Một số chuyên đề thường gặp ôn HSG Toán 9

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A. LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: 2. Tính chất: - Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c - Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p - Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n  số dư bằng nhau - Trong n  - Nếu n1 - Ta có: luôn nhận được hai số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n  a;b d - Ta có: n1 thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax  by d   a  b  a    a  b  a  b an  bn  a  b an 1  ....  bn 1  an  bn  a  b an  bn n 1  ....  bn 1 n n với n là số tự nhiên lẻ B. LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp : 3 Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n  5n6. HD: Ta có:   n3  5n  n3  n  6n n  n6  n n  1  n  1 6 3 , như vậy ta cần chứng minh .    là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Do  3 Bài 2: Chứng minh rằng : n  11n6,n Z HD : n n 1 n 1 Ta có: Vì n n  1  n  1 3   n3  11n n3  n  12n n n2  1  12n n n  1  n  1  12n 12n6  n  11n6 là ba số nguyên liên tiếp  n n  1  n  1 6 và Bài 3: Chứng minh rằng: HD: A n n  1  2n  1 6,n N A n n  1   n  1   n  2   n  1 n n  1  n n  1  n  2 6   Ta có: 3 2 Bài 4: Chứng minh rằng: m  3m  m 348,m lẻ HD: Vì m là số lẻ, Đặt Khi đó ta có : m2k  1, k  N    A m3  3m2  m 3  m 3 m2  1  m 1  m 1  m 3 A 8 k  2  k  1 k Thay m2k  1 vào A ta được : k k  1  k  2 Vì  là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy A48 4 3 2 Bài 5: Chứng minh rằng: n  4n  4n  16n384,n chẵn HD: Vì n chẵn, Đặt n 2k, k  N  , Khi đó ta có:   A n  4n  4n  16n n n  4 n2  4 4 3 2 A 16 k  2  k  1 k k  1 , Vì , Thay n 2k vào A ta được:  k  2  k  1 k k  1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp Nên chia hết cho cả 3 và 8 Bài 6: Chứng minh rằng: HD:  B n5  5n3  4n120, n N      B n n4  5n2  4 n n2  1 n2  4 n n  1  n  1  n  2  n  2 120 Ta có: 4 3 2 Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh A n  14n  71n  154n  12024 HD: Ta cần chứng minh A3 và A8 , ta có : A n4  14n3  71n2  154n  120 n3  n  2  12n2  n  2  47n n  2  60 n  2 A  n  2  n2  n  3  9n n  3  20 n  3   n  2  n  3  n n  3  5 n  4  A  n  2  n  3  n  4  n  5 , Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp => A3 Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số 2 và 1 số  4 Vậy A 8 4 3 2 Bài 8: Chứng minh rằng: n  6n  11n  6n24 HD: Ta có: A n4  6n3  11n2  6n n n  1  n  2  n  3 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A3 Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4, Nên A8 4 3 2 Bài 2: CMR: n  2n  n  2n chia hết cho 24 với mọi n  Z HD : n 4  2n 3  n 2  2n n  n 2  n  2    n  2   n  n  1  n  1  n  2  Ta có: là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3 a a2 a3   Bài 9: Chứng minh rằng: 3 2 6 là một số nguyên với mọi a nguyên HD: a a2 a3 a a  1  a  2    a a  1  a  2 6 Ta có: 3 2 6 . Vì  là tích của 3 số nguyên liên tiếp => 6 5 Bài 10: Chứng minh rằng: n  n30,n HD:   A n5  n  n  1 n n  1 n2  1 Ta có: chia hết cho cả 2 và 3 Mặt khác:  , là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên  A n5  n  n  1 n n  1 n2  4  5  n  2  n  1 n n  1  n  2  5 n  1 n n  1 n  2  n  1 n n  1  n  2 Thấy  là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A5 3 Bài 11: Chứng minh rằng: n  1964n48, n chẵn HD: Vì n là số chẵn, Đặt n 2k, k  N  n  1964n 8 k  1 k  k  1  3888k Khi đó ta có : 3 Vì  k  1 k k  1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Bài 12: Chứng minh rằng: HD:   n4  7 7 2n3 64,n lẻ n 2k  1, k  N  Vì n lẻ, Đặt  , Khi đó ta có:   A 16 k2  k  2 n  2 k  1 Thay vào ta được:      A n4  7 7 2n2  n2  7 2 2 , k2  k  2 k  k  1  22 , Vì 2  k2  k  2 4  A64 4 2 Bài 13: Chứng minh rằng: n  6n  764,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt: n 2k  1, k  N  , Khi đó:     A 16k k  1 k  k  2 Thay n 2k  1 vào ta được: 2 Bài 14: Chứng minh rằng: A n  4n  38,n lẻ. HD: Ta có:  A n4  6n2  7  n2  1 n2  7 A  n  1  n  3 2 , , Vì n là số lẻ, Đặt n 2k  1, k  N   A  2k  2  2k  4 8 Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 HD: Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: Gọi n  1; n; n  1, n Z   A  n  1  n3   n  1 3n3  3n  18n  9n2  9 3 n  1 n n  1  9 n2  1  18n 3 3        Thấy:  Vậy A9 3 3 3 Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : a  b  c 6 khi và chỉ khi a  b  c6 HD : n  1 n n  1 3  3 n  1 n n  1 9 Xét Mà       A a3  b3  c3  a  b  c  a3  a  b3  b  c3  c a3  a a a  1  a  1 a a  1  a  1 6 3 3 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên 3 Như vậy A 6 => a  b  c 6  a  b  c6 12 8 4 Bài 17: Chứng minh rằng: n  n  n  1512,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt n 2k  1, k  N    , Khi đó:      2  A n12  n8  n4  1 n4  1 n8  1  n2  1 n2  1  n4  1   2 Thay n 2k  1 vào A ta được: Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho: HD: Ta có:    n  1 A 64 k  k  1  2k2  2k  1 2 4  n  5  n  6 6n A  n  5  n  6 n2  11n  30 12n  n2  n  30  n n  1 3 (1)  n2  n6 n  n  306n      306n (2)  30n Vì 12n6n cần chứng minh n 3k  1, k  N  Từ (1)  n 3k hoặc 2     là thỏa mãn. Từ (2) Bài 20: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27. HD: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n, n  1, n  2,..., n  1989 (1) Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n,n  1, n  2,...,n  999 phải có 1 số chia hết cho 1000,  n 1;2;3;5;6;10;15;30  n 1;3;10;30 giả sử là n0 , Khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 Giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0  9, n0  19,..., n0  899 Có tổng các chữ số lần lượt là: s, s  1, s  2,..., s  26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27. Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab  a  b  1 chia hết cho 48 ta có: ab  a  b  1  a  1  b  1 , HD : Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: a  2n  1 ; b  2n  3 2 2 với n Z 2 2 2 ab  a  b  1 (a  1)(b  1)   2n  1  1  2n  3  1 16n  n  1  n  2      Nên Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48 Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA   Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : HD : Ta có : n hoặc 7n 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A2 A n 2n  7 7n  7 6 .   