Phát triển đề minh họa THPTQG môn Toán năm 2021 - Đề số 3 có lời giải chi tiết
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
https://thuvientoan.net/
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:…………….
Câu 1:
Từ các số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
A.
6 .
B.
27 .
C.
3 .
D.
15 .
Câu 2:
Cho
, ,
a b c
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó
A.
2
a b
c
.
B.
2
b c
a
.
C.
2
a c
b
.
D.
a
b c
.
Câu 3:
Cho hàm số
( )
y
f x
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số
( )
y
f x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
2;0
.
B.
2; .
C.
0; 2 .
D.
0; .
Câu 4:
Cho hàm số
y
f x
liên tục trên
,
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A.
3.
x
B.
5.
x
C.
2.
x
D.
0.
x
Câu 5:
Cho hàm số
y
f x
liên tục trên
,
có bảng xét dấu
( )
f x
như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số
( )
y
f x
là
A.
3.
B.
2.
C.
4.
D.
1.
Câu 6:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3
2
3
x
y
x
là
A.
3.
x
B.
2
3
x
C.
2
.
3
y
D.
3.
y
PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA SỐ 3
https://thuvientoan.net/
Câu 7:
Hàm số
ax b
y
cx
d
với
0
a có đồ thị như hình vẽ.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
0,
0,
0.
b
c
d
B.
0,
0,
0.
b
c
d
C.
0,
0,
0.
b
c
d
D.
0,
0,
0.
b
c
d
Câu 8:
Số giao điểm của đồ thị hàm số
4
2
4
2
y
x
x
với đường thẳng
2
y
A.
4 .
B.
5
.
C.
8
.
D.
2 .
Câu 9:
Với
,
a b
là các số thực dương tuỳ ý và
1
a ,
log
a
a b bằng
A.
2 log
a
b
.
B.
1
log
2
a
b
.
C.
1
log
2
a
b
.
D.
2 log
a
b
.
Câu 10:
Cho hàm số
2
( )
ln
3
2 .
f x
x
x
Bất phương trình
1
( )
0
x
f x
có tập nghiệm là
A.
2; 1
.
B.
3
; 1
2
.
C.
1; 0
.
D.
3
2;
2
.
Câu 11:
Nghiệm của phương trình
log 3
5
2
x
là
A.
40
x
.
B.
35
x
.
C.
36
x
.
D.
30
x
.
Câu 12:
Nghiệm của phương trình
2
1
5
125
x
là
A.
2
x
.
B.
2
x
.
C.
1
x
.
D.
3
x
.
Câu 13:
Tập nghiệm của bất phương trình
2
5
0,125
64
x
là
A.
3; 3
.
B.
3; 3
.
C.
3;3
.
D.
1; 0;1
.
Câu 14:
Cho
2
d
3
2
3
f x
x
x
x
C
. Hỏi
f x là hàm số nào?
A.
6
2
f x
x
.
B.
3
2
3
f x
x
x
x C
.
C.
6
2
f x
x
C
.
D.
3
2
3
f x
x
x
x
.
Câu 15:
Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3
f x
x
là
https://thuvientoan.net/
A.
2
3
x
x C
.
B.
3 C
.
C.
2
4
x
x C
.
D.
2
3
6
x
x C
.
Câu 16:
Cho
3
3
x
F x
là một nguyên hàm của
f x
x
. Biết
f x có đạo hàm xác định với mọi
0
x . Tính
.
x
f
x e dx
A.
2
3
6
6
.
x
x
x
x e
xe
e
C
B.
2
3
6
.
x
x
x
x e
xe
e
C
C.
2
3
6
6
.
x
x
x
x e
xe
e
C
D.
2
6
6
.
x
x
x
x e
xe
e
C
Câu 17:
Biết
3
1
5
f x dx
và
3
1
7
g x dx
. Giá trị của
3
1
3
2
f x
g x
dx
bằng
A.
29
.
B.
1.
C.
29 .
D.
31
.
Câu 18:
Cho hai số phức
1
3 4
z
i
và
2
2
z
i
. Số phức trên đoạn
1
2
z
iz
bằng
A.
2
2i
.
B.
5
3i
.
C.
2
2i
.
D.
5
3i
.
Câu 19:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, biết điểm
3; 5
M
là điểm biểu diễn số phức .
z Phần ảo của số
phức
2
z
i
bằng
A.
2
.
B.
5
.
C.
3
.
D.
5 .
Câu 20:
Gọi
0
z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
2
4
8
0
z
z
. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy , điểm nào dưới đây biểu diễn số phức
0
iz ?
A.
2; 2
P
.
B.
2; 2
Q
.
C.
2;2
M
.
D.
2; 2
N
.
Câu 21:
Thể tích hình chóp theo công thức nào sau đây?
A.
1
6
V
hS
B.
V
hS
C.
1
2
V
hS
D.
1
3
V
hS
Câu 22:
Cho mặt cầu có diện tích là
36
. Thể tích của khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu đã cho là
A.
108
.
B.
81
.
C.
27
.
D.
36
.
Câu 23:
Cho khối trụ có bán kính đáy
3
r
và độ dài đường sinh
5
l
. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A.
12
.
B.
36
.
C.
45
.
D.
15
.
Câu 24:
Cho hình nón có bán kính đáy
6
r và chiều cao
8
h . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho
bằng
A.
64
.
B.
60
.
C.
120
.
D.
80
.
Câu 25:
Trong không gian
,
Oxyz
khoảng cách từ điểm
5; 4; 3
A
đến trục
Ox bằng
A.
25
.
B.
3
.
C.
4
.
D.
5
.
Câu 26:
Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
4;1;3
A
,
2;1;5
B
và
4;3; 3
C
không thẳng hàng. Mặt phẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC và vuông góc với
AB
có phương trình là
A.
3
0
x
y
z
.
B.
1 0
x
z
.
C.
2
2
1 0
x
z
.
D.
