Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Khảo sát hàm số

TTLT ĐH VĨNH VIỄN  Chuyeân ñeà 1: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ  Vaán ñeà 1: GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI 0  ; ;    ; .0 . 0  1/ Moät soá daïng voâ ñònh thöôøng gaëp: Chuù yù: Caùc tröôøng hôïp sau khoâng phaûi laø daïng voâ ñònh (+) + (+) = +   (+) – (–) = + a   (a  0) 0   (–) + (–) = – a  0 (a  0)   a.   (a  0) 2/ Khöû daïng voâ ñònh  Haøm soá coù chöùa caên: Nhaân vaø chia vôùi bieáu thöùc lieân hôïp.  Haøm soá coù chöùa löôïng giaùc: Bieán ñoåi ñeå söû duïng ba giôùi haïn quen thuoäc sin x 1 x 0 x tan x 1 x 0 x , lim , lim lim x 0 1  cos x x 2  1 2 0  Daïng voâ ñònh khi x  a: Phaân tích töû soá vaø maãu soá ñeå coù (x – a) laøm 0 nhaân töû chung.  Daïng voâ ñònh  : Ñaët soá haïng baäc cao nhaát cuûa töû soá vaø maãu soá laøm thöøa  soá chung.  Daïng voâ ñònh    , .0 : Bieán ñoåi ñöa veà daïng 0  hoaëc . 0  B. ÑEÀ THI Baøi 1: Tìm giôùi haïn I  lim x 0 x 1  3 x 1 . x Giaûi Giôùi haïn I coù daïng voâ ñònh Ta coù: I  lim x 0 I1  lim x 0 0 . 0  x  1  1 3 x  1  1 x  1 1 1 3 x 1 = lim  +  x 0  x x x   x 1 1  lim x 0 x    x 1 1 x 1 1   x x 1 1 3 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  lim x 0 x I2  lim  3 x 11  x 1 1 1  lim x 1 1 x 0 x 1 1  lim x 0 x 1 2   3 x  1  1  3  x  12  3 x  1  1 2   x  3  x  1  3 x  1  1   1 x 1 1 1  lim  lim  x 0  3 2  x 0 3 x  1 2  3 x  1  1 3   x   x  1  3 x  1  1   1 1 5 Vaäy I = I1 + I2 =   . 2 3 6 x 0 Baøi 2: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 Tìm giôùi haïn I = lim 3 x 0 3x2  1  2x2  1 . 1  cos x Giaûi Giôùi haïn I coù daïng voâ ñònh  Ta coù I  lim 3  3x2  1  1  x 0 I1  lim x 0 3 0 . 0 2sin2   lim  2x2  1  1 x 2 3x2  1  1 2x2  1  1    x x  x 0  2sin2 2sin2  2 2  3 3x2  1  1 3x2  1  1  lim 2 x 0 x    3 3x2  1  1 2 x 3 2 2sin2 2sin 3x  1    2 2     2  x    1 6  lim .6  2    2 2 x 0 3 3  3x2  1   3 3x2  1  1  sin x     2    2  x    2x 1 4  lim 4 2    2 .  I2  lim x 0 x  0 x x 2 2 2x  1  1  sin  2sin2  2x2  1  1 2  2  2 Vaäy I = I1 + I2 = 4. Baøi 3: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Tìm giôùi haïn L = lim x 1 4 x6  6x  5  x  12 . TTLT ĐH VĨNH VIỄN Giaûi Giôùi haïn L coù daïng voâ ñònh Ta coù L = lim x6  6x  5 x1 = lim  x  12 0 . 0  lim  x  1  x5  x4  x3  x2  x  5  x  12 x1  x  12  x4  2x3  3x2  4x  5  x  12 x1   = lim x4  2x3  3x2  4x  5  15 . x1  Vaán ñeà 2: TÍNH CHAÁT ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI 1/ Ñònh nghóa: Haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng (ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng) K vaø x1, x2  K.  Haøm soá f goïi laø ñoàng bieán treân K neáu x1 < x2  f(x1) < f(x2).  Haøm soá f goïi laø nghòch bieán treân K neáu x1 < x2  f(x1) > f(x2). Ñònh nghóa naøy keát hôïp vôùi ñònh lyù döôùi ñaây ñöôïc söû duïng ñeå chöùng minh moät baát ñaúng thöùc. 