PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN KHI CÓ LỰC MA SÁT

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA
CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN KHI CÓ LỰC MA SÁT
Người viết: TRẦN VĂN HÙNG – Giáo viên Vật lí – Trường THPT Đội Cấn.
Đối tượng: Học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Dự kiến thời gian giảng dạy: 4 tiết.
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong các chương trình ôn thi THPT quốc gia thì chương dao động cơ là chương có
kiến thức và các dạng bài tập nhiều và khó. Đặc biệt trong chương này, dao động tắt dần
là phần khó hơn cả. Tuy nhiên, kiến thức về dao động tắt dần mà sách giáo khoa cung cấp
thì ít. Số tiết luyện tập theo phân phối chương trình về dạng bài tập này có một tiết lại
càng làm cho học sinh khó hiểu và không vận dụng để làm các bài tập được. Do đó, việc
cung cấp thêm cho học sinh các công thức để làm bài tập là rất cần thiết.
Thực trạng việc giải bài tập phần dao động tắt dần của học sinh: Sách giáo khoa chỉ
trình bày kiến thức về dao động tắt dần dạng lí thuyết không đưa ra công thức làm bài tập.
Nếu học sinh gặp phải các bài tập tự luận đòi hỏi phải tính toán, phải sử dụng các công
thức thì học sinh sẽ khó khăn áp dụng. Theo phân phối chương trình số tiết dành cho việc
luyện tập về dao động tắt dần được gộp chung với dao động duy trì, dao động cưỡng bức,
sự cộng hưởng và tổng hợp dao động thành một tiết. Với thời lượng như vậy, giáo viên
khó có thể cho học sinh luyện tập được nhiều về dao động tắt dần. Đặc biệt, đây lại là
phần kiến thức khó.
Trong quá trình dạy ôn thi THPT quốc gia, tôi nhận thấy dạng bài tập con lắc dao
động chịu thêm tác dụng lực ma sát làm cho biên độ thay đổi, cơ năng thay đổi. Dao động
là dạng bài tập thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh.
Nhiều học sinh nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được các
bài tập quen thuộc, do học sinh không hiểu kỹ lý thuyết vì vậy không nhớ và vận dụng
được công thức vào các bài toán. Các lực ma sát từ bên ngoài làm thay đổi biên độ dao
động của vật thường gặp là: vật dao động chịu thêm lực ma sát, lực cản của môi trường,
thì biên độ của vật giảm… Vì vậy, việc tìm ra một hướng giải chung giúp học sinh định
hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết.
Trong chuyên đề này tôi trình bày lý thuyết cơ bản về dao động tắt dần của con lắc
lò xo và con lắc đơn khi chịu tác dụng của lực mát, lực cản môi trường, từ đó tôi đưa ra
các dạng bài tập cơ bản và phương pháp tính nhanh khi làm bài tập trắc nhiệm.

Trang - 1

PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ.

A0
A- LÝ THUYẾT.
1- Định nghĩa: Dao động tắt dần là dao động có
biên độ giảm dần theo thời gian.
2- Nguyên nhân: Lực cản của môi trường tác dụng lên vật
làm giảm cơ năng của vật. Cơ năng giảm thì thế năng cực
đại giảm, do đó biên độ A giảm dẫn tới dao động tắt dần.
Dao động tắt dần càng nhanh nếu môi trường càng nhớt.

B: BÀI TẬP DAO ĐỘNG TẮT DẦN CHẬM CỦA CON LẮC LÒ XO.
Thiết lập các công thức.
+ Để giải bài toán dao động tắt dần ta sử dụng định luật bảo toàn năng lượng:
A (lực cản, lực ma sát) = W = W2 - W1
Con lắc lò xo dao đông tắt dần chậm có biên độ giảm dần theo thời gian, coi chu kì dao
động là không thay đổi, điểm có F ms =Fđh rất nhỏ

vật dao động

quanh vị trí cân bằng O.

abcd-

Bài toán: Con lắc lò xo có độ cứng k, vật khối lượng m chuyển động với hệ số ma sát
không đổi  tại nơi có gia tốc trọng trường g. Thời điểm ban đầu vật ở vị trí biên A.
Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ?
Vật thực hiện được bao nhiêu dao động thì dừng lại?
Quãng đường đi được đến khi vật dừng lại?
Vị trí vật có vận tốc cực đại? Tính vận tốc cực đại đó?
phương pháp:
a-Lực ma sát trượt tác dụng lên vật: Fms= -mg
Xét trong nửa chu kỳ :

→

→

Vậy trong một chu kỳ độ giảm biên độ:

(1.1)

b- Số dao động thực hiện được đến khi dừng hẳn:

(1.2)

c- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: Khi dừng hẳn toàn bộ cơ năng của con lắc
chuyển hoá hoàn toàn thành công của lực ma sát:

→

(1.3)

d- Vật dao động với vận tốc cực đại trong nửa chu kỳ đầu tiên khi qua vị trí x0.
Mặt khác để đạt vận tốc lớn nhất khi hợp lực phục hồi và lực cản phải cân bằng nhau:
→

(1.4)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng khi vật đạt vận tốc cực đại lần đầu tiên:
Trang - 2

→
→

→

(1.5)

Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản:
Dạng 1: Độ giảm biên độ: Áp dụng các công thức sau.
+ Tìm độ giảm biên độ sau một chu kỳ
+ Biên độ mất sau N chu kỳ áp dụng các công thức :
+ Tìm phần trăm biên độ bị giảm sau N chu kì:
+ Phần trăm biên độ còn lại sau N chu kì:
Các bài toán vận dụng:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có k =60 (N/m) và quả cầu có khối lượng m = 60 (g), dao động
trong không khí với biên độ ban đầu A =12 (cm). Trong quá trình dao động con lắc luôn
chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi F c. Biết khoảng thời gian từ lúc dao
động cho đến khi dừng hẳn là  = 120 (s). Xác định độ lớn của lực cản?
A. 0,03 (N)
B. 0,001 (N)
C. 0,002 (N)
D. 0,003 (N)
* Hướng dẫn:
m
0,06
2
0,2  s 
k
60
4F
+ Độ giảm biên độ sau một chu kì: A  C
k
A
kA

+ Số dao động thực hiện được: N 
A 4 FC

+ Chu kì dao động của con lắc: T 2

+ Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:   N .T 
là không đổi)→ FC 

kAT
(coi chu kì dao động
4 FC

kAT 60.0,12.0,2

0,003  N 
4
4.120

Dạng 2: Độ giảm cơ năng:
+ Do dao động tắt dần chậm nên tính gần đúng ta có:
;

là biên độ bị giảm trong 1 chu kì

+ Tìm phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì:
+ Phần trăm cơ năng bị mất (chuyển thành nhiệt) sau N chu kì:
Các bài toán vận dụng:
Ví dụ 1: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3%. Phần
năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là
A. 5%
B. 0,6%
C. 6%
D. 6%
* Hướng dẫn:
Gọi A0 là biên độ dao động ban đầu của vật. Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm 3% nên
biên độ còn lại là A = 0,97A0. Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng là
Trang - 3

Dạng 3: Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động:
+ Số dao động vật thực hiện cho tới khi dừng lại:
+ Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:
Các bài toán vận dụng:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng 600 g, lò xo có độ cứng
100N/m. Người ta đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 6 cm rồi thả nhẹ cho nó dao
động, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,005. Lấy g = 10 m/s2 . Khi đó số dao
động vật thực hiện cho đến lúc dừng lại là
A. 50
B. 40
C. 60
D. 25
* Hướng dẫn giải:
Độ giảm biên độ sau một chu kỳ
Số dao động thực hiện được
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo gồm vật dao động có khối lượng m = 1 kg, lò xo nhẹ có độ
cứng k = 100N/m. Hệ dao động tắt dần trên mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu vật có biên độ
5,0 cm sau 4 chu kỳ dao động thì biên độ chỉ còn 4 cm. Coi chu kỳ dao động của vật là
không đổi và bằng chu kỳ dao động điều hòa và biên độ dao động sau mỗi chu kỳ giảm
theo cấp số nhân lùi vô hạn. Tính phần năng lượng cần bổ sung cho hệ để dao động của hệ
được duy trì với biên độ ban đầu?
A. 0,136(J)
B. 0,013(J)
C. 0,025(J)
D. 0,083(J)
* Hướng dẫn giải:
- Biên độ A0 = 5 cm và cơ năng dao động W0 =

= 0,125 J

- Goi q là công bội của cấp số nhân. Vì biên độ giảm theo cấp số nhân nên ta có:
+ Sau chu kỳ thứ 1 biên độ còn lại là: A1 = q.A0
+ Sau chu kỳ thứ 2 biên độ còn lại là: A2 = q.A1 = q2A0
+ Sau chu kỳ thứ 3 biên độ còn lại là: A3 = q.A2 = q3A0
+ Sau chu kỳ thứ 4 biên độ còn lại là: A4 = q.A3 = q4A0
- Theo giả thiết ta có A4 = 4 cm nên ta suy đươc: q =
- Sau một chu kỳ biên độlà A1 = 5

cm và cơ năng dao động W1 =

- Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là W = W0 – W1 = 0,013 (J).
C: BÀI TẬP CON LẮC LÒ XO CÓ LỰC MA SÁT LỚN:
Thiết lập các công thức.
Trong bài toán này ta xem hệ số ma sát nghỉ cực đại bằng hệ số ma sát trượt.
1-Tính chất của chuyển động:
Chọn gốc tọa độ O là vị trí của vật mà tại đó lò xo không bị biến dạng.
Ta xét giai đoạn vật đi từ vị trí biên dương sang vị trí biên âm
Theo định luật II Newton ta có:
Trang - 4

= 0,112 J

-Fđh + Fms = ma  – kx + µmg = mx”
Đặt :
Từ (*) và (**) ta có:

(*)
(**)

O2

phương trình có nghiệm

O

O1

– x0

x0

.
Vậy trong giai đoạn này, li độ của vật tuân theo quy luật biến thiên điều hòa với vị trí cân
bằng tạm O1 có tọa độ: x0 =
Tương tự trong giai đoạn vật đi từ vị trí biên âm đến vị trí biên dương, li độ của vật cũng
tuân theo quy luật biến thiên điều hòa; với vị trí cân bằng tạm O2 có tọa độ:
Kết luận: Trong mỗi giai đoạn chuyển động từ biên này sang biên kia li độ của vật biến
thiên điều hòa với vị trí cân bằng tạm thời (xét theo chiều chuyển động) đứng trước vị trí
mà lò xo không biến dạng một đoạn:

(2.1)

