   5
x 1 x  3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x   5
x  0
b. Điều kiện: 
x  1
2 x  3
2
2
2
x  x 1
2
4
PT  2 x 1 2 x 3 2 x  x 1  4  2 x 1.2
PT 



10  3







2

 4 x 2





10  3










2 x 3
 2 
 x 1 2 x x 1













4



x 3  4 x

2

2
x 1







x 3

2 x






2

x 1



x  1  4 x  10 x  6  0 

x 3 x9

Vậy phương trình có nghiệm là x  9
Loại 2: Khi cơ số là một hàm của x
Bài 1: Giải phương trình  2  x  x 2 

sin



 2  x  x2



2  3 cos x

Giải:
Phương trình được biến đổi về dạng:
1  x  2(*)
2  x  x 2  0

   x 2  x  1  0(1)

2
 2  x  x  1 sin x  2  3 cos x  0

 sin x  3 cos x  2(2)







1 5
thoả mãn điều kiện (*)
2
1
3

 


Giải (2): sin x 
cos x  1  sin x  x    1  x    2k  x   2k , k  Z
2
2
3
3 2
6

Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có:

Giải (1) ta được x1,2 

4

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email: Loinguyen1310@gmail.com


1 

1 


 2k  2 
 1    k 
 2    k  0, k  Z khi đó ta nhận được x3 
6
2 
6
2 
6
6

1 5
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1,2 
; x3  .
2
6
1 

3 x 2 5 x  2

Bài 2: Giải phương trình:  x  3



 x2  6 x  9



x2  x 4

Giải:
3 x 2 5 x  2

Phương trình được biến đổi về dạng:  x  3

2
  x  3 



x2  x 4

  x  3

2( x 2  x  4)

x  3 1
x  4
x  4


  0  x  3  1
  x  3  4

x  5
 3 x 2  5 x  2  2 x 2  2 x  8
  x 2  7 x  10  0


Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 4, x = 5.
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. 4.9 x 1  3.2

2 x 1
2

x



b. 7.3x 1  5 x  2  3x 4  5 x 3
x

x
x 4
3


 4 37
c.  5 27 4 3 


HD:
2 x 3
 3 
3
a.  
1 x 

2
 2



b.  3



x 1

5

x 1

3
 
5

d.

3

 x  1

x 1

  x  1

3

x 1

x 1

 1  x  1

c. x  10
BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
I. Phương pháp:
Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo cùng 1 cơ số cả 2 vế của phương trình, ta có
các dạng:
Dạng 1: Phương trình:
0  a  1, b  0
a f  x  b  
 f  x   log a b
Dạng 2: Phương trình: (cơ số khác nhau và số mũ khác nhau)
f x
a    b g ( x )  log a a f ( x )  log a b f ( x )  f ( x )  g ( x).log a b

5

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email: Loinguyen1310@gmail.com

hoặc log b a f ( x )  logb b g ( x )  f ( x ).log b a  g ( x).
Đặc biệt: (cơ số khác nhau và nhưng số mũ bằng nhau)
0
f  x
a
a
f  x
f (x)
b
 
 1     f  x   0 (vì b f ( x )  0 )
Khi f  x   g  x   a
b
b
Chú ý: Phương pháp áp dụng khi phương trình có dạng tích – thương của các hàm mũ
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải các phương trình
a. (ĐH KTQD – 1998) 5 x.8

x 1
x

2

b. 3x  2.4

 500.

2

c. 2 x  4.5x  2  1

d. 2 x

2

2 x

2 x 3
x



 18

3
2

Giải:
a. Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng:
5 x.8

x 1
8

 500  5x.2

3

x 1
x

 53.22  5x 3.2

x 3
x

1

Lấy logarit cơ số 2 vế, ta được:
 x 3 x x 3 
 x x 3 
x 3
x 3
log 2  5 .2   0  log 2  5   log 2  2   0   x  3 .log 2 5 
log 2 2  0
x




x  3
1

  x  3   log 2 5    0  
x   1
x

log 2 5

1
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x  3; x  
log 2 5
x

3

2

 1x 
  5.2 



x 3

Cách 2: PT  5 .2

5

x 3


1

 1
 x
2






3( x 1)
x

 5 .2  5

x 3

x 3

2

3 x
x

5

x 3

  1x 
 2 



x 3

x  3  0
x  3

1

1
5.2 x  1
 x   log5 2


 x2  2 2 xx3 
 18  log3  3 .4
b. Ta có 3 .4
  log 3 18


4x  6
3( x  2)
.log3 2  2  log 3 2   x 2  4  
.log 3 2  0
 x2  2 
x
x
x  2  0
  x  2   x 2  2 x  3log 3 2   0   2
x2
 x  2 x  3log 3 2  0 (VN )
x2  2