2
1 0
x
y
z
.
https://thuvientoan.net/
Câu 27:
Trong không gian
,
Oxyz cho mặt cầu
2
2
2
:
2
1
3
25
S
x
y
z
. Tọa độ tâm của mặt cầu
S là
A.
2;1; 3
.
B.
2; 1;3
.
C.
2;1;3
.
D.
2; 1; 3
.
Câu 28:
Trong không gian
,
Oxyz mặt phẳng ( )
P đi qua điểm
2; 5;1
M
và song song với mặt phẳng
Oxz
có phương trình là
A.
3
0
x
y
.
B.
5
0
y .
C.
3
0
x
z
.
D.
2
0
x
.
Câu 29:
Chọn ngẫu nhiên một số từ 1000 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất chọn được một số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7 là
A.
47
1000
.
B.
333
1000
.
C.
8
250
.
D.
107
250
.
Câu 30:
Cho hàm số ( )
f x có đạo hàm là
2
3
2
2
( )
2
1
4
1
f x
x
x
x
x
với mọi
.
x
Số điểm cực
đại của hàm số đã cho là
A.
1.
B.
4 .
C.
3
.
D.
2 .
Câu 31:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
2
1
1
( )
2021
2020
2020
f x
x
x
trên đoạn
1;1
là
A.
1
2021
4040
B.
1
2021
8080
.
C.
2020
.
D.
2021
.
Câu 32:
Biết
7
log 12
,
a
12
log 24
.
b
Giá trị của
54
log 168 được tính theo a và
b
là
A.
1
8
5
ab
a
b
.
B.
1
8
5
ab
a
b
.
C.
2
1
8
5
ab
a
b
.
D.
2
1
8
5
ab
a
b
.
Câu 33:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
2
1
5
6
y
x
x
x
và hai trục tọa độ bằng
A.
2
.
B.
11
4
.
C.
11
4
.
D.
1
2
.
Câu 34:
Cho hai số phức
1
1 2
z
i
và
2
3
.
z
i
Môđun của số phức
1
2
1 2
z
z
z z
bằng
A.
5 34 .
B.
4 35 .
C.
5 43 .
D.
5 10 .
Câu 35:
Cho hình chóp
.
S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tam giác SBC vuông tại S và mặt phẳng
(
)
SBC
vuông góc với mặt phẳng
(
)
ABC
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC bằng
A.
3
12 a
.
B.
2
36 a
.
C.
2
18 a
.
D.
2
12 a
.
Câu 36:
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
và có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
2
.
3
a
Góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng
A.
45
.
B.
30
.
C.
60
.
D.
90
.
https://thuvientoan.net/
Câu 37:
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
3
1
2z 1
:
2
3
4
x
y
d
. Véctơ nào sau đây là véctơ chỉ
phương của
d
?
A.
1
2; 3; 2
u
.
B.
4
2;3; 4
u
.
C.
3
2;3; 4
u
.
D.
2
2; 3; 4
u
.
Câu 38:
Trong không gian Oxyz , cho điểm
3; 4; 2
M
và mặt phẳng
: 2
5
3
2
0
P
x
z
. Đường thẳng
d
đi qua
M
và vuông góc với mặt phẳng
P có phương trình tham số là
A.
3 2
4 5
2 3
x
t
y
t
z
t
.
B.
3 2
4
2 5
x
t
y
z
t
.
C.
3 2
4
2 3
x
t
y
z
t
.
D.
3 2
4 5
2 3
x
t
y
t
z
t
.
Câu 39:
Cho hàm số bậc ba
( )
y
f x
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của
phương trình
2
2
1
4
1
2021
f
x
x
là
A.
14
.
B.
10 .
C.
24 .
D.
12.
Câu 40:
Cho hai số thực
1
a ,
1
b
, biết phương trình
2
1
1
x x
a b
có hai nghiệm
1
x ,
2
x . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2
1 2
1
2
1
2
4
x x
S
x
x
x
x
A.
4 .
B.
3
4 .
C.
3
3 4 .
D.
3
3 2 .
Câu 41:
Cho hàm số ( )
f x liên tục và có đạo hàm trên
2; 2 \ 0
, thỏa mãn (1)
0
f
và
( )
( )
'( )
2
0
f x
f x
x
f
x
x e
e
.
Giá trị của
1
2
f
bằng
A.
ln 3
.
B.
ln 6 .
C.
ln 7 .
D.
ln 5 .
Câu 42:
Cho các số phức
1
z và
2
z thỏa mãn các điều kiện:
1
1
1
z
i
z
i
và
2
2
1
2
z
z
i
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
1
2
1
1
3
3
P
z
z
z
z
?
https://thuvientoan.net/
A.
min
554
5
P
B.
min
370
3
P
C.
min
809
5
P
D.
min
409
3
P
Câu 43:
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,
3.
a SD
a
Mặt bên SAB là tam giác cân và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
H
là trung điểm của
,
AB K là trung điểm của
.
AD
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và HK bằng
A.
105
30
a
.
B.
105
10
a
.
C.
105
5
a
.
D.
105
20
a
.
Câu 44:
Một người gửi tiền vào ngân hàng 200 triệu đồng với kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 5,6% một năm theo hình thức lãi kép (sau 1 năm sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 2 năm, người đó gửi thêm 100 triệu đồng
với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức
(1
) ,
n
T
A
r
trong đó
A
là số tiền gửi,
r
là lãi suất,
n là số kỳ hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được sau
5 năm kể từ khi gửi tiền lần thứ nhất (số tiền lấy theo đơn vị triệu đồng, làm tròn 3 chữ số thập phân)
A.
380, 392
triệu đồng.
B.
380,391
triệu đồng.
C.
385,392
triệu đồng.
D.
381, 329 triệu đồng.
Câu 45:
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
2; 2;1 ,
1; 2; 3
A
M
và đường thẳng
1
5
:
2
2
1
x
y
z
. Tìm vecter chỉ phương của đường thẳng
d đi qua
A
vuông góc với đường thẳng
đồng thời cách điểm
B
một khoảng bé nhất.
