MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ ( NHIỀU BÀI TẬP )

Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 1: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 1) Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau: 1) y = x + 4 − x 2 2) y = x +1 1 sin x + cos x 4 y = sin x − cos x cos 2 x + sin x cos x y= 1 + sin 2 x y = cos x(1 + sin x ) trên đoạn [0; 2π]  4x   2x  +1 + cos y = cos 2  2  1+ x  1+ x  1 + sin 6 x + cos 6 x y= 1 + sin 4 x + cos 4 x x4 y4  x2 y2  x y y = 4 + 4 −  2 + 2  + + (x, y ≠ 0) y x y x  y x 11) y = trên đoạn [-1; 2] x2 +1 ln 2 x trên đoạn [1; e 3 ] 3) y = x 3 6 4) y = x + 4(1 − x 2 ) trên đoạn [-1; 1] 5) y = sin x − cos 2 x + 2 4 6) y = 2 sin x − sin 3 x trên đoạn [0; π] 3 x +1 7) y = 2 x + x +1 cos x + 1 8) y = 2 cos x + cos x + 1 9) y = x − 2 + 4 − x 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) y = x 3 + 3 x 2 − 72 x + 90 trên đoạn [-5; 5] 10) y = (2 + x ) − (2 − x ) trên đoạn [-2; 2] 10 10 Bài 2) Tìm m để: ( a) Miny = 4 với y = x 2 + x + m [−2 ; 2 ] ) 2 b) GTLN của hàm số y = f ( x) = − 4 x 2 + 2 x + m trên đoạn [-1; 2] là nhỏ nhất. Bài 3) Tìm m để bất phương trình (4 + x )(6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m nghiệm đúng ∀x ∈ [− 4;6] Bài 4) Chứng minh rằng ∀x∈R, ta có: 1 + cos x + 1 1 cos 2 x + cos 3 x > 0 2 3  π  4  Bài 5) Tìm m để sin 5 x + cos5 x − m(sin x + cos x ) − sin x. cos x(sin x + cos x ) ≥ 0 ∀x ∈ 0; Bài 6) Tìm tất cả các giá trị của m để cos 2 x + m cos x + 4 ≥ 0 ∀x ∈ R Bài 7) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 +c2 = 1. Chứng minh: a b c 3 3 ≥ + 2 + 2 2 2 2 b +c c +a a +b 2 2 Bài 8) Tìm điều kiện của m để phương trình x + 2 x − m = 2 x − 1 (1) 2 a) Có nghiệm thực b) Có một nghiệm thực Bài 9) Tìm m để phương trình x −1 + 3 − x − c) Có hai nghiệm thực phân biệt (x − 1)(3 − x ) = m có nghiệm thực.  x 2 − 3x ≤ 0 Bài 10) Tìm m để hệ bất phương trình  3 có nghiệm.  x − 2 x x − 2 − m 2 + 4m ≥ 0 Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang 1 Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 2: Tính đơn điệu của hàm số Bài 1) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx 2 − 4 x − 1 luôn nghịch biến trên miền xác định. 3 Bài 2) Tìm m để hàm số y = (m + 2 ) Bài 3) Cho hàm số y = x3 − (m + 2)x 2 + (m − 8)x + m 2 − 1 nghịch biến trên R. 3 x 2 + 2(m + 1)x + 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trong (0; +∞) x +1 Bài 4) Tìm các giá trị của m để hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 + 6(m + 1)x + m 2 giảm trên (-2; 0) Bài 5) Cho hàm số y = mx + 1 x+m a) Tìm m để y tăng trên (1; +∞) b) Tìm m để y giảm trên (-∞; 0) Bài 6) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = a) nghịch biến trên R Bài 7) Cho hàm số y = 1 2 (m − 1)x 3 + (m − 1)x 2 − 2 x + 1 3 b) nghịch biến trên khoảng (0; +∞) 2 x 2 − 3x + m . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trong (3; +∞) x −1 Bài 8) Tìm các giá trị của m để hàm số y = 1 (m + 1)x 3 − (2m − 1)x 2 + 3(2m − 1)x + 1 nghịch biến (-1; 1) 3 Bài 9) Tìm các giá trị của m để hàm số y = x 2 − 2mx + 3m 2 đồng biến trên khoảng (1; +∞) x − 2m x2 − 2x + m Bài 10) Xác định m để hàm số y = nghịch biến trên đoạn [-1; 0] x−2 Bài 11) Xác định m để hàm số y = x 3 − 3(m − 1)x 2 + 3m(m − 2 )x + 1 đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho 1 ≤ x ≤ 2 Bài 12) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang 2 Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 3: Cực trị của hàm số Bài 1) Tìm m để hàm số y = mx 3 + 3 x 2 + 5 x + m đạt cực đại tại x = 2 Bài 2) Tìm m để hàm số y = x 2 + mx + 1 đạt cực đại tại x = 2 x+m Bài 3) Cho hàm số y = (m + 2 )x 3 + 3 x 2 + mx + m . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu? Bài 4) Cho hàm số y = 1 3 1 mx − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và xcđ0 x −1 Bài 6) Xác định m để hàm số y = − x 4 + 2mx 2 có 3 cực trị Bài 7) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = điểm cực trị trái dấu nhau. x 2 + (2m + 3)x + m 2 + 4m có hai cực trị và giá trị các x+m x 2 + mx − m + 8 . Xác định các giá trị của m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị Bài 8) Cho hàm số y = x −1 hàm số ở về hai phía đường thẳng 9 x − 7 y − 1 = 0 Bài 9) Cho hàm số y = 2 x 3 + 3(m − 1)x 2 + 6(m − 2 )x − 1 . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. Bài 10) Cho hàm số y = − x 2 + mx − m 2 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Khi đó hãy viết x−m phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Bài 11) Cho hàm số: y = x 3 − 3 x 2 + m 2 x + m . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = Bài 12) Cho hàm số y = 1 5 x− 2 2 x 2 − 2mx + m . Xác định m để đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu x+m của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1. x 2 + 2mx + 2 . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực x +1 tiểu cách đều đường thẳng x + y + 2 = 0 Bài 13) Cho hàm số y = 1 . Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận x 1 xiên của đồ thị hàm số bằng . 2 Bài 14) Cho hàm số y = mx + x 2 + (m + 1)x + m + 1 . Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị của hàm số luôn luôn x +1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . Bài 15) Cho hàm số y = Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang 3 Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan GIẢI TÍCH x 2 + mx . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì 1− x Bài 16) Cho hàm số y = khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10? Bài 17) Cho hàm số y = x 2 + (2m + 1)x + m 2 + m + 4 . Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách 2( x + m ) giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Bài 18) Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Bài 19) Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x − 2 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 20) Cho hàm số y = x 2 + 2mx + 1 − 3m 2 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục x−m tung. x 2 − (3m + 2)x + m + 4 Bài 21) Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số có CĐ và CT và khoảng cách giữa hai x −1 điểm CĐ, CT của đồ thị nhỏ hơn 3. Bài 22) Cho hàm số y = x 2 − (m + 3)x + 3m + 1 . Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các giá trị CĐ, CT của x −1 hàm số cùng âm. ( ) Bài 23) Cho hàm số y = ( x − m ) x 2 − 2 x − m − 1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực đại xcđ, hoành độ điểm cực tiểu xct thỏa: | xcđ . xct| = 1 Bài 24) Cho hàm số y = x 2 − (2m + 5)x + m + 3 . Tìm m để hàm số có cực trị tại điểm x>1. Hãy xác định x +1 đó là điểm cực đại hay cực tiểu của đồ thị. Bài 25) Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều. Bài 26) Cho hàm số y = x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các x+2 điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. ( ) Bài 27) Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 3 m 2 − 1 x − 3m 2 − 1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. Bài 28) Cho hàm số y = đại, cực tiểu cùng dấu. x 2 + 2(m − 1)x + 2 − m . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực x −1 x 2 − mx + 2m − 1 Bài 29) Cho hàm số y = . Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và mx − 1 hàm số có cực trị. Bài 30) Cho hàm số y = x 2 + m 2 x + 2m 2 − 5m + 3 (m>0). Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu thuộc x khoảng (0; 2m). Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang 4 Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 4: Sự tương giao của hai đồ thị hàm số Bài 1) Cho hàm số y = mx 2 + x + m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai x −1 điểm đó có hoành độ dương. Bài 2) Cho hàm số y = hai điểm phân biệt. x2 − 2x + 4 . Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị của hàm số tại x−2 − x 2 + 3x − 3 Bài 3) Cho hàm số y = . Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B sao 2( x − 1) cho AB = 1. Bài 4) Cho hàm số y = 2 x 2 − 4 x + 10 . Định m để đường thẳng (d): mx − y − m = 0 cắt đồ thị tại hai điểm − x +1 phân biệt A, B. Xác định m để AB ngắn nhất. Bài 5) Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1 . Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. ( ) Bài 6) Cho hàm số y = ( x − 1) x 2 + mx + m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài 7) Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 − 1 . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(0; -1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt. Bài 8) Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 . Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt. ( ) Bài 9) Cho hàm số y = ( x − 1) x 2 − 2 mx − m − 1 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1. Bài 10) Cho hàm số y = 2 3 8 8 x − x 2 − 4 x + . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ 3 3 3 thị tại 3 điểm phân biệt. x2 + 4x + 1 Bài 11) Cho hàm số y = . Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y = mx + 2 − m cắt đồ thị x+2 hàm số tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. x 2 + mx − 1 Bài 12) Cho hàm số y = . Tìm m để đường thẳng (d): y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B x −1 sao cho OA ⊥ OB. 2 x 2 − 3x Bài 13) Cho hàm số y = . Tìm m để đường thẳng y = 2mx − m cắt đồ thị tại hai điểm thuộc hai x−2 nhánh của đồ thị. Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang 5 Chuyên đề LTĐH Bài 14) Cho hàm số y = Ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan GIẢI TÍCH x +1 (C). x −1 a) Gọi (d) là đường thẳng 2 x − y + m = 0 . Chứng minh (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên hai nhánh của (C) b) Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất. Bài 15) Cho hàm số y = x + 2 + hoành độ trái dấu. 1 . Tìm m để đường thẳng y = m( x + 1) + 1 cắt đồ thị tại hai điểm có x +1 Bài 16) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 + (m + 1)x 2 + 2 mx + m 2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm. ( ) Bài 17) Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 2 + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ dương. Bài 18) Cho hàm số y = x 3 + mx + 2 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất một điểm. Bài 19) Cho hàm số y = x 2 + (m + 2)x − m . Xác định m để cho đường thẳng y = −( x + 4 ) cắt đồ thị hàm x +1 số tại hai điểm đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Bài 20) Cho hàm số y = x2 − x − 3 (C) x +1 a) Chứng tỏ đường thẳng (d): y = − x + m luôn cắt (C) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh của (C) b) Định m để M, N đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. x2 + x − 3 Bài 21) Cho (C): y = và (d): y = − x + m x −1 a) Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N và độ dài MN nhỏ nhất. b) Gọi P, Q là giao điểm của (d) và hai tiệm cận. Cm: MP = NQ Bài 22) Cho hàm số y = 2 x 3 + 2(6m − 1)x 2 − 3(2m − 1)x − 3(1 + 2 m ) . Định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng các bình phương các hoành độ bằng 28. Bài 23) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m . Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. Bài 24) Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 . Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt với hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 25) Cho hàm số y = x 2 + (m + 2)x − m . Tìm m để đường thẳng (d): y = -x – 4 cắt đồ thị tại hai điểm x +1 M, N sao cho M, N cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác đều OMN. Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang 6 Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 5: Sự tiếp xúc và phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Bài 1) Cho hàm số y = Bài 2) Cho hàm số y = (2m − 1)x − m 2 . Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng x −1 y = x. 1 3 x − 2 x 2 + 3x . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị tại điểm uốn và chứng 3 minh rằng (d) là tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất. 1 3 m 2 1 x − x + . Gọi M là điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ bằng -1. Tìm 3 2 3 m để tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M song song với đường thẳng 5 x − y = 0 . Bài 4) Cho hàm số y = Bài 5) Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 3 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số biết rằng các tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng y = Bài 6) Cho hàm số y = 1 x+2 9 2x −1 . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao x −1 cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. Bài 7) Cho hàm số y = x + Bài 8) Cho hàm số y = thị hàm số đã cho. 1 . Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(-1; 7) x x2 + x +1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-1; 0) và tiếp xúc với đồ x +1 Bài 9) Cho hàm số y = x2 + 2x + 2 . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị. Chứng minh rằng x +1 không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I. Bài 10) Cho hàm số y = − x 3 + (2 m + 1)x 2 − m − 1 . Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx − m − 1 x2 + x −1 Bài 11) Cho hàm số y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với x+2 tiệm cận xiên của (C). x 2 + 2x + 2 Bài 12) Cho hàm số y = . Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp x +1 tuyến của đồ thị tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại A và B. a) Chứng tỏ rằng M là trung điểm của AB. b) Chứng tỏ rằng tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào M. Bài 13) Cho hàm số y = x + 1 + 1 . Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp x −1 tuyến tại điểm đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang 7 Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan GIẢI TÍCH Bài 14) Cho hàm số y = x 3 − 3 x . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị. Bài 15) Cho hàm số y = 2x2 + x + 1 . Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến x +1 tới đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Bài 16) Cho hàm số y = (3m + 1)x − m 2 + m . Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với Ox, tiếp x+m tuyến sẽ song song với đường thẳng y + 10 = x. Bài 17) Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến của đồ thị y = x 3 + 3x 2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài 18) Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = − x 4 + 2mx 2 − 2 m + 1 luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. 1 . Chứng minh rằng qua A(1; -1) kẻ được hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp x +1 tuyến đó vuông góc với nhau. Bài 19) Cho hàm số y = x + x2 + x − 2 sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục tọa độ tại A, B tạo x−2 thành tam giác vuông cân OAB (O là gốc tọa độ). Bài 20) Tìm M trên đồ thị hàm số y = 2x −1 (C). Cho M bất kỳ trên (C) có xM = m. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm x −1 cận tại A, B. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm AB và diện tích ∆IAB không đổi. Bài 21) Cho hàm số y = Bài 22) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 (Cm). Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc. Bài 23) Cho hàm số y = tiếp tuyến đến (C). x +1 (C). Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một x −1 Bài 24) Cho hàm số y = x 4 − 6 x 2 + 5 . Cho M∈(C) với xM = a. Tìm các giá trị của a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm khác M. x+3 (C). Cho điểm M0(x0; y0)∈(C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận x −1 của (C) tại A và B. Chứng minh M0 là trung điểm của AB. Bài 25) Cho hàm số y = Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang 8