Một bất đẳng thức bậc ba có nhiều ứng dụng

https://www.facebook.com/thuvientoan.net MỘT BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG 1. Mở đầu Với mọi a, b  0. Ta có: a 3  b3  ab  a  b  . Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:  a  b   a 2  ab  b2   ab  a  b    a  b   a 2  2ab  b 2   0 2   a  b  a  b   0. Do a, b  0 nên bất đẳng thức cuối đúng. Ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chi a  b  0. Bằng biến đổi tương đương, ta cũng có: 3  a 3  b3    a  b   a 2  ab  b 2  . Từ bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức sau: 3 4  a3  b3    a  b   4ab  a  b  . Sử dụng kỹ thuật biến đổi tương đương ta có thể chứng minh dãy bất đẳng thức trên. Tiếp theo sẽ là phần ứng dụng của bất đẳng thức này. 2. Ví dụ Ví dụ 1. 3 a 3  b3  c 3  a  b  c   Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng:  . 3 3   Lời giải 3 a 3  b3  a  b  Theo bất đẳng thức trên, ta có: 4  a  b    a  b    . 3 12 3 3 3 3 abc c3  d 3  c  d   0, ta có: Đặt d   . 3 3 12 3 3 a  b  c  d  a 3  b3  c 3  d 3  a  b    c  d    Mà 3 12 36 3 3 abc a 3  b3  c 3  a  b  c   Mà d  nên thay vào bất đẳng thức trên ta được:  . 3 3 3   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c. Suy ra điều phải chứng minh. https://thuvientoan.net/ https://www.facebook.com/thuvientoan.net Ví dụ 2. Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng: a 3  b3  c 3 8abc   2. 3abc  a  b  b  c  c  a  Lời giải Ta có: 3 a 3  b3  c 3  a  b  c  a 3  b3  c 3   a  b    b  c    c  a        3 3 3 6     3 Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:  a  b    b  c    c  a   3 3  a  b  b  c  c  a . Nên a 3  b3  c3  a  b  b  c  c  a   . Do đó ta cần chứng minh: 3abc 8abc  a  b  b  c  c  a   8abc 8abc 2  a  b  b  c  c  a  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ a  b  c. Ví dụ 3. Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng: bc a  3 4 b  c 3 3   ca b  3 4 c  a 3 3   ab c  3 4  a 3  b3   2. Lời giải 3 Ta có: 4  b3  c 3    b  c   bc a  3 4 b  c 3 3   bc . abc Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được: bc a  3 4  b3  c 3   ca b  3 4  c3  a3   ab c  3 4  a 3  b3  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  0. Suy ra điều phải chứng minh. https://thuvientoan.net/  bc ca ab    2. abc abc abc https://www.facebook.com/thuvientoan.net Ví dụ 4. Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng: 1 1 1 1  3 3  3  . 3 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 3 Lời giải Ta có: a 3  b3  abc  ab  a  b   abc  ab  a  b  c  . Suy ra: 1 1  . 3 a  b  abc ab  a  b  c  3 Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được: a  b  c  1 . 1 1 1 1 1 1   1         a 3  b3  abc b3  c3  abc c 3  a 3  abc a  b  c  ab bc ca  abc  a  b  c  abc Suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  0. Ví dụ 5. Cho a, b, c  0 và abc  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a 3  b3 b3  c 3 c3  a3   . a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2 Lời giải Ta có: 3  a 3  b3    a  b   a 2  ab  b 2   a 3  b3 ab  . 2 2 a  ab  b 3 Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta suy ra: P a  b b  c c  a 2  a  b  c  2  3 3 abc      2. 3 3 3 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt được khi a  b  c  1. Chú ý a  b   a  b   a  ab  b 3 3 2 2  a 3  b3 ab mà 2  nên từ đây suy ra: 2 a  ab  b 3 a 2  ab  b 2 1  với mọi a, b  0. a 2  ab  b 2 3 https://thuvientoan.net/ https://www.facebook.com/thuvientoan.net 3. Bài tập áp dụng. Bài 1 Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng: a2 b2 c2    3. a  b  b3c b  c  c3a c  a  c3b Bài 2 Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng: a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2      . b2 c2 a2 b c a Bài 3 Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng: a 3  1 1 1  b3  c 3   3  3  3   a b c  3 ab bc ca     . 2 c a b  Bài 4 Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng:  a2 b2 c2  3 3 3 3 3 3 3 4     4  a  b   3 4  b  c   3 4  c  a .  ab bc ca  Chúc các bạn học tốt! https://thuvientoan.net/