2/ Ñònh lí: Haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng K.  Neáu f'(x) > 0, x  K thì haøm soá f ñoàng bieán treân K.  Neáu f'(x) < 0, x  K thì haøm soá f nghòch bieán treân K. Ñònh lyù naøy thöôøng ñöôïc öùng duïng cho caùc daïng toaùn sau: Daïng 1: Tìm tham soá ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán). Thöôøng söû duïng daáu cuûa tam thöùc baäc hai P(x) = ax2 + bx + c (a  0)   0 a  b  0 * P(x)  0, x  .  hay  a  0 c  0 * P(x)  0, x    0 a  b  0 .  hay  a  0 c  0 Daïng 2: Tìm tham soá ñeå haøm soá ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) treân khoaûng (a; b). Haøm soá y = f(x, m) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) treân khoaûng (a; b)  y'  0 (hoaëc y'  0), x(a; b) vaø daáu "=" xaûy ra ôû höõu haïn ñieåm (*) Thoâng thöôøng ñieàu kieän (*) bieán ñoåi ñöôïc veà moät trong hai daïng: (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  max g(x)  a; b  5 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  min g(x)  a; b  (Xem Vaán ñeà 4: GTNN – GTLN cuûa haøm soá, ñeå xaùc ñònh max g(x)  a; b  vaø min g(x) )  a; b  Daïng 3: Tìm tham soá ñeå phöông trình (heä phöông trình) coù nghieäm. Bieán ñoåi phöông trình ñaõ cho veà daïng g(x) = h(m). Laäp baûng bieán thieân cho haøm soá y = g(x) vaø döïa vaøo baûng bieán thieân naøy ñeå keát luaän. Chuù yù: Neáu baøi toaùn coù ñaët aån soá phuï thì phaûi xaùc ñònh ñieàu kieän cho aån soá phuï ñoù. B. ÑEÀ THI Baøi 1: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 Cho a vaø b laø hai soá thöïc thoûa maõn 0 < a < b < 1. Chöùng minh raèng: a2lnb  b2lna > lna  lnb Giaûi Baát ñaúng thöùc ñaõ cho töông ñöông vôùi: ln b ln a  2 (a2 + 1)lnb > (b2 + 1)lna  2 . b 1 a 1 ln x ; 0  x 1 Xeùt haøm soá f(x)  2 x 1  f (x)  x2  1  2x2 ln x x(x2  1)2  0, x  (0; 1)  f đñoàng bieán treân (0; 1) Maët khaùc 0 < a < b < 1 neân: ln b ln a  2 f(b) > f(a)  2 (Ñieàu phaûi chöùng minh). b 1 a 1 Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008 Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå phöông trình sau coù ñuùng hai nghieäm thöïc phaân bieät: 4 2x  2x  24 6  x  2 6  x  m Giaûi 4 4 Xeùt haøm soá f(x)  2x  2x  2 6  x  2 6  x .  Taäp xaùc ñònh: D = [0; 6] 1 1 1 1 1 1  f (x)     2 4 (2x)3 2x 2 4 (6  x)3 6x 6 (m  ) TTLT ĐH VĨNH VIỄN 3 3     1 2  1 2  1  1   1            2  4 (2x)   4 (6  x)    4 2x   4 6  x          1 1  1  1 1 1      4 4 4 4  6  x  2  4 (2x)2 2x 6  x 4 (6  x)2  2x   Vì  1 1 1 1   4 4 2  4 (2x)2 2x 6  x 4 (6  x)2  Neân f (x)  0   Baûng bieán thieân: x 0 f'(x) f(x) 2 1 4 2x  1 4 6x 3   1  1 > 0, x  (0; 6)  4 2x 4 6  x   0  4 2x  4 6  x  x  2 2 0 +    1  1 .  