Lấy n chia cho 3 ta được : Với r 0  n 3k  A3 Với r 1  n 3k  1 2n  7 6k  93  A3 Với r 2  n 3k  2  7n  121k  153  A3 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : n 3k  r k  N,0 r 2 A 4a2  3a  56 HD : Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : a 6m1, m Z   a 6m 1  A 4 6m 1  3 6m 1  5 6 24m  5m 1 6 Với a 6m 1  A 4 6m 1  3 6m 1  5 6 24m2  11m 2 6 2 Với 2 2 2 Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n  9n  211 HD: Ta có:   n2  9n  211 n2  2n  211 4 n2  2n  2 11 4n2  8n  111   2n  1  2n  3 11 ,   Khi đó: 2n 111 hoặc 2n 311  n 11m 6 hoặc 2 Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 4n  15 và chia hết cho 13 HD: n 11m 7, m N   Đặt 2 Chọn r sao cho 4r  1 65  r 4 , Vậy với mọi số n 65k 4 đều thỏa n 65k  r, k  N,0 r 64 mãn. 2n n Bài 5: Chứng minh rằng nếu n3 thì A 3  3  113, n N HD: Vì  3  n 3k  r, k  N,1r 2 n Khi đó: A 3  2 3kr         33kr  1 32r 36k  1  3r 33k  1  32r  3r  1    Thấy: và 2r r 2 Với r 1 3  3  13  3 113  A13 2r n 4 2 Với r 2  3  3  1 3  3  1 9113  A13 n Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2  17 HD: 36k  1  33 2k  1  33  1 .M 26M 13 Lấy n chia cho 3 ta có: Với Với  33k  1  33  1 .N 26N 13 n 3k  r, k  N,0 r 2 r 0  n 3k  2n  1 23k  1 8k  1  8 1 .M 7M 7   r 1  n 3k  1  2n  1 28k1  1 2.23k  1 2 23k  1  1 n Mà 2 k  17  2  1 chia 7 dư 1   r 2  n 3k  2  2n  1 23k2  14 23k  1  3 Với 3k n Mà 2  17  2  1 chia 7 dư 3 Vậy với n 3k, k  N  Bài 7: Chứng minh rằng: HD: n thì 2  17    A n n2  1 n2  4 5, n Z n 5q  r, q,r  Z,0 r 4 Lấy n chia cho 5 ta được: Với r 0  n5  A5 2 Với r 1,4  n  45  A5 2 Với r 2,3  n  15  A5 , 5 5 5 Bài 8: Cho A a1  a2  ...  an và B a1  a2  ...  an , Chứng minh rằng: A  B30 HD:     a  a a  a  1 a  a  1  a  1  a  1 30 Xét Ta có: B  A  a15  a1  ...  an5  an 5 1 1 1 4 1 1 Bài 9: Chứng minh rằng nếu HD: 1 2 1 1  n;6 1 2 thì n  124,n Z  Vì   2 Với r 1  n  124 2n n Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 2  2  17 HD: n;6 1  n 6k  r, k,r  N,r 1 Xét n 3k  r, k,r  N,0 r 2     22n  2n  1 22r 26k  1  2r 23k  1  22n  2n  1 Ta có: 2n n Xét các TH cụ thể ta được: 2  2  17 4 2 Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m  1 n , Chứng minh rằng: mn5 HD:     24m4  1 n2 25m4  m4  1 25m4   m 1  m 1 m2  1 Ta có: Nếu m5  mn5  ĐPCM Nếu  5   m;5 1 m  =>     m5  mm m4  1 m m 1  m 1 m2  1  m m 1  m 1 m2  4  5  m 2  m 1 m m 1  m 2  5m m 1  m 1 5 4 2 Nên m  15  n 5  n5  mn5 , ĐPCM. 3 2 2 Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : x  8x  2xx  1 HD :     x3  8x2  2x  x x2  1  8 x2  1  x  8x2  1  x  8x2  1 Ta có : Nếu x  8 0  x  8 thỏa mãn     Nếu 2 2 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a  15ab  b 49  3a  b7 HD: Ta có: x 8  x  8  x2  1 x 0 1; 2  x 0;2 5a2  15ab  b2 49  5a2  15ab  b2 7  9a2  6ab  b27   3a  b 7  3a  b7 2 Mặt khác: 3a  b7  3a  b 7k  k  Z  b 7k  3a  5a2  15ab  b2   5a2  15a 7k  3a   7k  3a 49 3ak  a2 49 2 2 2 Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a  b chia hết cho tích a.b a2  b2 A ab Tính giá trị của