A.
2; 2; 1
u
.
B.
1;0; 2
u
.
C.
2;1;6
u
.
D.
25; 29; 6
u
.
Câu 46:
Cho hàm số
y
f x
có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực đại của hàm số
2
2
2
g x
f
x
x
là
A.
3.
B.
2.
C.
1.
D.
4.
Câu 47:
Có bao nhiêu cặp số nguyên
;
x y thỏa mãn:
2
4
7
4
7
2
1
2
2
xy
x y
y
xy
y
x
e
e
x
y
y
y e
.
A.
6
.
B.
5 .
C.
7 .
D.
8 .
Câu 48:
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục tung và trục hoành. Xác định
để đường thẳng
đi qua điểm
có hệ số góc chia
thành hai phần có diện tích bằng
nhau.
H
2
4
4
y
x
x
k
d
0; 4
A
k
H
https://thuvientoan.net/
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 49:
Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
2
4
2
.
z
z
iz
Tính giá trị nhỏ nhất của
.
P
z i
A.
min
4
P
.
B.
min
3
P
.
C.
min
2
P
.
D.
min
1
P
.
Câu 50:
Trong mặt phẳng
cho hai tia
,
Ox Oy , góc
60
xOy
. Trên tia
Oz
vuông góc với mặt phẳng
tại O , lấy điểm S sao cho
SO
a
. Gọi
,
M N là các điểm lần lượt di động trên hai tia
,
Ox Oy sao cho
OM
ON
a
(
0
a
và
,
M N khác O ). Gọi
,
H K lần lượt là hình chiếu của O trên hai cạnh
,
SM SN
. Khi
,
M N di động trên hai tia
,
Ox Oy mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng
bao nhiêu ?
A.
2
4
3
a
.
B.
2
a
.
C.
2
2 a
.
D.
2
3
a
.
---------------------------------------------------HẾT---------------------------------------------------
4
k
8
k
6
k
2
k
https://thuvientoan.net/
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Từ các số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
A.
6 .
B.
27 .
C.
3 .
D.
15 .
Lời giải
Số tự nhiên có ba chữ số được tạo là
3 3 3
27.
Câu 2:
Cho
, ,
a b c
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó
A.
2
a b
c
.
B.
2
b c
a
.
C.
2
a c
b
.
D.
a
b c
.
Lời giải
Vì
, ,
a b c
theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên
2 .
a c
b
Câu 3:
Cho hàm số
( )
y
f x
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số
( )
y
f x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
2;0
.
B.
2; .
C.
0; 2 .
D.
0; .
Lời giải
Ta có
( )
0,
0; 2
( )
f x
x
f x
nghịch biến trên
0; 2 .
Câu 4:
Cho hàm số
y
f x
liên tục trên
,
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A.
3.
x
B.
5.
x
C.
2.
x
D.
0.
x
Lời giải
Ta có
( )
f x
đi từ dương sang âm khi
x đi qua 0.
Câu 5:
Cho hàm số
y
f x
liên tục trên
,
có bảng xét dấu
( )
f x
như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số
( )
y
f x
là
https://thuvientoan.net/
A.
3.
B.
2.
C.
4.
D.
1.
Lời giải
Ta có
( )
f x
đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua
0 và từ dương sang âm khi x đi qua
1
và
1.
Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
Câu 6:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3
2
3
x
y
x
là
A.
3.
x
B.
2
3
x
C.
2
.
3
y
D.
3.
y
Lời giải
Tiệm cận đứng của hàm số là
3
3.
1
d
y
c
Câu 7:
Hàm số
ax b
y
cx
d
với
0
a có đồ thị như hình vẽ.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
0,
0,
0.
b
c
d
B.
0,
0,
0.
b
c
d
C.
0,
0,
0.
b
c
d
D.
0,
0,
0.
b
c
d
Lời giải
Đồ thị giao với trục
Ox tại điểm có hoành độ âm nên
0
0
0
b
x
b
b
a
do
0.
a
Do đó loại C, D.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
0
0.
a
y
c
c
Do đó loại B.
Câu 8:
Số giao điểm của đồ thị hàm số
4
2
4
2
y
x
x
với đường thẳng
2
y
A.
4 .
B.
5
.
C.
8
.
D.
2 .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
https://thuvientoan.net/
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
0
4
2
2
4
0
4
2
2
2
4
2
2
4
4
0
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Vậy số giao điểm là 5.
Câu 9:
Với
,
a b
là các số thực dương tuỳ ý và
1
a ,
log
a
a b bằng
A.
2 log
a
b
.
B.
1
log
2
a
b
.
C.
1
log
2
a
b
.
D.
2 log
a
b
.
Lời giải
Ta có:
1
2
log
2 log
2 log
log
2 log
.
a
a
a
a
a
a b
a b
a
b
b
Câu 10:
Cho hàm số
2
( )
ln
3
2 .
f x
x
x
Bất phương trình
1
( )
0
x
f x
có tập nghiệm là
A.
2; 1
.
B.
3
; 1
2
.
C.
1; 0
.
D.
3
2;
2
.
Lời giải
Ta có:
2
2
1 2
3
2
3
2
3
( )
ln
3
2
1
( )
.
3
2
1
2
2
x
x
x
x
f x
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
Do đó:
2
3
3
1
( )
0
0
2
.
2
2
x
x
f x
x
x
Câu 11:
Nghiệm của phương trình
log 3
5
2
x
là
A.
40
x
.
B.
35
x
.
C.
36
x
.
D.
30
x
.
Lời giải
Điều kiện:
5
3
x
.
Ta có:
log 3
5
2
x
3
5
100
x
35
x
(thỏa mãn điều kiện).
Câu 12:
Nghiệm của phương trình
2
1
5
125
x
là
A.
2
x
.
B.
2
x
.
C.
1
x
.
D.
3
x
.
