Lý thuyết và bài tập sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 CHƯƠNG 1: Chuyên đề: Hàm số ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số. A. Lý thuyết 1. Định nghĩa Cho hàm số y  f (x ) xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng. a) Hàm số y  f (x ) đồng biến trên K nếu mọi x1, x 2  K, x1  x 2  f (x1 )  f (x2 ) . b) Hàm số y  f (x ) nghịch biến trên K nếu mọi x1, x 2  K, x1  x 2  f (x1 )  f (x2 ) . 2. Định lí Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên K . a) Nếu f (x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x ) đồng biến trên K . b) Nếu f (x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x ) nghịch biến trên K . c) Nếu f (x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x ) không đổi trên K .   Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b  và có đạo hàm f ' x >0 trên khoảng a;b  thì hàm số f đồng biến trên đoạn a;b  . Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b      và có đạo hàm f ' x < 0 trên khoảng a;b thì hàm số f nghịch biến trên đoạn a;b  . 3. Định lí mở rộng: Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên K . a) Nếu f (x )  0 với mọi x thuộc K và f (x )  0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f (x ) đồng biến trên K . b) Nếu f (x )  0 với mọi x thuộc K và f (x )  0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f (x ) nghịch biến trên K . 4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số Bước 1: Tìm tập xác định.   Bước 2: Tính đạo hàm f (x ) . Tìm các điểm x i i  1,2, ..., n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3: Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 1 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: a. y  x 3  3x 2  2 b. y  x 3  3x 2  3x  2 c. y  x 3  2x Hướng dẫn giải a. y = x 3  3x 2  2 .  Hàm số xác định với mọi x   .  Ta có: y   3x 2  6x , cho y   0  3x 2  6x  0  x  0, x  2 .  Bảng biến thiên: x  y  0 0 y(0) y  2 0      lim y  lim x 3  3x 2  2   x  x  y(2)    lim y  lim x 3  3x 2  2   x  x   Dựa vào bảng biến thiên suy ra:      Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  .    Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 .     Chú ý: Không được kết luận: “Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0  2;  ” b. y = x 3  3x 2  3x  2  Hàm số xác định với mọi x   .  Ta có: y   3x 2  6x  3 , cho y   0  3x 2  6x  3  0  x  1 (nghiệm kép)  y   0, x    hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định  . c. y = x 3  2x .  Hàm số xác định với mọi x   .  y   3x 2  2 , cho y   0  3x 2  2  0 (vô nghiệm)  y   0, x    hàm số luôn đồng biến trên tập xác định  . Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: a. y  x 4  2x 2  1 b. y  x 4  x 2  2 c. y  1 4 x  2x 2  1 4 Hướng dẫn giải a. y = x 4  2x 2  1  Hàm số xác định với mọi x   .    y   4x 3  4x  4x x 2  1 , cho y   0  x  0 hoặc x  1 hoặc x  1 .  Bảng biến thiên: Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 2 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 x  Chuyên đề: Hàm số 1  y  0  y  0  y 1   lim x 4  2x 2  1   x   Dựa vào bảng biến thiên suy ra:  0 y  0 y  1  1 0   lim x 4  2x 2  1   x       Hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0 và 1;  .      Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 . b. y = x 4  x 2  2  Hàm số xác định với mọi x   .    y   4x 3  2x  2x 2x 2  1 , cho y   0  x  0 hoặc x   2 2 hoặc x  . 2 2  Bảng biến thiên: x   y  2 2 0 0  0  2 y     2  y  2 2 0   2 y    2  y  0    lim  x 4  x 2  2   x       lim  x 4  x 2  2   x   Dựa vào bảng biến thiên suy ra:   2 2  và  0; .  Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;    2  2       2  2  ; 0  và  ;   .  Hàm số nghịch biến trên các khoảng    2   2      c. y = 1 4 x  2x 2  1 . 4  Hàm số xác định với mọi x   .    y   x 3  4x  x x 2  4 , cho y   0  x  0 (do x 2  4  0 vô nghiệm).  