Lưu ý: Trong mỗi lần đổi chiều chuyển động, vị trí cân bằng tạm của vật thay đổi từ vị trí
O1 sang O2 hoặc ngược lại nên không thể kết luận chuyển động của vật là dao động.
2-Vận tốc cực đại của vật khi đi từ biên này đến biên kia:
Khi vật qua O lần thứ n. Gọi An là độ lớn của biên độ thứ n (tính từ vị trí cân bằng tạm).
Li độ của vật biến thiên điều hòa với biên độ A n nên đạt tốc độ cực đại khi qua vị trí cân
bằng tạm thời trong giai đoạn chuyển động đang xét.
Tốc độ này được tính bởi:

(2.2)

3-Quy luật giảm về độ lớn cuả biên độ – Vị trí của vật khi dừng hẳn – Quãng đường vật
đã đi được:
a- Quy luật giảm của biên độ:
Xét trong trường hợp các vị trí biên nằm ngoài đoạn O1O2.
Gọi An; An + 1 lần lượt là biên độ khi vật qua O
X n+1
lần thứ n (giả sử theo chiều âm của trục) và lần
Xn
O2
O1
thứ n + 1.
A n+1
An
Do hai vị trí biên này đối xứng với nhau qua O 1
O
nên ta có:
An
Vậy giá trị của biên độ sau mỗi lần qua O tạo
thành một cấp số cộng lùi với công sai:
Giả sử ban đầu vật có biên độ là A0 thì sau khi qua O lần thứ n, biên độ của vật:
(2.3)
b-Vị trí dừng hẳn của vật:
Lúc vật dừng hẳn, tọa độ x của vật và cũng là độ biến dạng của lò xo.
Lúc này lực đàn hồi cân bằng với ma sát nghỉ:
Khi vật dừng hẳn lò xo vẫn có thể bị biến dạng một đoạn x với:

Trang - 5

Vị trí dừng hẳn của vật phải có tọa độ từ – x 0 đến x0, trong mỗi giai đoạn chuyển động từ
biên này đến biên kia, li độ của vật tuân theo quy luật biến thiên điều hòa nên vật chỉ có
thể dừng tạm tại vị trí biên.
Vậy vị trí dừng hẳn của vật chính là vị trí biên của giai đoạn dao động cuối.
Để tìm vị trí này ta xét tỉ số:

; trong đó n là số tự nhiên và


Biên độ của vật sau khi qua O lần thứ n:
Do
nên nó chính là biên độ trong giai đoạn chuyển động cuối cùng.
Ta có hai trường hợp sau:
An
x
+ Nếu
.
Sau khi qua O lần thứ n vật đi qua vị trí cân bằng tạm và
O1
O2
O
dừng hẳn tại vị trí có tọa độ
với
An
chiều dương của trục là chiều chuyển động của vật trước
khi dừng hẳn.
+ Nếu
An
x
Sau khi qua O lần thứ n, vật còn tới O thêm một lần nữa và
O1
O
O2
dừng hẳn tại vị trí có tọa độ
với chiều
An
dương của trục là chiều chuyển động của vật trước khi
dừng hẳn.
Có hai trường hợp đặc biệt về vị trí dừng của vật:
Khi
. Sau khi qua O lần thứ n, vật dừng tại vị trí biên trong giai đoạn
này.
Khi
. Sau khi tới O lần thứ n, vật quay về và dừng hẳn tại O
c- Quãng đường vật đã đi được:
Li độ lúc cuối của vật có độ lớn bằng độ biến dạng của lò xo lúc này nên ta có:

4-Thời gian chuyển động:
Khoảng thời gian để vật đi từ một vị trí biên nào đó tới vị trí biên kế tiếp là

. Nếu tạm

gọi “chu kì” là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đạt tới vị trí biên ở cùng một
bên so với O thì “chu kì” lúc này cũng có giá trị đúng bằng chu kì dao động riêng của con
lắc lò xo.
Khoảng thời gian vật đi từ biên ban đầu cho đến lúc dừng hẳn:
Số lần vật chuyển động từ biên này đến biên kế tiếp là n (nếu p = 0) và n + 1 nếu q ≠ 0.
Vậy khoảng thời gian cần tìm: Khi p = 0:

và khi p ≠ 0:

.

CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Dạng 1: Tính độ giãn hoặc độ nén của lò xo hoặc năng lượng con lắc lò xo:

Trang - 6

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ có khối lượng 1 kg, lò xo có độ cứng
160 N/m. Hệ số ma sát giữ vật và mặt ngang là 0,32. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo nén 10
cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Quãng đường vật đi được
trong

kể từ lúc bắt đầu dao động là

A. 22 cm.
B. 19 cm.
Hướng dẫn: Đáp án: D

C. 16 cm.

Độ giảm biên độ trong nửa chu kì:

D. 18 cm.

;

Trong

đầu tiên vật đi được quãng đưong: 20-4=16cm;

Trong

tiếp theo có thể xem vật dao động điều hòa quanh vị trí lò xo giãn 2cm (
.)