4 2x 4 6  x    6 4 4  4  4 6  6 4 12  12 Döïa vaøo baûng bieán thieân ta coù: Phöông trình f(x) = m coù 2 nghieäm phaân bieät 2  4 6 6   m  3 4  4 4 . CAÙCH KHAÙC Ñaët g(u)  4 u  u g/ (u)  3 1 7 3 1  4 1  2 // 3 4 1 2 u  u ; g (u)   u  u  0, u  (0;6) 4 2 16 4 Vaäy g / laø 1 haøm giaûm ( nghieâm caùch ), Ta coù f(x)  g(2x)  2g(6  x) Suy ra f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x) Neân) f (x)  0  g/ (2x)  g/ (6  x)  2x  6  x ( do g / giaûm )  x  2 Suy ra f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x)  0  2x  6  x  x  2 vaø f / (x)  0  g/ (2x)  g/ (6  x)  2x  6  x (do g / giaûm)  x  2 Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 Tìm giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm thöïc: 1 1  x  x  y  y  5   x3  1  y3  1  15m  10  x3 y3 Giaûi 7 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  Ñaët x  1 1  u, y   v (Ñk : u  2, v  2). x y  Heä ñaõ cho trôû thaønh: u  v  5 u  v  5     3 3  u  v u2  v2  uv  3(u  v)  15m  10    u  v  3(u  v)  15m  10    u  v  5   2    u  v   u  v   3uv   3(u  v)  15m  10  u  v  5 u  v  5  .   2    uv  8  m 5  5  3uv   3(5)  15m  10   Khi ñoù u, v (neáu coù) seõ laø nghieäm cuûa phöông trình: t2  5t + 8 – m = 0 hay t2  5t + 8 = m (1).  Heä ñaõ cho coù nghieäm khi vaø chæ khi phöông trình (1) coù nghieäm t = t 1, t = t2 thoûa maõn: t1  2, t 2  2 (t1, t2 khoâng nhaát thieát phaân bieät).  Xeùt haøm soá f(t)  t 2  5t  8 vôùi t  2 : Suy ra f'(t) = 2t – 5 vaø f'(t) = 0  t = 5 2 Baûng bieán thieân t  2 2  f'(t) 5/2 0  + f(t) + + + 22 2 7/4  Töø baûng bieán thieân cuûa haøm soá suy ra heä ñaõ cho coù nghieäm khi vaø chæ khi 7  m  2 hoaëc m  22. 4 Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 b 1  1    Cho a  b > 0. Chöùng minh raèng:  2a  a    2b  b   2   2  a Giaûi Baát ñaúng thöùc ñaõ cho töông ñöông vôùi: (1  4a )b  (1  4b )a  b ln(1  4a )  a ln(1  4 b )  8 ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xeùt haøm soá f(x)  ln(1  4x ) vôùi x > 0. x 4x ln 4 x Ta coù: f (x)  1  4  x  ln 1  4x  x2  x.4x ln 4  (1  4x )ln(1  4x ) x2 (1  4x ) 4x  ln 4x  ln(1  4x )  ln(1  4x )    2 x x (1  4 ) Nhaän xeùt :  4x < 1 + 4x  ln 4x  ln(1  4x )  1 + 4x > 1  ln(1  4x )  0 Do ñoù f'(x) < 0, x > 0 Suy ra f(x) nghòch bieán treân khoaûng (0; +). Maët khaùc a  b > 0 neân: f(a)  f(b)  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b (Ñieàu phaûi chöùng minh). Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007 4 Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm thöïc: 3 x  1  m x  1  2 x2  1 Giaûi  Ñieàu kieän: x  1.  Chia hai veá cuûa phöông trình cho 3 x 1 x 1 m2  Ñaët t  4 Vì t  4 4 x2  1 x 1  3 x  1 , phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi x 1 x 1  24 m x 1 x 1 x 1 , khi ñoù phöông trình (1) trôû thaønh 3t2 + 2t = m x 1 (1) (2) x 1 4 2 vaø x  1 neân 0  t < 1  1 x 1 x 1  Xeùt haøm soá f(t) = 3t2 + 2t, vôùi 0  t < 1 Suy ra : f'(t) = – 6t + 2 vaø f'(t) = 0  t = 1 3  Baûng bieán thieân: 9 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 1 3 0 t 1 1 3 f(t) 0 1  Döïa vaøo baûng bieán thieân ta coù: Phöông trình ñaõ cho coù nghieäm  (2) coù nghieäm t  [0; 1)  1  m  1 . 