Bảng biến thiên: Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 3 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 x  y y  Chuyên đề: Hàm số 0 0     y  0  1  lim  x 4  2 x 2  1   x   4   1  lim  x 4  2 x 2  1   x   4     Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng 0;  và nghịch biến trên khoảng  ; 0 . Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: a. y  x 4  4x 3  3 b. y  x 5  x 3  2x  4 Hướng dẫn giải a. y = x 4  4x 3  3  Hàm số xác định với mọi x   .    y   4x 3  12x 2  4x 2 x  3 , cho y   0  x  0 (nghiệm kép) hoặc x  3 .  Bảng biến thiên: x  y y    0 0     lim x 4  4 x3  3   lim x 4  4 x3  3   x   y  3   3 0 x     Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng 3;  và nghịch biến trên khoảng  ; 3 . b. y = x5  x 3  2x  4  Hàm số xác định với mọi x   .  y   5x 4  3x 2  2 , cho y   0  x 2   2 (vô nghiệm) hoặc x 2  1  x  1 hoặc x  1 . 5  Bảng biến thiên: x  y 1 0  y(1) y  lim x5  x3  2 x  4   x  1 0    y  1    Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018   lim x5  x3  2 x  4   x  Trang 4 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736  Từ bảng biến thiên suy ra: Chuyên đề: Hàm số      Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;  .    Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . Ví dụ 4: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: 2x  1 x 2 a. y  b. y  x 5 x 3 Hướng dẫn giải a. y = 2x  1 x 5  Hàm số xác định với mọi x  5 .   Tập xác định: D   \ 5 .  y    x  5  2. 5  1.1 2  11  x 5  2  0, x  5 . Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định,     tức là hàm số nghịch biến trên các khoảng ;5 và 5;  . Cách khác: Lập bảng biến thiên: x  y y 2 5       2x 1  2 lim     2 x   x 5  1 2  2x 1  lim     x 5  x  5   2x 1  lim     x 5  x  5    2x 1  2 lim     2 x   x 5  1     Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;5 và 5;  . b. y = x 2 x 3  Hàm số xác định với mọi x  3 .    Tập xác định: D   \ 3 .  y  1.3  1.2 x  3  2  1 x  3  2  0, x  3 . Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, tức     là hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 và 3;  . Cách khác: Lập bảng biến thiên: Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 5 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số 3 x  y    y 1  1  x 2 1 lim     1 x   x 3 1    x2 lim      x  3  x  3   x 2 1 lim     1 x   x 3 1  2x 1  lim      x  3  x  5       Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 và . 3;  .. Ví dụ 5: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: a. y  2x 2  x  1 2x  1 b. y  x x 1 c. y  2x 2 x 9 d. y  x 2  8x  24 x2  4 2 Hướng dẫn giải a. y = 2x 2  x  1 2x  1  Hàm số xác định với mọi x  1 . 2 1   Tập xác định: D   \   . 2    4x  12x  1  2 2x y  2x  1 2 x 1   4x 2  4x  3 2x  1 2 2 , cho y   0  4x 2  4x  3  0  x   1 2 3 . 2  Bảng biến thiên: hoặc x  1 2 0 1  2  x  y  y   2x 2  x  1     lim  x     2x  1   1 2    2x 2  x  1  lim      2 x  1 1   x   2  1 2 0    7 2  2x 2  x  1   2x 2  x  1  lim      lim     2x  1  1 x    x    2 x  1   2  Từ bảng biến thiên suy ra:  3  1  Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   và  ;   . 2  2   1 1 1 3  Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;  và  ;  . 2 2  2 2 Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 6 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 b. y = Chuyên đề: Hàm số x x 1 2  Vì x 2  1  0, x   nên hàm số xác định với mọi x   .  Tập xác định D   .  y    1. x 2  1  2x .x x 2  1 2 x 2  1  x 2  2 1 , cho y   0  x 2  1  0  x  1 hoặc x  1 .  Bảng biến thiên: x  y y 0 1 0  1 0 1 2  1 2   0  x  0 lim  x   2  x  1    x  0 lim  x   2  x  1    Từ bảng biến thiên suy ra:    Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 .      Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 và 1;  . 