Vậy biên độ dao động lúc này là 6 -2=4cm; Trong

vật đi được quãng đường

Vậy tổng quãng đường là 18cm.
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo đặt theo phương ngang gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò
xo có độ cứng 2 N/m. Hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ vật là 0,1. Ban đầu giữ cho vật ở vị
trí lò xo bị nén 10 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s 2. Trong quá
trình dao động lò xo có độ dãn lớn nhất là
A. 7 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
Hướng dẫn:
A0

Ta có

O

O1

A0

O2

X0
Δl
Độ dãn cần tìm chính là độ lớn của tọa độ biên khi qua O lần đầu:
Δl = A – 2x0 = 8 cm
Ví dụ 3: Một con lắc lò xo có độ cứng 100 N/m và khối lượng 200g dao động trên mặt
phẳng ngang với hệ số ma sát giữa vật và mặt này là µ. Kéo vật đến vị trí sao cho lò xo
dãn một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ. Biết khi dừng hẳn tại vị trí lò xo không biến dạng, vật đã
thực hiện được 10 dao động toàn phần. Hệ số ma sát giữa vật và mặt sàn có giá trị gần
nhất với là
A. 0,05 B. 0,04
C. 0,03
D. 0,02.
Hướng dẫn:
Biên độ dao động lúc đầu:

Từ giả thiết:
Ví dụ 4: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 2N/m, vật có khối lượng m = 80g dao động
tắt dần trên mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát 0,1. Ban đầu kéo vật ra khỏi VTCB một
đoạn bằng 10cm rồi thả nhẹ. Lấy g = 10m/s 2. Thế năng đàn hồi của lò xo khi vật có tốc độ
lớn nhất là
A. 0,16 mJ
B. 1,6 mJ
C. 0,16 J
D. 1,6 J
Hướng dẫn:
Ta có

Trang - 7

Vật đạt tốc độ lớn nhất khi đi qua vị trí cân bằng tạm lần đầu. Lúc này lò xo biến dang một
đoạn x0. Thế năng đàn hồi khi vmax:
Ví dụ 5: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200g, lò xo có độ cứng
10 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Ban đầu vật được giữ ở vị
trí lò xo dãn 10cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g = 10m/s 2. Trong khoảng
thời gian kể từ lúc thả cho đến khi tốc độ của vật bắt đầu giảm thì công của lực đàn hồi là
A. 48 mJ.
B. 20 mJ.
C. 50 mJ.
D. 42 mJ.
Hướng dẫn:
Ta có

và X0 = 10 cm

Công của lực đàn hồi được tính bởi:
Ví dụ 6: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200 gam, lò xo có độ
cứng 20 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Ban đầu vật được giữ
ở vị trí lò xo dãn 10cm, sau đó thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g = 10m/s 2. Kể từ
lúc thả, trong khoảng thời gian đầu tiên giữa hai lần lò xo dãn cực đại, tỉ số tốc độ giữa hai
thời điểm gia tốc của vật triệt tiêu là
A. 7/6
B. 9/8
C. 7/5
D. 9/7
Hướng dẫn:
Ta có
Xét trong mỗi giai đoạn chuyển động chưa đổi chiều thì thời điểm gia tốc của vật triệt tiêu
là thời điểm vật qua vị trí cân bằng tạm. Lúc này tốc độ của vật là lớn nhất và được tính
bởi:

;

Tỉ số cân tìm chính là tỉ số:

Mặt khác ta có:


.

Trang - 8

Dạng 2: Tính vận tốc hoặc vận tốc trung bình của vật.
Ví dụ 1 (ĐH 2010): Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 0,02kg và lò xo có độ
cứng 1N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số
ma sát trượt của giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi
buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10m/s 2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được
trong quá trình dao động là
A. 40
cm/s
B. 20
cm/s
C. 10
cm/s
D. 40
cm/s
Hướng dẫn giải 1:
+ Vận tốc của vật sẽ có giá trị lớn nhất tại vị trí Fms = Fđh:
+ Tính từ lúc thả vật (cơ năng
v (cơ năng

) đến vị trí bất kỳ có li độ x (

) và có vận tốc

) thì quãng đường đi được là (A - x).

+ Độ giảm cơ năng của con lắc bằng công của lực ma sát |Ams|:
(*)
+ Xét hàm số: y = mv2 = f(x) =
Đồ thị hàm số y = f(x) có dạng là parabol, với (a = -k < 0), y = mv 2 có giá trị cực đại tại vị
trí

thay x = 0,02 (m) vào (*)  vmax = 40

cm/s.

* Hướng dẫn giải 2:
- Vị trí của vật có vận tốc cực đại:

= 0,02 (m)

- Vận tốc cực đại khi dao động đạt được tại vị trí x0: vmax = ω(A - x0) = 40 2 (cm/s).
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 10 N/m dao động trên mặt phẳng nằm ngang
với hệ số ma sát 0,2. Ban đầu vật ở vị trí cách vị trí lò xo bị nén một đoạn 10 cm rồi thả
nhẹ cho chuyển động. Lấy g = 10 m/s 2. Tính công suất cung cấp năng lượng cho hệ để duy
tri cho hệ dao động với biên độ ban đầu?
A. 0,69 (W)
B. 0,91 (W)
C. 1,93 (W)
D. 9,12 (W)
Hướng dẫn:
- Biên độ A0 = 10 cm và có cơ năng dao động W0 =
- Sau chu kỳ dao động đồng tiên thì biên độ là A1 = A0 - Cơ năng dao động còn lại W1 =

.
= 8cm

.

- Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là W = W0 – W1 = 0,18 J
Nên công suất cung cấp đề duy trì dao động cho hệ: P =

= 0,91 (W)

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo với khối lượng vật nặng m = 400 g, độ cứng lò xo k = 50 N/m,
đặt trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát trượt µ = 0,06 . Ban đầu kéo vật để lò xo dãn
8cm rồi buông nhẹ. Lấy g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất của vật sau khi lò xo đã đạt độ nén
cực đại có giá trị gần nhất với
A. 73 cm/s
B. 75 cm/s
C. 84 cm/s
D. 85 cm/s

Hướng dẫn:
Trang - 9

Ta có:

và ω =

rad/s

Biên độ dao động sau khi qua O lần thứ nhất:
Tốc độ cực đại cần tìm:
Dạng 3: Tính thời gian vật chuyển động.
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có độ cứng k =100N/m, khối lượng m = 400g, dao động trên
mặt phẳng ngang. Ban đầu người ta kéo vật để lò xo dãn 2 cm rồi thả nhẹ. Biết hệ số ma
sát trượt là µ = 0,1. Tính thời gian ngắn nhất kể từ lúc thả vật cho đến lúc lò xo không biến
dạng lần thứ hai. Lấy g = 10 m/s2
A. 1/5 s
B. 1/3 s
C. 1/2 s
D. 1/4 s
Hướng dẫn:
Ta có

và X0 = 2 cm

Biên độ ban đầu:
Biên độ dao động sau khi qua O lần thứ nhất:
Vậy sau khi thực hiện được nửa chu kì dao động đầu tiên, vật thực hiện tiếp 1/4 chu kì kế
tiếp rối đi từ vị trí cân bằng tạm O2 đến vị trí lò xo không biến dạng lần thứ hai.
Chu kì dao động tự do của con lắc:
 khoảng thời gian là
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo khối lượng vật nặng 100 g, độ cứng lò xo 10 N/m, đặt trên
mặt phẳng ngang có hệ số ma sát trượt 0,2. Kéo con lắc để lò xo dãn 22 cm rồi thả nhẹ.
Chọn gốc thời gian lúc thả vật. Tìm thời điểm lần thứ hai lò xo dãn 6 cm.
A. 13π/60 s
B. π/6 s
C. π/60 s
D. 15π/60 s
Hướng dẫn:
Ta có

và X0 = 22 cm

Biên độ ban đầu:
Biên độ khi qua O lần thứ nhất:
Tọa độ của vị trí đang xét:
Chu kì dao động tự do của con lắc:
 khoảng thời gian là

Trang - 10

C- BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC ĐƠN.
Thiết lập các công thức.
Con ℓắc đơn có chiều dài ℓ dao động tắt dần với một ℓực cản đều ℓà F c, biên độ góc ban
đầu ℓà 01 = α0.
1. Xác định độ giảm biên độ trong một chu kỳ.
Năng ℓượng ban đầu của con ℓắc ℓà: W1 = mgℓ
Khi về đến biên lần đầu, biên độ góc chỉ còn α02; Năng ℓượng
còn ℓại của con ℓắc khi ở biên WCL = mgℓ
Sau nữa chu kì năng ℓượng mất đi: W = AC
 W – WCL = FC.S
 mgℓ( - ) = Fc.(S01 + S02) = Fc.ℓ(α01 + α02)
 mgℓ(α01 - α02)(α01 + α02) = Fc.ℓ(α01 + α02)
 ∆α1 = α01 - α02 =

=

(3.1)

Ta thấy rằng độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ không phụ thuộc
vào biên độ ban đầu và thời gian. Như vậy sau một chu kì độ giảm
biên độ:  = α01 - α02 =

=

(3.2)

2) Số dao động con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn. N =

(3.3)

3) Thời gian con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn: t = N.T (3.4)
Giải quyết tương tự như con lắc lò xo, thay tương ứng A thành S 0; x thành s; với s = αl,
S0 = α0l
4) Để duy trì dao động cần 1 động cơ có công suất tối thiểu là:
(3.5) với
ICÁCH GIẢI CÁC BÀI TẬP:
Các bài tập về con lắc đơn:
Bước 1: Tính độ giảm biên độ sau một chu kì:  = α01 - α02 =

=

Bước 2: Tính số dao động con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn. N =
Thời gian con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn: t = N.T
Bước 3: Để duy trì dao động cần 1 động cơ có công suất tối thiểu là:

Trang - 11

II-CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1- TÍNH ĐỘ GIẢM BIÊN ĐỘ HOẶC NĂNG LƯỢNG, ÁP DỤNG CÁC
CÔNG THỨC 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.
Ví dụ 1: Ban đầu con lắc đơn dao động với biên độ α0 = 50. Trong quá trình dao động, vật
luôn chịu lực cản có độ lớn bằng 1% trọng lực của vật. Biết biên độ giảm dần trong từng
chu kỳ. Sau khi vật qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật bằng
A. 4,5o
B. 4,6o
C. 4,8o
D. 4,9o
Hướng dẫn:
Độ giảm biên độ trong một T:



Vật qua VTCB 20 lần ứng với 10 chu kỳ, biên độ giảm 0,040.10 = 0,40
Biên độ còn lại 50 – 0,40 = 4,60 .
Ví dụ 2: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí.Kéo con lắc lệch phương
thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ. Biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là
không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật. Coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.
Số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là
A. 25
B. 50
C. 100
D. 200
Hướng dẫn:
Gọi ∆ là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB.
 = α01 - α02 =

=

 Số lần vật qua VTCB: N =

.