Lời giải
Ta có:
2
2
3
1
5
5
5
2
3
1.
125
x
x
x
x
Câu 13:
Tập nghiệm của bất phương trình
2
5
0,125
64
x
là
A.
3; 3
.
B.
3; 3
.
C.
3;3
.
D.
1;0;1
.
Lời giải
https://thuvientoan.net/
Ta có:
2
2
5
5
2
2
0,125
64
8
8
5
2
3
3.
x
x
x
x
Câu 14:
Cho
2
d
3
2
3
f x
x
x
x
C
. Hỏi
f x là hàm số nào?
A.
6
2
f x
x
.
B.
3
2
3
f x
x
x
x C
.
C.
6
2
f x
x
C
.
D.
3
2
3
f x
x
x
x
.
Lời giải
Ta có:
2
( )
3
2
3
6
2.
f x
f x dx
x
x
C
x
.
Câu 15:
Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3
f x
x
là
A.
2
3
x
x C
.
B.
3 C
.
C.
2
4
x
x C
.
D.
2
3
6
x
x C
.
Lời giải
Ta có:
2
( )
2
3
3
.
f x dx
x
dx
x
x C
Câu 16:
Cho
3
3
x
F x
là một nguyên hàm của
f x
x
. Biết
f x có đạo hàm xác định với mọi
0
x . Tính
.
x
f
x e dx
A.
2
3
6
6
.
x
x
x
x e
xe
e
C
B.
2
3
6
.
x
x
x
x e
xe
e
C
C.
2
3
6
6
.
x
x
x
x e
xe
e
C
D.
2
6
6
.
x
x
x
x e
xe
e
C
Lời giải
Ta có
3
3
x
F x
là một nguyên hàm của
f x
x
nên
f x
F x
x
Hay
3
2
3
3
f x
f x
x
x
f x
x
x
x
, suy ra
2
3
f
x
x
. Do đó:
2
2
2
2
. d
3
d
3
2
d
3
2
d
3
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x e x
x e x
x e
xe x
x e
xe
e x
x e
xe
e
C
Câu 17:
Biết
3
1
5
f x dx
và
3
1
7
g x dx
. Giá trị của
3
1
3
2
f x
g x
dx
bằng
A.
29
.
B.
1.
C.
29 .
D.
31
.
Lời giải
Ta có:
3
3
3
1
1
1
3
2
3
2
3 5 2
7
29.
f x
g x dx
f x dx
g x dx
Câu 18:
Cho hai số phức
1
3 4
z
i
và
2
2
z
i
. Số phức trên đoạn
1
2
z
iz
bằng
A.
2
2i
.
B.
5
3i
.
C.
2
2i
.
D.
5
3i
.
https://thuvientoan.net/
Lời giải
Ta có:
1
2
3 4
2
2
2 .
z
iz
i
i
i
i
Câu 19:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, biết điểm
3; 5
M
là điểm biểu diễn số phức .
z Phần ảo của số
phức
2
z
i
bằng
A.
2
.
B.
5
.
C.
3
.
D.
5 .
Lời giải
Ta có điểm
3; 5
M
là điểm biểu diễn số phức
z
nên
3 5
2
3 3
z
i
z
i
i
.
Phần ảo của số phức
2
z
i
bằng
3
.
Câu 20:
Gọi
0
z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
2
4
8
0
z
z
. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy , điểm nào dưới đây biểu diễn số phức
0
iz ?
A.
2; 2
P
.
B.
2; 2
Q
.
C.
2;2
M
.
D.
2; 2
N
.
Lời giải
Ta có:
2
4
8
0
z
z
2
2
2
4
z
i
2 2
2 2
z
i
z
i
.
Suy ra
0
2 2
z
i
2
0
2
2
iz
i
i
2
2i
.
Vậy điểm biểu diễn số phức
0
iz là
2;2
M
.
Câu 21:
Thể tích hình chóp theo công thức nào sau đây?
A.
1
6
V
hS
B.
V
hS
C.
1
2
V
hS
D.
1
3
V
hS
Lời giải
Thể tích hình chóp là
1
.
3
V
hS
Câu 22:
Cho mặt cầu có diện tích là
36
. Thể tích của khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu đã cho là
A.
108
.
B.
81
.
C.
27
.
D.
36
.
Lời giải
Gọi
R
là bán kính mặt cầu, suy ra
2
4
36
3
R
R
.
Thể tích khối cầu là
3
4
36
3
V
R
.
Câu 23:
Cho khối trụ có bán kính đáy
3
r
và độ dài đường sinh
5
l
. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A.
12
.
B.
36
.
C.
45
.
D.
15
.
Lời giải
Thể tích khối trụ:
2
2
3
5
45
V
r l
.
Câu 24:
Cho hình nón có bán kính đáy
6
r và chiều cao
8
h . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho
bằng
https://thuvientoan.net/
A.
64
.
B.
60
.
C.
120
.
D.
80
.
Lời giải
Từ giả thiết đề bài ta tìm được đường sinh của hình nón bằng
2
2
6
8
10
.
Ta có diện tích xung quanh của hình nón là
xq
S
rl
, trong đó
r
là bán kính đáy,
l là đường sinh.
Do vậy
.6.10
60
xq
S
.
Câu 25:
Trong không gian
,
Oxyz
khoảng cách từ điểm
5; 4; 3
A
đến trục
Ox bằng
A.
25
.
B.
3
.
C.
4
.
D.
5
.
Lời giải
Gọi
H
là hình chiếu của điểm
A
lên
5; 0;0 .
Ox
H
Khi đó khoảng cách từ
A
đến
Ox bằng độ dài
5.
OH
Câu 26:
Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
4;1;3
A
,
2;1;5
B
và
4;3; 3
C
không thẳng hàng. Mặt phẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC và vuông góc với
AB
có phương trình là
A.
3
0
x
y
z
.
B.
1 0
x
z
.
C.
2
2
1 0
x
z
.
D.