biểu thức: HD:  a da1 d  a;b   , a1;b1 1 2 a2  b2 d2  a1  b1 b  db   1 1 1 Gọi , ta có: và ab d ab 2 2 2 2 2 2 2 2  a1  b1 a1 và b1  a1 b1 và b1 a1 1 1 Vì a  b ab  a1  b1 ab Vì  a ;b  1 a b 1 1 A 1  d2 a12  b12 d2a1b1 1 và b1a1  a1 b1 1   2.d a 2 2 1 2 2 1 da 2 Vậy Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số A m n 2 2 và B m  n HD : Gọi d UCLN  A; B , Vì ;  1  A, B  mn cùng tính chẵn lẻ. khi đó : 2mn  A  Bd và 2mn  2n 2nAd  2n d (1) Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) => 2d  d 2 2 2 Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ Vì  m;n 1 d 1 2  1  n d , tương tự : m d 2 2 2n 10a  b, 0  b  10 n 3 Bài 17: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: nếu thì ab6 HD: n Ta có: 2 10a  b  b2  ab2 , ta cần chứng minh ab3 n n Mặt khác : 2 10a  b  2 có chữ số tận cùng là b n 4k  r, k,r  N,0 r 3  2n 16k.2r Đặt n k Nếu r 0  2 16 có tận cùng là 6  b 6  ab6 Nếu   1r 3  2n  2x 2r 16k  1 10  2n    10a 2n  2x 2r 16k  1 3  a3  ab6 Bài 18: Cho số tự nhiên n1 , Chứng minh rằng: S 15  25  35  ...  n5 1 2  3 ...  n HD: r r tận cùng là 2  b 2 Đặt: 2A 2 1 2  3 ...  n n n  1 n n * Mặt khác, với n lẻ ta có: a  b a  b,(a,b N )     5 2S  15  n5   25   n  1   n5  1 n  1    Nên 5 5 5  2S  15   n  1  25   n  2  ...   n  1  1   2n5n    n; n  1 1 2Sn n  1 2A  SA       Mà p 1 1 1 1   ....  , p,q Z 2 3 1319 Bài 19: Cho q . Chứng minh rằng p1979 HD: 1 1 p  1 1  1   1  ...   2   ...   1319  1318  2 4 Ta có: q  2  1 1   1 1 1  1 1  1  ...    1   ...   ...    2 1319 2 3 659     660 1319  1 2.p  1 1   1 1  1  1979.A 2p.B      ...        B  q  q  660 1319   661 1318 1319 660   1979.A Mà B  1979  p1979   a1, a2, a3,...an   1;  1 , n N * Bài 20: Cho Chứng minh rằng: n4 HD: Đặt  , thỏa mãn: a1a2  a2a3  a3a4  ....  ana1 0 , x1 a1a2, x2 a2a3,..., xn ana1  x1, x2, x3   1;  1 , Hơn nữa x1  x2  ...  xn 0 Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1 * (m N )  n 2m và x1x2x3...xn   1 m x1x2x3...xn  a1a2...an  1 2 và Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4. Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: HD:  a  b  a  b 7ab a  b  a Ta có:  7  a  ab  b 7 ab a  b  Vì  7 7 7 2 2 2 3 2 3 Chọn b 1 a  a  17  a 7 ab a  b   ab  b2  2 a  b và  7  a7  b777 Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG 2 Bài 1: Chứng minh rằng : S n  3n  38 49,n N HD: 2 Giả sử tồn tại số tự nhiên n để S n  3n  3849 S n2  3n  38 7 n  6 n2  4n  4 Khi đó: , S49  S7   n  2 7  n  27  n 7t  2 2 Mà  2  S 49 t  t  28  S49 , thay vào S ta được: trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n 2 Bài 2: Chứng minh: n  n  2 15,n Z HD: Giả sử: n2  n  215  n2  n  23  n n  1  23 (1)  n 3k  1  3    n ,k  Z n  3 k  1  Từ (1) 2  n  1  n  1  n  1 3 2 2 2 Lại có: n  n  2 n  1 n  3 3 mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n  n  2 15 2 Bài 3: Chứng minh rằng: n  3n  5 121,n N HD: Giả sử: n2  3n  5121  n2  3n  511  4n2  12n  2011  4n2  12n  9  1111   2n  3  1111 2 2 Nhưng A n  3n  511 nhưng A121 vì 11  121 A n2  4 n  5 Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ Bài 4: Xét phân