Ví dụ 3: Một con lắc đơn dai l = 1m khối lượng m= 900g dao động với biên độ góc ban
đầu là 50 tại nơi có g = 10m/s 2. Do có lực cản nên sau 10 dao động biên độ còn 4 0. Để duy
trì dao động với biên độ góc ban đầu thì cần phải cung cấp cho con lắc một công suất bao
nhiêu?
A. 6,56.10-4 (W) B. 4,51.10-4 (W) C. 1,46.10-4 (W)
D. 8,59.10-4 (W)
Hướng dẫn:
Độ giảm năng lượng sau 10 dao động:
Công suất củ bộ phẩn bổ sung năng lượng:
DẠNG 2- TÍNH THỜI GIAN DAO ĐỘNG HOẶC LỰC CẢN CỦA MÔI TRƯỜNG:
ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC: 3.2, 3.3, 3.4.
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chiều dài l 0,5  m  , quả cầu nhỏ có khối lượng m 100  g  .
Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g 9,8  m / s 2  với biên độ góc
 0 0,14  rad  . Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ
có độ lớn không đổi FC 0,002  N  thì nó sẽ dao động tắt dần. Tính khoảng thời gian từ
lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn?
A. 14,20 (s)
B. 20,28 (s)
C. 24,24 (s)
D. 29,2 (s)
Hướng dẫn:
+ Chu kì dao động của con lắc đơn: T 2
+ Biên độ góc giảm trong một T   

l
0,5
2.3,1416.
1,42  s 
g
9,8

4 FC
mg

Trang - 12

0

+ Khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn:

0,14
  N .T  0 .T 
.1,42 24,24  s  .

0,0082
Ví dụ 2: Một con lắc đơn có chiều dài l 0,248  m  , quả cầu nhỏ có khối lượng
m 100  g  . Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g 9,8  m / s 2  với biên độ
góc  0 0,07  rad  trong môi trường dưới tác dụng của lực cản (có độ lớn không đổi).
Biết con lắc đơn chỉ dao động được  100  s  thì ngừng hẳn. Xác định độ lớn của lực
cản?
A. 0,1715. 10-3 (N)
B. 0,157. 10-3 (N)
C. 0,275. 10-3 (N)
D. 0,3765. 10-3 (N)
Hướng dẫn:
l
0,248
2.3,1416.
1  s 
+ Chu kì dao động của con lắc đơn: T 2
g
9,8
4 FC
+ Trong một chu kì biên độ góc giảm từ 0 đến 1   
;
mg
 0  0 mg

+ Số dao động thực hiện được: N 
.

4 FC
+ Số dao động thực hiện được từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn theo bài ra:
 100  s 
N 
100 .
T
1  s
mg
0,1.9,8
.0,07 0,1715.10  3  N  .
+ Độ lớn của lực cản: FC   0 
4N
4.100

+ Số dao động thực hiện được: N 

DẠNG 3- TÍNH NĂNG LƯỢNG CUNG CẤP CHO CON LẮC ĐỂ DUY TRÌ DAO
ĐỘNG, ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC: 3.2, 3.3, 3.4, 3.5
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường g 9,8  m / s 2 
với chu kì T 2  s  . Quả cầu nhỏ của con lắc có khối lượng m 50  g  . Dao động với biên
độ góc  0 0,15  rad  , trong môi trường có lực cản tác dụng thì nó chỉ dao động được
 200  s  thì ngừng hẳn. Người ta có thể duy trì dao động bằng cách dùng một hệ thống
lên giây cót đồng hồ sao cho nó chạy được trong một tuần lễ với biên độ góc  0 4 0 . Biết
80% năng lượng được dùng để thắng lực ma sát do hệ thống các bánh răng. Tính công cần
thiết để lên giây cót để đồng hồ chạy trong một tuần?
A. 63,12 (J)
B. 83,16 (J)
C. 60,17 (J)
D. 70,19 (J)
Hướng dẫn:
 200
100
+ Số dao động thực hiện được: N  
T

2

l
T 2g
2 2.9,8
 l 2 
0,993  m 
g
4
4.3,1416 2
1
1
+ Cơ năng ban đầu của con lắc đơn: E0  mg 02  0,05.9,8.0,993.0,15 2 0,55.10  2  J  .
2
2
E
0,55.10  2
0,55.10  4  J  .
+ Độ hao hụt năng lượng sau mỗi chu kì dao động: E  0 
N
100

+ Chiều dài của con lắc đơn: T 2

Trang - 13

+ Năng lượng hao hụt sau một đơn vị thời gian: e 

E 0,55.10  4  J 

0,275.10  4  J / s  .
T
2  s

+ Năng lượng cần bổ sung trong một tuần lễ: A’= 7.86400  s .0,275.10  4  J / s  16,632  J 
+ Vì 80% năng lượng được dùng để thắng lực ma sát các bánh răng cưa nên chỉ có 20%
năng lượng có ích, nên công toàn phần cần thiết để lên giây cót đồng hồ là: A=
16,832
83,16  J  .
0,2