2
1 0
x
y
z
.
Lời giải
Mặt phẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC vuông góc với
AB
là mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng
AB
.
Suy ra
đi qua trung điểm
3;1; 4
I
của
AB
và nhận véc-tơ pháp tuyến
2;0; 2
n
AB
.
Do đó phương trình
: 2
3
0
1
2
4
0
1 0
x
y
z
x
z
.
Câu 27:
Trong không gian
,
Oxyz cho mặt cầu
2
2
2
:
2
1
3
25
S
x
y
z
. Tọa độ tâm của mặt cầu
S là
A.
2;1; 3
.
B.
2; 1;3
.
C.
2;1;3
.
D.
2; 1; 3
.
Lời giải
Tọa độ tâm của mặt cầu là
2;1; 3 .
Câu 28:
Trong không gian
,
Oxyz mặt phẳng ( )
P đi qua điểm
2; 5;1
M
và song song với mặt phẳng
Oxz
có phương trình là
A.
3
0
x
y
.
B.
5
0
y .
C.
3
0
x
z
.
D.
2
0
x
.
Lời giải
Ta có phương trình mặt phẳng
Oxz
là
0.
y
Vì
P
Oxz
phương trình ( )
P :
0.
y m
https://thuvientoan.net/
Vì
P đi qua điểm
2; 5;1
M
5
0
5.
m
m
Vậy phương trình mặt phẳng
P là
5
0.
y
Câu 29:
Chọn ngẫu nhiên một số từ 1000 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất chọn được một số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7 là
A.
47
1000
.
B.
333
1000
.
C.
8
250
.
D.
107
250
.
Lời giải
Số chia hết cho 3 có dạng
3k với
*
.
k
Do đó trong 1000 số đầu tiên có
1000
333
3
số chia hết cho 3.
Số chia hết cho 7 có dạng
7k với
*
.
k
Do đó trong 1000 số đầu tiên có
1000
142
7
số chia hết cho 7.
Số chia hết cho 21 có dạng
21k với
*
.
k
Do đó trong 1000 số đầu tiên có
1000
47
21
số chia hết cho 21.
Số các số chia hết cho 3 hoặc 7 là
333 142 47
428.
Vậy xác suất cần tìm là:
428
107
.
1000
250
P
Câu 30:
Cho hàm số ( )
f x có đạo hàm là
2
3
2
2
( )
2
1
4
1
f x
x
x
x
x
với mọi
.
x
Số điểm cực
đại của hàm số đã cho là
A.
1.
B.
4 .
C.
3
.
D.
2 .
Lời giải
Ta có bảng xét dấu của
2
3
2
2
( )
2
1
4
1
f x
x
x
x
x
như sau
Quan sát bảng xét dấu ta có
'( )
f x
đổi dấu từ dương sang âm tại
1
x . Vậy hàm số có điểm cực đại tại
1
x
Câu 31:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
2
1
1
( )
2021
2020
2020
f x
x
x
trên đoạn
1;1
là
A.
1
2021
4040
B.
1
2021
8080
.
C.
2020
.
D.
2021
.
Lời giải
https://thuvientoan.net/
Ta có
3
2
1
1
.4
.2
2
1
2020
2020
1010
x
f
x
x
x
x
. Cho
1
2
0
0
1
2
x
f
x
x
x
Mặt khác
1
1
1
0
1
2021
2021
8080
2
f
f
f
f
.
Do đó
1;1
1
min
2021
8080
f x
Câu 32:
Biết
7
log 12
,
a
12
log 24
.
b
Giá trị của
54
log 168 được tính theo a và
b
là
A.
1
8
5
ab
a
b
.
B.
1
8
5
ab
a
b
.
C.
2
1
8
5
ab
a
b
.
D.
2
1
8
5
ab
a
b
.
Lời giải
Ta có:
12
12
12
54
12
12
12
log 168
log 24
log 7
log 168
.
log 54
3log 3
log 2
Lại có:
12
12
12
12
24
log 2
log
log 24
log 12
1.
12
b
2
12
12
12
12
12
log 3
log
log 12
log 2
1
2
1
3
2
4
b
b
Khi đó
54
1
1
log 168
.
3 3
2
1
8
5
b
ab
a
b
b
a
b
Câu 33:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
2
1
5
6
y
x
x
x
và hai trục tọa độ bằng
A.
2
.
B.
11
4
.
C.
11
4
.
D.
1
2
.
Lời giải
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
1
5
6
0
0
y
x
x
x
y
x
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
1
5
6
0
2.
3
x
x
x
x
x
x
Diện tích hình phẳng là:
https://thuvientoan.net/
3
1
2
3
2
2
2
2
0
0
1
2
1
2
3
2
2
2
0
1
2
1
5
6
1
5
6
1
5
6
1
5
6
1
5
6
1
5
6
1
5
6
9
1
1
11
4
4
4
4
S
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
Câu 34:
Cho hai số phức
1
1 2
z
i
và
2
3
.
z
i
Môđun của số phức
1
2
1 2
z
z
z z
bằng
A.
5 34 .
B.
4 35 .
C.
5 43 .
D.
5 10 .
Lời giải
Ta có:
1
2
1 2
1 2
3
1 2
3
25 15
z
z
z z
i
i
i
i
i
.
Do đó:
2
2
1
2
1
2
25 15
25
15
5 34.
z
z
z z
i
Câu 35:
Cho hình chóp
.
S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tam giác SBC vuông tại S và mặt phẳng
(
)
SBC
vuông góc với mặt phẳng
(
)
ABC
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC bằng
A.
3
12 a
.
B.
2
36 a
.
C.
2
18 a
.
D.
2
12 a
.
Lời giải
Gọi
M
là trung điểm của
BC . Vì SBC
vuông tại
S nên
M
là tâm của đường tròn ngoại tiếp
.
SBC
Gọi
1
d là đường thẳng vuông góc với
(
)
SMC
tại
M
mọi điểm
1
d
cách đều ba đỉnh
.