số 1 đến 2002 sao cho phân số A chưa tối giản. HD: Giả sử A chưa tối giản. Đặt   d  n2  4; n  5  d  1  n  5   n Ta có: 2 2   4 d  10n  21d  10 n  5  29d  29d  d 29 Ngược lại: Nếu     n  529  n  5 29k, k  N *  n2  4 29 29m2  5k  1 29  A chứ tối giản Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho   n  5 29k, k  N*  1n 2002  1m69 Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản. 3 2 Bài 5: Chứng minh rằng: 9n  9n  3n  16 343,n N HD: 2 Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho n  n  249 không HD: Giả sử tông tại số tự nhiên n để n2  n  249  4n2  4n  849   2n  1  749   2n  1 7 2 2  2n  17   2n  1  749 2 Vì 7 là số nguyên tố 2 * Bài 7: Chứng minh rằng: n  n  19,n N HD: Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho từ đó  749 ( vô lý) n2  n  19   n  2  n  1  39  n 2 3 hoặc  n 1 3 n  2 3   n  2  n  1  33 Nếu  nhưng không chia hết cho 9 n  1 3   n  2  n  1 3 Nếu  nhưng không chia hết cho 9 Vì 3 là số nguyên tố nên 2 Bài 8: Chứng minh rằng: 4n  4n  18289,n N HD: Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 4n2  4n  18289   2n  1  17172   2n  1 17 2 2n  1 17   2n  1 Vì 17 là số nguyên tố nên   2n  1 2 2 289 Khi đó:  289  17 a; b Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương   HD: Gỉả sử   a  b   a b  1 sao cho: 2  2   a  b2 a2b  1  k  N* : a  b2 k a2b  1  a  k b ka2  b . Đặt mka2  b, m Z  a  k mb * * , Do a,b,k  N  m N , khi đó ta có:  m 1  b  1 mb  m b  1a  k  ka  1 a  1  k  ka  1 , mb ,  N   m 1  b  1 0  1k a  1 Vì , Do k, a N  a  10 k a  1 0  a 1 TH1 :  thay vào đẳng thức ta được :  m 1  b  1  a  1  k  ka  1 2 * Ta được: *  m 1 1  m2   ta có :  m 1  b  1 2   b  12   b 3 k a  1 1  k a  1 1  k 1 TH2: thức ta được:  m 1  b  1  a  1  k  ka  1 ta được: Nếu m1 thì từ a  k mb  b 3 Vậy các cặp số và a 2, Thay k 1,a 2 vào đẳng  m 1  b  1 0  mb 1  a;b  1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3 Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: n n An  Bn  A  B ,n n LẺ n Bài 1: Chứng minh rằng A 2005  60  1897  168 2004,n N HD: Ta có: 2004 12.167 , ta cần chứng minh A12, A167 Ta có :    A  2005n  1897n  168n  60n Áp dụng tính chất : Khi đó : an  bn  a  b , với mọi n tự nhiên và a  b 0 2005n  1897n  2005 1897 Tương tự :  n n  và   168n  60n 168 60 n n A  2005  168  1897  60    => Vậy A 12 Khi đó A167   A 5n 5n  1  6n 3n  2n 91 n  N Bài 2: Cho , CMR : HD: Ta cần chứng minh A7 và A13 Ta có :    A 25n  5n  18n  12n  25n  18n  12n  5n Áp dụng tính chất :   an  bn  a  b  A7    A  25n  12n  18n  5n  A13 Tương tự : 2n n n1 Bài 3: Cho n N , Chứng minh rằng: 6  19  2 17 HD: Ta có:    A 62n  19n  2n1 36n  19n  2.2n  36n  2n  19n  2n    và 19  2 17 Vì 3 3 3 3 3 Bài 4: Chứng minh rằng: 1  3  5  7 2 HD : 36n  2n  36  2 34 n n     A 13  33  53  73  13  73  33  53 8N  8M 8 Ta có: 8n 6n n n Bài 5: Chứng minh rằng: 2 .5  1980  441  11979,n N HD:    A 28n.56n  1980n  441 1 46n  441n  1980n  1n  Ta có: 6n n n n n n Vì 4  441 4000000  441 3999559 và 1980  1 1979 6n 6n Bài 6: Chứng minh rằng: 3  2 35,n N HD: Ta có:     2   3  2  .M  3  2   3  2  .M 35.19M 35 