3 Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007 Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò döông cuûa tham soá m, phöông trình sau coù hai nghieäm thöïc phaân bieät: x2  2x  8  m(x  2) Giaûi  Ñieàu kieän: m(x – 2)  0  x  2 (Do xeùt m > 0).  Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi 2  x  2 x  4   m  x  2    x  2  x  4   m  x  2  x  2 2   x  2   x  2  x  4   m   0   3  x  6x2  32  m  0  Nhaän xeùt: Phöông trình ñaõ cho luoân coù moät nghieäm döông x = 2, neân töø yeâu caàu baøi toaùn, ta chæ caàn chöùng minh phöông trình: x3 + 6x2 32 = m (1) coù moät nghieäm trong khoaûng (2; +).  Xeùt haøm soá f(x) = x3 + 6x2 32, vôùi x > 2. Ta coù: f'(x) = 3x2 + 12x > 0, x  2 Baûng bieán thieân: x 2 f'(x) f(x) + + + 0  Töø baûng bieán thieân ta thaáy vôùi moïi m > 0, phöông trình (1) luoân coù moät nghieäm trong khoaûng (2; +). Vaäy vôùi moïi m > 0 phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm thöïc phaân bieät. Baøi 7: 10 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xaùc ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm. m  1 x 2   1  x2  2  2 1  x 4  1  x2  1  x2 Giaûi  Ñieàu kieän: 1  x  1.  Ñaët t = 1  x2  1  x 2  0  t 2  2  2 1  x 4  2 Ñieàu kieän: 0  t  2  Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: m (t + 2) = 2  t2 + t  m   Xeùt haøm soá f(t) =  f'(t) = t 2  4t  t  2 2 t 2  t  2 , vôùi 0  t  t2 t 2  t  2 t2 2. , f'(t) = 0  t = 0, t = 4  Baûng bieán thieân t 0 f’(t) 2  f(t) 1 2 1 Töø baûng bieán thieân cuûa haøm soá suy ra phöông trình ñaõ cho coù nghieäm khi vaø chæ khi 2  1  m  1. Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 x2  5x  m2  6 (1) (m laø tham soá) x3 Tìm m ñeå haøm soá (1) ñoàng bieán khoaûng (1; +). Cho haøm soá y  Giaûi Ta coù: y  2 x  6x  9  m 2 (x  3)2  Haøm soá y ñoàng bieán treân (1; +)  y'  0, x  1  x2 + 6x + 9  m2  0, x  1  x2 + 6x + 9  m2, x  1 .  Xeùt haøm soá g(x) = x2 + 6x + 9, x  1 g'(x) = 2x + 6 > 0, x  1 Do ñoù yeâu caàu baøi toaùn töông ñöông vôùi 11 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – min g(x)  m 2  g(1) = 16  m2  4  m  4. x1 Baøi 9: Chöùng minh raèng: ex  cosx  2  x  x2 , x  2 Giaûi Ta chöùng minh hai baát ñaúng thöùc sau: 1/ ex  1  x, x  2/ cosx  1  x2 , x  2  Chöùng minh ex  1  x, x  Xeùt haøm soá f(x) = ex  x  1  f'(x) = ex  1  f'(x) = 0  x = 0 Baûng bieán thieân: x  0 + f'(x)  0 + f(x) 0 Döïa vaøo baûng bieán thieân ta thaáy f(x)  0, x   ex  x  1, x   Chöùng minh: cosx  1  (1) x2 , x  2 Xeùt haøm soá g(x) = cosx  1 + x2 2 Vì g(x) laø haøm soá chaün neân ta chæ caàn xeùt x  0 laø ñuû.  g'(x) = sinx + x  g"(x) = cosx + 1  0  g'(x) ñoàng bieán, x  0  g'(x)  g'(0) = 0, x  0  g(x) ñoàng bieán, x  0  g(x)  0, x  0  cosx + x2 x2  1  0, x  0  cosx  1  ; x  2 2 Töø (1) vaø (2) suy ra ex + cosx  2 + x  12 x2 ; x  2 (2) .