Ví dụ 2: Một con lắc đơn có chu kì dao động là T = 2s, vật nặng có khối lượng 3kg. Kích
thích cho con lắc dao động với biên độ góc 4 0. Lấy
. Do có lực cản nên
sau 16 phút 40 giây vật ngừng dao động. Để duy trì dao động dùng bộ phận bổ sung năng
lượng. Bộ phận hoạt động nhờ một pin có E = 3V, hiệu suất 25%. Pin trữ một năng lượng
. Tính thời gian hoạt động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin?
A. 98,9 ngày
B. 117,3 ngày
C. 101,5 ngày
D. 90,5 ngày
Hướng dẫn:
Độ lớn của lực cản:
Ta có

; cơ năng ban đầu:

và số dao động thực hiện được:

Độ biến thiên năng lượng sau mỗi chu kì
Năng lượng cung cấp sau mỗi chu kì:
Điện lượng mà pin giải phóng sau mỗi chu kì:
Thời gian hoạt động của pin:

(ngày)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Các bài toán vận dụng thấp:
Câu 1: Một con lắc lò xo có lò xo nhẹ độ cứng k = 100N/m, vật nhỏ m = 100g, dao động
trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát là 0,01. Lấy g = 10m/s 2. Tìm độ giảm biên độ sau
mỗi lần vật đi qua vị trí cân bằng?
A. 0,2 (mm)
B. 0,1 (mm)
C. 0,3 (mm)
D. 0,4 (mm)
Câu 2: Một con lắc lò xo có lò xo nhẹ độ cứng k = 100N/m, vật nhỏ m = 100g, dao động
trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát là 0,2. Lấy g = 10m/s 2. Từ vị trí cân bằng kéo vật ra
một đoạn 10cm rồi thả nhẹ. Tìm biên độ của vật sau 4 chu kì dao động?
A. 0,5 (cm)
B. 0,6 (cm)
C. 0,3 (cm)
D. 0,8 (cm)
Câu 3: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kì, biên độ bị giảm 5%. Tìm
phần trăm cơ năng bị mất sau mỗi chu kì?
A. 10%
B. 8%
C. 12%
D. 5%
Câu 4: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 100N/m bố trí cho dao động trên mặt bàn nằm
ngang không ma sát, hệ số ma sát 0,1. Số dao động vật thực hiện được đến khi dừng hẳn
là bao nhiêu?
A. 10
B. 15
C. 25
D. 30
Câu 5: Một con lắc lò xo có m = 200g, k = 10N/m bố trí cho dao động trên mặt bàn nằm
ngang không ma sát, hệ số ma sát 0,1. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 10cm rồi buông nhẹ.
Tìm thời gian vật dao động đến khi dừng lại?
Trang - 14

A. 6,45s
B. 8,5s
C. 4,45s
D. 10, 5s
Câu 6: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 25N/m. Dao động tắt dần trên mặt phẳng nằm
ngang có hệ số ma sát là 0,5. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 9cm rồi thả nhẹ để vật dao
động tắt dần. Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại?
A. 20 cm
B. 40 cm
C. 25 cm
D. 35 cm
Câu 7. Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng 20 N/m. Vật
nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa
giá đỡ và vật nhỏ là 0,01. Từ vị trí lò xo không bị biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu
1 m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò xo. Lấy g = 10 m/s2.
Tính độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động.
A. 2,34N
B. 1,90N
C. 1,98N
C.2,08N
Câu 8: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 20N/m va vật nặng m =
100g. Từ VTCB kéo vật ra 1 đoạn 6cm rồi truyền cho vật vận tốc 20
cm/s hướng về
VTCB. Biết rằng hề số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0.4, lấy g = 10m/s 2. Tốc độ
cực đại của vật sau khi truyền vận tốc bằng:
A. 20 cm/s
B. 80 cm/s
C. 20 cm/s
D. 40 cm/s
Câu 9: Một con lắc lò xo có k=100N/m, có m= 100g dao động với biên độ ban đầu là A=
10cm. Trong quá trình dao động vật chịu một lực cản không đổi, sau 20s vật dừng lại, (lấy
 2 =10 ). Lực cản có độ lớn là?
A. 0,025 (N)
B. 0,225 (N)
C. 0,255 (N)
D. 0,035 (N)
Các bài toán vận dụng cao:
Câu 10: Cho cơ hệ như hình bên. Biết M = 1,8kg, lò xo nhẹ
M
độ cứng k = 100N/m. Một vật khối lượng m = 200g chuyển
m
động với tốc độ v0 = 5m/s đến va vào M (ban đầu đứng yên)
theo trục của lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa M và mặt phẳng
ngang là μ = 0,2. Coi va chạm hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm. Tốc độ cực đại của M sau khi
lò xo bị nén cực đại là
A. 1 m/s
B. 0,8862 m/s
C. 0.4994 m/s
D. 0, 4212 m/s
Câu 11: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang, lò xo có độ cứng 10(N/m), vật
nặng có khối lượng m = 100(g). Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là μ= 0,2.
Lấy g = 10(m/s2); Ban đầu vật nặng được thả nhẹ tại vị trí lò xo dãn 6 (cm). Tốc độ trung
bình của vật nặng trong thời gian kể từ thời điểm thả đến thời điểm vật qua vị trí lò xo
không bị biến dạng lần đầu tiên là
A. 22,93(cm/s)
B. 25,48(cm/s)
C. 38,22(cm/s)
D. 28,66(cm/s)
Câu 12: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m, 1 đầu cố
định, 1 đầu gắn vật nặng khối lượng m = 0,5kg. Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng
khỏi VTCB 5cm rồi buông nhẹ cho dao động. Trong quá trình dao động vật luôn chịu tác
dụng của lực cản có độ lớn bằng 1/100 trọng lực tác dụng lên vật. Coi biên độ của vật
giảm đều trong từng chu kỳ, lấy g=10 m/s2. Số lần vât qua VTCB kể từ khi thả vật đến khi
nó dừng hẳn là
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100
Câu 13: Một con ℓắc ℓò xo thực hiện dao động tắt dần với biên độ ban đầu ℓà 5 cm. Sau 4
chu kỳ biên độ của dao động chỉ còn ℓại 4cm. Biết T = 0,1s, k = 100 N/m. Hãy xác định
công suất để duy trì dao động trên.
A. 0,25W
B. 0,125W
C. 0,01125W
D. 0,1125W
Câu 14: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 40N/m và quả cầu nhỏ
A có khối lượng 100g đang đứng yên, lò xo không biến dạng. Dùng quả cầu B giống hệt
quả cầu A bắn vào quả cầu A dọc theo trục lò xo với vận tốc có độ lớn 1m/s; va chạm giữa
Trang - 15