36n  26n  36 n 6 n 6 6 Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : HD :  3 3 3 5n 2  26.5n  82 n 1 59  n n n n n n n  26.5n  82 n 1 59 = 51.5  8.64  59  8  .5  8.64 59.5  8 64  5 64n  52  64  5  Ta có: 5 Vì 3 n 2  nên ta có đpcm 2n Bài 8: Chứng minh rằng: 9  1415 HD: Ta có:   92n  14 92n  1 15  81n  1  15 80n  155 n n n Bài 9: Chứng minh rằng: A 20  16  3  1232,n N HD: Tách 232 17.19 . Khi đó:   20n  3n  20  3 .M 17M 17 Lại có: Khi đó: A17 Mặt khác: Mà   A  20n  3n  16n  1    A  20n  1  16n  3n 20  1  20  1 .P 19.P 19 n  và , , và 16n  1  16  1 .N 17N 17 16n  3n  16  3 .Q 19.Q19  A19  nn  n2  n  1 n  1 ,n  1 2 Bài 10: Chứng minh rằng: HD: n 2  nn  n2  n  11 n  1 1 2 Với   n  n  1   n  1 n  n  1  n  n  ...  1   n  1  n  1  n  n  ...  n  1  n  1   n  1  ...   n  1   n  1    Với 2 n  2  A nn  n2  n  1  nn  n2   n  1 n 2 2 n 1  n  1 .M  n  1 2 n 2 n 3 n 4 2 n 1 2 2 2n1 2n2 Bài 11: Chứng minh rằng: 3  2 7,n N HD: 32n1  22n2 3.32n  2.2n 3.9n  4.2n 3. 7 2  4.2n 7.M  7.2n 7 n Ta có: Bài 12: Chứng minh rằng: HD:     mn m4  n4 30,m, n N       mn m4  n4 mn m2  1 m2  1  mn n2  1 n2  1 30 Ta có: n Bài 13: Chứng minh rằng: A 3  6372,n N, n 2 và n là số chẵn HD:     n 2k, k  N   3n  63 32k  63  32k  1  64  9k  1  648 Đặt n Mặt khác: n2  3 9 và 639  A9 n n n Bài 14: Tìm giá trị của n để: A 20  16  3  1323 HD: Ta có: 323 17.19 2n3 4n1 Bài 15: Tìm số tự nhiên n để A 3  2 25 HD: 2n3 4n1 2n 4n 2n 2n 4n Ta có: A 3  2 3 .27 2 .2 3 .25 3 .2  2 .2 HD: a  2k  1 ,b  2k  1 , k  N  2 Đặt 2  a  1  b  1 16k k  1  k  1 64 , Khi đó ta có: và 3  32n.25 2 9n  16n Bài 16: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a a  1  b  1 192 hay A8  2 2 2 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a b  c , Chứng minh rằng: abc60 HD : Ta có : 60=3.4.5, đặt M abc 2 2 2 Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3  a ,b ,c chia hết cho 3 dư 1  a2 b2  c2 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M3 2 2 2 Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5  a ,b ,c chia 5 dư 1 hoặc 4  b2  c2 chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3  a2 b2  c2 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M 5 2 2 Nếu a, b, c là các số lẻ  b ,c chia 4 dư 1 Do đó 1 trong hai số a, b phải là số chẵn. Giả sử b là số chẵn: + Nếu c là số chẵn =>M 4  b2  c2  mod4  a2 b2  c2 2 2 2  b2  a  c  a  b a  b  c   a + Nếu c là số lẻ, mà là số lẻ 2  b  a c   a  c  b         2 chẵn  b4  M 4  2  2   2  Vậy M abc3.4.5 2 Bài 18: Chứng minh rằng: 36n  60n  2424 HD : Ta có: 36n2  60n  24 12n 3n  5  24 ,  n 3n  5 2 Thấy n;3n 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ => ĐPCM Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP n Bài 1: Chứng minh A 16  15n  1225,n N HD: Với n 1 A 0225 đúng k Giả sử n k 1 và A 16  15k  1225 * 16k1  15 k  1  1225 Ta cần chứng minh với n k  1 thì Thật vậy:   16k1  15 k  1  1 16.16k  15k  16  16k  15k  1  15.16k  15 n * 16k  15k  1 15.15.M  A  225.M 225 Vậy A 16  15n  1225,n N 3n3 Bài 2: Chứng minh rằng: 3  26n  2729,n 1 HD: 2n2 * Bài 3: Chứng minh rằng: 4  115,n N