2 x 3
x

c. PT  log 2 2 x

2

4

 log 2 52  x  0

6

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email: Loinguyen1310@gmail.com

 x 2  4   x  2  log 2 5  0   x  2  x  2  log 2 5  0

x  2
x  2


 x  2  log 2 5  0
 x  2  log 2 5
d. Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được:
2
3
log 2 2 x  2 x  log 2  x 2  2 x  log 2 3  1  x 2  2 x  1  log 2 3  0
2
,
Ta có   1  1  log 2 3  log 2 3  0

suy ra phương trình có nghiệm x = 1  log 2 3.
Chú ý:
Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hoá.
Bài 2: Giải các phương trình
a. 8
c. 4

x
x2

1

b. 4 x  3x  2  3

 4.34  x

log 0 ,5 (sin 2 x  5 sin x cos x  2 )



1
9

x

1
2

 22 x 1

d. 5 x  5 x 1  5 x  2  3x  3x 3  3x 1

Giải:
a. Điều kiện x  2
PT  2

3x
2
x2

 34  x 

 1

3x
 2  (4  x ) log 2 3   x  4  . 
 log 2 3   0
x2
 x2


x  4 0
x  4
 1


 log 2 3  0
 x   2  log 3 2
 x  2
b.
1
1
1
x
x
x 4
x
x 3
2 x 1
2
2
PT  4  2
 3 3
 4 .  3 2.
2
3
3
3
x
x
3
 4 2 3 2  x  0 x 0
2
2
c. Điều kiện sin x  5sin x.cos x  2  0 *
PT  log 21  sin 2 x  5sin x.cos x  2   log 4 32

  log 2  sin 2 x  5sin x.cos x  2    log 2 3 thỏa mãn (*)
cos x  0
 sin 2 x  5sin x.cos x  2  3  cos x  5sin x  cos x   0  
5sin x  cos x  0




 x  2  k
x   k


2


 tan x  1  tan 
 x    l

5
d. PT

7

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email: Loinguyen1310@gmail.com

 5 x  5.5 x  25.5x  3x  27.3x  3.3x
x

5
 31.5 x  31.3x     1  x  0
3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x  0
Bài 3: Giải các phương trình
4
a. x lg x  1000 x 2
b. x log 2  x    32
x

2

c. 7log 25  5 x  1  x log 5 7
Giải:
a. Điều kiện x  0

d. 3x.8 x1  36

2

 lg x.lg x  lg1000  lg x 2   lg x   2 lg x  3  0
 lg x  1  0
 x  1 / 10
  lg x  1 lg x  3  0  

lg x  3  0
 x  1000
b. Điều kiện x  0
x4
PT  log 2 x log2    log 2 32  log 2 x  4  .log 2 x  5   log 2 x  1 .  log 2 x  5  0

 x2
log 2 x  1



x  1
log 2 x  5
32

c. Điều kiện x  0



2



 log5 7 log25 5 x 1  log 5 x log5 7   log 25 2  5 x   1 .log5 7  log 5 7.log 5 x





log5 x  1
1
 log5 2  5 x   log 5 x  1  0  log5 2 x  2 log 5 x  3  0  

4
log5 x  3

1


x

5

x

125


1

x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
5

 x  125
d. Điều kiện x  1
x
x 1

3x
 2  2 log 2 3
x 1
 x 2 .log 2 3   3  log 2 3 x  2  x  1  2  x  1 log 2 3
x

 log 2 3 .8

 log 2 36  2  2log 2 3  x.log 2 3 

x  2
 x 2 .log 2 3  1  log 2 3 x  2  2log 2 3  0  
 x  1  log 3 2
x  2
Vậy phương trình có nghiệm là: 
 x  1  log 3 2
Bài 4: Giải các phương trình sau :
2
1
4
b. 3x. 91 x 
a. 8 x.5 x 1 
8
27 x

2

c. 3 x . 2 x  1

d. 2 x .5 x 2  10

8

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email: Loinguyen1310@gmail.com

Giải:
a. Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được
2
2
1
1
8 x.5 x 1   log8 8 x.5x 1  log8
8
8
 log8 8 x  log8 5 x



2

1





 log8 81  x  x 2  1 log8 5  1



 x  1  x 2  1 log8 5  0   x  1   x  1 x  1 log8 5  0

x 1  0
  x  1 1   x  1 log8 5  0  
1   x  1 log8 5  0
 x  1
 x  1


 x.log8 5  log8 5  1  x  1  log5 8
Vậy phương trình có nghiệm: x  1, x  1  log 5 8
b. PT  3x .32  2 x .33 x  4  32 x  2  4  2 x  2  log 3 4
4
 2 x  log 3 4  2  2 x  log 3 4  log 3 9  log 3
9
1
4
2
 x  log  log 3
2
9
3
c. Lấy log hai vế của phương trình theo cơ số 2
2
Ta được phương trình log 2 3x  log 2 2 x  0  x log 2 3  x 2  0
x  0
 x ( log 2 3  x )  0  
 x   log 2 3
2