SBC
Ta có:
ABC
đều nên
AM
BC
.
Mà
(
)
(
)
(
)
(
)
SBC
ABC
SBC
ABC
BC
AM
BC
nên
(
)
AM
SBC
1
AM
d
https://thuvientoan.net/
Trong mặt phẳng
(
)
ABC
vẽ đường trung trực
2
d của đoạn
AC
cắt đường thẳng
AM
tại
I
.
Ta có
1
2
I
d
IS
IB
IC
IA
IB
IC
IS
I
d
IA
IC
.
.
S ABC
nội tiếp mặt cầu
( ;
)
I IA
(Với
I là tâm của tam giác ABC )
Với
2 3
3
.
3
3
2
a
R
IA
a
2
2
2
4
4 .3
12
S
R
a
a
(đvdt).
Câu 36:
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
và có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
2
.
3
a
Góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng
A.
45
.
B.
30
.
C.
60
.
D.
90
.
Lời giải
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABC
SG
ABC
Do đó, góc giữa cạnh bên
SA
và mặt phẳng đáy bằng góc
SAG
cos
AG
SAG
SA
3
3
2
3
a
a
3
2
30
SAG
Vậy góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
30
.
Câu 37:
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
3
1
2z 1
:
2
3
4
x
y
d
. Véctơ nào sau đây là véctơ chỉ
phương của
d
?
A.
1
2; 3; 2
u
.
B.
4
2;3; 4
u
.
C.
3
2;3; 4
u
.
D.
2
2; 3; 4
u
.
2a
3
a
G
C
B
A
S
https://thuvientoan.net/
Lời giải
Véctơ chỉ phương của
d
là
2
2; 3; 4
u
Câu 38:
Trong không gian Oxyz , cho điểm
3; 4; 2
M
và mặt phẳng
: 2
5
3
2
0
P
x
z
. Đường thẳng
d
đi qua
M
và vuông góc với mặt phẳng
P có phương trình tham số là
A.
3 2
4 5
2 3
x
t
y
t
z
t
.
B.
3 2
4
2 5
x
t
y
z
t
.
C.
3 2
4
2 3
x
t
y
z
t
.
D.
3 2
4 5
2 3
x
t
y
t
z
t
.
Lời giải
Ta có:
: 2
5
3
2
0
P
x
z
P
có véctơ pháp tuyến là
2; 0;5
n
.
Do
d
P
nên
d
nhận
2; 0;5
n
làm véctơ chỉ phương
3 2
:
4
2 5
x
t
d
y
z
t
.
Câu 39:
Cho hàm số bậc ba
( )
y
f x
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của
phương trình
2
2
1
4
1
2021
f
x
x
là
A.
14
.
B.
10 .
C.
24 .
D.
12.
Lời giải
Ta có:
2
2
( )
4
1
y
g x
f
x
x
với
1
( )
2021
g x
Ta đặt:
2
4
,
2; 2
t
x
x
thì suy ra
2
( )
3 ,
0; 2
y
g t
f t
t
t
Suy ra:
2
2
2
3,
0; 3
( )
3
.
3,
3; 2
t
t
t
h t
t
t
t
t
t
Từ đó ta có BBT của hàm số ( )
h t như hình vẽ bên:
https://thuvientoan.net/
Đặt
2
3
u
t
t
thì ta cũng có BBT của
u
như sau:
Nhìn vào đồ thị
( )
y
f x
trên ta có được:
3
2
( )
,
0
2
0
3
(1)
(2)
0,
"(1)
0
f x
ax
bx
cx a
a
f
f
f
Như vậy ta suy ra
2
( )
1
2
3
f x
x x
x
. Mà hàm số đó có cực trị bằng
4 3
9
tại
0
x
x
nên suy ra
0
0
4 3
3
3
9
3
f x
x
Như vậy:
3
3
4 3
(3)
4,
3
0, 2,
3
9
f
f
f
Từ đó, ta phác họa được đồ thị
y
f u
với
2
3
u
t
t
như sau:
2
0
0
3
3
3
1
0
0
3
3
3
1
3
3
2
0
2
t t
2
3
t t
2
3
t
x
https://thuvientoan.net/
Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình
1
( )
2021
g x
có tất cả 10 nghiệm phân biệt.
Câu 41:
Cho hai số thực
1
a ,
1
b
, biết phương trình
2
1
1
x x
a b
có hai nghiệm
1
x ,
2
x . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2
1 2
1
2
1
2
4
x x
S
x
x
x
x
A.
4 .
B.
3
4 .
C.
3
3 4 .
D.
3
3 2 .
Lời giải
Ta có:
2
1
1
x x
a b
2
1
log
log 1
x x
b
b
a b
2
log
1
0
b
x
x
a
.
Phương trình có hai nghiệm
1
x ,
2
x theo viet ta có:
1
2
1
2
log
.
1
b
x
x
a
x x
.
2
1 2
1
2
1
2
4
x x
S
x
x
x
x
2
4
log
log
a
a
b
b
.
Đặt log
a
b
t
,
0
t
. Xét
2
4
S
f t
t
t
với
0
t
.
Ta có:
3
3
2
2
4
2
4
2
0
0
2.
t
f
t
t
f
t
t
t
t
Bảng biến thiên:
https://thuvientoan.net/
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số
f t trên khoảng
0; bằng
3
3
2
3 4
f
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
S
bằng
3
3 4 .
Câu 41:
Cho hàm số ( )
f x liên tục và có đạo hàm trên
2; 2 \ 0
, thỏa mãn (1)
0
f
và
( )
( )
'( )
2
0
f x
f x
x
f
x
x e
e
.
Giá trị của
1
2
f
bằng
A.
ln 3
.
B.
ln 6 .
C.
ln 7 .
D.
ln 5 .