hai quả cầu là đàn hồi xuyên tâm. Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng đỡ là  = 0,1; lấy g =
10m/s2. Sau va chạm thì quả cầu A có biên độ lớn nhất là
A. 5cm
B. 4,756cm.
C. 4,525 cm.
D. 3,759 cm
Câu 15: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm một vật có khối lượng m=100(g) gắn vào
một lò xo có độ cứng k=10(N/m). Hệ số ma sát giữa vật và sàn là 0,1. Đưa vật đến vị trí lò
xo bị nén một đoạn rồi thả ra. Vật đạt vận tốc cực đại lần thứ nhất tại O và v max=60(cm/s).
Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là
A.28,5 cm.
B. 24,5 cm.
C.21 cm.
D.28 cm.
Câu 16: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200 gam, lò xo có độ cứng
10 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Ban đầu vật được giữ ở vị
trí lò xo giãn 10 cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g = 10m/s2. Trong khoảng
thời gian kể từ lúc thả cho đến khi tốc độ của vật bắt đầu giảm thì độ giảm thế năng của
con lắc là
A. 2 mJ.
B. 20 mJ.
C. 50 mJ.
D. 48 mJ.
Câu 17: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m = 100(g) và lò
xo nhẹ có độ cứng k = 100(N/m). Nâng vật nặng lên theo phương thẳng đứng đến vị trí lò
xo không bị biến dạng, rồi truyền cho nó vận tốc
(cm/s) thẳng đứng hướng lên.
Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật nặng. Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng,
chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O ở vị trí cân bằng. Lấy g = 10(m/s2);
.
Nếu lực cản của môi trường tác dụng lên vật nặng có độ lớn không đổi và bằng F C=0,1(N).
Hãy tìm tốc độ lớn nhất của vật sau khi truyền vận tốc?
A. 0,586 (m/s).
B. 0, 842 (m/s).
C. 0,762 (m/s).
D. 0,946 (m/s).
Câu 18: Hai vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là
B
A C
m1 = 900g và m2 = 4kg đặt trên mặt phẳng nằm ngang, được
nối với nhau bằng lo xo nhẹ có độ cứng là k = 15N/m. Vật B
dựa vào bức tường thẳng đứng. Hệ số ma sát giữa A, B và



mặt phẳng ngang là 0,1. Coi hệ số ma sát nghỉ cực đại bằng
A0
A1
O
hệ số ma sát trượt. Ban đầu hai vật nằm yên và lò xo không
biến dạng. Một vật nhỏ C có khối lượng m = 100g từ phía
ngoài bay dọc theo trục của lò xo với vận tốc v đến va chạm mềm với vật A. Bỏ qua thời
gian va chạm. Lấy g = 10m/s2. Giá trị nhỏ nhất của v để vật B có thể rời tường và dịch
chuyển là
A. 17,9 (m/s)
B. 17,9 (cm/s)
C. 1,79 (cm/s)
D. 1,79 (m/s)
Câu 19: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 100g và lò xo nhẹ có độ cứng
0,01N/cm. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo dãn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động. Trong
quá trình dao động lực cản tác dụng lên vật có độ lớn không đổi 10-3 N. Lấy π2 = 10. Sau
21,4s dao động, tốc độ lớn nhất của vật chỉ có thể là
A. 58π (mm/s)
B. 57π (mm/s)
C. 56π (mm/s)
D. 54π (mm/s)
Câu 20: Một con lắc lò xo độ cứng k = 40N/m, vật nặng khối lượng m = 400g (vật nặng
treo phía dưới lò xo) đặt trên mặt phẳng nghiêng góc  = 300 so với phương ngang, hệ số
ma sát nghỉ bằng hệ số ma sát trượt và bằng 0,1. Đưa vật nặng đến vị trí lò xo dãn 18cm
rồi thả nhẹ, lấy g = 10m/s2. Tổng quãng đường vật nặng đi được cho đến lúc dừng lại là
A. 162 cm
B. 97 cm
C. 187 cm
D.
80
cm
Câu 21: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,1 kg và lò xo có độ cứng 10 N/m.
Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt
giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,15. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 7 cm rồi buông nhẹ để
con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Khi vật dừng lại thì lò xo
A. bị nén 1,5 cm.
B. bị dãn 1,5 cm.
C. bị nén 1 cm.
D. bị dãn 1 cm.
Trang - 16