2x x 9  Hàm số xác định khi x 2  9  0  x  3 . c. y = 2    Tập xác định: D   \ 3; 3 .  Ta có y     2 x 2  9  2x .2x x 2 9  2  2x 2  18 x 2 9  2  0, x  3 .  Bảng biến thiên : x  y y 0  3   3      0       Từ bảng biến thiên suy ra : Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 3 , 3; 3 và 3;  . x 2  8x  24 d. y = x2  4  Hàm số xác định khi x 2  4  0  x  2 .    Tập xác định : D   \ 2;2 . Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 7 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736  Ta có y   2x  8  x 2  Chuyên đề: Hàm số   4  2x x 2  8x  24 x 4 2  2   8x  40x  32 , cho x  4  2 2 2 y   0  8x 2  40x  32  0  x  1 hoặc x  4 .  Bảng biến thiên : x  y 1 y 2   1 0   2  4 0 2  5   Từ bảng biến thiên suy ra :    1     Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  ,  2;1 và  4;   .  Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 và 2; 4 .  Ví dụ 6: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: a. y  x 2  x  20 b. y  2x  x 2 c. y  x  x 2  8 d. y  x 3  x Hướng dẫn giải a. y = x 2  x  20  Hàm số xác định khi x 2  x  20  0  x  4 hoặc x  5 .     Tập xác định : D  ; 4  5;   Ta có y   2x  1 2 x  x  20  Bảng biến thiên : 2  , cho y   0  2x  1  0  x  x  y  y 4  5     0 0  Từ bảng biến thiên suy ra : 1 . 2   Hàm số đồng biến trên khoảng 5;  .    Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 4 . b. y = 2x  x 2 .  Hàm số xác định khi 2x  x 2  0  0  x  2 .  Tập xác định: D  0;2 .  Ta có y   2  2x 2 2x  x 2 , cho y   0  1  x  0  x  1 .  Bảng biến thiên : Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 8 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 x  y Chuyên đề: Hàm số 0  y 1 0 1  0  2 0  Từ bảng biến thiên suy ra :    Hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 .    Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 . c. y = x  x 2  8 .  Tập xác định D   (vì x 2  8  0, x   )  Ta có y   1   x  0 , cho y   0   x 2  8  x  0  x 2  8  x   2 (vô x  8  x2 2 x2  8   2x nghiệm)  Bảng biến thiên : x  y y    0   8  8  lim  x  x 2  8   lim  x  (x ) 1  2   lim x  1  1  2    . x  x  x  x   x   lim  x  x 2  8   lim x   x 2  8  x  x 2  8  x  x   lim x  x 8 x 2 8   8 x  1  2  1 x    0. 8 0 11  Từ bảng biến thiên suy ra : Hàm số nghịch biến trên  . d. y = x 3  x .  Hàm số xác định khi 3  x  0  x  3 .   Tập xác định : D  ; 3 .  Ta có y   3  x  x .  Bảng biến thiên : 1 2 3x  x  y   2 3x x 2 3x  y 2 0 2   Từ bảng biến thiên suy ra : , cho y   0  6  3x  0  x  2 .  3  0    Hàm số đồng biến trên khoảng ;2 . Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 9 Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số    Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 3 . 1 3 m 2 x  x  mx  m  2018 đồng biến trên  . 3 2 1 b. Tìm m để hàm số y   m  2 x 3  m  2 x 2  mx  2 nghịch biến trên tập 3 xác định của nó. Ví dụ 7: a. Tìm m để hàm số y      Hướng dẫn giải Nhắc lại : “Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên  ”. a  0   Cho f x  ax 2  bx  c  a  0  f x  0, x     . 0    a  0  f x  0, x     . 0    a  0  f x  0, x     . 0    a  0  f x  0, x     . 0           TH : a  0 Chú ý: khi hệ số a chưa khác không phải xét 2 TH :  1 TH 2 : a  0 a. Tìm m để hàm số y  1 3 m 2 x  x  mx  m  2018 đồng biến trên  . 3 2  Tập xác định : D   .  Ta có: y   x 2  mx  m .  Để hàm số đồng biến trên  thì y   0, x    x 2  mx  m  0, x      0  m2  4m  0  0  m  4 .  Vậy m  0; 4  là giá trị cần tìm. b. Tìm m để hàm số y   1 m  2 x 3  m  2 x 2  mx  2 nghịch biến trên tập xác định 3     của nó.  Tập xác định : D   .      Ta có : y    m  2 x 2  2 m  2 x  m .  Để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó thì y   0, x         m  2 x 2  2 m  2 x  m  0, x   (*)   TH1: a  0   m  2  0  m  2 . Khi đó (*)  2  0, x   (vô lý) Suy ra m  2 (loại). Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 10