Lời giải
Ta có phương trình trên tương đương với:
( )
( )
( )
( )
( )
2
( )
2 ( )
( )
( )
( )
( )
2
( )
'( )
2
0
'( )
2
0
'( )
2
1
0
'( )
1
0
'( )
1
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
x
f x
x e
e
f x
xe
e
x
e
e
f x
x e
e
e
f x
x e
e
f x
x
e
Đến đây ta nguyên hàm hai vế, ta được như sau:
( )
2
2
2
( )
( )
( )
'( )
1
1
2
2
1
1
1
f x
f x
f x
f x
e
f x
x
x
dx
xdx
d
C
C
e
e
e
Mà (1)
0
f
nên ta suy ra
2
2
( )
1
2
0
( )
ln
1
2
1
f x
x
C
f x
x
e
Từ đó suy ra
1
ln 7.
2
f
Câu 42:
Cho các số phức
1
z và
2
z thỏa mãn các điều kiện:
1
1
1
z
i
z
i
và
2
2
1
2
z
z
i
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
1
2
1
1
3
3
P
z
z
z
z
?
A.
min
554
5
P
B.
min
370
3
P
C.
min
809
5
P
D.
min
409
3
P
Lời giải
Ta có
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
4
1 0
z
i
z
i
x
y
x
y
x
y
.
Lại có:
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
4
3
0
z
z
i
x
y
x
y
x
y
.
https://thuvientoan.net/
Như vậy các điểm
1
2
,
A z
B z
lần lượt nằm trên các đường thẳng
1
: 2
4
1 0
d
x
y
và
2
: 2
4
3
0
d
x
y
và gọi
3; 0
C
.
Gọi
,
D E
lần lượt là các điểm đối xứng của
C qua hai đường thẳng đó. Ta dễ dàng có được:
1
2
1
1
809
3
3
5
P
z
z
z
z
AB
AC
BC
AB
AE
BD
ED
Câu 43:
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,
3.
a SD
a
Mặt bên SAB là tam giác cân và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
H
là trung điểm của
,
AB K là trung điểm của
.
AD
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và HK bằng
A.
105
30
a
.
B.
105
10
a
.
C.
105
5
a
.
D.
105
20
a
.
Lời giải
Ta có:
H
là trung điểm của
,
AB K
là trung điểm của
AD
nên suy ra
.
HK
BD
Suy ra
;
;
;
.
d SD HK
d HK
SBD
d H
SBD
Ta kẻ:
,
HE
BD E
BD
và
,
.
HF
SE F
SE
https://thuvientoan.net/
Mặt khác:
.
SAB
ABC
SH
AB
SH
ABCD
SH
BD
SAB
ABCD
AB
Mà
SH
BD
HE BD
nên suy ra
.
BD
SHE
BD
HF
Mặt khác:
,
DB
HF
SE
HF
HF
SBD
SE BD
SBD
, suy ra
;
.
d H
SBD
HF
Ta có:
2
2
2
2
11
3
4
4
2
2
2
2
2
2
AB
a
a
SH
SD
a
A
AB
a
HE
HE
AC
Xét tam giác SHE
vuông tại H có đường cao là HF , theo hệ thức lượng ta có:
2
2
2
2
2
.
1
;
10
1
5
3
1
0
;
SH HE
d SD HK
d H
SBD
HF
HF
HS
HE
SH
H
a
E
Câu 44:
Một người gửi tiền vào ngân hàng 200 triệu đồng với kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 5,6% một năm theo hình thức lãi kép (sau 1 năm sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 2 năm, người đó gửi thêm 100 triệu đồng
với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức
(1
) ,
n
T
A
r
trong đó
A
là số tiền gửi,
r
là lãi suất,
n là số kỳ hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được sau
5 năm kể từ khi gửi tiền lần thứ nhất (số tiền lấy theo đơn vị triệu đồng, làm tròn 3 chữ số thập phân)
A.
380, 392
triệu đồng.
B.
380, 391
triệu đồng.
C.
385,392
triệu đồng.
D.
381, 329 triệu đồng.
Lời giải
Theo công thức lãi kép, ta có:
Số tiền 2 năm đầu người đó nhận được cả gốc và lãi là
2
1
200(1 5, 6%)
223, 027
T
Số tiền 3 năm sau người đó nhận được cả gốc và lãi là
3
2
1
100
1 5, 6%
380,391
T
T
Vậy sau 5 năm người đó nhận được số tiền cả gốc và lãi là 380,391 triệu đồng.
Câu 45:
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
2; 2;1 ,
1; 2; 3
A
M
và đường thẳng
1
5
:
2
2
1
x
y
z
. Tìm vecter chỉ phương của đường thẳng
d đi qua
A
vuông góc với đường thẳng
đồng thời cách điểm
B
một khoảng bé nhất.
A.
2; 2; 1
u
.
B.
1;0; 2
u
.
C.
2;1;6
u
.
D.
25; 29; 6
u
.
Lời giải
https://thuvientoan.net/
Gọi
P là mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với
. Ta có
d
P
.
Dựng
min
,
MB
AB MH
P
MB
MH
MB
MH
, dấu “=” xảy ra
B
H
hay
MB
P
.
Khi đó
,
,
,
,
9 1; 0; 2
d
P
P
u
n
n
AM
u
u
AM
.
Câu 46:
Cho hàm số
y
f x
có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực đại của hàm số
2
2
2
g x
f
x
x
là
A.
3.
B.
2.
C.
1.
D.
4.
Lời giải
Ta có:
2
2
2
g x
f
x
x
;
2
2
2
2
.
2
. 4
1 .
g x
f
x
x f
x
x
x
Do đó
2
2
4
1
0
0
2
0
2
0
x
g x
f
x
x
f
x
x
Ta có:
1
4
1
0
.
4
x
x
Từ bảng biến thiên ta có:
2
2
2
1
2
2
2
0
.