2

d. PT  log 2 (2 x.5x )  log 2 (2.5)  log 2 2 x  log 2 5 x  log 2 2  log 2 5
 x  x 2 log 2 5  1  log 2 5  (log 2 5) x 2  x  1  log 2 5  0
x  1

1  log 2 5
x 
log 2 5


Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. 5 x.x1 8 x  100
HD: Điều kiện x  0
2
 5 x ( x 1).23 x  52( x 1).22( x 1)  5x  x  2  22  x

x  2
 log 2 5.( x 2  x  2)  2  x  
 x  1  log 5 2(loai)
b. 2 x 3  3x
HD:

2

 2 x 6

 3x

2

 2 x 5

 2x

9

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email: Loinguyen1310@gmail.com

 2 x  2  3( x  2)( x  4)  x  2  ( x  2)( x  4) log 2 3
x  2

 x  log 3 2  4
Bài 2: Giải các phương trình sau
x2

x

a. 3 .2  1

b. 2. 2

x
x2

x

x2 4

3

x2

c. 5

x

x 2 5 x 6

x

d. 3 .4

g. 53log5 x  25 x

e. 8  36.32 x
k. 9.x log9 x  x 2
Đs:
a. 0;  log 3 2

b. 2;log 3 2  2

c. 3; 2  log 5 2

e. 4; 2  log3 2

f. log 7 (log 5 7)

g.

f. 57  75

2

x 3

5

x 1
x

 18

i. x 4 .53  5log x 5

d. 2;  log 3 2
h.

5

1 4
; 5
5

k. 9

BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG 1
I. Phương pháp:
Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương
trình với 1 ẩn phụ.
Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:
Dạng 1: Phương trình  k   k 1a ( k 1) x .....1a x   0  0
Khi đó đặt t  a x điều kiện t > 0, ta được:  k t k   k 1t k 1......1t   0  0
Mở rộng: Nếu đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t  0 . Khi đó: a 2 f ( x )  t 2 , a 3 f ( x )  t 3 ,....., a kf ( x )  t k
1
Và a  f ( x ) 
t
Dạng 2: Phương trình 1a x   2 a x   3  0 với a.b  1

1
Khi đó đặt t  a x , điều kiện t  0 suy ra b x  ta được: 1t  2   3  0  1t 2   3t   2  0
t
t
1
Mở rộng: Với a.b  1 thì khi đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t  0 , suy ra b f ( x ) 
t
x
2x
2x
Dạng 3: Phương trình 1a   2  ab    3b  0 khi đó chia 2 vế của phương trình cho b 2 x  0 ( hoặc
2x

x

a
a
a ,  a.b  ), ta được: 1     2     3  0
b
b
2x

x

x

a
Đặt t    , điều kiện t  0 , ta được: 1t 2   2t   3  0
b
Mở rộng:
f
Với phương trình mũ có chưa các nhân tử: a 2 f , b 2 f ,  a.b  , ta thực hiện theo các bước sau:
f

- Chia 2 vế phương trình cho b 2 f  0 (hoặc a 2 f ,  a.b  )

10

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email: Loinguyen1310@gmail.com

f

a
- Đặt t    điều kiện hẹp t  0
b
Dạng 4: Lượng giác hoá.
Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t  0 cho trường hợp đặt t  a f ( x ) vì:
- Nếu đặt t  a x thì t  0 là điều kiện đúng.
2

- Nếu đặt t  2 x 1 thì t  0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t  2 . Điều kiện
này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số.
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải phương trình
1

2
2
2
2
a. 4cot x  2 sin x  3  0 (1)
b. 4sin x  2cos x  2  2
Giải:
(*)
a. Điều kiện sin x  0  x  k , k  Z
1

 1  cot 2 x nên phương trình (1) được biết dưới dạng:
2
sin x

4cot

2

cot g 2 x

x

 2.2
 3  0 (2)
2
cot 2 x
Đặt t  2
điều kiện t  1 vì cot 2 x  0  2cot x  20  1
Khi đó phương trình (2) có dạng:
2
t  1
t 2  2t  3  0  
 2cot x  1  cot 2 x  0
t  3
thoả mãn (*)

 cot x  0  x   k , k  Z
2

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm x   k , k  Z
2
2
2
2
b. PT  2sin x  21sin x  2  2





2
Đặt t  2sin x  t  0  ta được

t2 

2
 2  2  t 3  2  2 t  2  0  t  2 t 2  2t  2  0
t












t  2


2 24 2
 t 
2


2 24 2
t 
 loai 

2
1

2
1
2


Với t  2  2sin x  2 2  sin 2 x   sin x  
 x k
2
2
4
2

11