1
2
1
2
x
x
x
VN
f
x
x
x
x
x
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình
0
f x chỉ có 1 nghiệm
0
1
x (Vì đồ thị hàm số
y
f x
cắt
trục
Ox
tại một điểm có hoành độ lớn hơn
1
). Khi đó
2
2
0
2
0
2
f
x
x
x
x
x
1
2
; 1
1
;
2
x
x
x
x
.
Do
lim
lim
x
x
g x
g x
nên ta có bảng biến thiên:
P
d
A
M
H
B
https://thuvientoan.net/
Từ bảng biến thiên của hàm số
y
g x
ta có số điểm cực đại của hàm số
2
2
2
g x
f
x
x
là
2
.
Câu 47:
Có bao nhiêu cặp số nguyên
;
x y thỏa mãn:
2
4
7
4
7
2
1
2
2
.
xy
x y
y
xy
y
x
e
e
x
y
y
y e
A.
6
.
B.
5 .
C.
7 .
D.
8 .
Lời giải
Phương trình
2
4
7
4
7 2
4
7
2
xy y
x
x
xy
y
e
e
x
xy
y
Dễ thấy
,
x y
và
0
y
không là nghiệm của phương trình nên phương trình thành
2
4
7
1
1
2
4
7
xy y
x
e
e
xy
y
x
. Đặt
2
,
4
7
a
xy
y b
x
ta được
1
1
a
b
e
e
a
b
,
Hàm số
1
t
f t
e
t
đồng biến trên mỗi khoảng
;0 , 0;
nên ta xets 2 trường hợp sau :
+ Nếu
.
0
a b
phương trình
1
1
a
b
e
e
a
b
a
b
thay lại ta được
4
7
9
2
2
1
2
1
x
y
x
x
do
,
x y
Nên suy ra
9 2
1
x
do đó
2
1
1; 3; 9
x
giả và thử lại ta được 6 cặp
;
x y .
+ Nếu
1
.
0
1
a
a b
b
hoặc
1
1
a
b
.
Trường hợp
1
2
1
1
1
1
1 1
2
a
b
e
e
e
a
e
b
a
b
do đó phương trình không xảy ra.
Tương tự trường hợp
1
1
a
b
cũng không xảy ra do đó có 6 cặp
;
x y thỏa mãn đề bài.
Câu 48:
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục tung và trục hoành. Xác định
để đường thẳng
đi qua điểm
có hệ số góc chia
thành hai phần có diện tích bằng
nhau.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
H
2
4
4
y
x
x
k
d
0; 4
A
k
H
4
k
8
k
6
k
2
k
https://thuvientoan.net/
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và trục hoành là:
.
Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số:
, trục tung và trục hoành là:
.
Phương trình đường thẳng
đi qua điểm
có hệ số góc có dạng:
.
Gọi
là giao điểm của
và trục hoành. Khi đó
.
Đường thẳng
chia
thành hai phần có diện tích bằng nhau khi
và
.
.
Câu 49:
Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
2
4
2
.
z
z
iz
Tính giá trị nhỏ nhất của
.
P
z i
A.
min
4
P
.
B.
min
3
P
.
C.
min
2
P
.
D.
min
1
P
.
Lời giải
Đặt z
x
yi
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
.
2
2
0
2
2
1
,
2
2
z
z
iz
z
i
z
i
z
i z
z
i z
i
z
i z
z
i
z
i
z
i
z
i
y
z
x
i
x
R
z
i
z
x
y
x
y
2
1
z
i
P
z
i
2
2
4
2
min
1
z
x
i
P
z
i
z
i
x
P
.
Câu 50:
Trong mặt phẳng
cho hai tia
,
Ox Oy , góc
60
xOy
. Trên tia
Oz
vuông góc với mặt phẳng
tại O , lấy điểm S sao cho
SO
a
. Gọi
,
M N là các điểm lần lượt di động trên hai tia
,
Ox Oy sao cho
OM
ON
a
(
0
a
và
,
M N khác O ). Gọi
,
H K lần lượt là hình chiếu của O trên hai cạnh
,
SM SN
. Khi
,
M N di động trên hai tia
,
Ox Oy mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng
bao nhiêu ?
A.
2
4
3
a
.
B.
2
a
.
C.
2
2 a
.
D.
2
3
a
.
Lời giải
2
4
4
y
x
x
2
4
4
0
2
x
x
x
H
2
4
4
y
x
x
2
2
2
2
0
0
4
4 d
4
4 d
S
x
x
x
x
x
x
2
3
2
0
8
2
4
3
3
x
x
x
d
0; 4
A
k
4
y
kx
B
d
4
;0
B
k
d
H
B OI
1
4
2
3
OAB
S
S
4
0
2
2
6
1
1
4
4
6
.
.4.
2
2
3
OAB
k
k
k
k
S
OA OB
k
https://thuvientoan.net/
Ta gọi: OI là đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác OMN
Khi đó, ta có:
IM
OM
tại
M
và
IN
ON
tại
N (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
90
OMI
ONI
(1)
Mà
;
SO MI
SO
OMN
SO
NI
nên suy ra
90
,
IM
SOM
SMI
SNI
IN
SON
OH
MI OK
NI
Mà mặt khác:
OH
SM
OK
SN
nên suy ra
90
OH
SMI
OHI
OKI
OK
SNI
(2)
Từ (1) và (2), với 4 điểm
,
, ,
M H K N cùng nhìn đoạn thẳng OI dưới góc vuông, suy ra
OMN
MNOHK
R
R
Như vậy suy ra mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất khi OI nhỏ nhất
Ta có:
2
.
sin 60
3
sin
OMN
OMN
MN
MN
MN
R
R
MON
Lại có:
2
2
2
2
60
3
.
MN
OM
ON
OM ON cos
OM
ON
OM ON
Mà:
2
2
2
2
2
2
3
3
3
.
2
2
4
2
OM
ON
a
a
a
OM
ON
OM ON
a
a
MN
Suy ra:
min
min
.
3
2 3
OMN
MN
a
R
https://thuvientoan.net/
Do đó mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng
2
2
min
4
3
2 3
a
a
S